Há diversos fenômenos para se analisar em estruturas submetidas à cargas dinâmicas. Pode ser necessário saber as suas freqüências de ressonância, modos de vibração, tensões, desloca- mentos ou até fraturas. O escopo das análises por MEF que a metodologia desse trabalho engloba é a "Direct Transient Response Analysis", que numa tradução para o português seria "Análise de Resposta Transiente Direta".
É chamada de transiente por que tem esforços variando no tempo. Esse tipo de análise é o mais utilizado para computar a resposta de estruturas submetidas a cargas dinâmicas. O carregamento dessa análise pode ser de natureza arbitrária, mas deve ser explicitamente de nido para cada ponto no espaço de tempo de nido. Ela também pode incluir efeitos não- lineares, em função do deslocamento ou velocidade. A análise transiente é comumente aplicada em estruturas com comportamento elástico.
esforços, sejam eles como deslocamentos aplicados, forças ou momentos, devem ser conhecidos para cada instante da análise. Os resultados provenientes desse tipo de análise normalmente são os deslocamentos, velocidades, aceleração dos nós e forças e tensões nos elementos.
Dependendo da natureza dos esforços, dois diferentes métodos numéricos podem ser usados numa análise desse tipo: método modal ou direto. O primeiro utiliza os modos de vibrar da estrutura para reduzir e desacoplar as equações de movimento. A solução é obtida através da soma das respostas modais individuais. O segundo método é o utilizado nas análises dessa pes- quisa e executa uma integração numérica nas equações de movimento relacionadas à dinâmica da estrutura.
Na análise transiente direta a resposta da estrutura é resolvida a partir da solução de um sistema de equações usando a integração numérica direta. A equação dinâmica de movimento é visualizada na equação 3.1 em forma matricial [22].
[M ]¨u(t) + [B] ˙u(t) + [K]u(t) = P (t) (3.1)
A resposta fundamental da estrutura, seus deslocamentos, é obtida a partir da solução da matriz para valores discretos de tempos, tipicamente com um time step xo de integração ∆t. Aplicando diferenças nitas para representar a velocidade ˙u(t) e a aceleração ¨u(t) para valores discretos de t, temos as equações vistas em 3.2 e .3.3.
˙ un(t) = 1 2∆tun+1− un−1 (3.2) ¨ un(t) = 1 ∆t2un+1−2un+ un−1 (3.3)
Substituindo em 3.1 e dividindo a força aplicada por sobre os três pontos adjacentes, temos a equação reescrita em 3.4. [M ] ∆t2(un+1−2un+un−1)+ [B] 2∆t(un+1−un−1)+ [K] 3 (un+1+un+un−1) = 1 3Pn+1+ Pn+ Pn−1 (3.4)
Agrupando os termos por pontos do tempo, temos a equação 3.5. [A1]un+1 = [A2] + [A3]un+ [A4]un−1 (3.5) Onde: [A1] = [∆tM2 + B 2∆t + K 3] [A2] = 13Pn+1+ Pn+ Pn−1 [A3] = [2M∆t2 − K 3] [A4] = [−∆tM2 + B 2∆t− K 3]
A solução transiente é obtida a partir da decomposição de [A1]e sua aplicação no lado direito
da equação 3.5. Desta forma a solução se comporta como uma sucessão de soluções estáticas com cada time step, realizando uma substituição adjacente e anterior (forward-backward substitution - FBS) num novo vetor de carga. A natureza transiente da solução advém da modi cação da matriz de cargas [A2] com os termos [A3] e [A4]. Em sua forma simpli cada, as matrizes de
massa [M], amortecimento [B] e rigidez [K] são assumidas constante ao longo da análise e não variam com o tempo.
Um intervalo de tempo constante colabora com a análise. Caso ∆t seja constante ao longo
da análise a matriz [A1] precisa ser decomposta apenas uma vez. Cada passo posterior na
análise é apenas um FBS de um novo vetor de cargas. Se ∆t varia ao longo da análise, [A1]
precisa ser decomposta novamente, o que causa um certo custo computacional na operação. Outro comentário de relevância é a possibilidade dos dados de saída serem salvos num intervalo de tempo maior que o time step da análise. Em muitos casos não é necessário que a resposta seja dada em cada tempo analisado. Se a análise tiver um intervalo de 0,01 segundos e os dados forem impressos a cada 0,05 segundos há uma diminuição de cinco vezes na quantidade de dados, o que facilita o pós-processamento no caso de análises muito longas. Porém, é necessário cuidado para, com isto, não se deixar passar entre os valores não impressos valores críticos, como máximos de tensões e deslocamentos.
No método de elementos nitos, após a montagem da matriz de rigidez global para um dos time steps, e a subseqüente resolução do sistema da equação 3.5, temos como resultado somente
os valores para os deslocamentos nodais, isto é, un+1. Apenas após um cálculo posterior é que
obtemos as tensões no interior de cada elemento [23]. Com isso, temos o problema de tensões diferentes em nós que compartilhem mais de um elemento. Existem diversas maneiras para a obtenção de apenas um valor de tensão por nó do modelo. A rotina vista na seção 4.4.2 utiliza um processo semelhante aos atuais pós-processadores, com o cálculo da média ponderada das tensões de cada um dos elementos que fazem parte do nó de acordo com suas áreas, atingindo assim uma convergência ao valor correto de tensão, como se a malha fosse sendo re nada.
