Formulação Forte do Método sem Malha usando Colocação Aplicado a Problemas de Potencial e Propagação de Ondas

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Formulação Forte do Método sem Malha usando Colocação

Aplicado a Problemas de Potencial e Propagação de Ondas

Guilherme Cardoso de Salles

Projeto de Graduação apresentado ao Curso de Engenharia Civil da Escola Politécnica, Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários para obtenção do título de Engenheiro.

Orientador:

Prof. José Antônio Fontes Santiago, D. Sc.

Rio de Janeiro Março 2015

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Formulação Forte do Método sem Malha usando Colocação

Aplicado a Problemas de Potencial e Propagação de Ondas

Guilherme Cardoso de Salles

PROJETO DE GRADUAÇÃO DO CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DA ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO.

Examinada por:

________________________________________________ Prof. José Antônio Fontes Santiago, D.Sc. (Orientador)

________________________________________________ Prof. Ricardo Valeriano Alves, D.Sc. ________________________________________________ Prof. Roberto Fernandes de Oliveira, D.Sc.

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL MARÇO 2015

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de Salles, Guilherme Cardoso

Formulação Forte do Método sem Malha usando Colocação Aplicado a Problemas de Potencial e Propagação de Ondas/ Guilherme Cardoso de Salles - Rio de Janeiro: UFRJ/Escola Formulação Forte do Método sem Malha usando Colocação Aplicado a Problemas de Potencial e Propagação de Ondas/ Guilherme Cardoso de Salles - Rio de Janeiro: UFRJ/Escola Politécnica, 2015.

IX, 86 p.: il.;29,7 cm

Orientador: José Antônio Fontes Santiago Projeto de Graduação – Universidade Federal do Rio de Janeiro, Escola Politécnica, Curso de Engenharia Civil, 2015

Referências Bibliográficas: pág 94-96 1 – Métodos sem Malha. 2 – Método da Colocação. 3 – Método dos Mínimos Quadrados Móveis

I. Santiago, José Antônio Fontes. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro III. Formulação Forte do Método sem Malha usando Colocação Aplicado a Problemas de Potencial e Propagação de Ondas

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“Now we grow as we show that the morals we must know Will be shaken and mistaken by the falls along the way” Bad Religion

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AGRADECIMENTOS

O primeiro agradecimento tem que ser a minha família, pois sem eles jamais teria chegado até aqui.

Aos amigos de infância, de longa data por estarem sempre comigo, eles sabem quem são. Aos grandes amigos que fiz nesses 5 anos de graduação na UFRJ.

Aos professores do curso de Engenharia Civil em especial aos que realmente tiveram papel de professor, aqueles que sempre incentivaram a busca pelo conhecimento e me inspiram para ser um grande profissional. Felizmente a maioria dos professores teve esse perfil.

Ao Augusto, Oswaldo e todos da TECTON Engenharia por terem me recebido e tratado sempre tão bem, mais do que os ensinamentos de engenharia (que foram muitos) ficarão os exemplos de honestidade, humanidade, caráter, dedicação e bom humor.

Ao Prof. Santiago, pela grande competência, paciência e tranquilidade para me conduzir nesse projeto, além de ser um exemplo de grande professor e pessoa.

Por último mas não menos importante (ao contrário), o agradecimento aos meus 3 orientadores fundamentais: minha mãe, Claudia, meu pai, Gil, e meu irmão, Daniel, que serão sempre meus guias e protetores. Como diria uma música: “They’re all looking down on you. Inside they know what’s best for you”.

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Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/ UFRJ como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Civil.

Formulação Forte do Método sem Malha usando Colocação Aplicado a

Problemas de Potencial e Propagação de Ondas

Guilherme Cardoso de Salles Março/2015

Orientador: Prof. José Antônio Fontes Santiago, D.Sc. Curso: Engenharia Civil

Os Métodos sem Malha (MSM), recentemente pesquisados, apresentam conceitos inovadores que permitem sua aplicação a classes de problemas resolvidos pelos métodos tradicionais e, principalmente, a outras classes de problemas que esses métodos têm dificuldades de simular, por sua formulação dependente de malha.

Esse projeto trata de uma introdução a um Método sem Malha específico, estabelecendo seus conceitos fundamentais, suas limitações e campos de aplicação. Apresenta-se o Método sem Malha obtido através da formulação forte que utiliza o Método dos Resíduos Ponderados com funções de aproximação construídas pelo Método dos Mínimos Quadrados Móveis. Essa formulação é aplicada para problemas de distribuição de temperatura (Equação de Laplace), problemas de peso próprio (Equação de Poisson) e de propagação de ondas (Equação de Helmholtz) para comparação com as soluções analíticas.

Palavras-chave: Métodos Numéricos, Métodos sem Malha, Método da Colocação, Mínimos Quadrados Móveis

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Abstract of the Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Civil Engineer.

Strong Formulation of the Meshless Method using Collocation Applied

to Potential Problems and Waves Propagation

Guilherme Cardoso de Salles March/2015

Advisor: José Antônio Fontes Santiago (D.Sc.) Course: Civil Engineering

The recently researched Meshless Methods (MSM) present innovative concepts allowing their application to problems solved by traditional methods and, especially, to other types of problems which the latter have difficulties to simulate, due to their mesh-dependent formulation.

This work deals with an introduction to Meshless Methods, establishing their fundamental concepts, limitations and fields of application. The Meshless Method obtained by means of strong formulation is presented using the Weighted Residual Methods with approximation functions constructed by the Moving Least Squares Method. This formulation is applied to problems of temperature distribution (Laplace’s equation), self-weight problems (Poisson's equation) and wave’s propagation (Helmholtz equation) in order to compare with analytical solutions.

Keywords: Numerical Methods, Meshless Methods, Collocation Method, Moving Least Square Approximation

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SUMÁRIO

CAPÍTULO 1 – INTRODUÇÃO ... 10 1.1 MOTIVAÇÃO ... 10 1.2 OBJETIVOS ... 11 1.3 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO ... 11

CAPÍTULO 2 – MÉTODOS SEM MALHA (MESHLESS METHODS) ... 12

2.1 DEFINIÇÃO E CAMPO DE DESENVOLVIMENTO ... 12

2.2 MÉTODOS SEM MALHA E MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS ... 12

2.3 EVOLUÇÃO DOS MÉTODOS SEM MALHA ... 15

2.4 FORMULAÇÕES FORTES E FRACAS ... 16

CAPÍTULO 3 – MÉTODOS DE INTERPOLAÇÃO ... 18

3.1 INTERPOLAÇÃO UTILIZANDO FUNÇÕES DE BASE RADIAL (FBR) ... 18

3.1.1 Considerações Iniciais ... 18

3.1.2 Funções de Base Radial ... 18

3.1.3 Formulação da Interpolação para Função Multiquádrica ... 19

3.1.4 Determinação dos Coeficientes ... 19

3.1.5 Função de Interpolação ... 20

3.1.6 Aplicação do Método ... 20

3.2 MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS MÓVEIS (MMQM) ... 23

3.2.1 Considerações Iniciais ... 23

3.2.2 Formulação Básica ... 23

3.2.3 Determinação da função de interpolação ... 24

3.2.4 Função Peso ... 28

3.2.5 Aplicação do Método ... 32

CAPÍTULO 4 – APLICAÇÃO DOS MÉTODOS DOS RESÍDUOS PONDERADOS EM EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS ... 36

