1.9 Anéis Noetherianos e Anéis de Dedekind
Definição 1.32 Sejam A um anel e M um A-módulo. Dizemos que M é um A-módulo Noetheriano se satisfaz uma das seguintes condições:
i. Toda coleção não vazia de submódulos de M contém um elemento maximal. ii. Toda sequência crescente de submódulos de M é estacionária.
iii. Todo submódulo de M é do tipo finito.
Um anel A é chamado Noetheriano se, considerado como um A-módulo, for um módulo Noetheriano. Sabemos que quando consideramos um anel como um A-módulo sobre si mesmo, seus submódulos são seus ideais, então pela definição acima, dizemos que um anel A é Noetheriano quando os seus ideais são gerados por um número finito de elementos. Pelo corolário 1.3, temos que todo anel de ideais principais é Noetheriano.
Proposição 1.23 Seja A um anel, E um A-módulo e E′um submódulo de E. Para que E seja Noetheriano é necessário e suficiente que E′e E
E′ sejam Noetherianos.
Prova: Vamos provar inicialmente a necessidade. Suponha que E é Noetheriano. Toda cadeia ascendente de submódulos de E′é também uma cadeia ascendente de submódulos de E, então toda cadeia
ascendente de submódulos de E′é estacionária. Logo, E′é Noetheriano. Considerando o homomorfismo
canônico f : E → E
E′, este define uma correspondência biunívoca, que preserva a inclusão entre os submódulos de E que contém E′ e os submódulos de E
E′. Logo, toda cadeia de submódulos de
E E′
corresponde através de f a uma cadeia ascendente de submódulos de E. Como toda cadeia ascendente de submódulos de E é estacionária, então toda cadeia ascendente de submódulos de E
E′ também é
estacionária. Portanto, E
E′ é Noetheriano.
Reciprocamente, suponha que E′e E
E′ são Noetherianos. Seja (Fn)n≥0 uma sequência crescente de submódulos de E. Como E′ é Noetheriano, existe um inteiro n0tal que Fn∩ E′= Fn+1∩ E′ para todo
n≥ n0. Por outro lado, sendo E
E′ Noetheriano, então existe um inteiro n1tal que
(Fn+ E′)
E′ =
(Fn+1+ E′)
E′
para todo n ≥ 1. Logo, Fn+ E′ = Fn+1+ E′ ∀n ≥ n1. Agora Tome n ≥ sup(n0, n1), mostraremos que
Fn= Fn+1. Para isto é suficiente provar que Fn+1⊂ Fn, pois Fn⊂ Fn+1, já que (Fn)n≥0 é uma sequência
crescente.
Seja x ∈ Fn+1. Como Fn+1+ E′= Fn+ E′, existe y ∈ Fne z′, z′′∈ E′tais que x + z′= y + z′′. Assim,
x−y = z′′−z′∈ Fn+1∩E′= Fn∩E′. Como x−y e y pertencem a Fnentão x−y,y ∈ Fn. Logo, (x−y)+y ∈
1.9 Anéis Noetherianos e Anéis de Dedekind 66 Portanto, Fn+1= Fnpara todo n ≥ sup(n0, n1) e assim E é Noetheriano.
Corolário 1.11 Seja A um anel e sejam E1, . . . , EnA-módulos Noetherianos. Então o A-módulo produto n
∏
i=1
Eié Noetheriano.
Prova: Usaremos indução sobre n. Para n = 1, a afirmação é verdadeira, pois E1é
Noetheriano. Suponha que a afirmação é verdadeira para n − 1, n ≥ 2. Temos que E1× ··· × En
En
é isomorfo a E1× ··· × En−1 que é Noetheriano, pela hipótese de indução. Além disso, En também é
Noetheriano.
Logo, pelo teorema anterior, segue que E1× ··· × Ené Noetheriano.
Corolário 1.12 Seja A um anel Noetheriano e E um A-módulo do tipo finito. Então E é um módulo Noetheriano e portanto, todos os seus submódulos são do tipo finito finito.
Prova: Seja E = Ax1+ ··· + Axne N o núcleo do homomorfismo ϕ : An→ E de An= A × ··· × A
| {z }
nvezes
sobre
E dado por ϕ(a1, . . . , an) = n
∑
i=1
aixi. Assim,
An
N é isomorfo a E. Como A é Noetheriano, então pelo corolário 1.11 temos que Ané Noetheriano.
Logo, pela proposição 1.23 segue que An
N é Noetheriano. Portanto, E é Noetheriano.
