O sinal amostrado e representado no domínio do tempo, muitas vezes, não apre- senta informações relevantes capazes de identificar o fenômeno físico que o gerou. Desta forma, faz-se necessário converter o sinal para o domínio da frequência, processo chamado de análise espectral (em inglês: Spectral Analysis), a fim de extrair características que consigam maximizar a separação destes sinais em diferentes classes. A análise espectral de sinais acústicos pode ser dividida em duas etapas básicas (KOOLAGUDI et al., 2012): o processo de janelamento, que apresenta uma forma de análise em que o sinal é dividido em pequenos quadros temporais e; a obtenção do espectro de frequência. Uma vez obtida a potência do espectro de cada quadro, eles estão prontos para a etapa de parametrização que é detalhada na Seção3.3. Uma visão geral deste processo é apresentada na Figura3.1.
Capítulo 3. Análise Espectral e Extração de Parâmetros 18
3.2.1
Janelamento
O som proveniente de um processo de usinagem é um sinal dinâmico consequente das variações que ocorrem ao longo do tempo. Estas variações podem acontecer devido a vários fatores, como por exemplo, pequenas diferenças no material usinado, flutuações na velocidade de rotação, entre outros.
Para estas situações, é comum avaliar o sinal considerando pequenos quadros (fra-
mes) temporais, em que o tamanho do quadro corresponde a 𝑁𝐹 amostras e consequen- temente a um período de 𝑡𝐹 segundos. Este comprimento representa o tempo necessário para que os parâmetros do sinal sejam válidos dentro de um período curto de tempo.
Igualmente importante, no entanto, é o intervalo durante o qual a energia é calcu- lada. O número de amostras usadas para o calculo é conhecido como 𝑁𝑊 e corresponde à duração da janela (em amostras), que normalmente é medido em unidades de tempo (𝑡𝑊 segundos). A duração da janela controla a quantidade média, ou alisamento, usado no cálculo de energia. A duração do quadro e a duração da janela controlam juntas a taxa em que os valores de potência afetam a dinâmica do sinal (RABINER; JUANG, 1993).
De um modo geral, uma duração menor do quadro é usado para capturar dinâ- micas rápidas do espectro, assim como a duração da janela deve ser proporcionalmente mais curta de modo que o detalhe no espectro não seja excessivamente alisado. Portanto, escolhe-se o número de amostras para 𝑁𝑊 e 𝑁𝐹 de tal forma que 𝑁𝐹 ≤ 𝑁𝑊, resultando em uma sobreposição entre quadros adjacentes. A extensão da sobreposição depende de quão rapidamente os parâmetros podem mudar de quadro para quadro, e sua porcentagem correspondente pode ser calculada por:
% Sobreposição = 𝑡𝑤− 𝑡𝑓
𝑡𝑤
× 100 (3.1)
No caso de sinais de voz, normalmente utiliza-se uma sobreposição de 50% (PICONE, 1993), conforme exemplificado na Figura3.2.
Figura 3.2 – Exemplo de janelamento com sobreposição de 50%.
