A primeira questão tinha como objetivo uma autoanálise sobre o envolvimento e participação do aluno nas aulas da disciplina Introdução à Análise Real. De acordo com as respostas, os alunos se deram notas de 7 a 9, justificando uma boa participação nas aulas e nas atividades, mas justificando que sempre é possível fazer mais.
Quanto à importância das demonstrações rigorosas em Matemática para um Professor de Matemática que vá atuar somente nos Ensinos Fundamental e Médio, todos foram unânimes em reafirmar a importância, justificando que as demonstrações trazem amadurecimento dos conteúdos matemáticos e, consequentemente, trazem segurança para ensinar e ainda afirmaram que o professor precisa ter uma formação completa, independente do nível de ensino em que irá atuar.
Em relação às dificuldades manifestadas ao longo do curso de Matemática, observamos algumas respostas repetidas, como por exemplo, dificuldades com o conteúdo de sequências numéricas na própria disciplina Introdução à Análise Real.
Já a grande maioria generalizou as dificuldades, remetendo-as às demonstrações e provas e chegaram a citar a disciplina Estruturas Algébricas, quando começaram a ter contato com esse tipo de raciocínio, afirmando inclusive que a linguagem matemática foi de difícil compreensão.
Um aluno afirmou ter dificuldade com os limites de funções, especialmente quando falávamos em infinito.
Especificamente em relação à disciplina Introdução à Análise Real, observamos que todos os participantes da pesquisa a consideraram importante para o seu desenvolvimento pessoal e para a superação das dificuldades. Vamos destacar algumas respostas:
Sim, contribuiu muito; em limite, por exemplo, eu não sabia nem a definição, agora eu sei, sei até demonstrar. E também na parte de lim → ( ) = ∞, agora sei o que isso significa. (A4)
Sim, pois na disciplina de Introdução à Análise Real, foi onde eu pude realmente conhecer a Matemática e gostar mais do curso, pois Matemática não é só fazer contas, mas sim demonstrá-las, o que me deixou fascinada e fez com que eu pudesse dar sentido ao conhecimento superficial que já tinha. (A8)
A quarta questão se referiu às dificuldades durante a realização das atividades. Os alunos mencionaram dificuldades em relação à primeira atividade, porque chegaram à
conclusão que não sabiam limites de funções. Dois alunos relataram a dificuldade na leitura e interpretação de gráficos; outro aluno relatou a dificuldade com as notações e dois alunos relataram dificuldades com a demonstração na Atividade II.
Na quinta questão, perguntamos se a realização das atividades contribuiu para uma ressignificação dos conhecimentos dos alunos em relação a limites e em que aspectos ou tópicos do conteúdo. Vamos destacar algumas respostas.
Em Cálculo I passamos por limite, mas muito superficial, sem ao menos compreender a ideia do que é limite, somente agora em Análise Real ficou claro a definição, até mesmo visualizá-lo em um gráfico, coisa que particularmente meses atrás eu não sabia. (A5)
Sei que ainda tenho que aprender muito, mas com Análise Real muitos conceitos de limite já estão claros: a definição de limite, limites laterais, leituras de gráficos, limites tendendo ao infinito... (A7)
Na última questão, perguntamos se eles tinham alguma sugestão de mudança ou acréscimo nas atividades ou na sua forma da realização, visando sua real aplicação didática. Em geral, os alunos não apresentaram sugestões, afirmando que aprenderam muito da maneira com que as aulas foram trabalhadas. Apenas o aluno A7 sugeriu que o tópico de limites de funções fosse trabalhado na disciplina Cálculo I como o foi em Introdução à Análise Real.
Percebemos que, de acordo com as respostas dos alunos, houve um avanço constatado por eles próprios na construção das imagens conceituais acerca de limites. Percebemos também, uma satisfação geral com a aprendizagem e, principalmente, com a superação das dificuldades.
Como conclusão do nosso trabalho, passamos a elencar algumas considerações de nossa pesquisa.
Considerações Finais
Entendemos que a aprendizagem é o ‘motor’ do desenvolvimento profissional e da mudança. Aprender é alterar / ampliar / rever / avançar em relação aos próprios saberes, à própria forma de aprender e à prática pedagógica.