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4.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS ... 36

4.2 CLASSIFICAÇÃO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ... 36

4.3 FORMULAÇÃO GERAL DO MRP ... 37

4.3.1 Método da Colocação... 39

4.3.2 Método de Galerkin ... 41

4.3.3 Método da Subregião ou Subdomínio... 42

CAPÍTULO 5 – IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA ... 43

5.1 MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS MÓVEIS ... 43

5.1.1 Dados de Entrada ... 43

5.1.2 Algoritmo ... 44

5.2 MÉTODO DA COLOCAÇÃO ... 45

5.2.1 Dados de Entrada ... 45

5.2.2 Algoritmo ... 45

CAPÍTULO 6 – APLICAÇÕES NUMÉRICAS ... 47

6.1 EQUAÇÃO DE LAPLACE ... 47 6.1.1 Aplicação 1 ... 47 6.1.2 Aplicação 2 ... 54 6.2 EQUAÇÃO DE POISSON ... 63 6.2.1 Aplicação 1 ... 65 6.2.2 Aplicação 2 ... 71 6.3 EQUAÇÃO DA ONDA ... 79 6.3.1 Frequência de 0,1 Hz ... 81 6.3.2 Frequência 20 Hz ... 83 6.3.3 Frequência de 50 Hz ... 86

6.4 ANÁLISE DOS RESULTADOS ... 88

CONCLUSÃO ... 93

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CAPÍTULO 1 – INTRODUÇÃO

O presente Projeto de Graduação é dirigido para o estudo dos relativamente recentes Métodos sem Malha (Meshless Methods), que representam uma área ainda bastante inexplorada, mas com grande potencial de aplicação a problemas de engenharia.

1.1 MOTIVAÇÃO

Na engenharia civil, sobretudo na análise estrutural, a forma de modelagem de problemas mais utilizada é a por Elementos Finitos. Desenvolvido a partir da análise matricial de estruturas, o Método dos Elementos Finitos (MEF) apresenta maior generalidade que o primeiro ao permitir também análise de estruturas contínuas bi e tridimensionais. Além disso, sua metodologia herdada da análise matricial de montagem de matrizes de rigidez e vetores de cargas nodais equivalentes facilita a implementação computacional. Basicamente o MEF aplicado à análise estrutural parte da discretização do meio contínuo e matrizes de interpolação para determinar deslocamentos em um ponto interior do elemento em função dos seus deslocamentos nodais.

A análise por elementos finitos foi largamente difundida, existem inúmeros softwares no mercado (Ansys, SAP e Abaqus para citar alguns) que utilizam este método para os mais diversos problemas de engenharia desde estruturas mais simples, com não linearidade física e geométrica até problemas geotécnicos, de fluxos térmico e hidráulico.

Entretanto para análises de fenômenos de formação e propagação de descontinuidades, por exemplo, de propagação de fissuras, BARROS (2002) ressalta que é necessária uma série de artifícios numéricos, sobretudo a redefinição da malha, para que as singularidades possam ser adequadamente simuladas pelo MEF. Nesse contexto, os métodos sem malha tornam-se uma ferramenta mais adequada que os métodos dos elementos finitos.

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1.2 OBJETIVOS

O objetivo primário desse projeto é apresentar os conceitos básicos e definidores dos Métodos sem Malha (MSM), estabelecendo-se comparações com os métodos mais tradicionais. Existem várias vertentes dos MSM, porémnão é objetivo do trabalho fazer uma extensa revisão de todas as metodologias, mas sim apresentar uma visão global dos Métodos, que permita a compreensão dos conceitos inovadores desse campo.

Para consolidar a apresentação teórica, aplicações de uma modalidade de Métodos sem Malha a problemas clássicos de Engenharia são feitas, através de programas desenvolvidos com o software Matlab (R2011a).

1.3 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO

No capítulo 2, são apresentados a definição de um Método sem Malha, as principais áreas de aplicação, tipos de formulação possíveis e um breve histórico dos métodos. Além disso, são traçadas comparações entreMSM e o MEF.

O capítulo 3 contempla os métodos de interpolação, especificamente os por Função de Base Radial (FBR) com suporte global e dos Mínimos Quadrados Móveis (MMQM) com suporte local, ambos são utilizados como funções de aproximação sem Malha.

No Capítulo 4, o Método dos Resíduos Ponderados em Equações Diferenciais é descrito com especial atenção ao Método da Colocação, que será empregado na aplicação numérica.

A implementação numérica dos Métodos da Colocação e dos Mínimos Quadrados Móveis é feita no Capítulo 5, com a descrição dos algoritmos aplicados.

Os exemplos de aplicação numérica a Equações de Poisson, Laplace e de propagação de ondas com o programa desenvolvido no MATLAB (R2011a) são apresentados no Capítulo 6.

Finalmente, o capítulo 7 apresenta as conclusões e futuros caminhos de estudo.

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CAPÍTULO 2

– MÉTODOS SEM MALHA (MESHLESS

METHODS)

2.1 DEFINIÇÃO E CAMPO DE DESENVOLVIMENTO

Segundo DUARTE (1995), Métodos sem Malha são métodos numéricos para solução de problemas de valor de contorno, PVC, cujas equações básicas de governo do modelo discreto independem da definição de uma malha.

O principal campo de utilização dos Meshfree Methods é nas simulações de processos de extrusão e moldagem, análises de formação e propagação de descontinuidades, as chamadas Mecânica do Dano Contínuo (MDC) e Mecânica da Fratura, problemas de grandes deformações e de contornos variáveis. Por construírem aproximações apenas em termos dos nós, os métodos sem Malha são ideais para essa classe de fenômenos (BELYTSCHKO et al, 1996).

2.2 MÉTODOS SEM MALHA E MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

A definição dos Métodos sem Malha evidencia a principal diferença para o Método dos Elementos Finitos. Para o último é fundamental a definição da malha de elementos e pontos e o estabelecimento das conectividades entre os mesmos.

Ao contrário dos Métodos sem Malha, a utilização dos Métodos dos Elementos Finitos para os problemas citados anteriormente exige a redefinição da malha a cada evolução do problema de forma a coincidir com as descontinuidades ou contornos, isso pode gerar a degradação da precisão dos resultados além de dificultar a implementação computacional e tornar o processo como um todo mais lento (BELYTSCHKO et al, 1996).

Outra limitação do Método dos Elementos Finitos (LIU, 2010) reside no fato que o lançamento de uma boa malha é um pré-requisito do método e esse é um processo que depende basicamente do usuário, sua automação é algo complicado de realizar.

Ao construir aproximações dependentes apenas de pontos, os Meshless Methods contornam grande parte dos problemas descritos no parágrafo anterior. Entretanto,

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BELYTSCHKO et al.(1996) ressalta que em vários dos Métodos Sem Malha, algumas etapas necessitam da definição de uma malha, sobretudo na fase de integração no domínio do problema em formulações enfraquecidas. Deve ser observado que as malhas passam a desempenhar um papel coadjuvante, a qualidade delas não é fundamental para a solução. Nesse contexto, LIU (2010) define informalmente Meshfree Methods como métodos em que malhas podem ser geradas automaticamente, não têm importância vital para a solução e as operações numéricas (integração, interpolação etc) não dependem do estabelecimento de elementos como no MEF.

