FILTROS FIR DE FASE LINEAR
3.5 ANÁLISE DO PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO NO PROJETO DE FILTROS FIR DE FASE NÃO-LINEAR
A formulação original do problema clássico de aproximação aplicado ao projeto de filtros digitais, seção 2.3.2, onde a norma Lp é utilizada como métrica da distância de aproximação
entre as respostas desejadas de módulo e atraso de grupo do filtro projetado foi pioneiramente formulado em [8]. O presente trabalho segue essa formulação, e a função objetivo para projeto de filtros FIR de fase não-linear apresentada na equação (2.47) caracteriza-se como uma função não- linear multimodal [8]. Convém notar então que, devido à essa propriedade de não-linearidade, as soluções finais obtidas para a função objetivo em (2.47) não são necessariamente a solução global, conforme a definição de solução global da equação (3.6). O máximo que se pode afirmar sobre essas soluções é a propriedade local da equação (3.7).
Embora na formulação original do problema de aproximação simultânea de módulo e atraso de grupo em filtros digitais feitas em [8] não haja nenhuma menção sobre a natureza multi- objetivo da função objetivo em (2.47), claramente essa função possui forma semelhante à do método ponderado de escalarização da equação (3.19). Especificamente, nessa formulação multi- objetivo há duas funções distintas para minimização, a distância de aproximação da atenuação em decibéis do filtro: f1(x) = -* π 0 Wτ(ω) |τ (A, ω) − τd(ω)|pdω .1p , (3.31)
e a distância de aproximação do atraso de grupo:
f2(x) = -* π 0 Wη(ω) |η (A, ω) − ηd(ω)|pdω .1p , (3.32)
onde a variável de controle x em (3.31) e (3.32) representa o vetorA de zeros da função de transferência em coordenadas polares.
Dessa forma, a formulação multi-objetivo do problema de aproximação arbitrária de módulo e atraso de grupo apresentada na seção 2.3 fica:
min {f1(x) , f2(x)}
sujeito a x∈ S
(3.33)
Duas classes distintas de problemas podem ocorrer com relação ao conjunto viável S em (3.33). Conforme discutido na seção 2.3, os filtros FIR de fase não-linear são classificados em filtros de fase mista ou filtros de fase mínima/máxima. No projeto de filtros FIR de fase mista, nenhuma restrição é feita nos valores assumidos pela variável de controle. Nesse caso,S = ∅ e o problema é classificado como sem restrição. Entretanto, para filtros de classes mínima/máxima
restrições são impostas na variável de controle e dessa forma, S (= ∅. Nesses casos, classifica-se o projeto de filtros de fase mínima/máxima por problemas de otimização com restrição.
Especificamente, nesse trabalho será abordado o projeto de filtros FIR de fase mínima. Nesse caso, conforme discutido na seção 2.3, os zeros da função transferência devem estar dentro do círculo unitário, conforme expresso na equação (2.39). Devido à simplicidade da função de res- trição nesse problema de otimização, optou-se por convertê-lo em um problema de otimização sem restrição análogo, aplicando a transformação de variáveis da equação (3.14) na função obje- tivo (2.47).
O problema multi-objetivo em (3.33) pode ser resolvido pela sua escalarização com o método ponderado da equação (3.19). Especificamente, os pesos w1 e w2do método estão representados
na função objetivo em (2.47) por w1 = δ e w2 = (1 − δ).
O problema da aproximação simultânea de módulo e atraso de grupo em filtros digitais com a formulação multi-objetivo foi tratado pioneiramente em [25], onde a formulação das funções ob- jetivos (distâncias de aproximação) em (3.31) e (3.32) foram feitas em torno do critério Chebyshev ou minimax.
Uma conseqüência da formulação multi-objetivo em (3.33) consiste no fato de que não é pos- sível obter uma única solução ótima para o problema, mas sim, uma família de soluções Pareto- ótimas. Dessa forma, o esforço computacional de resolução do problema multi-objetivo em (3.33) deve se concentrar em obter o conjunto de vetores decisão x∗ que obedeçam a relação em (3.16). Adicionalmente, deve se observar que devido à natureza não-linear das funções objetivos em (3.31) e (3.32), pode-se apenas garantir a obtenção de um conjunto Pareto-ótimo local. Infeliz- mente, ainda não existe teoria disponível para predizer as características de filtros Pareto-ótimos globais em termos de padrões dos pólos ou comportamentos da resposta em freqüência do filtro obtido [25]. Convém notar ainda que, em [25], a validação em termos da solução ótima global é feita apenas para os dois casos extremos do conjunto Pareto-ótimo, ou seja, para as configurações de pesos w1 = 1, w2 = 0 e w1 = 0, w2 = 1. Como em [25] a caracterização das funções objetivos
(3.31) e (3.32) é feita apenas em torno do critério Chebyshev, para as duas configurações de pesos é possível obter a solução ótima global. Todos os outros pontos restantes obtidos do conjunto Pareto-ótimo não possuem a garantia de solução ótima global.
