11. Circuitos de corrente alternada 163
11.7. Ressonância
R(ω) = itC1ω
(1+itC1ω)(1+itC2ω) (11.36) onde as constantes de tempo sãotC1 =R1C1etC2=R2C2
O filtro passa-alto atenuará as frequências angulares menores queω1=1/tC1e o filtro passa-baixo atenua as frequências angulares maiores queω2=1/tC2. Se usarmos condensadores e resistências com valores que verifiquemω1<ω2, o filtro atenuará as frequências fora da banda compreendida entreω1 eω2, deixando passar as frequências angulares na banda [ω1,ω2]. Esse tipo de filtro é designadopassa-banda. A figura11.10mostra o módulo da função resposta de frequência para o casoω1=2,ω2=4.
Um filtro ideal deveria ter uma função de resposta nula, para as frequências que se pretende eliminar, e 1 nas outras frequências. Com circuitos mais complicados consegue-se obter filtros mais próximos do comportamento ideal. Outro fator a ter em conta é a resposta transitória, que temos ignorado por ser nula após algum tempo; num filtro de boa qualidade, esses sinais transitórios deveriam ter um tempo de decaimento muito curto.
11.7. Ressonância
A reatância equivalente num circuito varia com a frequência. Se o circuito inclui conden-sadores e indutores, a reatância será uma função da frequência. Quando a retância for elevada, o módulo da impedância será elevado e o fator de potência baixo. Isso implica corrente máxima e potência média muito baixas. Nas frequências em que a reatância for menor, o módulo da impedância será menor e a potência dissipada maior.
Em alguns casos (indutores em série com condensadores) poderá existir uma frequência intermédia, para a qual a reatância equivalente é nula. Nesse caso o módulo da impedância será mínimo, o fator de potência será máximo (cosϕ=1) e as fases da tensão e da corrente serão iguais (fasores na mesma direção e sentido). Quando isso acontece, diz-se que a tensão de entrada está emressonânciacom o circuito. A frequência para a qual a reatância é nula é um valor caraterístico do circuito, designado defrequência de ressonância.
Exemplo 11.3
Calcule a frequência de ressonância do circuito e a potência média máxima que pode fornecer uma fonte com tensão máximaV0.
2 pF
3 MΩ
8 H Ve
Resolução. Com a resistência em MΩe a capacidade em pF, convém usar µs para a unidade de tempo e, portanto, MHz para a frequência e H para a indutância.
A impedância total do circuito será a soma das 3 impedâncias:
Z=3+i 8ω− i
2ω =3+i
8ω− 1 2ω
8ω− 1
2ω =0 =⇒ ω = 1
4 =⇒ f = ω
2π =0.0398
No sistema de unidades que estamos a usar, a frequência de ressonância é f =0.0398 MHz
=39.8 kHz.
Se a fonte tivesse essa frequência, teríamosZ=3 MΩ, corrente máximaI0=V0/3µA e potência média máximahPi=V0I0/2=V02/6 (µW, seV0estiver em volts).
No circuito do exemplo anterior, a tensão de entrada carrega e descarrega o condensador.
Inicialmente, a carga no condensador oscila com a frequência de oscilação da tensão na fonte; mas quando a carga no condensador for elevada, a diferença de potencial do condensador poderá contrariar a tensão da fonte, impedindo a entrada de mais carga.
A situação é semelhante a uma massa pendurada de uma mola elástica, na qual atua outra força externa que tenta manter a massa oscilando para cima e para baixo. Se a força externa não oscilar com a mesma frequência própria de oscilação da mola elástica, haveria momentos em que a força externa está a tentar fazer subir a massa, enquanto a mola elástica empurra em sentido oposto.
No caso do circuito, se a fonte não existisse mas o condensador tivesse uma carga inicial, começaria a descarregar, produzindo uma corrente. No momento em que o condensador descarrega completamente, o indutor faz com que a corrente persista por alguns instantes, recarregando o condensador com cargas de sinais opostos à carga inicial. O ciclo repete-se, com uma frequência própria do circuito. No entanto, a resistência faz com que em cada ciclo a carga do condensador seja menor, até acabar por desaparecer (equilíbrio estável).
Existe ressonância quando a fonte oscilar com a mesma frequência própria do circuito.
