10. Processamento de sinais 145
10.6. Análise de circuitos
+ Z1 − + Z2 − + −
V1(t) V2(t)
Z1 + Z2 V1(t) + V2(t)
I(t) I(t)
Figura 10.6.:Associação de impedâncias em série e sistema equivalente.
Se os dois dispositivos estiverem ligados em paralelo, como no caso da figura10.7, em qualquer instante a diferença de potencial será a mesma nos dois dispositivos e a corrente total no sistema será a soma das correntes nos dois dispositivos. Isso, junto com a lei de Ohm generalizada, permite-nos concluir que o sistema pode ser substituído por um único dispositívo com impedância:
Zparalelo= Z1Z2
Z1+Z2 (10.35)
+ Z1 −
Z2 V(t)
I1(t)
I2(t)
+ −
Z1Z2 / (Z1 + Z2) V(t)
I1(t) + I2(t)
Figura 10.7.:Associação de impedâncias em paralelo e sistema equivalente.
10.6. Análise de circuitos
Os circuitos com fontes de tensão variável podem ser analisados usando os mesmos métodos usados nos capítulos sobre resistência e circuitos de corrente contínua. Em vez das forças eletromotrizes das fontes usaremos as transformadas de Laplace das tensões, em vez dos valores das resistências usaremos as expressões das impedâncias e usando a lei de Ohm generalizada poderemos calcular as transformadas de Laplace das correntes.
O exemplo a seguir usa um método semelhante ao que foi usado para resolver o exemplo 3.2no capítulo sobre resistência.
Exemplo 10.2
No circuito da figura, calcule as transformadas de Laplace das tensões e correntes em cada um dos 3 dispositivos, em função da transformada da tensão de entrada,V˜e. Encontre as expressões para essas tensões e correntes, em função do tempo, no caso particular em que a fonte tenha uma tensão contínuaε.
3.6 µF
2.5 kΩ 7.2 H
Ve
+ −
Resolução. O primeiro que convém fazer é escolher um sistema de unidades que facilite os cálculos numéricos. Para todas as impedâncias (resistências) usaremos kΩe para as capacidadesµF; isso implica que teremos que usar ms como unidade de tempo e H como unidade de indutância. Se usarmos V para as tensões, então as correntes estarão em mA.
Com esse sistema de unidades, as impedâncias do condensador, da resistência e do indutor são: 1/(3.6 s), 2.5 e 7.2sondesserá medida em kHz. A resistência e o indutor estão em série, podendo ser combinados numa única impedância com valor:
7.2s+2.5=7.2
s+ 1 2.88
Repare que a última simplificação é uma questão de gosto, para trabalharmos com contantes de tempo e neste caso 2.88=7.2/2.5 é a constante de tempo para esse segmento do circuito.
Assim o circuito original é equivalente ao seguinte circuito com dois elementos em paralelo:
1 / (3.6s)
7.2 (s + 1/2.88)
Ve
+ −
Nos dois elementos em paralelo a tensão é a mesma, igual à tensãoVe. Assim, a transfor-mada da corrente que passa através do condensador é:
I˜C= V˜e
ZC =3.6sV˜e
E a transformada da corrente através da resistência e do condensador é:
I˜R=I˜L= V˜e
ZRL = V˜e 7.2(s+1/2.88) As transformadas das tensões na resistência e no indutor são:
V˜R=RI˜R= V˜e
2.88s+1 V˜R=ZLI˜R= sV˜e s+1/2.88
10.6 Análise de circuitos 159
ondeδ(t)é a função delta de Dirac (impulso unitário). Repare que a corrente é infinita em t=0 e nula em outros instantes, mas o integral da corrente é igual à carga armazenada no condensador, 3.6ε. Esta solução é apenas uma aproximação, admitindo que a resistência das armaduras do condensador é nula; na realidade essas armaduras terão uma pequena resistênciar, a tensão não aumentará instantaneamente atéε mas demorará um tempo pequeno da ordem derCe a corrente não será realmente infinita, mas sim muito elevada num pequeno intervalo de tempo da ordem derC.
Na resistência:
nomeadamente, a tensão aumenta exponencialmente, desde zero atéε volt, e a corrente aumenta exponencialmente, desde zero atéε/2.5 mA.