Proposição 1.24 Seja A um anel Noetheriano integralmente fechado. Seja K seu corpo de frações, L uma extensão finita deK e A′o fecho integral de A emL. Suponha que K é de característica zero. Então
A′ é um A-módulo do tipo finito e um anel Noetheriano.
Prova: Pelo teorema 1.9, A′é um submódulo de um A-módulo livre de posto n. Como A é Noetheriano e A′ é um A-submódulo, segue que A′ é do tipo finito. Assim, pelo corolário 1.12 temos que A′ é um
módulo Noetheriano. Por outro lado, os ideais de A′ são casos especiais de A-submódulos de A′. Eles
satisfazem a condição maximal. Logo, A′é um anel Noetheriano.
Exemplo 1.9 O anel dos inteiros de um corpo numérico é Noetheriano, basta tomar A=Z e K = Q na proposição anterior.
Definição 1.33 Um ideal p de um anel A é chamado primo se o quociente A
p é um domínio de integridade.
Equivalentemente, x∈ A − p,y ∈ A − p ⇒ xy ∈ A − p, isto é, A
1.9 Anéis Noetherianos e Anéis de Dedekind 67 Para que um ideal M de A seja maximal é necessário e suficiente que A
M não possua ideais não triviais, isto é, que A
M seja um corpo. Assim, todo ideal maximal é primo. A recíproca é falsa, pois o ideal (0) de Z é primo mas não é maximal.
Lema 1.8 Sejam A um anel, p um ideal primo de A e A′um subanel de A. Entãop∩ A′é um ideal primo de A′.
Prova: Seja ϕ : A′→ A a aplicação de inclusão e ψ : A → A
p o homomorfismo canônico. Assim, a composta f = ψ ◦ ϕ : A′→A
p é um homomorfismo tal que
ker f = {a′∈ A′; f (a′) = 0} = {a′∈ A′;a′+ p = 0 + p} = {a′∈ A′;a′∈ p}. Assim, ker f = A′∩ p. Pelo
teorema dos isomorfismos de anéis temos que A′
A′∩ p ≃ Im f . Logo, A′
A′∩ p é um subanel de A
p. Como p é um ideal primo então A
p é um D.I. Sabemos que um subanel de um D.I é um D.I. Portanto, A′ A′∩ p é um D.I e daí A′∩ p é um ideal primo.
Definição 1.34 Dados dois ideais a e b de um anel A, definimos o produto de a e b como o conjunto de todas as somas finitas
∑
xiyi de produtos de elementos de a por elementos de b, isto é, ab =( n
∑
i=1 xiyi; n > 0,xi∈ a,yi∈ b )É claro que ab é um ideal de A. Além disso, ab ⊂ a e ab ⊂ b e daí ab ⊂ a∩b, mas nem sempre ab = a∩b. Para que ocorra a igualdade é necessário que ab = A. Dado um A-módulo E, um submódulo F e um ideal a de A, definimos do mesmo modo o produto ab
Lema 1.9 Se um ideal primo p de um anel A contém um produto p1p2. . . pnde ideais, entãop contém
pelo menos um dos ideaispi
Prova: Suponha, por absurdo que pi * p para todo i. Assim, existe xi∈ pi− p para todo i. Logo,
x1x2. . . xn∈ p, pois p é primo. Mas x/ 1x2. . . xn∈ p1p2. . . pn⊂ p, o que é um absurdo.
Portanto, p contém pelo menos um dos ideais pi
Lema 1.10 Em um anel Noetheriano todo ideal contém um produto de ideais primos. Em um domínio de integridade Noetheriano A todo ideal não-nulo contém um produto de ideais primos não-nulos.
Prova: Suponha por absurdo que a família Φ dos ideais não nulos de A que não contém um produto de ideais primos não nulos é não vazia. Como A é Noetheriano, Φ contém um elemento maximal a. O ideal a não pode ser primo, pois caso contrário a não pertenceria a Φ. Assim, existem x,y ∈ A − a tais que xy ∈ a. Os ideais a + Ax e a + Ay contém a como um subconjunto próprio, pois x ∈ a + Ax, x /∈ a
1.9 Anéis Noetherianos e Anéis de Dedekind 68 e y ∈ a + Ay, y /∈ a. Como a é um elemento maximal da família Φ, então os ideais a + Ax e a + Ay não pertencem a Φ. Logo, estes ideais contém produto de ideais primos não nulos.
p1. . . pn⊂ a + Ax e p′1. . . p′n⊂ a + Ay
Como xy ∈ a, então (a + Ax)(a + Ay) ⊂ a. Logo, p1. . . pnp′1. . . p′n⊂ a, o que é um absurdo.
