Comparação de performance entre os algoritmos de otimização

Adicionalmente a obtenção de parâmetros ótimos para os algoritmos soft-computing conforme a metodologia desenvolvida na subseção 6.4.1, certamente estamos interessados na obtenção da técnica que oferece a melhor aproximação do conjunto Pareto-ótimo para o problema de oti- mização multi-objetivo do projeto de filtros FIR de fase não-linear. Com essa finalidade, um experimento em blocos completamente aleatorizados é adicionalmente criado de acordo com a tabela 6.4.

Para efetivamente comparar os algoritmos de otimização por meio do indicador de qualidade

Figura 6.2: Exemplo de superfície de resposta para algoritmo genético [29]

Tabela 6.4: Experimento em blocos completamente aleatorizados para comparação dos algorit- mos de otimização

Bloco Algoritmo de Otimização Observações

Sementes para réplica do bloco1 i níveis i

Sementes para réplica do bloco2 i níveis i

Sementes para réplica do bloco3 i níveis i

..

. ... ...

Sementes para réplica do bloco n i níveis i

ǫ-binário definido a partir do teste do algoritmo 6.3.1, os seguintes passos devem ser executados:

1. Criar um projeto em blocos completamente aleatorizados com os algoritmos de otimização em estudo, conforme o experimento da tabela 6.4.

2. Atribuir os parâmetros ótimos para os algoritmos de otimização conforme a metodologia da subseção 6.4.1.

3. Calcular as estatísticas dos indicadores binários de qualidade para cada algoritmo, por exemplo, momentos de primeira e segunda ordem para Iǫ(Z∗, A).

4. O melhor algoritmo para o problema proposto é o que possuir o maior valor dos momentos estatísticos deIǫ(Z∗, A). Por exemplo, o maior valor da média Iǫ(Z∗, A).

Por fim, é oportuno discutir uma última questão com relação ao experimento estatístico de comparação de performance dos algoritmos de otimização. Claramente, o máximo que se pode

afirmar sobre o experimento estatístico é que o algoritmo obtido possui melhor performance ape- nas para o conjunto de especificações do filtro FIR utilizado na geração do experimento. Por exemplo, se para um experimento estatístico hipotético do projeto de um filtro FIR passa-faixa com determinado conjunto de especificações, o melhor algoritmo obtido foi o algoritmo genético, não podemos a priori generalizar essa afirmação para o projeto de um filtro rejeita-faixa. Isso se deve ao fato que a função objetivo para otimização muda de um conjunto de especificações para outro no projeto do filtro.

Com relação à questão de qual o melhor algoritmo de otimização que pode ser encontrado para um determinado domínio de aplicação, uma série de trabalhos interessantes foram publicados. Mais especificamente, o teorema no free lunch - NFL, diz que para qualquer par de algoritmos a1

e a2, a seguinte relação é válida [61]:

! f P (dy m|f, m, a1) = ! f P (dy m|f, m, a2), (6.7) onde na equação (6.7), dy

m denotam todas as amostras do valor da função objetivo f e o

operadorP na equação denota a probabilidade condicional de se obter uma amostra particular dm

sobre as condições impostas.

A equação em (6.7) diz que a performance média de quaisquer pares de algoritmos sobre todos os possíveis problemas de otimização é idêntica. Isso significa que se um algoritmo a1

tem performance superior do que outro algoritmoa2 em algum conjunto de problemas, então o

inverso tem que ser verdadeiro para todo o conjunto de problemas de otimização restantes [61]. É desejável que um algoritmo tenha boa performance em todas as funções possíveis, mas fe- lizmente, na prática, isso é conveniente somente para um subconjunto que resulta em problemas práticos. Recentemente, uma versão restrita do teorema NFL mostrou que os resultados do teo- rema NFL em (6.7) se mantém para um subconjuntoF de todos as funções possíveis se e somente seF é fechado sobre permutação e cada função alvo em F é igualmente provável [62]. Adici- onalmente, em [62] mostra-se que a fração de subconjuntos não-vazios que são fechados sobre permutação decai rapidamente a zero assim que a cardinalidade do espaço de busca aumenta, e que restrições na variável de controle e número de mínimos locais levam a subconjuntos que não são fechados sobre permutação [63].

Esses resultados são uma motivação para investigar o fato de que para problemas práticos, por exemplo o problema de otimização no projeto de filtros digitais, espera-se que alguns algorit- mos possuam melhor performance, e que alguma generalização com relação ao melhor algoritmo possa ser feita nesse subconjunto de possíveis funções. Essa questão é deixada como trabalho futuro e não será investigada no presente trabalho.

7 RESULTADOS

7.1

INTRODUÇÃO

O presente capítulo tem por objetivo apresentar alguns resultados obtidos com a formulação multi-objetivo do projeto de filtros digitais FIR de fase não-linear. Conforme discutido anterior- mente, o presente trabalho propõe o emprego de ambos algoritmos de otimização baseados no gradiente (Quasi-Newton), assim como de algoritmos soft-computing (Algoritmo Genético, Res- friamento Simulado e Otimização por Enxame de Partículas) aplicados na minimização simultâ- nea das funções objetivos f1, equação (3.31) e f2, equação (3.32), respectivamente as distâncias

de aproximação entre a magnitude da resposta em freqüência e atraso de grupo do filtro projetado e das especificações desejadas impostas pelo projetista.

Primeiramente, seguindo a metodologia exploratória estatística do Capítulo 6, experimentos estatísticos serão computacionalmente implementados para obtenção de estimativas de parâme- tros ótimos para os algoritmos soft-computing aplicados em um projeto de filtro FIR rejeita-faixa arbitrário, conforme os passos detalhados na subseção 6.4.1. Logo em seguida, com as estimati- vas de parâmetros ótimos, todos os algoritmos de otimização propostos no presente trabalho serão comparados a nível de performance aplicados novamente em um projeto de filtro FIR rejeita-faixa arbitrário, conforme os passos detalhados na subseção 6.4.2. A finalidade desses experimentos estatísticos é obter o melhor algoritmo de otimização para o projeto de teste arbitrário proposto.

Adicionalmente, os algoritmos de otimização serão sistematicamente empregados no projeto de algumas especificações de filtros ideais: passa-faixa e rejeita-faixa, todos com atraso de grupo reduzido na banda de passagem/rejeição de interesse. Análises do conjunto Pareto-ótimo para os filtros resultantes serão feitas abordando considerações de compromisso entre a aproximação simultânea das especificações de magnitude e de atraso de grupo do filtro.

O restante desse capítulo é organizado da seguinte forma. A seção 7.2 apresenta descrição detalhada das ferramentas computacionais de suporte utilizadas na geração dos resultados desse capítulo. Já a seção 7.3 apresenta resultados para a análise exploratória estatística do Capítulo 6 aplicadas no projeto de um filtro FIR rejeita-faixa arbitrário com atraso de grupo reduzido. Mais especificamente, a subseção 7.3.1 apresenta estimativa de parâmetros ótimos para ambos Algo- ritmo Genético e Otimização por Enxame de Partículas. A subseção 7.3.2 apresenta resultados do comparativo de performance entre todos os algoritmos de otimização propostos nesse trabalho (Quasi-Newton, Algoritmo Genético, Resfriamento Simulado e Otimização por Enxame de Par- tículas). Já a seção 7.4 apresenta discussão detalhada do emprego dos algoritmos propostos no projeto de filtros usuais na área de processamento digital de sinais: respectivamente, rejeita-faixa e passa-faixa. Considerações de compromisso entre a aproximação simultânea das especificações de magnitude e de atraso de grupo do filtro que o projetista deve considerar serão abordadas.