Análise de Autovalor

Analisando os valores de frequência natural apresentados nas Tabelas 7.1 e 7.2, nota-se que há uma diferença significativa entre os resultados obtidos na resolução do problema de autovalor com e sem a aplicação da MBC. Essa discrepância ocorre porque o modelo do aerogerador é linear e variante periodicamente com o tempo e, portanto, não pode ser analisado utilizando ferramentas voltada para a análise de sistemas lineares invariantes no tempo (LIT). Desta forma, os resultados apresentados na Tabela 7.1 estão incorretos.

A aplicação da Multi-blade Coordinate Transformation tem justamente a função de transformar o modelo original – escrito, em parte, nos sistemas móveis e, em parte, no sistema global – em um sistema expresso inteiramente no sistema inercial e que é LIT. Por este motivo, todas as análises realizadas nesse capítulo foram realizadas após a aplicação da MBC.

O Diagrama de Coleman é um gráfico utilizado para representar a variação dos parâmetros modais em função da rotação muito similar ao conhecido Diagrama de Campbel, amplamente utilizado em rotordinâmica. O primeiro, no entanto, se aplica mais a sistemas rotativos compostos de rotores com pás, como é o caso de rotores de helicópteros e de aerogeradores. Ele é obtido através da resolução, para diversos valores de rotação do rotor, do

111

problema de autovalores do sistema após a aplicação da MBC. A Figura 7.10 ilustra o Diagramas de Coleman com os valores de frequência natural do aerogerador. Nesta figura, em linhas tracejadas pretas, estão representados os valores médios entre as frequências de precessão direta e retrógrada, nos modos flapwise e edgewise.

Figura 7.10 Diagrama de Coleman – frequências naturais.

Fonte: Elaborado pela autora.

Um fato importante a ser observado na Figura 7.10 é que, para Ω = 0 𝑟𝑝𝑚, as frequências naturais que originam as componentes de precessão direta e retrograda, quando o aerogerador entra em operação, diferem ligeiramente entre si em flapwise, o que é um indicativo da presença de uma leve anisotropia no sistema.

De forma geral, a anisotropia de um rotor pode ser causada por irregularidades no processo de produção dos componentes do aerogerador, pelo depósito de material nas pás (gelo, p. ex.) e até por uma falha no sistema de controle (ângulos de pitch diferentes das pás, p. ex.). Além disso, a anisotropia pode ser oriunda de condições externas, como a ação da força

112

gravitacional e o fluxo de vento assimétrico, pelo yaw da nacele e pela inclinação do terreno (SKJOLDAN, F, 2011).

Como parâmetro de comparação apresenta-se, na Figura 7.11, o Diagrama de Coleman obtido por Hansen (2007), referente ao aerogerador Bonus 600kW. A semelhança entre os resultados apresentados nas Figuras 7.10 e 7.11 é evidente.

Analisando a Figura 7.10 percebe-se que as frequências naturais mais baixas, correspondentes aos modos de vibrar de torção do trem de potência e de flexões longitudinal e lateral da torre, praticamente independem da velocidade angular do rotor. Destaca-se que a primeira frequência natural do sistema é igual a zero uma vez que se trata de um sistema semi- definido.

Figura 7.11 Diagrama de Coleman para Bônus 600kW

Fonte: Adaptado de Hansen, 2007.

No que diz respeito às primeiras frequências flapwise do rotor, ao observar os resultados apresentados por Hansen (2007) e mostrados na Figura 7.11, nota-se que as frequências de precessão direta e retrograda se abrem mantendo uma distância de ±Ω entre a linha média entre

113

elas, enquanto a frequência flapwise simétrica tem seu valor inicial acima dessas frequências associadas aos modos de precessão. Esse comportamento ocorre devido ao fato de que a frequências flapwise em precessão direta e retrograda interagem de forma diferente entre si com os subsistemas da nacele e da torre (BIR, 2008). No modelo estrutural utilizado neste trabalho, cujo Diagrama de Coleman é apresentado na Figura 7.10, a frequência flapwise simétrica está localizada entre as duas frequências flapwise de precessão e acompanha, quase que perfeitamente, a linha média entre as frequências flapwise de precessão direta e retrógrada.