Ainda com relação à obtenção do conjunto Pareto-ótimo, em [25], utiliza-se do método pon- derado de escalarização do problema multi-objetivo em (3.33). Entretanto, em nenhuma parte do trabalho são feitas considerações sobre a possível não-convexidade do conjunto e a problemá- tica de aplicação do método ponderado nessas situações, conforme discutido na seção 3.3.4.3 do presente trabalho.
A partir do conjunto Pareto-ótimo local obtido no problema multi-objetivo em (3.33), é tarefa do tomador de decisão, ou seja o projetista do filtro digital, escolher um ponto no conjunto Pareto- ótimo que atenda suas especificações. Essa escolha é feita pelo tomador de decisão já que o mesmo possui conhecimento e discernimento de relações de compromisso entre as diferentes
soluções do conjunto Pareto-ótimo obtido.
Com relação aos algoritmos utilizados para a solução do problema multi-objetivo em (3.32), várias técnicas foram apresentadas na literatura. O primeiro registro de resolução do problema multi-objetivo em (3.33) foi reportado em [8]. Nesse trabalho, utilizou-se do algoritmo Quasi- Newton para resolução do problema de projeto de filtros IIR com aproximação simultânea da resposta de módulo e atraso de grupo do filtro. O Capítulo 4 apresenta discussão detalhada so- bre a família de algoritmos baseados em gradiente, da qual faz parte o algoritmo Quasi-Newton empregado em [8].
Em [25], o problema postulado na forma do método ponderado foi resolvido através do algo- ritmo de Programação Quadrática Seqüencial (SQP). Embora esse algoritmo não seja abordado no presente trabalho, em [25] reporta-se baixa performance para filtros de alta ordem.
Já em [26], o mesmo método ponderado é resolvido com extensões ad hoc do algoritmo de correção diferencial. Com esse algoritmo reportou-se melhor performance, especialmente na obtenção do conjunto Pareto-ótimo de filtros FIR de fase não-linear.
Em [27], uma abordagem completamente distinta é empregada. Especificamente, utiliza-se da formulação multi-objetivo com algoritmos genéticos de seleção não-dominante elitista (ENSGA). Nesse algoritmo a natureza multi-objetivo do problema é fortemente ligada à atribuição da função de adequação e à estratégia de seleção [27].
Em [28] o problema multi-objetivo postulado na forma do método ponderado é resolvido com três algoritmos distintos da área de soft-computing: algoritmos genéticos, resfriamento simulado e otimização por enxame de partículas. Comparativos em termos da performance e qualidade das soluções obtidas foram feitos entre esses três algoritmos, além da comparação adicional com o algoritmo Quasi-Newton empregado em [8], e reportou-se o algoritmo otimização por enxame de partículas como o de melhor performance em termos da qualidade das soluções finais.
Uma problemática no emprego dos algoritmos soft-computing em [27] e [28] consiste na es- colha de parâmetros internos desses algoritmos. Dessa forma, em [29], uma análise exploratória estatística dos algoritmos soft-computing foi realizada, a qual permiti a obtenção de parâmetros ótimos para os algoritmos de resolução do problema multi-objetivo em (3.33). Ainda nesse traba- lho, empregou-se ferramentas estatísticas de projeto de experimentos para realização de compara- ções de performance entre os algoritmos soft-computing. Novamente, confirmando os resultados obtidos em [28], o algoritmo otimização por enxame de partículas obteve melhor performance e dessa forma, fortes evidências estatísticas confirmam que esse algoritmo é a melhor escolha na resolução do problema multi-objetivo de projeto de filtros digitais FIR de fase não-linear [29].
O presente trabalho emprega a metodologia de projeto de filtros digitais desenvolvida em [29]. Particularmente, serão utilizados algoritmos soft-computing para resolução do problema multi-objetivo em (3.33), conforme apresentados no Capítulo 5. Adicionalmente, também serão utilizados algoritmos baseados em informação do gradiente, mais especificamente o algoritmo Quasi-Newton, conforme discussão detalhada no Capítulo 4. No Capítulo 6 será desenvolvida
a metodologia exploratória estatística para obtenção dos parâmetros ótimos dos algoritmos soft-
computinge de ferramentas estatísticas que possibilitem comparações de performance entre os vários algoritmos de otimização empregados na literatura. No Capítulo 7, onde for possível, comparações à nível da performance entre as várias abordagens de resolução do problema multi- objetivo na literatura serão feitas. Convém, por fim notar que, nenhuma consideração sobre a globalidade do conjunto Pareto-ótimo será feita no presente trabalho.