Resumo
Nesta tese é abordada a análise da influência da presença de fendas abertas ou reparadas no comportamento de peças planas elásticas lineares recorrendo ao método numérico mais utilizado na análise de estruturas - o Método dos Elementos Finitos. São usados dois tipos de elementos, o elemento de deslocamento compatível e o elemento de tensão híbrido-Trefftz. Estes elementos permitem obter soluções satisfatórias para o complexo campo de tensões que se gera na presença de fendas. Uma boa descrição dos resultados é conseguida com elementos de deslocamentos adoptando uma malha muito refinada. Soluções equivalentes são obtidas adoptando malhas com relativamente poucos elementos de tensão com bases de aproximação de ordem superior.
Os resultados numéricos confirmam a profunda alteração que se verifica no campo de tensões das vigas ensaiadas provocada pela presença de fendas, anulando completamente a validade das hipóteses em que se baseia a teoria das peças lineares. Verifica-se uma forte redistribuição das tensões e uma concentração de tensões na extremidade da fenda que propicia a sua propagação. Simula-se a reparação das vigas ensaiadas usando um material de reparação com um módulo de elasticidade mil vezes inferior ao do material estrutural. Apesar de persistir um campo de tensões singular, verifica-se uma forte redução tanto na ordem da singularidade como nos valores dos factores de intensidade de tensão dos modos de fractura dominantes. O modelo utilizado permite, portanto, apoiar o dimensionamento da reparação de peças danificadas de modo a prevenir a propagação de fendas.
Palavras-chave
Elementos finitos de deslocamento Elementos finitos de tensão Fractura
Abstract
The present work addresses the assessment of the influence of open and repaired cracks in elastic plates using the numerical method most commonly adopted in structural analysis – the Finite Element Method. Two elements are used, namely the conform displacement element and the hybrid-Trefftz stress element. Both can produce accurate descriptions of the complex stress fields caused by the presence of cracks. Accurate results are obtained with the displacement element using a highly refined mesh. Equivalent solutions are obtained using relatively coarse meshes of few but highly rich stress elements.
The results obtained show that stress fields are strongly changed by the presence of cracks and that the stress fields’ redistribution leads to a stress concentration near the crack tip, which may lead to its propagation. As a consequence, the basic assumptions of the beam theory are no longer valid in the presence of cracks. It is also shown that crack reparation in damaged beams still leads to singular stress fields. However, there is a significant reduction of the singularity order and of the stress intensity factors associated with the dominant fracture modes. Consequently, the possibility to prevent crack propagation, by adequately designing crack reparation in damaged beams, arises.
Keywords
Displacement finite elements Stress finite elements Fracture
Índice
Resumo ... i
Palavras-chave ... i
Abstract...iii
Keywords ...iii
Lista de Figuras ...vii
Lista de Tabelas ...ix
Lista de Abreviaturas ...xi
Lista de Símbolos ... xiii
1 Introdução... 1
2 Definição do Problema ... 3
2.1 Vigas sem Fenda...3
2.2 Vigas com Fenda Aberta ...5
2.3 Vigas com Fenda Reparada ...6
3 Fundamentos da Teoria da Elasticidade Linear... 9
3.1 Domínio e Fronteiras ...9 3.2 Condições de Equilíbrio...10 3.3 Condições de Compatibilidade ...13 3.4 Relações Constitutivas ...14 3.5 Equação de Navier ...14 3.6 Potencial de Tensões ...15 3.7 Equação de Beltrami-Mitchell ...17
4 Fundamentos da Mecânica da Fractura... 19
4.1 Fractura Elástica Linear...19
4.1.1 Contribuição de C.E. Inglis ...20
4.1.2 Contribuição de A.A. Griffith ...21
4.1.3 Contribuição de G.R. Irwin ...22
4.1.4 Factor de Intensidade de Tensão ...24
4.2 Fractura Elasto-Plástica ...26
4.3 Dano e Fractura...27
5 Formulações e Modelos de Elementos Finitos ... 29
5.1 Modelos...29
5.2 Formulações...30
5.3 Técnicas ...32
6 Elemento de Deslocamento ... 35
6.2 Forças Nodais Equivalentes ...37 6.3 Equação Resolvente ...37 6.4 Sistema Resolvente...38 6.5 Energia ...39 6.6 Modelação de Fendas ...41
7 Elemento de Tensão ... 43
7.1 O Método de Trefftz...43 7.2 Aproximações...44 7.3 Variáveis Duais...46 7.4 Compatibilidade...46 7.5 Equilíbrio ...47 7.6 Elasticidade ...48 7.7 Condições de Trefftz ...49 7.8 Equação Resolvente ...49 7.9 Bases de Aproximação...518 Comportamento de Vigas com e sem Fendas... 53
8.1 Análise com Elementos de Deslocamento ...53
8.2 Análise com Elementos de Tensão ...54
8.3 Estudo de Convergência com o Elemento de Deslocamento...56
8.3.1 Consola Traccionada ...57
8.3.2 Viga Simplesmente Apoiada ...58
8.3.3 Viga de Iosipescu...59
8.3.4 Conclusão ...60
8.4 Análise dos Campos de Tensão das Vigas sem Fenda ...60
8.4.1 Viga Simplesmente Apoiada ...61
8.4.2 Viga de Iosipescu...63
8.5 Análise dos Campos de Tensão das Vigas com Fenda ...65
8.5.1 Viga Simplesmente Apoiada com Fenda Centrada ...65
8.5.2 Viga Simplesmente Apoiada com Fenda Descentrada...67
8.5.3 Viga de Iosipescu...68
8.6 Análise das Vigas com Fenda Reparada ...69
8.6.1 Modelação da Reparação da Fenda...70
8.6.2 Avaliação da Reparação da Fenda...70
8.6.3 Ensaios Numéricos com o Elemento de Tensão ...71
9 Conclusão... 75
Lista de Figuras
Figura 2.1: Geometria da viga simplesmente apoiada sem fenda...3
Figura 2.2: Geometria da viga de Iosipescu sem fenda ...4
Figura 2.3: Geometria da viga simplesmente apoiada com fenda aberta centrada...5
Figura 2.4: Geometria da viga simplesmente apoiada com fenda aberta descentrada ...5
Figura 2.5: Geometria da viga de Iosipescu com fenda aberta ...6
Figura 3.1: Domínio e fronteira de um sólido elástico ...10
Figura 3.2: Equilíbrio de um elemento infinitesimal destacado do domínio ...11
Figura 3.3: Equilíbrio de um elemento infinitesimal destacado da fronteira ...11
Figura 3.4: Coordenadas polares ...16
Figura 4.1: Placa plana infinita com furo elíptico (C.E. Inglis) ...20
Figura 4.2: Placa infinita com fenda (A.A. Griffith)...21
Figura 4.3: Estado de tensão na vizinhança da ponta da fenda...24
Figura 4.4: Modos de deformação de uma fenda...25
Figura 6.1: Elemento-mestre ...35
Figura 6.2: Convergência em energia com malhas de elementos compatíveis ...41
Figura 8.1: Elementos triangulares de três e seis nós...53
Figura 8.2: Modelação da fenda na viga simplesmente apoiada com elementos de deslocamento ....54
Figura 8.3: Discretização da viga simplesmente apoiada com elementos de tensão...55
Figura 8.4: Discretização da viga de Iosipescu com elementos de tensão ...55