No indutor:
IL=IR=0.4ε
1−e−t/2.88
VL=ε−VR=εe−t/2.88
assim, a tensão decresce exponencialmente desde ε volt até 0 e a corrente aumenta exponencialmente desde 0 atéε/2.5 mA.
Os resultados obtidos no exemplo anterior, no caso em que a tensão de entrada for contínua, podem ser corroborados tendo em conta que, para tensões constantes, após um tempo sufi-cientemente elevado, um condensador comporta-se como um circuito aberto (impedância infinita porque a frequência é nula) e um indutor como um curto circuito (impedância nula porque a frequência é nula).
Assim, a corrente no condensador deverá aproximar-se de 0 e a tensão deε. No indutor e na resistência a corrente deverá aproximar-se deε/2.5; a tensão na resistência aproxima-se paraε e no indutor para 0.
O método usado para resolver o exemplo anterior também pode ser usado para calcular funções de resposta e equações diferenciais dos circuitos, como veremos no exemplo seguinte.
Exemplo 10.3
Encontre a função de transferência e a equação diferencial do circuito representado no diagrama.
+ −
R
C L
Ve
+ −
V
Resolução. A impedância total do segmento onde está a ser medida a tensãoV é:
ZLC= 1
C s+L s= L s2+1/C s
e a impedância total do circuito éZLC+R. A transformada da corrente no circuito é:
I˜= sV˜e L s2+R s+1/C Assim, a transformada da tensão de saída é:
V˜ =ZLCI˜= L s2+1/C L s2+R s+1/CV˜e e a função de transferência é:
H˜ = s2+1/(tCtl) s2+s/tL+1/(tCtL)
ondetC=RCetL=L/R. O denominador de ˜Hé o polinómio caraterístico da equação do circuito e o numerador, multiplicado por ˜Veé a transformada do lado direito da equação;
portanto, a equação diferencial do circuito é:
V00+V0 tL + V
tCtL =Ve00+ Ve tCtL
10.6 Análise de circuitos 161
Perguntas
1. A equação diferencial de um circuito é:
3V00−2V0+V =2Ve0. Qual das seguin-tes funções representa a função de res-posta do circuito?
2. A função de transferência de um filtro é:
H(s) =˜ s+10 2−s
Calcule a expressão para o sinal de saída V(t) quando o sinal de entrada forVe(t) = e−t.
3. No circuito do diagrama, sabendo que a corrente através do indutor éI(t) = e−2t (em mA se o tempo estiver em ms), cal-cule a corrente através da resistência, em função do tempo.
4. Uma resistência com valor R, um con-densador com capacidadeCe um indutor com indutância L estão ligados em pa-ralelo entre dois pontos de um circuito.
Calcule a impedância equivalente desse sistema em paralelo.
5. Quando a entrada num circuito é a tensão contínuaVe=5, a saída é 2.5(1−e−2t).
Se no mesmo circuito a entrada for 5 e−t qual será a saída?
1. Uma resistência de 3 kΩe um condensador de 5 nF estão ligados em série a uma fonte com tensãoVe(t) =2−2t, entret=0 et=4, eVe(t) =0 nos outros instantes (tmedido emµs eVe em V). Calcule a corrente no circuito em qualquer instantet>0.
2. O circuito na figura é umatenuador inversor(repare na posição dos sinais positivo e negativo da saída). (a) Encontre a equação do circuito. (b) Calcule a função de transferência. (c) Explique a designação de atenuador inversor.
−
3. Para o circuitoLRna figura: (a) Encontre a função de transferência. (b) Calcule a tensão V(t)no caso em que o sinal de entrada for uma fonte de tensão contínua com força eletromotrizVe=ε. (c) Desenhe o gráfico do sinalV(t)calculado na alínea anterior.
+
4. No circuito da figura: (a) Calcule a impedância total, em função de s. (b) Calcule a transformada da corrente que passa pelo indutor. (c) Se a tensão de saída for medida no condensador, encontre a função de transferência. (d) Escreva a equação diferencial para a tensão de saída.
5. O circuito na figura é denominadofiltro passa-baixo. Escreva a equação que relaciona o sinal de saída com o sinal de entrada. Encontre a função de transferência do sistema e determine o sinal de saída quando o sinal de entrada for o que está indicado no lado direito da figura. Explique porque este circuito é designado de filtro passa-baixo.
+