A primeira vista parece ser então mais vantajoso utilizar amplamente os Métodos sem Malha, já que apresentam maior versatilidade, entretanto estes ainda não apresentam um nível de desenvolvimento/estudo comparável ao MEF e, portanto, são mais lentos e menos robustos, o que ainda não compensa totalmente seu uso. Dessa forma, a técnica mais vantajosa é acoplar os dois métodos no mesmo problema, utilizando o Meshless apenas nos sub-domínios em que são esperados problemas de descontinuidades (BELYTSCHKO et al., 1996).

Existe ainda o chamado Método dos Elementos Finitos Generalizados (MEFG), que pode ser considerado um meio termo entre o MEF e os Métodos Sem Malha, pois emprega estratégias do último dentro de uma estrutura típica do primeiro mas minimizando a importância da malha. Como referência podemos citar BARROS (2002) que apresenta a formulação do MEFG e o aplica a problemas de mecânica do dano contínuo.

O fluxograma abaixo (figura 2-1) traduzido de LIU (2010) resume as principais diferenças entre as duas abordagens para formulações enfraquecidas de problemas da mecânica dos sólidos.

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14 Figura 2-1 Fluxograma MEF e Meshless

Aspectos relevantes em relação às funções de forma e aos métodos de integração das duas abordagens podem ser apontados:

 Quanto às funções de forma

No Método dos Elementos Finitos, as funções de forma dependem do tipo de elemento adotado. Existe uma biblioteca de elementos consagrados já com funções de forma definidas, por exemplo, Elementos CST, Isoparamétricos, Elementos da Família Serendipity, da Família de Lagrange. Cabe ao usuário identificar qual tipo de elemento melhor simulará a estrutura a ser analisada. Para os Métodos sem Malha, as funções de forma variam de acordo com a localização do ponto e dependem dos pontos vizinhos a

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ele, conhecidos como suporte local. Essa característica confere grande flexibilidade à construção de funções de forma nos processos sem Malha.

 Quanto à integração no domínio do problema

No MEF, a forma de integração é bem estabelecida e confiável, a integral é feita por métodos numéricos, principalmente pela Quadratura Gaussiana, em cada elemento, e a soma delas fornece a integral em todo o domínio. Já nos Métodos sem Malha, a integração exige maiores cuidados e geralmente recorre-se a criação de background cells, uma espécie de malha. Formas de definição dessa malha variam de acordo com o método.

Para a grande maioria dos pesquisadores que trabalham nesta área, o verdadeiro Método sem Malha é aquele que não utiliza nenhum tipo de elementos com suas conectividades e muito menos células, dividindo toda a região, para a integração numérica.

2.3 EVOLUÇÃO DOS MÉTODOS SEM MALHA

Os Métodos sem Malha surgiram na década de 70, entretanto até 1990 não houve grande interesse em pesquisas para seu desenvolvimento. O ponto de partida para o Método foi o Smooth Particle Hydrodinamics (SPH), apresentado por LUCY (1977) e utilizado na modelagem de fenômenos astrofísicos sem contornos como explosões de estrelas e nuvens de poeira. Somente na década de 90 surgiu uma nova vertente para a elaboração dos Meshfree Methods, que utilizava o Moving Least Square Approximation (MLS) ou Método dos Mínimos Quadrados Móveis (MMQM). Originalmente, o MMQM foi proposto por matemáticos (LANCASTER e SALKAUSKAS 1981) para ajuste de curvas e superfícies.

NAYROLES et al.(1992) foram os primeiros a utilizar o MLS no chamado Método dos Elementos Difusos (Diffuse Element Method). Posteriormente, BELYTSCHKO et al. (1994) modificou o método, o que deu origem ao método Element-free Galerkin (EFG). BABUSKA e MELENK (1995) e LIU et al.(1996) foram os primeiros a provar a convergência dos métodos. Estudos mais recentes focam na

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integração numérica aplicada nos Meshless Methods, como os de BABUSKA et al. (2009), KHOSRAVIFARD e HEMATIYAN(2010) e RACZ e BUI(2012).

Abordagens sem malha voltadas para resolução de Equações Diferenciais Parciais, que são o foco desse trabalho, tiveram seus primeiros registros em HARDY (1971), com o uso de Funções de Base Radial para interpolação e em KANSA (1990), com a aplicação em equações diferenciais.

2.4 FORMULAÇÕES FORTES E FRACAS

Duas abordagens podem ser utilizadas para a resolução de um problema de engenharia governado por uma Equação Diferencial Parcial (EDP), a formulação forte e a formulação fraca.

Na primeira, o objeto de estudo é diretamente a EDP, isto é, a partir da discretização do fenômeno são aplicados métodos para resolução da Equação governante. Essa formulação será aplicada nos problemas apresentados nesse trabalho. Nas formulações fracas, primeiro é estabelecida uma forma alternativa de equações que governam o fenômeno e essas equações são resolvidas. Em geral, as equações “enfraquecidas” são da forma integral, ou seja, a resolução avalia o comportamento global do sistema e busca a solução que melhor balanceia esse comportamento (LIU 2010).

A abordagem por energia é um exemplo de formulação variacional, considerada como fraca por alguns pesquisadores, por exemplo em LIU (2010). Nela calcula-se a Energia Potencial Total do sistema e aplica-se o princípio da Energia Potencial Total Estacionária para determinar o campo de deslocamentos que extremiza a Energia Total. A avaliação por energia exige apenas a existência de derivadas primeiras das tensões e deformações, uma condição que justificaria sua eventual classificação como formulação fraca.

Sobre as duas abordagens, LIU (2010) afirma que formulações enfraquecidas são mais confiáveis, estáveis, robustas, eficientes e precisas.

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O método dos Elementos Finitos possui formulação enfraquecida, já os Métodos sem Malha podem ser formulados das duas formas.

Os principais Métodos sem Malha com Formulação Enfraquecida são:

 Smooth Particle Hydrodynamics (SPH) – LUCY (1977) e MONAGHAN (1982): utiliza aproximação por partículas e funções de Kernel para aproximar parâmetros físicos

 Diffuse Element Method (DEM) – NAYROLES et al.(1992): utiliza funções de forma construídas pelo Método dos Mínimos Quadrados Móveis e formulação de Galerkin

 Element-free Galerkin (EFG) – BELYTSCHKO et al. (1994): semelhante ao DEM, apresenta algumas modificações como utilização de mais pontos de integração e consideração mais precisa das derivadas das funções de aproximação

 Partition of Unity Methods – BABUSKA e MELENK (1995)  Meshless Local Petrov-Galerkin (MLPG) – SLADEK et al. (2013) Podemos citar como Métodos sem Malha com Formulação Forte:

 Finite Point Method – ONATE et al.(1996): gera funções pelo Moving Least Square Approximation e utiliza o método da Colocação

 Stabilized local collocation method – LIU e KEE (2006), KEE et al.(2007)

 Método das Nuvens hp – DUARTE e ODEN (1995): utiliza funções de forma construídas a partir de Partições da Unidade. Pode ter também uma formulação enfraquecida.

A parte dos métodos já conhecidos e bem estabelecidos, qualquer método que se proponha a analisar um fenômeno sem depender fundamentalmente do estabelecimento de elementos (grid), mas apenas em termos de pontos é considerado um Método sem Malha.