Figura 8.5: Convergência da energia de deformação para a viga sem fenda (elementos CPS6M) ...56
Figura 8.6: Ensaio da consola quadrada traccionada ...57
Figura 8.7: Erro em energia no ensaio da consola traccionada (elementos CPS6M) ...57
Figura 8.8: Erro em energia no ensaio da viga simplesmente apoiada (elementos CPS6M) ...59
Figura 8.9: Erro em energia no ensaio da viga de Iosipescu (elementos CPS6M) ...60
Figura 8.10: Campos de tensão na viga simplesmente apoiada (xx,yy,xy) ...61
Figura 8.11: Campos de tensão na viga simplesmente apoiada (elemento de deslocamento, N 238) ...62
Figura 8.12: Pormenores dos campos de tensão (elemento de deslocamento, N444.446) ...63
Figura 8.13: Diagramas de esforços na viga de Iosipescu ...63
Figura 8.14: Campos de tensão na viga de Iosipescu sem fenda (elemento de deslocamento)...64
Figura 8.15: Campos de tensão na viga de Iosipescu sem fenda (elemento de tensão) ...64
Figura 8.16: Campos de tensão na viga simplesmente apoiada com fenda centrada (xx,yy,xy)....65
Figura 8.18: Tensões na vizinhança da ponta da fenda (elemento de tensão) ...66
Figura 8.19: Campos de tensão na viga simplesmente apoiada com fenda descentrada (xx,yy,xy) ...67
Figura 8.20: Campos de tensão na viga de Iosipescu com fenda (elemento de deslocamento)...68
Figura 8.21: Campos de tensão na viga de Iosipescu com fenda (elemento de tensão) ...68
Figura 8.22: Tensões na vizinhança da ponta da fenda (elemento de deslocamento)...69
Figura 8.23: Tensões na vizinhança da ponta da fenda (elemento de tensão) ...69
Figura 8.24: Efeito da reparação na viga simplesmente apoiada com fenda centrada (xx,yy,xy)...72
Figura 8.25: Efeito da reparação na viga simplesmente apoiada com fenda descentrada (xx,yy,xy) ...72
Figura 8.26: Efeito da reparação da fenda na viga de Iosipescu (elemento de deslocamento) ...73
Lista de Tabelas
Tabela 8.1: Factores de intensidade de tensão para modelos com fenda aberta ...71 Tabela 8.2: Factores de intensidade de tensão para modelos com fenda reparada ...71
Lista de Abreviaturas
MFLE Mecânica da Fractura Linear Elástica MFEP Mecânica da Fractura Elasto-Plástica MF&D Mecânica da Fractura e Dano
Lista de Símbolos
Capítulo 2
E Módulo de elasticidade
Coeficiente de Poisson
b Espessura dos provetes ensaiados
P Carga concentrada aplicada nos provetes ensaiados
Capítulo 3
V Domínio
Γ Fronteira
Γt Fronteira estática Γu Fronteira cinemática
b Vector das forças de massa
t Vector das forças de superfície
u Vector dos deslocamentos impostos na fronteira cinemática
σ Tensor das tensões ou vector que lista as componentes independentes do tensor
σ Vector das tensões residuais 0
σ Vector das tensões associadas a soluções particulares
ε Tensor das deformações ou vector que lista as componentes independentes do tensor
ε Vector das deformações residuais
k Matriz de rigidez do material elástico linear
f Matriz de flexibilidade do material elástico linear
u Vector dos deslocamentos
N Matriz das normais exteriores ,
A Operadores diferenciais de equilíbrio
*
, t
A Operadores diferenciais de compatibilidade
Potencial de tensões
Capítulo 4
Tensão uniforme remotamente aplicada A
Tensão na extremidade da elipse
max
Tensão máxima na extremidade da elipse
Raio de curvatura
0
Π Energia potencial total da placa antes da ocorrência da fenda
S Energia necessária à formação de novas superfícies
U Energia libertada pela descarga em torno da fenda
s Energia elástica de superfície
*
U Energia de deformação por unidade de volume f
Tensão máxima admissível ou tensão de fractura p
Trabalho plástico por unidade de superfície f
w Energia de fractura
G Taxa de libertação de energia
Gc Taxa de libertação de energia crítica K Factor de intensidade de tensão
c
K Factor de intensidade de tensão crítico ou tenacidade à fractura
Capítulo 6
U Matriz das funções de aproximação dos deslocamentos no domínio
q Vector dos deslocamentos nodais
Q Vector das forças nodais equivalentes às forças de massa
Q Vector das forças nodais equivalentes às forças de superfície
Q Vector das forças nodais equivalentes aos campos residuais de deformação e de tensão.
K Matriz de rigidez do elemento
Π Energia potencial total
U Energia de deformação ou potencial interno
W Energia potencial das cargas aplicadas ou potencial externo f
Γ Fronteira associada ao domínio da fenda aberta ou reparada
t Vector das forças na superfície da fenda f
k Matriz constitutiva do material de reparação
δu Vector dos deslocamentos relativos das faces das fendas
Capítulo 7
S Matriz das funções de aproximação das tensões no domínio
X Vector das tensões generalizadas t
Z Matriz das funções de aproximação dos deslocamentos na fronteira estática t
q Vector dos deslocamentos generalizados na fronteira estática f
f
q Vector dos deslocamentos generalizados no domínio da fenda
e Vector das deformações generalizadas 0
e Vector das deformações generalizadas associadas à solução particular
e Vector das deformações generalizadas associadas aos deslocamentos impostos
Q Vector das forças generalizadas associadas às forças impostas 0
Q Vector das forças generalizadas associadas à solução particular f
Q Vector das forças generalizadas associadas às forças impostas nos bordos das fendas 0f
Q Vector das forças generalizadas nos bordos das fendas associadas à solução particular 0a
Q Vector das forças generalizadas nos bordos das fendas abertas associadas à solução particular
0r
Q Vector das forças generalizadas nos bordos das fendas reparadas associadas à solução particular
F Matriz de flexibilidade do elemento de tensão r
1 Introdução
A determinação do campo de deslocamentos e da distribuição de deformações e tensões em peças planas com comportamento elástico linear é um dos problemas mais comuns em engenharia civil. A solução analítica destes problemas só existe para casos muito elementares, com uma utilidade prática muito limitada, sendo a maioria dos problemas resolvidos de forma aproximada recorrendo a métodos numéricos.
O Método dos Elementos Finitos é o método numérico mais utilizado na análise de estruturas, e a formulação mais divulgada é a dos elementos de deslocamento compatíveis. Este tipo de elemento fornece soluções compatíveis mas não equilibradas, o que obriga à utilização de malhas muito refinadas para a obtenção de soluções para os campos de tensão com a qualidade exigível para fins de dimensionamento e verificação de critérios de segurança. Os elementos de tensão, dos quais é exemplo o elemento híbrido-Trefftz, fornecem soluções equilibradas no domínio do problema, exigindo, em geral, malhas menos refinadas para obter boas soluções em termos de tensões.
