ANÁLISE DOS RESULTADOS

A tabela 6.4.1 resume os resultados das aplicações numéricas e os parâmetros mais relevantes.

Os resultados obtidos foram satisfatórios, os erros relativos foram sempre menores que 1% exceto para a última aplicação da Equação de Helmholtz, em que os maiores erros verificaram-se em pontos cujos valores reais são próximos de zero, o que causa distorções nos erros relativos; fora desses pontos a grande maioria apresentou erros menores que 0,5%.

Os exemplos feitos para esse projeto evidenciaram dois fatores relevantes para as respostas obtidas pela aproximação, a saber, o parâmetro c da Função Gaussiana com Raio e o incremento aplicado no Raio para que se atinja o número mínimo de pontos para formação do suporte. Por esse motivo, na descrição do algoritmo no Capítulo 5, o incremento foi definido genericamente como 1.X.

Em todas as aplicações desse projeto, esses dois fatores mencionados invariavelmente apresentaram forte influência sobre a qualidade do método. Entretanto para basear as análises a seguir, mostramos apenas para um caso como esses fatores afetam o resultado.

 Parâmetro c

Para fins de comparação, apresentamos na figura 6-64 a aproximação para a Equação de Helmholtz com f=50 Hz, com os mesmos parâmetros utilizados em 6.3.3 alterando apenas o parâmetro c para c=100.

1 (5x5) 2 (6x6) 1(4x1) 2(4x1) f=0,1 Hz(6x6) f=20 Hz(6x6) f=50 Hz(6x6) *R= Raio do Suporte

Tabela 6.4.1 - Resumo dos Resultados

Aplicação Máximo Número de

Pontos Utilizados

Máximo Erro

Relativo (%) Parâmetro c

Número de Pontos para Suporte Local

Incremento do Raio 1,05 440 0,97 R/2 8-13 1,4 Equação de Laplace 25 0,00 100 16-19 1,4 420 0,87 R/2 9-17 1,25 Equação de Poisson 140 0,20 100 8-10 1,7 1,05 323 0,62 R/2 8-11 1,1 Equação de Helmholtz 32 0,00 100 7-9 399 3,75 R/3 19-54

89 Figura 6-64 Aproximação para 399 Pontos

A aproximação visivelmente perde muita precisão, isso nos leva a analisar com mais atenção a função Gaussiana com Raio para diferentes valores de c. Para isso, plotamos a função com centro em x=5 e raio R=5 para 3 valores distintos de c, c=100 (figura 6-65), c=R/2 (figura 6-66) e c=R/5 (figura 6-67).

Figura 6-65 Gaussiana com Raio c=100

0 1 2 3 4 5 6 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 x(m) u Equação de Helmholtz f= 50 Hz - c=100 Solução Aproximada Solução Exata 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Função Gaussiana com Raio c=100

x

w

(x

90 Figura 6-66 Gaussiana com Raio c=R/2

Figura 6-67 Gaussiana com Raio c=R/5

A diminuição do valor de c aumenta o decaimento da função à zero. Para o MMQM, isso implica que o resíduo quadrático será distribuído numa região menor, em outras palavras, a diminuição do c dará ainda mais importância na aproximação aos pontos mais próximos do ponto em estudo e menos importância aos pontos distantes. O parâmetro c é responsável por definir esse grau de importância.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 x w (x )

Função Gaussiana comn Raio c=R/2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 x w (x )

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Analisando os gráficos acima, para c=100 o ponto x=3 terá w(x) 0,8, já para c=R/2 w(x) 0,5 e para c=R/5 w(x) 0,03, ou seja, há uma perda progressiva da importância do ponto de amostragem xj=5 no suporte do ponto x=3.