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18

CAPÍTULO 3 – MÉTODOS DE INTERPOLAÇÃO

Interpolar uma função f(x) consiste em aproximar essa função por uma outra função g(x), escolhida entre uma classe de funções definida a priori e que satisfaça algumas propriedades (RUGGIERO e LOPES, 1996). Para fazer essa aproximação são conhecidos os valores de f(x) para N pontos distintos x1, ..., xN e a função g(x) deve

atender a g(xi) = f(xi) para i = 1, ..., N.

Existem diversos meios de interpolar curvas e superfícies, nesse trabalho nos interessam os métodos empregados por formulações sem Malha.

3.1 INTERPOLAÇÃO UTILIZANDO FUNÇÕES DE BASE RADIAL (FBR)

3.1.1 Considerações Iniciais

O primeiro trabalho de pesquisa usando Funções de Base Radial para métodos de interpolação foi o de HARDY (1971), que desenvolveu o método para aproximação de superfícies geográficas. MICCHELLI (1986) mostrou que a interpolação por FBR sempre resulta em um sistema que pode ser resolvido. Posteriormente, KANSA (1990) aplicou com sucesso o método a equações diferenciais parciais parabólicas, hiperbólicas e elípticas.

3.1.2 Funções de Base Radial

Funções de Base Radial podem ser definidas como funções que apresentam simetria radial, isto é, dependem apenas da distância de um ponto genérico x ao centro da função xj. Essas funções podem ter suporte global (definidas em todo o domínio) ou

local (compactas).

Alguns exemplos de funções de base radial são:

 Multiquádrica - , sendo c uma constante  Multiquádrica Recíproca –

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19

constante

 Gaussiana – _{, sendo c uma constante}

3.1.3 Formulação da Interpolação para Função

Multiquádrica

Considera-se uma função aproximadora de f(x) da seguinte forma:

(3.1)

Onde N é o número de pontos xj distribuídos no domínio e contorno cujos valores de f(xj) são conhecidos.

é a função de base radial utilizada (multiquádrica): A constante c deve atender:

são os coeficientes a determinar que combinam as funções de base radial

3.1.4 Determinação dos Coeficientes

Será adotado um suporte global, isto é, serão considerados todos os N pontos sob influência do ponto de interesse xi. Deve-se verificar para interpolação:

(3.2)

Para i=1, ..., N

(20)

20

Expandindo em matrizes a equação 3.2, tem-se então um sistema linear para determinar : 3.1.5 Função de Interpolação

A função aproximada em 3.1 pode ser reescrita da seguinte forma:

(3.3a)

Sendo a função de interpolação:

A equação (3.3a) escrita matricialmente é da forma:

(3.3b)

3.1.6 Aplicação do Método

A seguir é apresentado um exemplo de aplicação do método: A função a ser interpolada é:

para

Obtém-se as seguintes aproximações, para as quantidades N de pontos igualmente espaçados:

(21)

21

 N=5

Figura 3-1 Interpolação por FBR N=5

 N=10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 x f(x ) Interpolação com FBR N=5 Pontos Considerados Função Aproximada Função Exata 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 x f(x ) Interpolação com FBR N=10 Pontos Considerados Função Aproximada Função Exata

(22)

22

 N=20

 N=40

Claramente, com o aumento da quantidade de pontos a função de aproximação se aproxima da solução exata.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 x f(x ) Interpolação com FBR N=20 Pontos Considerados Solução Aproximada Solução Exata 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 x f(x ) Interpolação com FBR N=40 Pontos Considerados Função Aproximada Função Exata

(23)

23

3.2 MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS MÓVEIS (MMQM)

3.2.1 Considerações Iniciais

O Método dos Mínimos Quadrados Móveis é uma variação do bastante conhecido método dos Mínimos Quadrados (RIVLIN, 1969). A grande diferença entre os dois reside na utilização de uma função peso no MQM que acompanha o ponto a ser aproximado.

Figura 3-5 Função Peso para cada Ponto

Para a implementação computacional desse projeto, empregou-se para construção das funções de aproximação o Método dos Mínimos Quadrados Móveis, além disso, diversos Métodos sem Malha utilizam essa formulação para as funções de forma.

3.2.2 Formulação Básica

Uma determinada função u(x), com valores conhecidos em determinados pontos do domínio (xj, u(xj)) é aproximada pela função aproximada , dada conforme

(24)

24 (3.4a) Ou na forma matricial: (3.4b)

Onde pi(x) corresponde a uma base completa de m monômios e ai(x) são os

coeficientes a determinar que combinam os monômios. Alguns exemplos de bases de monômios são:

Base linear unidimensional: pT = (1,x) m=2

Base linear bidimensional: pT = (1,x,y) m=3

Base quadrática unidimensional: pT = (1,x,x²) m=3

Base quadrática bidimensional: pT = (1,x,y,x²,xy,y²) m=6

Para casos bidimensionais a fórmula abaixo pode ser utilizada para determinar o número de termos da base de monômios:

Sendo

mb = 1 para base linear

mb = 2 para base quadrática

mb = 3 para base cúbica e assim sucessivamente

3.2.3 Determinação da função de interpolação

Para o suporte local de x, isto é, o subdomínio onde é interpolado a partir dos pontos conhecidos xj, podemos reescrever a função aproximada como no ponto x com a contribuição dos monômios aplicados em xj :

(25)

25

(3.5)

Adota-se um raio do suporte Rj para o estabelecimento do suporte local de cada

ponto x. Esse raio deve garantir no mínimo um número de pontos n(x), tal que n(x) ≥ m dentro do suporte.

Figura 3-6 Suporte local para um ponto genérico (x,y)

Uma função J(x) de resíduo quadrático ponderado pode ser construída usando os valores aproximados :

(26)

26

Sendo:

n a quantidade de pontos no suporte local de x a função peso

o valor conhecido de u(x) no ponto xj

Substituindo a expressão 3.5 de na fórmula 3.6 do Resíduo:

(3.7)

Matricialmente J(x) pode ser escrito conforme abaixo:

(3.8) Onde: (n x m) Matriz Diagonal (n x n) Matriz Coluna (n x 1) Matriz Coluna (m x 1)

O valor de a(x) será aquele que minimizar J(x):

(27)

27

Derivando a expressão 3.8 e igualando a zero, chega-se a:

(3.9)

(3.10)

Fazendo os produtos de matrizes em 3.10, tem-se:

(3.11)

Sendo:

Matriz (m x n)

Matriz Simétrica (m x m) Finalmente a(x) é obtido de 3.11:

_(3.12)

Retornando à expressão inicial 3.4b de :

_(3.13)

A função de interpolação pode ser definida como:

_(3.14)

Sendo Matriz Linha (1 x n)

(28)

28 (3.15a) ou algebricamente: (3.15b)

O cálculo da inversa de A(x) para cada ponto analisado é uma das etapas mais custosas computacionalmente do método e está diretamente ligada à escolha do raio do suporte Rj. A condição de n(x) ≥ m é necessária, mas não suficiente para a existência de

A-1(x) (DUARTE 1996). Por outro lado, raios muito elevados podem levar a perda de localidade da aproximação. Essas restrições afetam a liberdade de definição da distribuição nodal.