A presença de fendas pode alterar dramaticamente o campo de tensões numa estrutura e induzir modos de colapso para valores de carga inferiores aos calculados através de análises elásticas da estrutura não danificada. Esta eventualidade suscita duas questões que podem ser respondidas recorrendo ao Método dos Elementos Finitos. A primeira, tipicamente do âmbito da Mecânica da Fractura, é determinar se as fendas estão activas ou se são estáveis, isto é, se têm ou não tendência para se propagar. Esta decisão pode ser tomada avaliando os factores de intensidade de tensão associados aos modos de fractura elástica. A segunda questão que se põe é como dimensionar a reparação de fendas activas de modo a garantir a sua estabilização. O estudo preliminar que aqui se apresenta fornece a informação necessária para dar resposta às questões acima referidas. Ainda no âmbito deste estudo preliminar é efectuada uma avaliação sobre a viabilidade de se utilizarem elementos de tensão na modelação de processos de fractura coesiva.
Para fundamentar este estudo, começou-se por seleccionar um conjunto de problemas de ensaio. A selecção desses problemas decorreu de dois critérios: a facilidade de interpretação de comportamentos ditados pela predominância do efeito de fendas e a existência de estudos numéricos e experimentais que permitissem balizar os resultados obtidos no desenvolvimento do presente estudo. Escolheram-se, por isso, dois exemplos frequentemente utilizados na literatura da especialidade, as vigas simplesmente apoiadas, com e sem balanço, caracterizadas no Capítulo 2.
Definiram-se, depois, as condições que definem o modelo matemático e os conceitos fundamentais da Mecânica da Fractura envolvidos neste estudo. No Capítulo 3 enunciam-se os princípios básicos da Teoria da Elasticidade Linear para estados planos de tensão e definem-se as equações que representam a resposta dos problemas de ensaio. Os fundamentos e a evolução da Mecânica da Fractura, com especial foco na Mecânica da Fractura Linear Elástica, são abordados no Capítulo 4, onde se referem ainda as linhas gerais da Mecânica da Fractura Elasto-Plástica e da Mecânica da Fractura e Dano.
Sendo essencial para este estudo assegurar uma representação rigorosa do campo de tensões em peças com fendas, optou-se por resolver os problemas de ensaio usando dois tipos de
elementos finitos distintos, designadamente o elemento de deslocamento compatível e o elemento de tensão híbrido-Trefftz. O elemento de deslocamento é o mais aplicado na prática, sendo importante aprofundar o conhecimento do seu comportamento e da sua utilização usando programas disponíveis no mercado. Para além de suscitar o estudo dos conceitos e da formulação de um novo tipo de elemento, o elemento de tensão foi utilizado fundamentalmente para avaliar a viabilidade da sua posterior aplicação na modelação de processos de fractura coesiva.
Os conceitos que distinguem estes dois modelos e as diferentes formulações do Método dos Elementos Finitos de que decorrem são apresentados no Capítulo 5. O elemento de deslocamento compatível é formulado no Capítulo 6, onde se introduzem também conceitos energéticos, para apoiar os estudos de convergência posteriormente apresentados, e conceitos de modelação de fendas abertas e reparadas, para sustentar a interpretação dos resultados obtidos. O elemento de tensão da formulação híbrida-Trefftz é formulado no Capítulo 7, onde se dá particular atenção ao conceito que mais o distingue - a utilização de bases de aproximação extraídas da solução formal do sistema de equações diferenciais que define o problema em análise. No presente contexto, essa base é enriquecida com soluções que modelam com rigor as duas principais fontes de singularidade, as fendas e as forças concentradas aplicadas. Neste capítulo refere-se ainda que, sendo as fendas modeladas no interior dos elementos, a sua propagação efectua-se através dos elementos.
Os resultados obtidos com os elementos de deslocamento e de tensão são apresentados no Capítulo 8. Resumem-se as características dos elementos e das malhas de discretização que foram adoptadas. Apresentam-se ainda os resultados de um estudo de convergência que foi realizado de modo a assegurar a qualidade das soluções de referência obtidas com o elemento de deslocamento. Os campos de tensão obtidos com elementos de deslocamento e de tensão são ilustrados e analisados para os diferentes problemas em estudo. Para finalizar, apresentam-se os valores dos factores de intensidade de tensão para as vigas com fenda aberta e reparada, obtidos através do elemento de tensão.
As principais conclusões deste estudo são apresentadas no Capítulo 9. Relativamente à modelação da reparação de fendas, conclui-se que o elemento de tensão permite criar uma ferramenta de apoio aos estudos necessários para caracterizar materiais de reparação que assegurem a redução da ordem da singularidade e dos factores de concentração de tensões associados aos modos de fractura dominantes. Conclui-se, também, ser viável a generalização da formulação do elemento de tensão para simular processos de fractura coesiva, o qual exige a reformulação das relações constitutivas e a integração do modelo num sistema que permita identificar a iniciação e a propagação do dano e da subsequente fractura do material.
2 Definição do Problema
Um dos testes mais frequentemente utilizado na análise da fractura é a viga simplesmente apoiada sujeita a uma carga concentrada. Este foi o exemplo adoptado neste trabalho, tendo-se considerado dois tipos de vigas, com e sem balanço, e três situações: o comportamento das vigas não danificadas, o comportamento das vigas com fenda, em diferentes posições, e o comportamento das vigas após a reparação das fendas. Ao longo deste estudo atribuiu-se o nome de viga simplesmente apoiada à viga simplesmente apoiada sem balanço e de viga de Iosipescu à viga simplesmente apoiada com balanço. A última designação é alusiva ao investigador pioneiro na aplicação deste tipo de teste.
As características geométricas e mecânicas das duas vigas e as condições de apoio e de carga são definidas neste capítulo, apresentando-se no capítulo seguinte o modelo matemático adoptado na representação da resposta das vigas nas três situações acima referidas. Admite-se que as condições de carregamento asseguram que as vigas se deformam no próprio plano em regime elástico, linear e quase-estático.
2.1 Vigas sem Fenda
Os testes de ensaio para a viga simplesmente apoiada sem balanço, utilizados neste trabalho, estão caracterizados na Figura 2.1. Estes testes definem provetes que foram testados à rotura com o objectivo de utilizar os resultados obtidos experimentalmente na validação e comparação de diferentes modelos numéricos desenvolvidos para simular a fendilhação de estruturas de betão, [1].