Portanto Φ é vazia e daí segue o resultado.
Definição 1.35 Um anel A é chamado um anel de Dedekind, se A é Noetheriano, integralmente fechado e se todo ideal primo não nulo de A é maximal.
Exemplo 1.10 Todo domínio A de ideais é um domínio de Dedekind. De fato, temos que todo anel de ideais principais é Noetheriano, já que seus ideais são submódulos gerados por um elemento. Além disso, sabemos que todo anel de ideais principais é integralmente fechado, pela proposição 1.10. Por outro lado, em um domínio de ideais principais, todo ideal primo não nulo é maximal. Logo, A é um domínio de Dedekind.
Teorema 1.15 Sejam A um anel de Dedekind, K seu corpo de frações, L uma extensão de K de grau finito e ALo fecho inteiro de A emL. Então ALé um anel de Dedekind.
Prova: Sabemos que AL é integralmente fechado, Noetheriano e é um A-módulo finitamente gerado.
Falta mostrar que todo ideal primo p 6= h0i de ALé maximal. Já vimos que p ∩ A é um ideal primo de A.
Seja x ∈ p−h0i e consideremos a equação de dependência inteira de x sobre A dada por xn+ a
n−1xn−1+
··· + a1x+ a0= 0, com ai∈ A, i = 1,...,n − 1, nem todos nulos, de grau mínimo. Assim, a06= 0, pois
caso contrário obteríamos uma equação de grau menor. Portanto, temos que a0= −x(xn−1+ an−1xn−2+
··· + a1) ∈ ALx∩ A ⊂ p ∩ A, ou seja, p ∩ A 6= h0i.
Como A é um anel de Dedekind, segue que p ∩ A é um ideal maximal de A e daí pA
∩ A é um corpo. Além disso, A
p∩ A pode ser identificado com um subanel de AL
p e como ALé inteiro sobre A, segue que AL
p é inteiro sobre A
p∩ A. Assim, pela proposição 1.8 temos que AL
p é um corpo, e portanto p é maximal. Exemplo 1.11 Pelo teorema acima, temos que o anel dos inteiros de um corpo de números é um anel de Dedekind.
Definição 1.36 Sejam A um domínio eK seu corpo de frações. Um A-submódulo I de K é chamado de ideal fracionário de A se existe um d∈ A − {0} tal que dI ⊂ A. Quando d = 1 dizemos que I é um ideal inteiro. Assim, os elementos de um ideal fracionário I tem um denominador comum d∈ A
1.9 Anéis Noetherianos e Anéis de Dedekind 69 Proposição 1.25 Se A é um domínio Noetheriano então todo ideal fracionário I de A é um A-módulo do tipo finito.
Prova: Como I é um ideal fracionário, então existe d∈ A − {0} tal que dI ⊂ A. Assim, I ⊂ d−1A. além disso, d−1Aé um A-módulo e a função ϕ : A → d−1Atal que ϕ(x) = d−1xdefine um isomorfismo entre
Ae d−1A. Como A é Noetheriano, então d−1Aé Noetheriano. Logo, I é um A-módulo do tipo finito.
Proposição 1.26 Sejam A um domínio eK seu corpo de frações. Todo A-submódulo de K do tipo finito é um ideal fracionário.
Prova: Se {x1, . . . , xn} é um conjunto finito de geradores de I, então os x′is tem um denominador comum
d dado pelo produto dos denominadores di, onde xi= aidi−1, com aidi∈ A. Assim, dI ⊂ A e portanto I é
um ideal fracionário.
Definição 1.37 O produto de dois ideais fracionários I e I′ é definido por II′ =
∑
i
xiyi com xi∈ I e
yi∈ I′.
Sendo I e I′ ideais fracionários com denominadores comuns d e d′, então os conjuntos I ∩ I′, I + I′e II′
são ideais fracionários, os quais são A-módulos de K e tem denominadores comuns d ou d′, dd′, dd′,
respectivamente.
Lema 1.11 Sejam A um anel de Dedekind que não é um corpo e K seu corpo de frações. Seja m um ideal maximal de A. Entãom′= {x ∈ K;xm ⊂ A} é um ideal fracionário de K.