Uma alternativa para o enriquecimento da aproximação é a introdução de novos termos de graus mais elevados na base de monômios, o que pode levar a matrizes A de elevada ordem, representando outra possível dificuldade computacional (BARROS 2002).

3.2.4 Função Peso

A escolha da função peso (w) é um dos fatores mais importantes para a qualidade da aproximação pelo Moving Least Square, pois é o que garante a localidade do suporte e a compatibilidade das funções de forma do método. Em FERREIRA (2003) um exemplo simples, reproduzido a seguir, ratifica essa afirmação. Para aproximar o valor de ln(10) foram utilizadas duas funções peso diferentes e mantendo-se os demais parâmetros iguais, a saber, mesma bamantendo-se de monômios (linear) e mesma quantidade de pontos de amostragem (0, 0.01, 1, 2, 3, ...19, 20). No primeiro caso, a função peso adotada foi uma função constante, ao passo que no segundo, foi adotada uma função peso nula em todos os pontos exceto para valores de x entre 7 e 11.

Nos gráficos a seguir, as curvas em azul são as funções a serem aproximadas, com os pontos conhecidos marcados, as curvas em rosa são as funções peso e em vermelho são os polinômios de 1º grau calculados pela aproximação.

(29)

29 Figura 3-7 Gráficos de aproximação para Funções Peso distintas (Ferreira(2003))

A primeira função peso tratou indiscriminadamente pontos próximos de x=10 e pontos distantes na minimização do erro; já a segunda função considerou apenas os pontos mais próximos de x=10 ao ser nula fora das proximidades dele. Como consequência disso, os resultados ficaram muito mais próximos do correto na segunda situação.

Genericamente, a função peso deve possuir um formato de “sino”, isto é, deve possuir um valor máximo no centro e um decaimento rápido. Se , então a interpolação dos pontos de amostragem é alcançada (FERREIRA, 2003). Como as funções peso em geral não atendem a essa última condição, o MMQM aproxima os pontos da amostragem, ainda assim o método é frequentemente referido como uma interpolação. LANCASTER e SALKAUSKAS (1981) propõem a introdução de singularidades nas funções peso para garantir a condição de interpolação.

Para ser válida, a função peso deve atender às seguintes exigências (MONAGHAN, 1982):

 (Positividade) dentro do domínio Ω  fora do domínio Ω

 deve ser um função monótona decrescente, a partir do centro.

(30)

30

 quando

Existem inúmeras funções que atendem às condições descritas acima. Serão apresentadas a seguir três das funções mais utilizadas.

 Função Gaussiana Simples

Tem a seguinte fórmula geral para o caso bidimensional:

Onde é a amplitude e são constantes

A função para , considerando y=cte

=0 e centrada em xj=5, está

representada graficamente na figura 3-8.

Figura 3-8 Função Gaussiana Simples

 Função Gaussiana com Raio Tem a seguinte fórmula geral:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 x w (x )

(31)

31

Sendo P o ponto em estudo, Pj o centro do suporte

a distância euclidiana entre os dois pontos Rj é o raio adotado para o suporte

c uma constante arbitrária

A função com variáveis (x,y) para , Rj=5 considerando y=cte=0 e

centrada em xj=5 está representada na figura 3-9.

Figura 3-9 Função Gaussiana com Raio

 Função Spline

Tem a seguinte fórmula geral:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 x w (x )

(32)

32 A função com variáveis (x,y) para Rj=5 considerando y=cte=0 e centrada em xj=5

está representada na figura 3-10.

Figura 3-10 Função Spline

3.2.5 Aplicação do Método

Como exemplo, a mesma função utilizada no exemplo para interpolação por FBR é analisada pelo MMQM:

para

A função Gaussiana Simples é utilizada como função peso, definida conforme anteriormente.

Obtém-se as seguintes aproximações, para as quantidades N de pontos igualmente espaçados no intervalo em estudo:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 x w (x )

(33)

33

 N= 5

Figura 3-11 Aproximação pelo MMQM para N=5

 N=10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 x f(x ) MMQM N=5 pontos considerados Solução Exata Solução Aproximada 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 x f(x ) MMQM N=10 Pontos considerados Solução Exata Solução Aproximada

(34)

34

 N=20

 N=40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 x f(x ) MMQM N=20 Pontos considerados Solução Exata Solução Aproximada 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 x f(x ) MMQM N=40 Pontos considerados Solução Exata Solução Aproximada

(35)

35 Figura 3-15 Erro Relativo da Aproximação para N=40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 x Erro Erro Relativo MMQM N=40

(36)

36

CAPÍTULO 4

– APLICAÇÃO DOS MÉTODOS DOS

RESÍDUOS PONDERADOS EM EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

PARCIAIS

4.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS

O Método dos Resíduos Ponderados (MRP) é uma ferramenta numérica para resolução de equações diferenciais parciais que pode ser utilizado para resoluções de problemas com formulação forte ou fraca. O método consiste em aproximar a solução de uma EDP por combinações de funções conhecidas com coeficientes a determinar (LEMOS, 2007).

A substituição da aproximação na EDP gera um resíduo, a partir da distribuição desse resíduo nos domínio e contorno do sistema é possível determinar os coeficientes da solução aproximada. LEMOS (2007) resume o método em três etapas fundamentais:

1. Escolha da função tentativa (função de aproximação)

2. Escolha de um critério de ponderação para o cálculo da média ponderada do resíduo

3. Obtenção da solução aproximada

O mesmo trabalho ressalta que a seleção da função tentativa depende da intuição e da experiência do usuário, o que representa a maior limitação do método.

Antes de proceder à formulação do Método dos Resíduos Ponderados, será feita uma breve revisão da classificação das Equações Diferenciais.

4.2 CLASSIFICAÇÃO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

As equações diferenciais podem ser classificadas como ordinárias ou parciais: a primeira envolve apenas derivadas de uma função de uma só variável já a segunda envolve derivadas parciais de funções de mais de uma variável.

(37)

37

Uma equação diferencial parcial (EDP) de 2ª ordem com duas variáveis independentes x,y tem a seguinte fórmula geral, utilizando notação indicial para as derivadas:

Onde a, b, c, d, e, f, g são constantes ou funções das variáveis independentes e u(x,y) é também função das variáveis independentes

Os coeficientes a, b e c devem atender:

Para coeficientes a, b e c constantes, as EDPs podem ser classificadas conforme abaixo:

 Hiperbólicas: se - Ex: Equação da Onda  Parabólicas: se - Ex: Equação de Fourier

 Elípticas se: - Ex: Equação de Laplace/Equação de Poisson

4.3 FORMULAÇÃO GERAL DO MRP

Dada uma equação diferencial, aplicada em um domínio Ω e contorno Γ:

(38)

38

Sendo um operador diferencial

u(x) e g(x) funções da variável independente x No contorno (Γ= Γd Γn ), temos as seguinte condições:

 Dirichlet em Γd (essenciais ou diretas)

 Neumann em Γn (naturais)

A solução aproximada é da forma:

(4.1)

Sendo , k=1,2,...N os pontos da colocação

e a função de interpolação que dependerá do Método sem malha aplicado

A função resíduo no domínio e no contorno surgirá da aplicação da equação diferencial e das condições de contorno na solução aproximada.