Figura 2.1: Geometria da viga simplesmente apoiada sem fenda
O provete é prismático e tem 25 mm de espessura, b. Admite-se que a carga e as condições de apoio são pontuais e aplicadas de forma a garantir que a viga se deforma no próprio plano. Admite-se ainda que a carga P b 5Nm 1
( / 2 10 )
é aplicada em regime quase-estático, isto é, que são desprezáveis as forças de inércia que se desenvolvem durante o ensaio. Sendo o objectivo deste estudo analisar o efeito de fendas na resposta do provete, assim como o efeito da reparação dessas mesmas fendas, considera-se apenas a fase em que o comportamento é elástico e linear. Admite-se, ainda, que o material é homogéneo e isotrópico, sendo os seguintes os valores para o módulo de elasticidade e para o coeficiente de Poisson:
P
12,5 102,5 230 75 19 (mm)y
x
9 2 31,37 10 E Nm (2.1) 0,2 (2.2)
Considera-se também que as tensões devidas ao peso próprio são desprezáveis em relação às provocadas pelo carregamento indicado na Figura 2.1. Deste modo, o carregamento é definido por forças de massa nulas,
0 x y
b b (2.3)
e pelo seguinte sistema de forças aplicadas nas faces da viga, em que ( , )x y representa a função
de Dirac e onde as dimensões são definidas em metro: Faces x = 0 e x = 0,230: 0 x y t t (2.4) Face y = 0,075: 0 (0,115;0,075) x y t t P (2.5) Face y = 0: 0 0,0125 0 0,1150 0,1025 x y t x t x (2.6)
Admite-se ainda que os apoios são rígidos: Face y = 0: 0 0,0125 0 0,1150 0,1025 x y u x u x (2.7)
As características da segunda viga analisada [2] estão definidas na Figura 2.2, sendo imediata a adaptação das condições de fronteira acima definidas. Os valores utilizados para o módulo de elasticidade e para o coeficiente de Poisson são os seguintes:
9 2 35 10 E Nm (2.8) 0,2 (2.9)
Figura 2.2: Geometria da viga de Iosipescu sem fenda 1 P 11 10 P 11 100 30 20 170 20 20 20 170 210 (mm) 210
x
y
Como se mostra no Capítulo 8, as cargas aplicadas e as reacções de apoio provocam fortes concentrações de tensão. Para as hipóteses de cálculo acima referidas, as tensões são infinitas no ponto de aplicação das forças concentradas e decaem rapidamente na sua vizinhança, com uma variação inversamente proporcional à distância a esses pontos, como se mostra no capítulo seguinte. Suficientemente longe desses efeitos locais (efeito de Saint-Venant) recuperam-se as hipóteses em que se baseia a teoria da flexão das peças lineares: as componentes xx e xy do campo de tensão variam linearmente e parabolicamente, respectivamente, ao longo da altura da viga e a componente
yy é praticamente nula em toda a viga.
2.2 Vigas com Fenda Aberta
O provete representado na Figura 2.1 foi ainda ensaiado com diferentes defeitos iniciais, caracterizados por fendas transversais à face inferior, com 19 mm de extensão e introduzidas em duas posições, como se indica nas Figura 2.3 e Figura 2.4.
Figura 2.3: Geometria da viga simplesmente apoiada com fenda aberta centrada
Figura 2.4: Geometria da viga simplesmente apoiada com fenda aberta descentrada
As condições (2.3) a (2.7) mantêm-se válidas, sendo agora necessário acrescentar as condições que asseguram serem nulas as forças existentes nas faces da fenda:
Fenda centrada x x 0,115m Fenda descentrada x x 0,06375m 0 x y t t (2.10) Onde x e x
correspondem às faces esquerda e direita da fenda, respectivamente.
x
y
75 19 12,5 230 51,25 51,25 (mm)P
P
12,5 102,5 230 75 19 (mm)y
x
A existência de uma fenda altera profundamente o campo de tensões. Para além das singularidades devido às cargas pontuais, aparece ainda um pólo de tensões na extremidade da fenda, onde as tensões são também singulares mas cujo decaimento é mais lento, variando com o inverso da raiz da distância do ponto à origem da fenda, como se mostra no capítulo seguinte. Enquanto na viga sem fenda a força aplicada, P, é transmitida para os apoios essencialmente por um efeito de corte, na viga com a fenda verifica-se uma forte redistribuição do campo de tensões, a qual pode provocar a propagação da fenda. Essa redistribuição é suficientemente forte para eliminar a validade das hipóteses da teoria da flexão de peças lineares.
A viga de Iosipescu foi analisada para uma única posição da fenda. A geometria da viga de Iosipescu e posicionamento da fenda estão indicados na Figura 2.5.
Figura 2.5: Geometria da viga de Iosipescu com fenda aberta
2.3 Vigas com Fenda Reparada
O processo de reparação consiste, essencialmente, no preenchimento da abertura da fenda com um material com as propriedades necessárias para assegurar a adesão das faces da fenda nas condições de serviço da viga.
Como a reparação não é perfeita e o material utilizado não tem, em geral, as mesmas propriedades do material estrutural, o comportamento da viga com a fenda reparada não recupera o comportamento da viga sem fenda. Como se mostra no Capítulo 8, mesmo com a reparação, mantém-se um campo local de tensões singulares se a extremidade da fenda reparada for angular, verificando-se, no entanto uma redução da ordem da singularidade. Se a reparação assegurar uma forma contínua para a extremidade da fenda, o campo de tensões é regular verificando-se porém descontinuidades nas deformações, causadas pela diferença das propriedades mecânicas do material estrutural e do material de reparação.
O modelo mais imediato para a reparação da fenda consiste em incorporar uma inclusão com as propriedades mecânicas do material de reparação, o qual, por simplicidade, se admite ter também um comportamento elástico linear e ser homogéneo e isotrópico, com valores para o módulo de elasticidade e para o coeficiente de Poisson distintos dos utilizados para caracterizar o material estrutural. Essa inclusão pode ser representada por um filete ou por uma cunha, sendo agora
1 P 11 10 P 11 100 30 20 170 20 20 20 170 210 (mm) 210
y
x
necessário impor as condições de continuidade das forças e dos deslocamentos entre o material da viga e o material de reparação, mantendo-se válidas as condições de carga definidas na Secção 2.1.
A grande limitação deste modelo é a dificuldade de representar adequadamente o comportamento da descontinuidade material quando se faz tender a dimensão da abertura da fenda reparada para valores muito pequenos em relação à dimensão característica do modelo, neste caso o desenvolvimento da fenda. O modelo coerente com esta situação limite é considerar que a inclusão é unidimensional (um filete com dimensão transversal nula), e atribuir-lhe uma relação constitutiva que relacione directamente as forças que se desenvolvem nas faces da fenda reparada com o deslocamento relativo dessas faces, limitando-se agora as condições de fronteira adicionais à condição de continuidade de forças.
No Capítulo 8 são definidas as condições para representar a reparação das fendas, em conformidade com as formulações do Método dos Elementos Finitos adoptadas neste estudo. O modelo matemático utilizado em ambos os casos é sumariamente descrito no capítulo seguinte.
3 Fundamentos da Teoria da Elasticidade Linear
Apresenta-se neste capítulo o modelo matemático utilizado na resolução do problema anteriormente definido. Como aí se estabeleceu, admite-se um modelo de estado plano de tensão definido sobre um meio elástico, com comportamento física e geometricamente linear e invíscido, isto é, independente do tempo.
Os corpos sólidos quando submetidos a solicitações deformam-se, podendo ou não retomar a sua forma original quando as solicitações são retiradas. “Um corpo elástico é, por definição, um corpo que recupera a forma primitiva uma vez retiradas as solicitações que o tenham deformado”. Arantes e Oliveira (1999) [3].