Prova: Como A não é um corpo, temos que m 6= (0) e que m′6= /0, pois 0 ∈ m′. Sejam x,y ∈ m′, então pela definição de m′, temos que xm ⊂ A e ym ⊂ A e assim (x+y)m = xm+ym ⊂ A, ou seja, x+y ∈ m′. Agora,
sejam x ∈ m′e a ∈ A. Assim, xm ⊂ A e portanto (xa)m = a(xm) ⊂ A, ou seja, xa ∈ m′. Finalmente, temos
que dm′⊂ A, para todo d ∈ A − {0}, ou seja, m′é um ideal fracionário de K.
Teorema 1.16 Sejam A um anel de Dedekind que não é um corpo eK seu corpo de frações. Todo ideal maximal de A é invertível no conjunto dos ideais fracionários de A.
Prova: Seja m um ideal maximal de A. Pelo lema anterior temos que m′ = {x ∈ K;xm ⊂ A} é um ideal fracionário de K. Pela definição de m′, segue que m′m⊂ A e como m é um ideal de A, então
m= mA ⊂ mm′ ⊂ A. Como m é maximal, temos que mm′ = m ou mm′ = A. Vamos mostrar que
mm′6= m. Para isto, suponhamos, por absurdo que mm′= m.
Seja x ∈ m′, então xm ⊂ m;x2m⊂ m;...xnm⊂ m. Se d ∈ m é não nulo, temos que xnd∈ A, para
1.9 Anéis Noetherianos e Anéis de Dedekind 70 1.25 segue que A[x] é um A-módulo do tipo finito. Logo, x é inteiro sobre A, mas como A é integralmente fechado, então x ∈ A, ou seja, m′⊂ A. Como A ⊂ m′, então A = m′. Por outro lado, se a ∈ m−{0}, então
pelo lema 1.10, o ideal Aa contém um produto de ideais primos não nulos p1. . . pnde A, com n o menor
possível. Assim, m ⊃ Aa ⊃ p1. . . pn. Logo, pelo lema 1.9, segue que m ⊃ pipara algum i = 1,...,n e sem
perda de generalidade podemos supor m ⊃ p1. Como p1é maximal, pois A é Dedekind, então m = p1
Agora, tomando b = p2. . . pn, temos que Aa ⊃ mb e Aa + b devido a maximalidade de n. Assim,
existe z ∈ b tal que z /∈ Aa. Como mb ⊂ Aa segue que z
am⊂ A e daí z a∈ m
′. Como z /∈ Aa, temos que
z
a ∈ A, ou seja, m/
′6= A, o que contradiz o fato m′= A.
Portanto, mm′= A, ou seja, m′é o inverso de m
Teorema 1.17 Sejam A um anel de Dedekind e P o conjunto dos ideais primos não nulos de A. Então todo ideal fracionário não nuloa de A pode ser escrito de forma única como
a=
∏
p∈P
pnp
onde np∈ Z e np= 0 para quase todos os p ∈ P
Prova: Pelo lema 1.10, temos que existem ideais primos p1, . . . , pvnão nulos de A tal que p1. . . pv⊂ a.
Provemos que a é um produto de ideais primos por indução sobre v. Se v = 1, temos que a ⊂ p1, mas
como p1é maximal, pois A é Dedekind, então a = p1e assim a é primo. Agora, suponhamos que todo
ideal que contém um produto com v − 1 ideais primos não nulos de A é um produto de ideais primos de A. Temos que p1. . . pv⊂ a e como A é Dedekind segue que a está contido em um ideal maximal m de A.
Seja m−1 o ideal fracionário inverso de m. Como m ⊃ a ⊃ p1. . . pv, segue que m contém um dos
pi’s para i = 1,...,v. Suponhamos que m ⊃ pv, daí m = pv, pois pvé maximal. Logo, p1. . . pv⊂ am′⊂
mm′= A. Pela hipótese de indução, decorre que am−1= q1. . . qs, onde os qj’s, j = 1,...,s são ideais
primos não nulos de A e daí a = q1. . . qs.
Para provar a unicidade, suponhamos que
∏
p∈P pnp =
∏
p∈P pmp, ou seja,∏
p∈P pnp−mp = A.Se np− mp6= 0 para algum ideal primo p ∈ P, podemos separar os expoentes positivos e negativos e
reescrevê-los como
pα11. . . pαr
r = q
β1
1 . . . qβss com pi, qi∈ P,αi> 0, βj> 0, pi6= pj∀i, j
Logo, p1contém qβ11q2β2. . . qβvv e daí p1⊃ qjpara algum j. Suponhamos, sem perda de generalidade
que p1⊃ qj. Como p1e q1são ideais maximais segue que p1= q1e assim np= mp, ou seja, np= mp, o
que é uma contradição.