Ana Cristina Ferreira
Quando pensamos em toda essa caminhada que foi trilhada para chegarmos a este ponto, assim a fizemos porque acreditamos no poder que a educação tem para transformar vidas, para transformar pessoas e que o ato de aprender / ensinar é um processo fascinante, mas que exige esforço, dedicação e, consequentemente, demanda pesquisa; neste caso, a pesquisa da própria prática.
De maneira mais específica, a motivação para este trabalho nasceu de nossa experiência discente e docente, das nossas inquietações em relação ao ensino e à aprendizagem de Cálculo e Análise.
De modo mais restrito, focamos nossa atenção no estudo de limites de funções reais e, para tanto, elaboramos a questão norteadora do nosso trabalho. Consideramos oportuno retomá-la, pela última vez, para que possamos tecer nossas considerações finais:
Como uma proposta de ensino, baseada nas imagens conceituais, relacionadas ao conceito de limite de uma função, (re)construídas por alunos do curso de Licenciatura em Matemática, após cursarem Análise Real, pode contribuir para a aprendizagem desses alunos?
Para tentarmos responder a esta questão, inicialmente elaboramos algumas tarefas que julgamos necessárias. Agora voltamos a elas para verificar de que forma ou em que medida, foram cumpridas, a partir das diretrizes metodológicas traçadas para a condução da pesquisa.
A primeira tarefa consistia em uma discussão dos ensinos de Cálculo e de Análise, no contexto da Educação Matemática no Ensino Superior. Sendo assim, fizemos uma reflexão sobre o ensino desses assuntos, apresentando nossas inquietações.
Após a introdução do trabalho, a partir dessas reflexões, consideramos importante uma discussão mais profunda sobre limites de funções; para tanto, buscamos uma construção histórica do conceito de limite, perpassando o Cálculo até chegar à Análise, cientes da magnitude dessa tarefa se fosse tomada como objetivo principal de um trabalho de pesquisa. Entretanto, limitamo-nos a discutir os tópicos que julgamos pertinentes ao nosso trabalho.
Em seguida, apresentamos alguns trabalhos que discutiam o ensino de limites e os obstáculos de aprendizagem, destacando os trabalhos de Cornu (1991) e Sierpinska (1985), o que resultou no Capítulo 1 desta dissertação.
Ainda buscamos uma discussão sobre o pensamento matemático avançado e as noções de imagem conceitual e definição conceitual, tão relevantes para a nossa pesquisa, o que gerou o Capítulo 2.
Destacamos que, à medida que refletíamos sobre os ensinos de Cálculo e Análise, no contexto da Educação Matemática no Ensino Superior, consideramos importante estreitar essa discussão para podermos esmiuçar o conceito de limites de funções e as noções de imagem conceitual e definição conceitual que consideramos pontos centrais deste trabalho.
A partir dessas reflexões, foi possível constatar a difícil natureza do conceito de limite e também as dificuldades presentes na ação pedagógica quando se trata desse conceito, bem como a importância da pesquisa em relação ao pensamento matemático avançado e seus progressos nas últimas décadas. Ainda dentro dessa perspectiva, destacamos os trabalhos de Tall (1991) e Tall e Vinner (1981) que muito contribuíram para que pudéssemos vislumbrar as atividades que elaboramos para a pesquisa e também para que pudéssemos traçar uma ação pedagógica no trabalho com limites, cientes da importância de compreender as imagens conceituais e definições conceituais trazidas pelos alunos e o valor dessas noções para os processos de ensino e aprendizagem, de uma forma geral.
A segunda tarefa da pesquisa consistia na apresentação da abordagem do conceito de limite em alguns livros didáticos de Cálculo e Análise utilizados em cursos de Licenciatura em Matemática. Para a realização dessa tarefa, fizemos uma pesquisa documental em algumas universidades mineiras, já citadas anteriormente, buscando os planos de curso das disciplinas Cálculo I e Introdução à Análise Real (ou equivalentes).
Após este trabalho, identificamos os livros didáticos utilizados e escolhemos aqueles comuns às ementas das disciplinas citadas acima. A partir dessas escolhas, deparamo-nos com a tarefa de apresentar a abordagem do conceito de limite nos manuais didáticos, o que consideramos um passo importante nessa pesquisa, pois nos permitiu ampliar nossos saberes em relação à forma de apresentação do conteúdo, bem como uma percepção acerca das contribuições de cada um para a construção da imagem conceitual e da definição conceitual dos alunos, uma vez que o manual didático possui um papel importante na formação dos estudantes, por se tornar uma indispensável fonte de consulta.