Como hipóteses gerais assume-se homogeneidade e isotropia do material estrutural e a
linearidade física e geométrica do comportamento da estrutura. Considera-se ainda a actuação de acções estáticas, isto é, que são desprezáveis as forças de inércia provocadas pelo carregamento.
As hipóteses de homogeneidade e isotropia são utilizadas numa descrição macroscópica das relações constitutivas do material, admitindo-se que as propriedades elásticas são constantes e independentes da direcção em que são medidas. A linearidade física consiste em considerar um comportamento elástico linear para o material estrutural, simplificando as relações constitutivas a uma relação linear entre as tensões e as deformações. A linearidade geométrica inclui a hipótese dos pequenos deslocamentos e das pequenas deformações. Esta hipótese permite que se formulem as condições de equilíbrio sobre a configuração indeformada e que se desprezem os termos não-lineares na definição das deformações compatíveis com os deslocamentos.
A caracterização do comportamento do sólido é feita recorrendo à definição das variáveis necessárias para descrever o movimento e a mudança de forma (as variáveis cinemáticas) e para representar os sistemas de forças internas e externas que se desenvolvem no sólido (as variáveis estáticas). As variáveis cinemáticas são as componentes do vector dos deslocamentos e do tensor das deformações e são relacionadas por condições de compatibilidade. As variáveis estáticas correspondentes são as componentes do vector das forças e do tensor das tensões, as quais estão relacionadas por condições de equilíbrio. O comportamento do material, caracterizado pelas relações constitutivas, é formulado relacionando as componentes de tensão e de deformação.
São essas variáveis e as condições que as relacionam, que são definidas em seguida para estabelecer o modelo matemático posteriormente utilizado para fundamentar as duas formulações do Método dos Elementos Finitos adoptadas para resolver o problema de aplicação que motivou este estudo.
3.1 Domínio e Fronteiras
As condições do problema e as variáveis que o caracterizam são medidas num referencial cartesiano fixo. Em consequência das condições postas na definição do problema de ensaio, esse referencial é definido no plano médio da estrutura, o domínio genérico V representado na Figura 3.1. A fronteira que o limita, Γ, é composta pela união entre a fronteira estática ou de Neumann, Γt, a fronteira
Figura 3.1: Domínio e fronteira de um sólido elástico
A fronteira estática combina as zonas em que as duas componentes das forças exteriores são conhecidas. Por exemplo, as faces x = 0m e x = 0,230m no exemplo representado na Figura 2.1. As zonas em que são conhecidas as duas componentes do vector dos deslocamentos definem a fronteira cinemática. No mesmo exemplo, essa fronteira limita-se ao ponto (x;y) = (0,0125m; 0m), onde existe um apoio fixo. A fronteira mista combina as zonas em que são impostas uma componente do vector das forças e a componente complementar do vector dos deslocamento. É o caso do ponto (x;y) = (0,2175m; 0m) onde existe um apoio móvel, no mesmo exemplo.
3.2 Condições de Equilíbrio
As vigas utilizadas nos ensaios são modeladas como peças laminares planas com espessura constante, actuadas no seu plano médio por dois tipos de forças exteriores:
Forças que se distribuem pelos vários elementos de volume que constituem o corpo, ou
forças de massa: x y b b b (3.1)
Forças distribuídas na fronteira do corpo, ou forças de superfície: x y t t t (3.2)
O estado de tensão em cada ponto pode ser caracterizado pelo tensor das tensões de segunda ordem de Cauchy. A componente σij do tensor representa a componente de tensão segundo
a direcção j que actua na faceta perpendicular ao eixo i, como se ilustra na Figura 3.2. Para as hipóteses feitas sobre a geometria da peça e sobre o carregamento a que está sujeita, é legítimo admitir que o estado de tensão é plano, isto é, que as componentes de tensão associadas à flexão e ao corte no plano da viga não variam ao longo da espessura e que são nulas as restantes
b u Γ t Γ V t u Γ
x
ycomponentes do tensor das tensões. Nestas condições, a definição do tensor toma a seguinte forma simplificada, de acordo com a notação definida na Figura 3.2:
xx xy yx yy σ (3.3)
Figura 3.2: Equilíbrio de um elemento infinitesimal destacado do domínio
Figura 3.3: Equilíbrio de um elemento infinitesimal destacado da fronteira
As condições de equilíbrio têm a função de relacionar o campo de tensão (3.3) com o campo de forças de massa (3.1) em qualquer ponto interior do domínio - condição de equilíbrio no domínio, e com o campo das forças de superfície (3.2) em qualquer ponto da fronteira, designadamente onde essas forças estão impostas - condição de equilíbrio na fronteira. Essas condições podem ser determinadas impondo o equilíbrio de um elemento infinitesimal do corpo, o qual é destacado do interior do domínio no primeiro caso e da fronteira no segundo, como se ilustra nas Figuras 3.2 e 3.3.
yy xx xx dx x yy yy dy y yx yx dy y xy xy dx x xx xy yx x b y b dx dy x y x n ds dy dx xx xy y t yx yy x t
y n n x yO equilíbrio é estabelecido impondo o anulamento das resultantes dos sistemas de forças associados a cada uma dessas situações. A simetria do tensor das tensões,
yx xy (3.4)
resulta da imposição da condição de equilíbrio do momento resultante, na hipótese de serem nulos os momentos de massa e os momentos de superfície.