No domínio: (4.2a) No contorno: (4.2b) (4.2c)

(39)

39

No domínio, substituindo 4.1 em 4.2a:

Uma função de ponderação w(x) pode ser definida para distribuir o resíduo:

Sendo coeficientes arbitrários

funções linearmente independentes e

N o número de equações obtidas nos pontos do domínio Os resíduos ponderados serão:

(4.3)

Os resíduos podem ser tratados de diferentes formas de acordo com o método utilizado: método da Penalidade, Multiplicadores de Lagrange, Método da Colocação, Método de Galerkin ou Método de Subregião. Trataremos a seguir apenas dos três últimos citados, mas com atenção especial ao Método da Colocação.

4.3.1 Método da Colocação

Nesse caso, a função escolhida para ponderar o resíduo obriga que este seja nulo nos pontos escolhidos do domínio (pontos da colocação), ou seja, a equação diferencial é atendida nesses pontos. Além disso, opta-se por garantir o atendimento às condições de contorno. A imposição dessas condições leva a um sistema linear para determinação dos coeficientes que fazem parte da solução aproximada do problema.

(40)

40

No contorno o resíduo será nulo, portanto o resíduo total em 4.3 será apenas o do domínio (4.2a):

A função escolhida para ponderar a distribuição do resíduo é a seguinte:

(4.4)

Sendo constantes arbitrárias e funções Delta de Dirac

A função Delta de Dirac tem as seguintes propriedades:  para x≠ xi

 para x= xi



O produto interno do Resíduo e da Função de Ponderação, isto é, a média ponderada do Resíduo, deve ser nulo:

(4.5)

Substituindo as expressões 4.2a e 4.4 em 4.5:

(41)

41

Aplicando a terceira propriedade da função Delta de Dirac, o resultado será:

(4.7)

Para a equação 4.7 temos a solução trivial ( ) ou:

(4.8)

Para i=1, ..., N

Introduzindo nesse sistema de equações (4.8) também as condições de contorno, o sistema pode ser resolvido e assim os valores de são determinados. Em resumo, a solução aproximada atende às condições de contorno e à equação diferencial nos pontos da colocação.

É importante notar que a função de ponderação escolhida eliminou a necessidade de integração do Método.

4.3.2 Método de Galerkin

No Método de Galerkin, utilizam-se as próprias funções de interpolação como função de ponderação:

(42)

42

4.3.3 Método da Subregião ou Subdomínio

Nesse método as funções ponderadoras são a unidade, , o que equivale a exigir que a integral do resíduo seja nula em determinados intervalos do domínio:

Para i=1, ..., N

(43)

43

CAPÍTULO 5 – IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA

Os métodos dos Mínimos Quadrados Móveis e da Colocação foram programados utilizando o MATLAB (R2011a) para funções de duas variáveis. Os algoritmos aplicados para o desenvolvimento desses programas são apresentados a seguir.

5.1 MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS MÓVEIS

5.1.1 Dados de Entrada O programa recebe como dados de entrada:

 Coordenadas dos pontos conhecidos, na forma X = [ x1 y1 ; x2 y2; ... ; xN

yN ], matriz (N x 2)

 Coordenadas dos pontos que se deseja aproximar o valor da função, na forma Z = [ x’1 y’1 ; x’2 y’2; ... ; x’v y’v ], matriz (v x 2)

(44)

44

5.1.2 Algoritmo

LER NÚMERO DE LINHAS DAS MATRIZES X e Z

INICIALIZAR O PROCESSO ITERATIVO PARA CÁLCULO DA MENOR DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS:

DEFINIR VARIAVEL distanciamínima = 1

PARA avanço = 1,..., v FAZER:

CALCULAR DISTANCIA ENTRE (x1,y1) E ( x’avanço, y’avanço ) =

SE DISTANCIA< distanciaminima:

distanciaminima=DISTANCIA

FIM DO PARA avanço = 1,..., v FAZER

FIM DO CALCULO DA MENOR DISTANCIA ENTRE DOIS PONTOS

INICIALIZAR PROCESSO ITERATIVO PARA CÁLCULO DA FUNÇÃO APROXIMADA NO PONTO (x’I, y’I):

PARA I = 1, ..., v FAZER:

DEFINIR VARIÁVEL RAIO=distanciaminima

INICIALIZAR PROCESSO ITERATIVO PARA VERIFICAÇÃO DO RAIO:

SE QUANTIDADE DE PONTOS DENTRO DO SUPORTE DE (x’I, y’I) FOR MENOR QUE O NÚMERO MÍNIMO DE

PONTOS DE ACORDO COM A BASE (3 PARA BASE LINEAR E 6 PARA BASE QUADRÁTICA):

INCREMENTAR RAIO=RAIO*1.X E REFAZER O PROCESSO DE VERIFICAÇÃO DO RAIO

FIM DO PROCESSO DE VERIFICAÇÃO DO RAIO

INICIALIZAR PROCESSO DE MONTAGEM DAS MATRIZES W, P, u:

PARA i=1,..., N FAZER:

SE DISTANCIA ENTRE (x’I, y’I) E (xi, yi) FOR MENOR QUE RAIO:

ADICIONAR ELEMENTOS NAS MATRIZES W, P, u RELACIONADOS A (xi, yi)

FIM DO PARA i=1,..., N

FIM DO PROCESSO DE MONTAGEM DAS MATRIZES W, P, u

CALCULAR A=PT

*W*P

SE A NÃO FOR INVERTIVEL:

INCREMENTAR RAIO=RAIO*1.05 E REFAZER LAÇO PARA i=1,..., N FAZER - MONTAGEM DE W, P, u

CALCULAR B

MONTAR p MATRIZ LINHA DE MONÔMIOS APLICADOS NO PONTO (x’I, y’I):

CALCULAR VALOR DA FUNÇÃO APROXIMADA=p*A-1*

B*u

IMPRIMIR O VALOR DA FUNÇÃO APROXIMADA

FIM DO PARA I = 1, ..., v FAZER

FIM DO PROCESSO ITERATIVO DE CÁLCULO DA FUNÇÃO APROXIMADA NO PONTO (x’I, y’I)

(45)

45

5.2 MÉTODO DA COLOCAÇÃO

5.2.1 Dados de Entrada O programa recebe como dados de entrada:

 Coordenadas dos pontos da colocação, da forma X = [ x1 y1 ; x2 y2; ... ; xN

yN ], matriz Nx2

 Base de Monômios escolhida (1- Base Linear/ 2- Base Quadrática) 5.2.2 Algoritmo

(46)

46

LER NÚMERO DE LINHAS (N) DA MATRIZ X

INICIALIZAR O PROCESSO ITERATIVO PARA CÁLCULO DA MENOR DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS:

distanciamínima = 1 PARA avanço = 1,..., N FAZER

CALCULAR DISTANCIA ENTRE (x1,y1) E ( xavanço, yavanço ) =

SE DISTANCIA< distanciaminima:

distanciaminima=DISTANCIA

FIM DO PARA avanço = 1,..., N

FIM DO CALCULO DA MENOR DISTANCIA ENTRE DOIS PONTOS.