Percebemos que os manuais didáticos de Cálculo que foram analisados apresentam a definição formal de limite por meio da utilização da linguagem “epsilônica”; apenas um deles o faz de maneira mais rigorosa, os outros apresentam uma linguagem um pouco mais intuitiva. Quanto aos manuais didáticos de Análise, percebemos, de uma maneira geral, que seus autores consideram que o conceito de limite já foi construído pelos estudantes, uma vez que não há uma preocupação com a retomada deste conceito, a partir de exemplos e/ou gráficos, conforme já discutimos; há apenas a apresentação da definição formal do conceito de limite, seguida da demonstração das propriedades.
A terceira tarefa foi a elaboração de um conjunto de atividades didáticas, baseadas nas imagens conceituais relacionadas ao conceito de limites de funções reais de uma variável. Estas se destinam a disciplinas de Fundamentos de Análise Real em cursos de Licenciatura em Matemática, com vistas à elaboração de um Produto Educacional exigência do curso de Mestrado Profissional em Educação Matemática.
A realização dessa tarefa se constituiu em dois momentos. O primeiro momento foi a pesquisa teórico-bibliográfica que contribuiu e nos direcionou para a elaboração da Atividade I (Pós-Cálculo) e o segundo momento foi a pesquisa de campo, na qual tivemos a oportunidade de implementar a Atividade I e, além disso, permitiu-nos também realizar um trabalho didático com o tópico de limites de funções reais para, a partir daí, elaborar e implementar a Atividade II (Pós-Análise).
À guisa de conclusão, apresentamos agora, algumas considerações que intentam responder, num certo sentido, nossa questão de investigação, ou seja, elencar algumas contribuições de uma proposta de ensino, baseada nas imagens conceituais dos alunos.
1. A contribuição para o Professor de Análise entender e situar o momento e a aprendizagem de seus alunos
Como já havíamos discutido, as relações entre professores e alunos, em torno do trabalho com os diversos conteúdos matemáticos, é fundamental, tanto para o sucesso como para o insucesso em uma disciplina (LACHINI, 2001). Também consideramos fundamental a reflexão e compreensão do papel de um determinado conteúdo na formação matemática dos alunos (REIS, 2001), especialmente o conceito de limite, tanto no Cálculo quanto na Análise.
A pesquisa mostrou que o trabalho com as imagens conceituais dos alunos permite a nós, professores, entender e situar o momento em que os alunos se deparam com o ensino de limites agora em Análise e avaliar a bagagem trazida do Cálculo. Os dados evidenciaram que os alunos perpassam todo o curso de Matemática, manifestando dificuldades com as demonstrações e desembocam em Análise, ainda com dificuldades na leitura e interpretação da simbologia matemática.
2. A contribuição para o Professor de Análise perceber a importância de identificar e ressignificar imagens conceituais equivocadas e/ou conflitantes
Como já havíamos discutido, há um grande descompasso entre calcular limites e entender seu significado (CORNU, 1991), que já pode ser percebido, ao longo do ensino de Cálculo. Especificamente, no caso de expressões como “tender a” e “ter limite”, a diferença de significados, tanto para alunos quanto para professores, pode aflorar radicalmente no ensino de Cálculo e novamente no ensino de Análise (TALL e SCHWARZENBERGER, 1978).
A pesquisa mostrou que, a partir do trabalho com as imagens conceituais dos alunos, podemos perceber a importância de identificar eventuais imagens conceituais equivocadas que os alunos trazem, as quais podem gerar situações de conflitos, face uma nova possibilidade de aprendizagem. Os dados evidenciaram a necessidade de se ressignificar tais imagens relacionadas aos conceitos de limites, limites laterais, limites infinitos e no infinito.