Para funções que apresentam variações significativas de valor, caso da Aplicação 2 de Laplace (item 6.1.2) e da Equação de Helmholtz com f=50 Hz (item 6.3.3), a definição de um parâmetro c reduzido, R/2 e R/3 respectivamente, garantiu que o método reproduzisse com sucesso as variações da solução analítica. Já para funções sem variações acentuadas, caso da Aplicação 1 de Laplace (item 6.1.1) e da Equação de Helmholtz com f=0,1 Hz (item 6.3.1), que possuem soluções lineares em uma direção, o parâmetro c não impacta decisivamente na qualidade da aproximação.

 Incremento do Raio

Novamente para fins de comparação, apresentamos na figura 6-68 a Aplicação 2 da Equação de Poisson com 420 pontos (item 6.2.2) alterando apenas o incremento do raio para 1,4.

Figura 6-68 Aproximação para 420 Pontos

Menor Raio do Suporte (Incremento de 1,4) = 0,1882 Máximo Erro Absoluto (Incremento de 1,4) = 4.7029x10-6

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5x 10 -4 x(m) u(m )

Peso Próprio Senoidal N=420 - Incremento = 1,4

Solução Aproximada Solução Exata

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Menor Raio do Suporte (Incremento de 1,25) = 0,1863 Máximo Erro Absoluto (Incremento de 1,25) = 2,2570x10-6

O número de pontos para formação dos suportes locais variou de 9 a 18 pontos, sendo que apenas dois pontos no contorno tiveram suporte de 18 pontos. Para incremento de 1,25, o número de pontos para formação dos suportes locais variou de 9 a 17 pontos.

A figura 6-69 mostra os novos erros absolutos.

Figura 6-69 Erro Absoluto para 420 Pontos

Ressalta-se que os erros cresceram globalmente, não se verificou um aumento localizado dos erros.

O aumento do incremento implicou no pequeno aumento dos Raios dos Suportes, mas isso não implicou no aumento do número de pontos de cada suporte, já que a diferença entre os incrementos é pequena. Apenas para dois pontos no contorno o número de pontos do suporte local aumentou, de 17 para 18. A variação do raio do suporte reflete no valor da função peso para cada ponto.

As aplicações numéricas feitas sugerem que a faixa de variação dos incrementos com melhores resultados é de 1,05 a 1,9, mas nada de definitivo pode-se concluir.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5x 10 -6 x(m) u(m ) Erro Absoluto

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CONCLUSÃO

Esse trabalho teve dois objetivos principais: fazer uma breve introdução aos Métodos sem Malha e aplicar um desses métodos a problemas governados por equações diferenciais parciais.

Para o primeiro objetivo, foram apresentados os conceitos básicos, exemplos de métodos e a evolução cronológica dessa área de conhecimento.

Na segunda parte, foram apresentados dois métodos de interpolação para Métodos sem Malha, a interpolação por Funções de Base Radial e o Método dos Mínimos Quadrados Móveis, com foco nesse último. O Método dos Resíduos Ponderados para resolução de Equações Diferenciais Parciais foi detalhado com especial atenção ao Método da Colocação.

Foi formulado um Método sem Malha, utilizando o MMQM com Método da Colocação. Essa formulação forte foi implementada com o uso do software MATLAB (R2011a) e foi testada para diversos problemas de engenharia.

Os resultados obtidos foram satisfatórios provando a eficiência do método, que não apresenta grandes custos computacionais, as fases mais custosas são a inversão da matriz A, que tem seu condicionamento relacionado ao Raio do Suporte, e a resolução de um sistema de equações lineares, que se estiver bem formulado pode ser resolvido por métodos computacionais convencionais. Nos programas desenvolvidos, foi aplicado o Método de Fatoração LU com Pivoteamento Parcial.

Estudos mais aprofundados da influência do parâmetro c na Função Gaussiana com Raio para o MMQM podem permitir a automação da escolha do valor de c de acordo com o problema. Não foi o escopo desse trabalho, que utilizou apenas uma função Peso, mas um estudo comparativo das diferentes funções peso também pode aprimorar o método.

Por último, ficou comprovado que a definição dos Raios para formação dos suportes locais tem papel central nesse tipo de método, por isso devem ser o foco de trabalhos futuros.

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