INICIALIZAR PROCESSO ITERATIVO PARA MONTAGEM DAS MATRIZES R E Y QUE FORMARÃO O SISTEMA DE EQUAÇÕES:

INICIALIZAR MATRIZES R e Y PARA I = 1, ..., N FAZER:

INICIALIZAR MATRIZ W, P, A, B, u

DEFINIR VARIÁVEL RAIO=distanciaminima

INICIALIZAR PROCESSO ITERATIVO PARA VERIFICAÇÃO DO RAIO:

SE QUANTIDADE DE PONTOS DENTRO DO SUPORTE DE (xI, yI) FOR MENOR QUE O NÚMERO MÍNIMO DE PONTOS

DE ACORDO COM A BASE (3 PARA BASE LINEAR E 6 PARA BASE QUADRÁTICA):

INCREMENTAR RAIO=RAIO*1.X E REFAZER O PROCESSO DE VERIFICAÇÃO DO RAIO FIM DO PROCESSO DE VERIFICAÇÃO DO RAIO

MONTAGEM DAS MATRIZES W, P, u:

PARA i=1,..., N FAZER:

SE DISTANCIA ENTRE (xI, yI) E (xi, yi) FOR MENOR QUE RAIO:

ADICIONAR ELEMENTOS NAS MATRIZES W, P, u RELACIONADOS A (xi, yi)

CALCULAR DERIVADAS DE W

FIM DO PARA i=1,..., N MATRIZES W E SUAS DERIVADAS, P, u MONTADAS

CALCULAR A=PT

*W*P SE A NÃO FOR INVERTIVEL:

INCREMENTAR RAIO=RAIO*1.05 E REFAZER LAÇO PARA i=1,..., N FAZER - MONTAGEM DE W, P, u CALCULAR B

MONTAR p MATRIZ LINHA DE MONÔMIOS APLICADOS NO PONTO (xI, yI)

SE PONTO (xI, yI) ESTIVER NO CONTORNO:

MONTAR PRODUTO=p*A-1*

B E ARMAZENÁ-LO NA LINHA I DA MATRIZ R ARMAZENAR VALOR DE CONTORNO NA LINHA I NA MATRIZ Y SE NÃO:

APLICAR FUNÇÃO APROXIMADA NA EQUAÇÃO DIFERENCIAL E ARMAZENAR NA LINHA I DA MATRIZ R ARMAZENAR 0 NA LINHA I NA MATRIZ Y

FIM DO PARA I = 1, ..., N FAZER

FIM DO PROCESSO ITERATIVO PARA MONTAGEM DAS MATRIZES R E Y RESOLVER O SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES

IMPRIMIR k FIM

(47)

47

CAPÍTULO 6 – APLICAÇÕES NUMÉRICAS

Para as aplicações numéricas desse projeto foi utilizado um Método sem Malha baseado na formulação do Método da Colocação utilizando o Método dos Mínimos Quadrados Móveis para as funções de aproximação.

6.1 EQUAÇÃO DE LAPLACE

A equação de Laplace governa diversos problemas: distribuição de temperatura, potencial (eletromagnético, gravitacional), torção em barras etc. Pode ser escrita da seguinte forma para duas variáveis:

Duas aplicações para a equação de distribuição de temperatura são consideradas:  Em uma chapa quadrada com dois lados com temperaturas constantes e

demais lados isolados (Aplicação 1)

 Em uma chapa quadrada com um dos lados com distribuição senoidal de temperatura e demais lados isolados (Aplicação 2)

A influência do refinamento dos pontos considerados na distribuição de temperatura será verificada, plotando as soluções exatas e aproximadas e os erros absolutos da aproximação.

6.1.1 Aplicação 1

É considerada uma chapa quadrada de lado medindo 5m, conforme figura 6-1, submetida às seguintes condições de contorno:

(48)

48

Figura 6-1 Geometria e Condições de Contorno do Problema

A solução exata é uma variação linear de temperatura de 100 (y=6) a 10 (y=1), independente da variável x, representada graficamente na figura 6-2:

Figura 6-2 Solução Exata

1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 0 20 40 60 80 100 x Gráfico da Solução Exata

y u(x ,y )

(49)

49

Através do Método da Colocação a função de interpolação é obtida, depois com essa função aproxima-se o valor da função exata, avaliando essa aproximação para x=cte= 3,5.

Em todas as simulações são aplicadas a base quadrática de monômios e a função Gaussiana com Raio (c=100) como Função Ponderadora.

 9 pontos

A distribuição de pontos de colocação, conforme figura 6-3, foi de 8 pontos nos contornos e 1 ponto no domínio.

Figura 6-3 Distribuição de 9 Pontos

O número de pontos para formação dos suportes locais foi 9.

A distribuição de temperatura para x=3,5 é apresentada na figura 6-4.

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 1 2 3 4 5 6 x(m) y (m )

(50)

50 Figura 6-4 Aproximação para 9 Pontos

A seguir, a figura 6-5 apresenta os erros absolutos: .

Figura 6-5 Erro Absoluto para 9 Pontos

Máximo Erro Absoluto = 1,73 x 10-8

Menor Raio do Suporte = 2,85  16 Pontos

A distribuição de pontos de colocação, conforme figura 6-6, foi de 12 pontos nos contornos e 4 pontos no domínio.

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 y(m) T (° C ) Distribuição de Temperatura N=9 Solução Aproximada Solução Exata 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8x 10 -8 y(m) Erro(m ) Erro Absoluto

(51)

51 Figura 6-6 Distribuição de 16 Pontos

O número de pontos para formação dos suportes locais variou de 8 a 11. A distribuição de temperatura para x=3,5 é apresentada na figura 6-7.

Figura 6-7 Aproximação para 16 Pontos

A seguir, a figura 6-8 apresenta os erros absolutos: . Máximo Erro Absoluto = 5,41x10-9

Menor Raio do Suporte = 2,47

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 x(m) y (m )

Distribuição dos Pontos

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 y(m) T (° C ) Distribuição de Temperatura N=16 Solução Aproximada Solução Exata

(52)

52 Figura 6-8 Erro Absoluto para 16 Pontos

 25 Pontos

A distribuição de pontos, conforme figura 6-9, foi de 20 pontos nos contornos e 5 pontos no domínio.

O número de pontos para formação dos suportes locais variou de 16 a 19. A distribuição de temperatura para x=3,5 é apresentada na figura 6-10.

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 0 1 2 3 4 5 6x 10 -9 y(m) Erro(° C ) Erro Absoluto 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 x(m) y (m )

(53)

A seguir são apresentados os erros absolutos (figura 11) e relativos (figura 6-12).

Máximo Erro Absoluto = 1,09x10-9

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 y(m) T (° C ) Distribuição de Temperatura N=25 Solução Aproximada Solução Exata 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2x 10 -9 y(m) Erro(° C ) Erro Absoluto

(54)

54 Figura 6-12 Erro Relativo para 25 Pontos

6.1.2 Aplicação 2

Nesse caso, é analisada uma chapa quadrada de lado medindo 6m, submetido às seguintes condições de contorno:

A solução exata é da forma:

Sendo A(n): Alternativamente: 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8x 10 -11 y(m) Erro Erro Relativo

(55)

55

Para n=1, 2, 3, ...

O gráfico da solução exata é apresentado na figura 6-13:

Figura 6-13 Solução Exata

Deve ser observado que as condições de contornos possuem uma descontinuidade no ponto (6,6), dessa forma a solução analítica apresenta leve descontinuidade da derivada no gráfico próximo ao ponto referido. Em comparação a solução analítica, a solução aproximada sempre traça a curva mais suave, como ficará mais claro a seguir.