Isto pode ser explicado lembrando-se que o modelo do trem de potência aqui adotado é bastante simplificado, pois não possui graus de liberdade transversais ao eixo do rotor, somente os graus de liberdade torcionais. Assim, entende-se que os acoplamentos que envolvem a precessão acabam sendo penalizados e, por esse motivo, as frequências de precessão direta e retrograda de flapwise do rotor interagem de forma idêntica com o resto do sistema, fazendo com que o rotor apresente o mesmo comportamento que apresentaria se fosse tratado como um rotor isolado (BIR, 2008).

As frequências de edgewise do rotor também apresentam formas similares nos diagramas ilustrados nas Figura 7.10 e 7.11, exibindo uma abertura de ±Ω a partir da linha média entre as frequências de precessão direta e retrógrada. Destaca-se que o aumento deste valor médio com o aumento da rotação se deve ao aumento da rigidez nas direções flapwise e

edgewise.

A Figura 7.12 ilustra os Diagramas de Coleman com os valores de razão de amortecimento modal. Percebe-se que os valores de razão de amortecimento são positivos para toda faixa de operação, representando movimento estável do aerogerador.

Nota-se que os modos característicos de flexão longitudinal e lateral da torre são os mais amortecidos com 𝜉 ≅ 1,9%. Isso ocorre uma vez que a torre é o elemento que possui maior amortecimento entre os componentes estudados nesse trabalho. Ainda, o amortecimento longitudinal da torre decresce para valores de rotação acima de 15 rpm. Os modos característicos do rotor possuem fator de amortecimento abaixo de 0,6%, o qual aumenta conforme aumenta também a velocidade de operação do aerogerador. Verifica-se esse comportamento para todos os demais modos do rotor, exceto os de precessão direta.

114

Figura 7.12 Diagrama de Coleman – razão de amortecimento.

Fonte: Elaborado pela autora.

O modelo estrutural utilizado nesta dissertação não inclui a parcela de amortecimento aerodinâmico e, desta forma, não é possível realizar análises mais aprofundadas a respeito da possível ocorrência de zonas de instabilidade. Ademais, a análise de estabilidade do aerogerador foge do escopo desse trabalho.

As frequências naturais calculadas para o aerogerador parado foram comparadas com os resultados obtidos através dos programas FAST e ADAMS, disponíveis no relatório técnico de Jonkman et al. (2009). Estes valores estão mostrados na Tabela 7-3.

115

Tabela 7-3 Frequências naturais do aerogerador parado

MODOS AUTOR [Hz] FAST [Hz] ADAMS [Hz]

1º Flexão longitudinal da Torre 0,3341 0,3240 0,3195

1º Flexão lateral da Torre 0,3390 0,3120 0,3164

1º Flapwise Assimétrico B 0,6673 0,6664 0,6296

1º Flapwise Simétrico A 0,6690 0,6675 0,6686

1º Flapwise Assimétrico A 0,6876 0,6993 0,6993

1º Edgewise Assimétrico B 1,0718 1,0793 1,0740

1º Edgewise Assimétrico A 1,0805 1,0898 1,0877

Fonte: Elaborado pela autora.

Analisando os dados apresentados na Tabela 7-3 conclui-se que, considerando que o sistema completo foi idealizado com apenas 13 graus de liberdade, os resultados obtidos são muito bons. Isto implica, consequentemente, que a idealização do sistema foi realizada de forma adequada.

A fim de auxiliar na visualização dos modos de vibrar do aerogerador, pelo menos em Ω = 0𝑟𝑝𝑚, apresenta-se, nas Figuras 7.13 a 7.20, os modos obtidos neste trabalho e aqueles apresentados por Ramamurthy (2011).