Cada janela é multiplicada por uma função de janelamento, que tem como obje- tivo suavizar variações bruscas e aumentar a continuidade entre os quadros adjacentes
Capítulo 3. Análise Espectral e Extração de Parâmetros 19
(KOOLAGUDI et al., 2012; FAHMY, 2010). Existem muitos tipos de funções de janela- mento, incluindo Retangular, Hamming, Hanning, Blackman, Bartlett e Kaiser. Todavia, a função de Hamming é uma das mais utilizadas, pelo seu compromisso entre um lóbulo central estreito e caudas atenuadas (PICONE, 1993) e, por isto, foi escolhida para este trabalho. A função de Hamming é calculada por:
𝑤(𝑛) = 𝛼𝑤− (1 − 𝛼𝑤) cos(2𝜋𝑛/(𝑁𝑊 − 1)) 𝛽𝑤
, 0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑁𝑊 − 1 (3.2)
em que 𝑁𝑊 representa o número de amostras da janela. O fator 𝛼𝑤 é definido como uma janela constante entre o intervalo [0, 1]. Normalmente, utiliza-se o valor 𝛼𝑤 = 0, 54 para a Janela de Hamming (DHANALAKSHMI et al., 2009). O fator 𝛽𝑤 é uma normalização constante definida de tal forma que a raiz do valor quadrático médio (RMS – Root Mean
Square) da janela seja unitária. O valor de 𝛽𝑤 pode ser obtido da seguinte forma:
𝛽𝑤 = ⎯ ⎸ ⎸ ⎷ 1 𝑁𝑊 𝑁𝑊−1 ∑︁ 𝑛=0 𝑤2(𝑛). (3.3)
Desta forma, uma janela do sinal de comprimento 𝑁𝑊 pode ser ponderado pela janela de Hamming de mesmo comprimento executando uma multiplicação ponto a ponto conforme:
˜
𝑠(𝑛) = 𝑠(𝑛)𝑤(𝑛), 0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑁𝑊 − 1 (3.4)
em que 𝑠(𝑛) representa o trecho do sinal sob análise.
O objetivo do janelamento é de favorecer as amostras que se encontram mais ao centro da janela, conforme pode ser visto na Figura 3.3. Esta característica, juntamente com a análise de sobreposição discutida anteriormente, desempenha uma função impor- tante na obtenção das estimativas dos parâmetros com variabilidade suave. É importante que a largura do lobo principal da resposta de frequência da janela seja tão pequena quanto possível, ou o processo de janelamento pode ter um efeito prejudicial sobre a análise espectral subsequente (RABINER; SCHAFER,2007;RABINER; JUANG, 1993).
3.2.2
Obtenção do Espectro de Frequência
A fim de se obter o espectro de frequência de um sinal ˜𝑠(𝑛), utiliza-se a Trans-
formada Discreta de Fourier (DFT – Discrete Fourier Transform), obtida a partir da equação: 𝑆(𝑘) = 𝑁 −1 ∑︁ 𝑛=0 ˜ 𝑠(𝑛)𝑒−𝑗2𝜋𝑘𝑛/𝑁, 𝑘 = 0, 1, . . . , 𝑁 − 1 (3.5)
na qual 𝑁 corresponde ao número de amostras. A potência do espectro é obtida calculando- se
Capítulo 3. Análise Espectral e Extração de Parâmetros 20
Figura 3.3 – Gráfico da janela Hamming para 𝑁𝑊 = 250.
Normalmente, consideram-se apenas os termos de 0 a 𝑁/2, que corresponde à frequência de Nyquist.
A Transformada Rápida de Fourier (do inglês Fast Fourier Transform – FFT) (BRIGHAM; MORROW,1967) também pode ser utilizada como um método alternativo para calcular o espectro do sinal. A FFT é uma implementação da DFT mais eficiente em termos computacionais, sob a restrição de que o espectro deve ser avaliado em um conjunto discreto de frequências, conhecidas como frequências ortogonais, que são múlti- plos de 𝑓𝑠/𝑁 , em que 𝑓𝑠 corresponde à frequência de amostragem. A principal vantagem da FFT é sua eficiência computacional: aproximadamente 𝑁 log 𝑁 adições e 𝑁 log 𝑁/2 multiplicações são requeridas, enquanto a DFT exige um valor proporcional a 𝑁2 opera-
ções. A principal desvantagem é que o mapeamento de frequência não é linear e deve ser ajustado para coincidir com as restrições de frequência ortogonal da FFT.
O processo de janelamento associado à extração da potência do espectro de frequên- cia tem como resultado um vetor de valores de potência (ou pares potência-frequência) para cada janela do sinal. Estes são geralmente utilizados para a extração de parâmetros, processo que é discutido na Seção 3.3.