O equilíbrio de forças em pontos do domínio define as condições que se devem verificar entre a variação do estado de tensão num ponto e as forças de massa aí aplicadas,
0 0 yx xx x xy yy y b equilibrio em x x y b equilibrio em y x y (3.5)
enquanto as condições de equilíbrio em pontos da fronteira relacionam o estado de tensão num ponto vizinho à fronteira com as forças de superfície aí aplicadas:
xx x yx y x yy y xy x y n n t equilibrio em x n n t equilibrio em y (3.6)
Nesta definição, nx e ny definem as componentes da normal exterior unitária:
cos sin x y dy n ds dx n ds (3.7)
É a seguinte a notação indicial para as condições de equilíbrio no domínio (3.5),
, 0 , ,
ij i bj onde i j x y
(3.8)
e para as condições de equilíbrio na fronteira (3.6):
, ,
ijni tj onde i j x y
(3.9)
A descrição matricial destas condições,
em V Aσ b 0 (3.10) t emΓ Nσ t (3.11)
é utilizada nas formulações do Método dos Elementos Finitos apresentadas nos Capítulos 6 e 7. Adoptam-se aí as definições (3.1) e (3.2) para os vectores das forças de massa e das forças de superfície e reorganizam-se num vector as três componentes independentes do tensor das tensões (3.3), xx yy xy σ (3.12)
0 0 x y y x A (3.13) 0 0 x y y x n n n n N (3.14)
3.3 Condições de Compatibilidade
A condição de compatibilidade no domínio relaciona as medidas de deformação num ponto interior, caracterizadas pelo tensor (simétrico) do estado de deformação,
xx xy xy yy ε (3.15)
com a variação do campo de deslocamentos nesse ponto: x y u u u (3.16)
Introduzindo a definição da distorção,
xy 2xy (3.17)
obtém-se a seguinte expressão, na hipótese de linearidade geométrica:
x xx y yy y x xy u x u y u u y x (3.18)
A condição de compatibilidade na fronteira limita-se a garantir a continuidade das componentes do campo de deslocamento relativamente aos deslocamentos impostos:
x x y y u u u u (3.19)
A notação indicial para as condições de compatibilidade no domínio e na fronteira,
1 , , 2( ) ij ui j uj i (3.20) i i u u (3.21)
é aqui substituída pela seguinte notação matricial, t em V ε A u (3.22) u emΓ u u (3.23)
em que a matriz de compatibilidade no domínio é a transposta da matriz de equilíbrio (3.13) e o vector
ε define as componentes independentes do tensor das deformações:
xx yy xy ε (3.24)
3.4 Relações Constitutivas
A função das relações constitutivas é a de estabelecer uma condição de causalidade entre os campos de tensão e de deformação. Quando se admite que o comportamento do material é elástico e linear, essa relação é univocamente definida e pode ser descrita na forma,
( )
ij kij ij ij ij
(3.25)
em que os parâmetros k definem o comportamento mecânico do material, e os termos ij ij e ij
caracterizam eventuais estados residuais de deformação e de tensão, respectivamente. A notação matricial para as relações de elasticidade é a seguinte,
( ) em V
σ k ε ε σ (3.26)
em que a matriz de rigidez é simétrica,
t
k k (3.27)
e não-singular, o que permite escrever a equação (3.26) na forma inversa,
( ) em V
ε f σ σ ε (3.28)
em que f representa a matriz de flexibilidade:
1
f k (3.29)
São as seguintes as expressões das matrizes de rigidez e flexibilidade consistentes com as hipóteses simplificativas adoptadas neste trabalho, designadamente as relativas ao estado plano de tensão e à homogeneidade e isotropia do material:
2 1 2 1 0 1 0 1 0 0 (1 ) E k (3.30) 1 0 1 1 0 0 0 2(1 ) E f (3.31)
3.5 Equação de Navier
É conveniente em alguns desenvolvimentos, por exemplo na formulação do elemento de deslocamento compatível do Método dos Elementos Finitos, escrever a equação de equilíbrio no domínio (3.10) em termos de deslocamentos, recorrendo sucessivamente às condições de
elasticidade (3.26) e de compatibilidade (3.22) para eliminar as tensões e as deformações como variáveis independentes.
Quando se admite que as tensões residuais são auto-equilibradas, em V
Aσ 0 (3.32)
e se representa por u o campo de deslocamentos compatível com as deformações residuais,
t
em V
ε A u (3.33)
obtém-se o sistema de equações diferenciais de Navier,
(Ak At)(u u )b0 em V (3.34)
o qual formula correctamente o problema quando sujeito às condições de fronteira cinemáticas (3.23) e estáticas (3.11). Enquanto a condição de fronteira cinemática (3.23) já se encontram escrita em termos de deslocamentos, a condição de fronteira estática (3.11) deve ser reescrita para poder ser também apresentada nesses termos:
( t)( ) t emΓ Nk A u u Nσ t (3.35)
3.6 Potencial de Tensões
Como se indica no Capítulo 5, o elemento de tensão da formulação híbrida-Trefftz do Método dos Elementos Finitos baseia-se nas soluções analíticas das condições de domínio do problema, isto é, nas equações de equilíbrio (3.10), compatibilidade (3.22) e elasticidade (3.28), quando se admite serem nulas as forças de massa e as tensões e deformações residuais:
em V
b 0 (3.36)
em V
σ ε 0 (3.37)
Uma forma relativamente simples de obter essas soluções é a de exprimir o campo de tensões em termos de um potencial que satisfaça a condição de equilíbrio, como, por exemplo a função de tensão de Airy,
2 2 2 2 2 xx yy xy y x x y (3.38)
e escrevendo a condição de compatibilidade (3.22) em termos das segundas derivadas das deformações (condição necessária à obtenção dos deslocamentos a partir de um qualquer campo de deformações arbitrário): 2 2 2 2 2 0 yy xy xx x y y x (3.39)
A equação resolvente é obtida substituindo na equação (3.39) as relações de elasticidade (3.28), sob a condição (3.37), e eliminando depois as componentes de tensão através da definição (3.38): 4 4 4 4 2 2 4 4 2 2 ( ) 2 0 x y x y (3.40) Qualquer função bi-harmónica gera, deste modo, campos de tensão auto-equilibrados, a partir dos quais se podem determinar as deformações e os deslocamentos que lhes estão associados.
É muitas vezes conveniente escrever o problema em coordenadas polares, de acordo com o sistema representado na Figura 3.4.
Figura 3.4: Coordenadas polares
Neste sistema de coordenadas as equações (3.38) e (3.40) têm as seguintes expressões.
2 2 2 1 1 1 rr r r r r r r r (3.41) 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ( ) 0 r r r r r r r r (3.42)
Uma das famílias de funções de tensão de Airy utilizada neste trabalho é definida pela seguinte expressão, em que i é a unidade imaginária:
2
exp( )
m
r i n com n m e n m 2 (3.43) Os campos de tensão correspondentes são definidos pela parte real e pela parte imaginária da seguinte expressão geral, obtida impondo a definição (3.43) na expressão (3.41):
2 ( )( ) exp( ) ( ) rr m r m n 2 m 1 m 2 r i n com n m e n m 2 i n m 1 (3.44) x x y y r u r u rr r r
Quando m é um número inteiro não negativo, esta definição gera uma base de campos de tensão polinomiais. Esta definição é também usada para caracterizar o campo de tensões na vizinhança do vértice de uma fenda aberta ou reparada utilizando 0.5m0 .
Os campos de tensão associados a cargas concentradas baseiam-se numa família diferente de potenciais de tensão, sendo definidos por:
1 1 2 0 exp( ) 0 rr r r i (3.45)
As componentes de tensão em coordenadas cartesianas são definidas pela seguinte transformação tensorial: 2 2 2 2 2 2 2 2 xx rr yy xy r
cos sin sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos cos sin
(3.46)
3.7 Equação de Beltrami-Mitchell
Quando se recorre ao potencial de tensão, a condição de equilíbrio (3.10) é escrita na forma (3.38), generalizada para incluir a parcela do campo de tensão que equilibra as forças de massa,
0 em V (3.47) em V A 0 (3.48) 0 em V A b 0 (3.49)
sendo a condição de compatibilidade (3.22) substituída pela equação (3.39),
*
em V
ε 0
(3.50)
em que, em coordenadas cartesianas:
2 2 2 * 2 2 T x y y x (3.51)
A equação de Beltrami-Mitchell é obtida inserindo na equação de compatibilidade (3.50) a equação de elasticidade (3.28) e a de equilíbrio (3.47):
( ) ( )( 0 ) em V f f σ σ 0 (3.52) em V ε 0 (3.53)
em que ε continua a representar o campo de deformações residuais compatíveis.