7.4 Modelagem da Excitação Turbulenta

Embora seja possível gerar o campo de velocidades em 3 dimensões, conforme apresentado na seção 4.2, a conicidade das pás foi negligenciada e, portanto, como entrada são necessários apenas dados nas 2 dimensões que definem o plano do rotor. O campo de amostras de velocidade turbulenta é apresentado na Figura 7.21.

116

Figura 7.11 Segundo modo de torção do trem de potência

117

Figura 7.14 Primeiro modo de flexão longitudinal da torre

118

Figura 7.15 Primeiro modo de flexão lateral da torre.

119

Figura 7.16 Primeiro modo flapwise assimétrico do rotor

120

Figura 7.17 Segundo modo flapwise assimétrico do rotor

121

Figura 7.18 Primeiro modo flapwise simétrico do rotor.

122

Figura 7.19 Primeiro modo edgewise assimétrico do rotor.

123

Figura 7.20 Segundo modo edgewise assimétrico do rotor

124

Figura 7.12 Campo de velocidade turbulenta (pontos amostrais).

Fonte: Elaborado pela autora.

Devido à amostragem rotacional discutida na seção 6.6, são gerados dados do campo de velocidades apenas nos pontos que serão ocupados pelas pás e nos respectivos instantes em que isso ocorrerá. Assim, na Figura 7.21, tem-se que o número de amostras na direção radial representa a discretização da pá (o raio do círculo é o comprimento das pás) e o número de mostras na direção circunferencial é a discretização espacial do movimento das pás em torno do eixo principal do rotor. Em função da amostragem rotacional, esta discretização espacial está diretamente associada à discretização temporal dos dados do campo de velocidades gerado.

Como citado anteriormente no Capítulo 6, o modelo de turbulência apresentado neste trabalho segue a norma IEC 61400 3ª edição (BSI STANDARDS PULICATION - WIND ENERGY GENERATION SYSTEMS, 2019)

A intensidade da turbulência exibida na Equação 6.1, depende da velocidade média do vento, 𝑈̅, e do desvio padrão. Para as direções longitudinal 𝑢 e lateral 𝑣 esses desvios são dados por:

125 𝜎𝑢 = 𝐼𝑈𝑈̅

𝜎_𝑣 = 0.8𝜎_𝑢} (7.1)

na qual 𝐼𝑈 é a intensidade de turbulência na direção longitudinal.

Utiliza-se neste trabalho o espectro de Kaimal que, de acordo com a norma IEC 61400, é dado por: 𝑆_𝐾(𝑓) = 4𝜎_𝐾2𝐿𝐾 𝑈̅ (1 +6𝑓𝐿𝐾 𝑈̅ ) 5 3 ⁄ (7.2)

na qual 𝑓 é a frequência cíclica e 𝐿_𝐾 é o comprimento de escala turbulenta (tradução livre). O subscrito 𝐾 indica a direção, que pode ser longitudinal (𝑢) ou lateral (𝑣). O espectro de Kaimal é ilustrado na Figura 7.22.

Figura 7.13 Espectro de Kaimal: 𝐼_𝑢 = 0,1 e 𝑈̅ = 15 𝑚/𝑠

126 O comprimento de escala turbulenta é dado por:

𝐿𝐾 = {

8,1Λ𝑢 , 𝐾 = 𝑢

2,7Λ_𝑢 , 𝐾 = 𝑣 (7.3)

sendo

Λ_𝑢 = {0,7 𝑚𝑖𝑛(60, 𝐻_ℎ𝑢𝑏) (7.4)

Vale destacar que o espectro de Kaimal apresentado por Veers (1998), dado pela Equação 6.9, difere ligeiramente daquele fornecido pela norma IEC 61400, descrito na Equação 7.2. A diferença está no fato de que, no segundo, não há dependência da altura da amostra no espaço e, portanto, todos os pontos amostrais no plano do rotor possuem o mesmo espectro direto. Na realidade, principalmente para rotores de grandes dimensões, esta diferença existe, mas, por ser pequena, ela foi desconsiderada pela norma.