Será estudado como a solução se comporta para uma distribuição uniforme de 625 pontos (25x25), ver figura 6-14 com o sentido de numeração dos pontos, e para os pontos localizados nos eixos y=3 e x=6. A influência do aumento da quantidade de pontos considerados na precisão da solução também é verificada.

0 1 2 3 4 5 6 0 2 4 6 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 x(m) Gráfico de u(x,y) y(m) u(° C )

(56)

56 Figura 6-14 Numeração dos Pontos

Através do Método da Colocação, a solução aproximada é obtida e depois aplicada nos 625 pontos. A soma dos erros absolutos dos pontos é um indicativo da qualidade da aproximação.

Em todas as simulações, utiliza-se a função Gaussiana com Raio como Função Ponderadora e o parâmetro c=r/2, sendo r o raio do suporte.

 168 Pontos

A distribuição de pontos, conforme figura 6-15, foi de 48 pontos nos contornos e 120 pontos no domínio. 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 x(m) y (m ) 25 x 25 = 625 Pontos 1 25 625

(57)

A figura 6-16 apresenta o gráfico de erros absolutos da aproximação em cada ponto.

As aproximações para x=6m e y=3m são apresentadas nas figuras 6-17 e 6-18, respectivamente. 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 x(m) y (m )

0 100 200 300 400 500 600 700 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 Pontos Erro(° C ) Erro Absoluto

(58)

Soma dos Erros Absolutos = 7,67 Menor Raio do Suporte = 0,74

O número de pontos para formação dos suportes locais variou de 7 a 11.

0 1 2 3 4 5 6 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 y(m) u(° C ) Distribuição de Temperatura em x=6 Solução Aproximada Solução Exata 0 1 2 3 4 5 6 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 x(m) u(° C )

Distribuição de Temperatura em y=3

Solução Aproximada Solução Exata

(59)

59

 255 Pontos

0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 x(m) y (m )

0 100 200 300 400 500 600 700 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 Pontos Erro(° C ) Erro Absoluto

(60)

60

As aproximações para x=6m e y=3m são apresentadas nas figuras 6-21 e 6-22, respectivamente.

0 1 2 3 4 5 6 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 y(m) u(° C ) Distribuição de Temperatura em x=6 Solução Aproximada Solução Exata 0 1 2 3 4 5 6 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 x(m) u(° C )

(61)

61

 440 Pontos

A seguir, são apresentados os gráficos de erros absolutos (figura 6-24) e relativos (figura 6-25) da aproximação em cada ponto.

0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 x(m) y (m )

0 100 200 300 400 500 600 700 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 Pontos Erro(° C ) Erro Absoluto

(62)

62 Figura 6-25 Erro Relativo para 440 Pontos

As aproximações para x=6m e y=3m são apresentadas nas figuras 6-26 e 6-27, respectivamente.

0 100 200 300 400 500 600 700 0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01 Pontos Erro Erro Relativo 0 1 2 3 4 5 6 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 y(m) u(° C ) Distribuição de Temperatura em x=6 Solução Aproximada Solução Exata

(63)

6.2 EQUAÇÃO DE POISSON

A equação de Poisson para duas variáveis tem a seguinte forma:

Neste item, aplicações da Equação de Poisson para o caso de uma barra engastada e livre, conforme figura 6-28, submetida ao seu peso próprio são contempladas. A equação diferencial e as condições de contorno que governam esse problema são as seguintes:

(força aplicada na extremidade na barra nula)

0 1 2 3 4 5 6 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 x(m) u(° C )

(64)

64

A última condição de contorno equivale a:

Sendo a massa específica

g a aceleração da gravidade, adotada 9,8 m/s²

E o módulo de elasticidade do material, adotado 70 kPa L o comprimento da barra, adotado 4m

A dimensão transversal da barra é de 1 m.

Figura 6-28 Geometria e Condições de Contorno do Problema

Dois casos de massa específica são analisados:

 Massa específica com variação linear (Aplicação 1)

(65)

65

 Massa específica com variação senoidal (Aplicação 2)

É verificado como os deslocamentos ao longo da barra se comportam com o refinamento dos pontos considerados, plotando as soluções exatas e aproximadas para variações em x e os erros absolutos da aproximação.

6.2.1 Aplicação 1

A solução analítica para o peso próprio variando de forma linear é:

Em todas as simulações foi utilizada a função Gaussiana com Raio (c=100) como Função Ponderadora.

 16 Pontos

A figura 6-30 apresenta os deslocamentos ao longo do comprimento da barra.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 x(m) y (m )

(66)

Máximo Erro Absoluto= 2,12x10-4

O número de pontos para formação dos suportes locais foi de 8 (pontos nos contornos) e 11 (pontos no domínio).

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3x 10

-3 Peso Próprio Linear N=16

x(m) u(m ) Solução Aproximada Solução Exata 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 1 2 x 10-4 x(m) Erro(m ) Erro Absoluto

(67)

67

 56 Pontos

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 x(m) y (m )

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3x 10 -3 x(m) u(m )

Peso Próprio Linear N=56

(68)

68

O número de pontos para formação dos suportes locais variou de 9 a 11 pontos.  140 Pontos

A distribuição de pontos, conforme figura 6-35, foi de 40 pontos nos contornos e 100 pontos no domínio. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4x 10 -5 x(m) Erro(m ) Erro Absoluto

(69)

As figuras 6-37 e 6-38 apresentam os gráficos de erros absolutos e relativos, respectivamente, da aproximação em cada ponto.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 x(m) y (m )

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3x 10 -3 x(m) u(m )

Peso Próprio Linear N=140

(70)

Figura 6-38 Erro Relativo para 140 Pontos

O número de pontos para formação dos suportes locais variou de 7 a 13 pontos.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6x 10 -6 x(m) Erro(m ) Erro Absoluto 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 0.5 1 1.5 2 2.5x 10 -3 Erro x(m) Erro Relativo

(71)

71

6.2.2 Aplicação 2

A solução analítica para o peso próprio variando de forma senoidal é:

Adotado L= 4m.

Em todas as simulações é utilizada a função Gaussiana com Raio como Função Ponderadora, com parâmetro c=R/2, sendo R o raio do suporte.

 16 Pontos

A distribuição de pontos foi de 14 pontos nos contornos e 2 pontos no domínio como na Aplicação 1 (item 6.2.1).

A figura 6-40 apresenta o gráfico de erros absolutos da aproximação em cada ponto. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5x 10 -4 x(m) u(m )

Peso Próprio Senoidal N=16

(72)

O número de pontos para formação dos suportes locais foi de 8 (pontos nos contornos) e 11 (pontos no domínio).

 56 Pontos

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 1 2 x 10-4 x(m) Erro(m ) Erro Absoluto

(73)

O número de pontos para formação dos suportes locais variou de 9 a 11 pontos.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5x 10 -4 x(m) u(m )

Solução Aproximada Solução Exata 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4x 10 -5 x(m) Erro(m ) Erro Absoluto

(74)

74

 140 Pontos

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5x 10 -4 x(m) u(m )

Solução Aproximada Solução Exata 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 0.5 1 1.5 2 2.5x 10 -5 x(m) Erro(m ) Erro Absoluto

(75)

75

O número de pontos para formação dos suportes locais variou de 8 a 10 pontos.  280 Pontos

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 x(m) y (m )