A equação resolvente (3.52) continua a estar sujeita às condições de fronteira cinemáticas (3.23), e às condições de fronteira estáticas (3.11). Enquanto as condições de fronteira cinemáticas escritas em termos de potenciais de tensão são de difícil obtenção, as condições de fronteira estáticas são facilmente escritas nesses termos:
( 0) emΓt
N σ t (3.54)
É possível, em geral, escrever em função de potenciais a parcela do campo de tensões que representa o termo residual, σ , e o termo que equilibra as forças de massa, σ , presentes nas 0 equações (3.52) e (3.54).
4 Fundamentos da Mecânica da Fractura
A fractura é o processo que consiste na formação de novas superfícies de descontinuidade num dado material. A um nível microscópico, a fractura consiste na rotura das ligações atómicas devido a altas tensões locais, enquanto que a um nível macroscópico consiste na rotura em duas ou mais partes de um dado componente estrutural devido à propagação de fendas.
A principal dificuldade na concepção de estruturas tendo em conta a fractura é o facto de a presença de fendas poder alterar profundamente o campo de tensões no componente em estudo, podendo verificar-se o colapso para valores de carga inferiores aos calculados através de análises elásticas.
A Mecânica da Fractura é um ramo da Mecânica dos Sólidos que estuda a influência das cargas aplicadas, das características geométricas da fenda, das condições ambientais e do comportamento do material no processo de fractura de um sólido. É ainda o ramo que estuda a distribuição do campo de tensões na vizinhança da ponta da fenda.
É corrente considerar dois grandes ramos da Mecânica da Fractura: a Mecânica da Fractura Linear Elástica (MFLE) e a Mecânica da Fractura Elasto-Plástica (MFEP). Tem-se verificado nos últimos anos um grande investimento na modelação da micro-fendilhação e da fractura em materiais com fraca ductilidade, como o betão estrutural, combinando a Mecânica da Fractura com a Mecânica do Dano (MF&D).
A MFLE só é válida quando a zona de deformação plástica na ponta da fenda, que precede a fractura, for suficientemente reduzida relativamente à extensão da fenda e às dimensões características da estrutura. Adopta-se a MFEP quando a zona de deformação plástica existe e tem dimensões consideráveis e a MF&D quando as características do material não permitem o recurso ao modelo elasto-plástico.
Apresentam-se neste capítulo as ideias básicas e as linhas gerais da evolução destes três modelos principais da Mecânica da Fractura, [4-8].
4.1 Fractura Elástica Linear
Os desenvolvimentos da Mecânica da Fractura anteriores a 1960 são aplicáveis somente a materiais que obedecem à lei de Hooke, ou seja, a materiais com características elásticas lineares. Logo, os conceitos desenvolvidos integram-se na Mecânica da Fractura Linear Elástica.
Embora em 1948 tenham sido propostas correcções para ter em conta fenómenos de plasticidade, as estruturas eram analisadas admitindo um comportamento global elástico linear. As teorias da mecânica da fractura começaram a ser desenvolvidas, a partir de 1960, para ter em conta vários tipos de comportamento não linear do material (plasticidade, viscoplasticidade e dano, por exemplo), assim como efeitos dinâmicos. Esses resultados são, contudo, extensões directas da Mecânica da Fractura Linear Elástica.
Os primeiros estudos da fractura dos materiais tiveram base em informação que remonta ao séc. XV. Com efeito, já Leonardo da Vinci (1452-1519) nos seus manuscritos apresenta experiências que testam a resistência de fios de ferro com diâmetro constante. Com estas experiências, da Vinci
descobriu que a força necessária para fracturar um cabo de ferro varia inversamente com o seu comprimento (‘size effect’). Resultados semelhantes foram obtidos por Lloyd e Le Blanc durante a terceira década do séc. XVIII, utilizando também fios de ferro.
Uma explicação plausível para estes resultados é o facto de todos os materiais estruturais possuírem defeitos que reduzem a sua resistência. Deste modo, quanto maior for a amostra em estudo, maior será a probabilidade de conter defeitos, sendo também menor a sua resistência.
Contudo, o primeiro estudo sistemático do comportamento da fractura numa estrutura foi publicado por A.A. Griffith [9] em 1920. É nesta publicação que são definidas as relações quantitativas entre a dimensão da fenda e a correspondente tensão de fractura. Para a definição destas relações, A.A. Griffith baseou-se em ideias propostas por C.E. Inglis [10].
4.1.1 Contribuição de C.E. Inglis
Em 1913, C.E. Inglis quantificou a concentração de tensões em placas planas com furos elípticos de dimensões 2a e 2b (sendo a e b o maior e o menor eixos da elipse, respectivamente). Considerou que a placa estava sujeita a um carregamento uniforme, , aplicado perpendicularmente ao maior eixo da elipse e admitiu que as tensões na vizinhança do furo elíptico não eram influenciadas pelas condições de fronteira da placa, i.e., que a altura e largura da placa eram muito maiores que 2b e 2a.
Este modelo pode ser representado analiticamente, admitindo que são infinitas as dimensões da placa e solicitando-a numa das direcções por um campo de forças constantes aplicadas no infinito, como se ilustra na Figura 4.1.
Figura 4.1: Placa plana infinita com furo elíptico (C.E. Inglis)
A relação que C.E. Inglis obteve fornece o valor máximo da tensão na extremidade do maior eixo da elipse: 2 1 A a b (4.1) 2b 2a A
Quando a relação entre o maior e o menor eixos da elipse cresce, a elipse passa a ter a aparência duma fenda. Para estes casos, C.E. Inglis introduziu o raio de curvatura na equação (4.1): 2 max b 1 2 onde = a a (4.2)
Contudo, as relações propostas por C.E. Inglis levam a valores de tensão infinitos no furo para raios de curvatura nulos, ou seja, na presença de uma fenda. Este resultado sugere que a rotura surge para valores infinitesimais de carregamento aplicado, o que não se verifica experimentalmente.
4.1.2 Contribuição de A.A. Griffith
Foi o paradoxo acima referido que motivou A.A. Griffith [9] a conceber uma abordagem diferente para a Teoria da Fractura, baseada em conceitos energéticos decorrentes da primeira lei da Termodinâmica. De acordo com essa lei, verifica-se uma diminuição da energia total do sistema quando passa de um estado desequilibrado para um estado equilibrado. Foi esta ideia que A.A. Griffith aplicou à propagação de fendas em meios elásticos.
Segundo A.A. Griffith, a propagação duma fenda verifica-se se a energia potencial total do sistema diminuir após uma propagação infinitesimal da fenda. A energia potencial total, Π , é definida pela soma da energia potencial da placa antes da ocorrência da fenda, Π , com a energia (positiva) 0
necessária à formação de novas superfícies, S, com a energia de deformação (negativa) libertada quando a região em torno da fenda é descarregada, U, e com o trabalho das forças exteriores. A parcela do trabalho das forças exteriores não é considerada uma vez que se assume que a placa está isolada do ambiente circundante:
0
ΠΠ SU (4.3)
O problema estudado corresponde ao de uma placa infinita com uma fenda de comprimento 2a , sujeita a uma tensão remotamente aplicada, conforme representado na Figura 4.2.
