Análise dos Campos de Tensão das Vigas sem Fenda

Apresentam-se e analisam-se nesta secção os campos de tensão obtidos com elementos de deslocamento e com elementos de tensão para as duas vigas em estudo. Para além de comparar os resultados obtidos com cada um desses elementos, pretende-se enquadrá-los com o modelo de peça linear e analisar o efeito das forças concentradas.

Faz-se notar que os resultados adiante apresentados, nesta secção e nas seguintes, são determinados para valores unitários da carga aplicada, P, e do módulo de elasticidade, E. Relativamente aos campos de tensão representados, estes são obtidos directamente das soluções obtidas pelo Método dos Elementos Finitos, não se recorrendo a interpolações para melhorar a qualidade das representações. Sublinha-se, também, que não foi possível utilizar exactamente as mesmas escalas de cores na representação dos resultados obtidos com os elementos de deslocamento e de tensão.

8.4.1 Viga Simplesmente Apoiada

Os campos de tensão obtidos com elementos de tensão estão representados na Figura 8.10 a). De acordo com os números apresentados na Secção 8.2 e com a aproximação no domínio (7.1) escrita na forma (7.54), estes resultados são obtidos usando a malha definida na Figura 8.3 com NX265 graus de aproximação no domínio: Np261, Nc4, Nf 0. Quando se retiram os oito graus de liberdade associados ao deslocamento relativo na fenda, d_Γ3 na equação (7.53), obtém-se uma aproximação (7.2) dos deslocamentos na fronteira com Nq232 graus de liberdade. A dimensão do sistema (7.48) é portanto NN_XN_q 497 quando é resolvido na forma explícita, e seria N N_q

se se recorresse à condensação local na forma (6.17).

a) Elemento de tensão b) Elemento de deslocamento

Figura 8.10: Campos de tensão na viga simplesmente apoiada (xx,yy,xy)

Os campos representados na Figura 8.10 a) mostram que o efeito das forças concentradas é fortemente local. O decaindo das tensões que se verifica ocorre, de acordo com (3.45), com o inverso da distância de um ponto à origem do ponto de aplicação das forças concentradas.

Verifica-se também que as condições (2.4) a (2.6) definidas no Capítulo 2, não sendo impostas de uma forma forte em ambas as formulações, não resultam satisfeitas na integra.

Estes resultados para os campos de tensão podem ser usados para avaliar a validade das hipóteses em que se baseia a teoria das peças lineares.

Pode confirmar-se que não seria linear a variação da tensão axial, _xx, ao longo de uma secção, o que destrói a hipótese das secções planas se manterem planas. Acresce que a teoria das peças lineares também não poderia modelar a quebra de tensão que se verifica na secção a meio vão, imediatamente sob o ponto de aplicação da força. Todavia, seria para essa distribuição que os modelos em estudo tenderiam se se aumentasse a relação entre o vão da viga e a sua altura, a qual neste teste é apenas /L h 3.

No entanto, os resultados apresentados na Figura 8.10 a) confirmam uma outra hipótese da teoria das peças lineares. A menos das concentrações locais sob a força aplicada e as reacções de apoio, a componente _yy do campo de tensões é, de facto, praticamente nula em todo o domínio da viga. Verifica-se ainda que a força aplicada é transferida para os apoios por tensões de corte, sendo as duas bielas de transmissão claramente visíveis. No entanto, a distribuição da tensão tangencial,

xy

 , mostra que dificilmente seria recuperada a hipótese das peças lineares, de as tensões tangenciais variarem parabolicamente em cada secção transversal.

Estes resultados são recuperados utilizando elementos de deslocamento, como se mostra na Figura 8.10 b). Estes campos de tensão são obtidos com a malha mais refinada que foi testada, com 110.602 elementos CPS6M, envolvendo N444.446 graus de liberdade.

No entanto, quando se usa uma malha com um número de graus de liberdade da ordem do correspondente ao modelo de três elementos de tensão, isto é, com 54 elementos de deslocamento e

238

N  graus de liberdade, as estimativas que se obtêm para os campos de tensão são ainda muito pobres, como se ilustra na Figura 8.11, não podendo ser utilizadas num processo de modelação da fractura.

xx

 _yy

xy



Figura 8.11: Campos de tensão na viga simplesmente apoiada (elemento de deslocamento, N 238) Para o caso do elemento de deslocamento, apresentam-se na Figura 8.12 pormenores do campo de tensão na vizinhança do apoio fixo e do ponto de aplicação da força concentrada. Para além da variação linear do campo de tensões em cada elemento, é também visível a não satisfação, por parte da solução obtida, das condições de equilíbrio, no domínio e nas fronteiras exteriores e entre elementos, uma vez que não se verifica uma continuidade das tensões. Os pormenores do campo de tensão da Figura 8.12 permitem, também, verificar o elevado refinamento utilizado na malha de elementos de deslocamento.

a) Tensão _xx no apoio e no ponto de aplicação da carga

b) Tensão yy no apoio e no ponto de aplicação da carga

c) Tensão _xy no apoio e no ponto de aplicação da carga

Figura 8.12:Pormenores dos campos de tensão (elemento de deslocamento, N 444.446)

8.4.2 Viga de Iosipescu

A grande diferença do comportamento da viga de Iosipescu é a forte concentração de tensões tangenciais entre a força aplicada com maior intensidade e o apoio que lhe está vizinho (vide Figura 2.2). Os diagramas de esforços correspondentes, representados na Figura 8.13, mostram que nessa zona se devem esperar fortes variações dos campos de tensão.

Figura 8.13: Diagramas de esforços na viga de Iosipescu

É esse o resultado ilustrado nas Figuras 8.14 e 8.15, obtidos com elementos de deslocamento e de tensão, respectivamente. A força de menor intensidade, P2, é transmitida

1 1 2 2 10 P R P 11 1 P R P 11     2 R 1 R 2 P 1 P V M







directamente para o apoio mais próximo, o apoio fixo, e a parte equivalente da força mais intensa, P1,

é transferida para o apoio móvel, sendo a parcela restante transmitida directamente para o apoio mais próximo. _xx yy  xy 

Figura 8.14: Campos de tensão na viga de Iosipescu sem fenda (elemento de deslocamento)

xx

yy



xy



Figura 8.15: Campos de tensão na viga de Iosipescu sem fenda (elemento de tensão)

Para o elemento de tensão, a condição de equilíbrio verifica-se exactamente no domínio de cada elemento, concentrando-se o erro dos campos de tensão na imposição da continuidade das forças de superfície, nas fronteiras interiores e exteriores da malha de 7x2 elementos representada na Figura 8.4. Estes resultados são obtidos usando uma aproximação polinomial no domínio que envolve N_p946 graus de liberdade, enriquecida com as N_c5 funções necessárias para representar o efeito local das forças concentradas. A dimensão da base de aproximação na fronteira