Ainda segundo a norma IEC 61400, a coerência para o espectro longitudinal é dada por:

𝑐𝑜ℎ_𝑗𝑘 = 𝑒𝑥𝑝 (−𝐶√(𝑓Δ𝑟𝑗𝑘 𝑈̅ ) 2 + (0,12Δ𝑟𝑗𝑘 𝐿_𝑢 ) 2 ) (7.5)

na qual C = 12 e Δ𝑟_𝑖𝑗 é a distância espacial entre os pontos 𝑗 e 𝑘 (amostras turbulentas no plano de rotação).

A Equação 7.5 refere-se apenas à direção longitudinal. A norma IEC 61400 não especifica nenhuma coerência específica para direção lateral. Por esse motivo, esse trabalho adota a mesma prática utilizada por Jonkman e Kilcher (2012), na qual a coerência lateral é dada por uma matriz diagonal de 1.

As densidades espectrais de potência da parcela turbulenta resultante da aplicação da metodologia de Veers (1988), em conjunto com os parâmetros da norma IEC 61400, podem ser visualizadas nas Figuras 7.23 e 7.24, referentes às direções longitudinal e lateral, respectivamente.

127

Figura 7.14 PSD do vento turbulento longitudinal visto da perspectiva das pás

Fonte: Elaborado pela autora.

Figura 7.15 PSD do vento turbulento lateral visto da perspectiva das pás

128

Como já discutido na seção 4.2.5, o vento é composto de uma parcela média e uma parcela turbulenta. Existem duas formas principais de estimar o perfil de velocidade do componente médio em cada altura do ponto amostral de turbulência no plano de rotação do rotor: 1. o perfil feito através da lei de potência e 2. o perfil logarítmico.

O perfil de velocidade do componente médio estimado usando a lei de potência é dado por: 𝑈̅(𝐻) = 𝑈𝑅𝐸𝐹( 𝐻 𝐻_𝑅𝐸𝐹) 0.2 (7.7) enquanto o perfil logarítmico é expresso da seguinte forma:

𝑈̅(𝐻) = 𝑈_𝑅𝐸𝐹 ln(𝐻 𝑧⁄ )0 ln (𝐻𝑅𝐸𝐹

𝑧0

⁄ ) (7.8)

sendo 𝑈_𝑅𝐸𝐹 a velocidade média do vento na altura 𝐻_𝑅𝐸𝐹 e H é a altura na qual deseja-se calcular a velocidade média. A Figura 7.25 ilustra estes dois perfis de velocidade de vento médio.

Figura 7.16 Perfis de velocidade de vento médio.

129

Nas simulações realizadas, a altura de referência escolhida foi a altura do hub, ou seja, 𝐻_𝑅𝐸𝐹 = 𝐻₀, e o perfil de velocidade média adotado é o mesmo utilizado por Jonkman e Kilcher (2012) para pontos nas pás: perfil estimado através da lei de potência. A velocidade de referência adotada para o vento longitudinal é de 𝑈_𝑅𝐸𝐹 = 15 𝑚/𝑠 e a média para o vento lateral é, por definição, igual a zero.

As Figuras 7.26 e 7.27 apresentam os históricos temporais de vento contendo as componentes média e turbulenta, nas direções longitudinal e lateral, respectivamente.

Figura 7.17 Velocidade de vento turbulento longitudinal com 𝐼_𝑢 = 0,1 e 𝑈_𝑅𝐸𝐹 = 15 𝑚/𝑠

130

Figura 7.18 Velocidade de vento turbulento lateral com 𝐼_𝑢 = 0,1 e 𝑈_𝑅𝐸𝐹 = 15 𝑚/𝑠.

Fonte: Elaborado pela autora.