Figura 4.2: Placa infinita com fenda (A.A. Griffith)
2a
A energia necessária à formação de novas superfícies por unidade de volume è dada por, 2(2 s)
S a (4.4)
onde s é a energia elástica de superfície (J/m
2
) e o factor 2 é utilizado uma vez que duas superfícies livres são formadas.
A energia de deformação por unidade de volume de material é dada por:
2 2 * ; ( 2 2 E U d E E
material elástico linear) (4.5)Quando se forma uma fenda, a região envolvente é descarregada, dando origem à libertação de energia de deformação. A energia de deformação libertada corresponde à energia de deformação por unidade de volume, com sinal contrário, multiplicada pelo volume da região descarregada.
A região descarregada em torno da fenda tem aproximadamente a forma de um triângulo com altura e base 2a . O parâmetro pode ser escolhido em conformidade com a solução de C.E. a
Inglis e toma o valor de para estados planos de tensão, ficando:
2 2 2 2 2 2 a U a E E (4.6)
O valor da tensão máxima admissível (tensão de fractura) é obtido derivando a energia total em ordem ao aumento infinitesimal de comprimento da fenda (2 ) a e igualando-a a zero. Tendo em conta que a parcela da energia potencial da placa antes da fenda não vai contribuir para a solução final, visto ter valor constante, obtém-se,
2 0 (Π ) 2 0 (2 ) s S U a a E (4.7) que conduz a, 2 s f E a (4.8)
O trabalho de A.A. Griffith foi desenvolvido para materiais elásticos lineares idealmente frágeis, como por exemplo o vidro. Deste modo, a sua solução deixa de ser válida quando aplicada a materiais dúcteis, subestimando a tensão de fractura destes materiais. Isto sucede uma vez que o parâmetro da energia de superfície (de valor constante) deixa de ser suficiente para fornecer um s
modelo de fractura correcto.
Os trabalhos pioneiros de A.A. Griffith foram ignorados durante três décadas, período em que se verificou uma série de desastres com origem em fracturas. O caso dos vastos danos causados nos chamados “Liberty Ships” teve tal impacto que levou à criação do U.S. Naval Research Laboratory, em Washington, para estudar em detalhe o problema da fractura.
4.1.3 Contribuição de G.R. Irwin
Durante a 2ª Grande Guerra, entre 1941 e 1945, foram construídos nos Estados Unidos cerca de 2.700 navios de carga “Liberty”, cujo casco era totalmente soldado. Esta característica é propícia à
propagação de fendas, uma vez que os cascos totalmente soldados funcionam como uma peça única que não oferece barreiras significativas à propagação das fendas. Como consequência, um grande número de navios sofreram fracturas frágeis, com roturas tão extensas que separavam os cascos em duas partes. Foi graças à pesquisa feita no U.S. Naval Research Laboratory, durante a década que se seguiu ao fim da 2ª Grande Guerra, que a Mecânica da Fractura se consagrou uma disciplina da Engenharia e não uma mera curiosidade científica.
Em 1948, G.R. Irwing [11], investigador do U.S. Naval Reserch Laboratory, alterou a solução de A.A. Griffith, tornando-a aplicável a materiais dúcteis. E. Orowan, pela mesma altura, propôs independentemente a mesma alteração. Efectivamente, na maioria dos materiais, grande parte da energia de deformação libertada é absorvida não pela criação de novas superfícies, mas sim pela dissipação de energia devido à plastificação do material na ponta da fenda. Para ter em conta esse efeito, a solução de A.A. Griffith foi generalizada para incluir também o trabalho plástico por unidade de superfície de fenda criada, : p
2 ( s p) f E a (4.9)
Embora G.R. Irwin e E. Orowan tenham chegado a esta equação para o caso dos metais, é possível generalizar a solução de A.A. Griffith para qualquer tipo de energia de dissipação,
2 f f E w a (4.10)
onde w representa a energia de fractura, a qual que pode incluir efeitos de plasticidade, f
viscoplasticidade ou viscoelasticidade.
Em 1956 G.R. Irwin propôs uma abordagem energética do problema da fractura equivalente à de A.A. Griffith, mas formulada dum modo mais conveniente para a resolução de problemas de engenharia. Introduziu o conceito de taxa de libertação de energia, G, que é uma medida da energia de deformação disponível para o incremento infinitesimal do comprimento da fenda, sendo por isso a derivada em ordem ao comprimento da fenda da energia de deformação definida em (4.6):
2 (2 ) U a G a E (4.11)
A propagação da fenda ocorre quando G atinge um valor crítico, Gc, que corresponde à
variação da energia de superfície em ordem a um incremento infinitesimal do comprimento da fenda:
(4 ) 2 (2 ) (2 ) f c f d aw dS G w d a d a (4.12)
A extensão da fenda ocorre, portanto, para G2wf . No entanto, a propagação pode ser estável ou instável, dependendo da variação de G e wf com o comprimento da fenda.
Embora as modificações de G.R. Irwing contemplem a plasticidade dos materiais, a aplicação desta abordagem energética é ainda limitada, por exemplo no que respeita à análise da propagação estável e lenta da fenda, como é o caso do que acontece em processos de fadiga.
4.1.4 Factor de Intensidade de Tensão
Devido às dificuldades práticas decorrentes da abordagem energética, G.R. Irwing desenvolveu, na década de 1950, a abordagem da modelação da fractura recorrendo ao conceito de factor de intensidade de tensão, a qual se mostrou mais útil em termos de engenharia.
Com esta abordagem, e de acordo com os resultados (3.44) e (3.45), o campo de tensões em regime elástico linear na vizinhança da ponta da fenda, em coordenadas polares com origem na ponta da fenda, como se ilustra na Figura 4.3, toma a seguinte forma,
( ) ... 2 ij ij K f r (4.13)
em que f é uma função do ângulo e K representa o factor de intensidade de tensão. Os ij( ) restantes termos em (4.13), de ordem superior em r, podem ser desprezados se r 0,1a . A
grandes distâncias em relação à ponta da fenda, esta relação deixa de ser válida e o valor das tensões pode ser obtido através duma análise onde a fenda não está presente.
Figura 4.3: Estado de tensão na vizinhança da ponta da fenda O factor de intensidade da tensão é dado genericamente por,
K Y a (4.14)
onde é a tensão nominal remotamente aplicada, a é o comprimento da fenda e Y é um parâmetro que depende da geometria da peça em estudo.
Da definição de factor de intensidade de tensão conclui-se que o campo de tensões associado a duas fendas de dimensões diferentes e submetidas a valores de carregamento diferentes será o mesmo desde que o factor de intensidade de tensão seja igual para ambas as fendas.
Como o campo de tensões na vizinhança da ponta da fenda é directamente proporcional a uma única constante, o factor de intensidade de tensão, basta conhecer este parâmetro para a distribuição das tensões ficar totalmente definida. O factor de intensidade de tensão é assim um parâmetro que define a amplitude da singularidade associada à ponta da fenda, ou seja, as tensões nesta zona têm valores proporcionais ao factor de intensidade de tensão. É de notar que, conhecido o factor de intensidade de tensão, não só as tensões passam a ser conhecidas, mas também as
r x xx xy yx yy Fenda y