O tipo de elemento pós-processado é o de casca, com formulação isoparamétrica de quatro nós de estado plano de tensões. Além do deslocamento por nó, o solver também calcula a tensão na direção x do elemento (σx), na direção y (σy) e a cortante (τxy). Assim, o cálculo
da tensão de Von Mises pode ser obtido a partir da equação 3.6, substituindo-se σx, σy e τxy e
considerando-se σz = τzx= τyz = 0. σmises = s 1 2((σx− σy) 2+ (σ y− σz)2+ (σz− σx)2) + 3 ³ τ2 xy + τyz2 + τzx2 ´ (3.6)
O software de elementos nitos escolhido para a análise dinâmica das estruturas nessa pesquisa foi o MSC Nastran. O MSC Nastran é um software de CAE para diversos tipo de análises por MEF. Neste estudo foi utilizado como processador do modelo nal do MSC Patran, sendo utilizada sua parte de análise transiente. Como resultados obteve-se os valores das tensões nos nós em cada time step e o seu respectivo deslocamento.
O pré-processador utilizado nesse estudo para a confecção da geometria do modelo, malhas, aplicação das cargas e condições de contorno foi o MSC Patran. As cargas ambientais das linhas de risers e amarração calculados no TPN são inseridas nele após a leitura de uma sessão, e criadas como campos (Fields). Este é um software de CAE para modelagem 3D e visualização dos resultados de diversos tipos de análises.
A formulação apresentada nessa seção é a mesma que o Nastran utiliza para resolver os modelos. As matrizes [M], [B], [K] e [P ] são construídas a partir da malha de elementos nitos, condições de contorno e esforços aplicados no modelo gerado no Patran.
Metodologia
4.1 Ambientação do Problema para a Metodologia Desen-
volvida
O objeto de estudo desta pesquisa é a resposta e comportamento da estrutura oceânica submetida a cargas dinâmicas do meio ambiente. É para esta condição real de uso que deve ser projetada e analisada a estrutura oceânica. Dela se obtém as principais informações para a modelagem, como cargas ambientais e condições de contorno.
São dois tipos de análises que se necessita para a realização da metodologia aqui proposta. A primeira é a simulação hidrodinâmica, onde se obtém a resposta dos corpos submetidos às cargas dinâmicas, como correnteza, ventos e ondas. Desse resultado consegue-se a série temporal de forças nas linhas.
Essa série temporal torna-se dado de entrada para a segunda análise, a estrutural por método de elementos nitos. As condições de contorno deste modelo de MEF, entre as adotadas numa eventual simpli cação [7], também são as restrições e carregamentos retirados dos resultados da análise hidrodinâmica anterior, calculados pelo TPN.
O uso do MEF permite uma in nita possibilidade de análises, pois praticamente todas as partes do sistemas são passíveis de serem modeladas e analisadas estruturalmente por MEF hoje em dia. Adicionando-se seus esforços dinâmicos, tem-se o problema modelado para o solver e posteriormente os resultados podem ser analisados no seu pós-processamento.
trabalhar com cargas dinâmicas não harmônicas é a quantidade de trabalho computacional para grandes intervalos de tempo. Uma análise hidrodinâmica hoje é feita com um tempo aproximado de 10.000 segundos, sendo o intervalo a cada 0,5 segundos. Isto signi ca uma análise com com mais de 20.000 steps. Levando isso para análise estrutural, signi ca ter para cada um dos 20.000 intervalos todos os resultados de deslocamentos e tensões de todos os nós da malha modelada.
Não só a análise, mas também a visualização desses dados é hoje um desa o. A moderna tecnologia esbarra no processamento quando o número de polígonos alcança a ordem de centenas de milhares, principalmente se esses polígonos estão modi cando de valor em cada time step, pois no nosso caso em cada passo há um valor por nó de deslocamento e tensão diferente, que necessita ser recalculado e redesenhado na tela. O gradiente de cor também é um fator que consome processamento.
O sistema hoje visualizado pelo TPNView consiste por uma unidade utuante amarrada, sob a ação de agentes ambientais, num comportamento dinâmico próprio resultante de sua geometria, amarração e outras interações com o ambiente. A interface TPN ↔ TPNView se dá através de um banco de dados linear, orientado aos registros temporais. Ou seja, cada intervalo de tempo mostra um registro completo do banco de dados [9].
A abordagem desse trabalho permite analisar estruturas submetidas às cargas dinâmicas hoje já calculadas pelo TPN. Como primeiro exemplo prático apresentado por este trabalho, comportado nas capacidades computacionais do presente, obtém-se as tensões na cabeça das linhas de risers, jumper's e ancoragem. Essas tensões são aplicadas diretamente no SSB - Boião. Este exemplo pode ser visto em detalhes no capítulo 5.
Espera-se que no futuro modelos mais complexos possam ser analisados, pois a metodologia aqui apresentada permite essa complexidade. Assim, não só um Boião poderá ser analisado, mas todo o sistema, com a plataforma e suas estruturas internas. Uma discussão das possibilidades pode ser vista em 6.2.