3. A contribuição para o Professor de Análise reconhecer a necessidade de (re)construir imagens conceituais coerentes e que explorem elementos intuitivos
Como já havíamos discutido, questões como rigor e intuição precisam ser levadas em consideração pelos professores, quando se trata de processos de ensino e aprendizagem de conceitos que evocam um pensamento matemático mais elaborado (TALL, 1991). Por outro lado, destacamos a importância da intuição, em complementariedade ao rigor, na formação desse pensamento (REIS, 2009), tanto no Cálculo como na Análise.
A pesquisa mostrou a necessidade de uma (re)construção das imagens conceituais dos alunos, tornando-as coerentes, a partir de elementos intuitivos significativos, especialmente aqueles presentes nos aspectos gráficos. Os dados evidenciaram a possibilidade e os benefícios de se trabalhar com a análise de gráficos também em Análise, já que, tradicionalmente, esse trabalho é realizado somente em Cálculo.
4. A contribuição para o Professor de Análise trabalhar na perspectiva de se construir definições conceituais de acordo com as definições formais
Como já havíamos discutido, a definição conceitual, sendo uma forma de palavras utilizadas para especificar um conceito (TALL e VINNER, 1981), representa um elemento importante a ser considerado nos processos de ensino e aprendizagem de matemática, em geral. Por outro lado, consideramos fundamental, especialmente em Análise, o trabalho com a definição formal de limite (BARROSO e OUTROS, 2009) e sua significação.
A pesquisa mostrou o quão é relevante se trabalhar com as definições conceituais, especialmente oferecendo oportunidades aos alunos para que eles escrevam e falem sobre os conceitos. Os dados evidenciaram que, a partir dessas oportunidades, pode-se contribuir para uma evolução da escrita dos alunos com vistas a um processo de ressignificação das definições formais, tal como a definição “epsilônica” de limites.
5. A contribuição para o Professor de Análise repensar sua prática pedagógica e planejar suas ações
Como já havíamos discutido, o ensino de Análise tem se caracterizado como uma difícil tarefa (PINTO, 1998) que demanda dos professores uma reflexão sobre seus objetivos e metodologias. Também não se pode perder de vista, especialmente no planejamento da disciplina para o curso de Licenciatura em Matemática, que a Análise é
uma ponte entre a formalização dos conceitos e conteúdos que serão ensinados pelo futuro Professor de Matemática dos Ensinos Fundamental e Médio (BRITO, 2010).
A pesquisa mostrou a urgência de se pensar num ensino de Análise que privilegie a aprendizagem dos alunos e não somente a execução de uma sequência de definições, propriedades e teoremas consistentemente elaborada por autores de livros didáticos. Os dados evidenciaram quão relevante é um planejamento didático-metodológico realizado / implementado nessa perspectiva de um ensino para a aprendizagem.
6. A contribuição para o Professor de Análise incentivar uma postura mais crítica e ativa em seus alunos e, assim desmistificar o “horror” à Análise
Como já havíamos discutido, em geral, os alunos recorrem à memorização como forma de “sobrevivência” em Análise (PINTO, 2001), especialmente quando estão fracassando em produzir significados para a teoria formal. Também parece consenso que, no ensino de limite, os alunos se deparam com obstáculos de diversas naturezas relacionados ao infinito, às funções e até mesmo a fundamentos lógico-geométricos (SIERPINSKA, 1985).
A pesquisa mostrou que uma postura mais crítica e ativa dos alunos pode contribuir para a criação de uma nova sala de aula que se constitua num espaço de trabalho, no qual se podem estabelecer novas relações entre professor e aluno. Os dados evidenciaram que os participantes de nossa pesquisa reconheceram um desenvolvimento pessoal, a partir da superação de dificuldades, o que certamente corrobora para uma desmistificação da Análise como disciplina formadora de conceitos fundamentais, tais como números, funções e limites.
Finalmente, acreditamos que nossa pesquisa apresentou limitações e, por isso mesmo, não intenta ser conclusiva / definitiva. Diversos questionamentos permanecem ou até mesmo, foram reforçados.
Assim, esperamos retomá-los futuramente em outras pesquisas ou num Doutorado em Educação Matemática.
Outrossim, esperamos que o Produto Educacional oriundo dessa pesquisa, que por ora se encerra, seja útil para que Professores de Cálculo e Análise se convençam de que já tarda a necessidade de se repensar / ressignificar o seu ensino, visando a aprendizagem de seus alunos!
Referências
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