Se quando a frequência da fonte fosse a frequência de ressonância a resistência fosse nula, Zseria nula, e aparentementeI0=V0/Zseria infinita. No entanto, a corrente não aumenta instantaneamente até esse valor, mas aumenta gradualmente com as oscilações da carga no condensador. Quando essa carga máxima se tornar muito elevada, ocorrerá a ruptura do dielétrico no condensador ou a corrente elevada acabará por queimar o indutor.
11.7 Ressonância 179
Perguntas
1. No circuito representado no diagrama, I1(t) =cos(ωt+2π/3) re-sistência de 1166Ωestão ligados em sé-rie a uma fonte de tensão alternada com frequência de 50 Hz e tensão máxima de 325 V. Calcule a corrente eficaz na resis-tência. resis-tência de 1166Ωestão ligados em série a uma fonte de tensão alternada de 50 Hz.
Podemos concluir que a tensão da fonte estará:
A. Adiantada 90◦em relação à corrente.
B. Adiantada 45◦em relação à corrente.
C. Atrasada 90◦em relação à corrente.
D. Atrasada 45◦em relação à corrente.
E. Em fase com a corrente.
4. Qual das afirmações seguintes é verda-deira, em relação a uma bobina de 2 mH e um condensador de 5 pF?
A. A reatância da bobina é menor.
B. A reatância do condensador é menor.
C. Se a corrente for contínua, a reatância da bobina é menor.
D. Se a corrente for contínua, a reatância do condensador é menor.
E. Se a corrente for contínua, a reatância dos dois dispositivos é nula.
5. Num circuitoRLCde corrente alternada, em série, quando a reatância equivalente for nula, qual das seguintes afirmações é verdadeira:
A. A impedância é nula.
B. O fator de potência é nulo.
C. O ângulo de desfasamento é nulo.
D. A corrente é nula.
E. A tensão é nula.
Problemas
1. A resistência de uma bobina é 150Ωe a sua indutância é 1.4 H. A bobina é ligada à rede elétrica com tensão máxima 325 V e frequência de 50 Hz. Encontre a expressão para a corrente na bobina em função do tempot.
2. Nos dois circuitos representados na figura, calcule a corrente e a tensão em todos os elementos do circuito.
3 kΩ 3 kΩ
2 H 2 H
1 µF
1 µF
(a) (b)
170 V 60 Hz
325 V 50 Hz
Figura 11.11.:Problema2.
3. Uma bobina, com indutância de 36 mH e resistência de 40Ω, liga-se em paralelo com um condensador de 32 nF e com uma fonte de tensão alternadaV(t) =345 cos(150πt) (em volts, e o tempot em segundos). Calcule: (a) A corrente máxima na bobina. (b) A corrente eficaz no condensador. (c) A potência média dissipada na bobina.
4. A figura mostra um filtrorejeita-bandaque rejeita as frequências angulares próximas de 1 kHz. (a) Calcule a função de respostaR(ω) do circuito. (b) Mostre que para ω =1 kHz,R(ω)é igual a zero. (c) Calcule o módulo deR(ω)e desenhe o seu gráfico paraω entre 0 e 2 kHz.
+
−
Ve 1 kΩ V
10 µF
100 mH
+
−
Figura 11.12.:Problema4.
5. Num segmento de um circuito de corrente alternada a tensão é 24 cos(πt/10+1.5) (em volt, set estiver em milissegundos) e a corrente é 8 cos(πt/10+2.0)(µA, com t em ms). (a) Calcule a resistência e reatância desse segmento. (b) O segmento do circuito avariou e pretende substituí-lo com resistências, condensadores ou indutores, mas o seu orçamento só lhe permite comprar dois dispositivos. Quais dispositivos devia comprar, com que valores, e como deviam ser ligados no circuito?
11.7 Ressonância 181 6. A figura mostra a tensão e a corrente num condensador. A corrente é causada pela tensão: se não houvesse tensão elétrica, não existia corrente. Como se explica então que no instantet =0 a corrente seja diferente de zero se a tensão é nula?
t V0
−V0 I0
−I0
V I
Figura 11.13.:Problema6.
7. A figura mostra o ecrã de um osciloscópio onde aparecem a tensão e a corrente num elemento de um circuito. As distâncias L e d foram medidas diretamente no ecrã, obtendo-se os valoresL=6 cm,d=1 cm. O osciloscópio também permite determinar que a tensão máxima éV0=36 V e a corrente máxima éI0=12 mA. Com esses dados, calcule a parte real e a parte imaginária da impedância do elemento do circuito.
x y
L V0 I0 d
Figura 11.14.:Problema7.