E{a6 (n)} E3 {a2 (n)}− ρ2 2(3 − ρ) E 2 {a2(n)}E{aT(n)a(n)}, (4.35) tal que ρ = EE{a2 4(n)}
{a2
(n)}. Observa-se que o EMSE fornecido pelo CMA ´e n˜ao nulo para constela¸c˜oes
PAM de v´arios n´ıveis. Em [41] foi verificado tamb´em que o EMSE do CMA aumenta significativamente com a ordem da modula¸c˜ao PAM. Desta forma, fica evidente o ganho fornecido pelo DDMA em rela¸c˜ao ao CMA em constela¸c˜oes que n˜ao tˆem o m´odulo constante, sendo esse ganho t˜ao grande quanto maior for a ordem da constela¸c˜ao.
4.4
An´alise dos M´ınimos da Fun¸c˜ao Custo DDM num
Simples Canal AR
Esta se¸c˜ao visa analisar os pontos de m´ınimo da fun¸c˜ao custo DDM atrav´es de um estudo comparativo entre a localiza¸c˜ao geom´etrica dos pontos de m´ınimo das fun¸c˜oes custo DDM, CM e de Wiener utilizando-se um simples canal AR (exemplo de Ding [77]). Para tanto, os pontos de m´ınimo de Wiener considerados utilizam diferentes atrasos para o sinal de referˆencia. Tal an´alise se baseia, principalmente, nos trabalhos [77] e [78], onde foram encontradas rela¸c˜oes interessantes entre as fun¸c˜oes custo de Wiener e CM.
M´ınimos do crit´erio DDM para um canal AR de ordem 1
O procedimento desenvolvido na seq¨uˆencia para o DDM ´e baseado no trabalho [77], no qual ´e considerado um ambiente sem ru´ıdo utilizando um canal AR de ordem 1 da seguinte forma:
H(z) = 1
1 + θz−(N−1), |θ| < 1, (4.36)
que tamb´em pode ser visto como um filtro do tipo MA de ordem infinita:
H(z) = 1 − θz−1+ θ−2z−2− θ−3z−3+ · · · .
Restringindo a an´alise a sinais reais, os autores buscaram solu¸c˜oes para a minimiza¸c˜ao da fun¸c˜ao custo CM que possu´ıssem a seguinte forma:
wDing = [0 0 0 ... wN ], (4.37)
que representa apenas um ganho e um atraso, n˜ao obtendo, assim, a equaliza¸c˜ao do sinal. Deste modo, as solu¸c˜oes da forma expressa pela eq. (4.37) representam m´ınimos locais da fun¸c˜ao custo CM. Objetivando encontrar solu¸c˜oes para a minimiza¸c˜ao da fun¸c˜ao custo DDM da forma (4.37),
pode-se substituir o vetor wDing na express˜ao do gradiente da fun¸c˜ao custo DDM. Assim, ∇wJDDM w=wDing = E{x(n − N + 1)w N(|wNx(n − N + 1)|2− |ˆa(n)|2)x(n)} = 0. (4.38)
A eq. (4.38) ´e na verdade um conjunto de N equa¸c˜oes, uma vez que o vetor x(n) possui dimens˜ao igual a N. Considerando-se o canal do tipo AR examinado, tem-se a seguinte rela¸c˜ao entre a entrada e a sa´ıda do canal: x(n) = −θx(n − N + 1) + a(n). Dada essa rela¸c˜ao e relembrando a caracter´ıstica i.i.d. do sinal transmitido, verifica-se que o vetor de autocorrela¸c˜ao do sinal recebido ρxx(i) = E{x(n)x(n − i)} ´e igual a zero dentro do intervalo 1 ≤ i ≤ N − 2.
Desta forma, as N − 2 equa¸c˜oes intermedi´arias da eq. (4.38) s˜ao satisfeitas para todo wN.
Apenas a primeira e a ´ultima equa¸c˜oes n˜ao s˜ao diretamente satisfeitas. Assim, pode-se escrever para a ´ultima equa¸c˜ao de (4.38):
E{x2(n − N + 1)wN|wNx(n − N + 1)|2} = E{x2(n − N + 1)wN|ˆa(n)|2} ⇒
|wN|2E{|x(n − N + 1)|4} = E{|x(n − N + 1)|2a(n)|ˆ 2}.
Fazendo-se uso da independˆencia estat´ıstica entre a(n) e x(n − N + 1) e, ainda, considerando-se que o dispositivo de decis˜ao realiza decis˜oes corretas, tem-se
|wN|2E{|x(n − N + 1)|4} = E{|x(n − N + 1)|2}E{|ˆa(n)|2} = σa2E{|x(n)|2}.
Assim, finalmente obt´em-se
wN = ± s σ2 a E{|x(n)| 2 E{|x(n)|4}. (4.39)
A eq. (4.39) mostra que o crit´erio DDM possui m´ınimos do tipo (4.37), de onde se verifica que a fun¸c˜ao custo DDM pode, de fato, ter m´ınimos locais para o caso de um equalizador de comprimento finito. O estudo feito em [77] encontrou um resultado similar para a fun¸c˜ao custo CM. Na verdade, foi demonstrado que o crit´erio CM tamb´em possui m´ınimos locais da forma (4.37), por´em, neste caso, a express˜ao de wN ´e dada por
4.4 An´alise dos M´ınimos da Fun¸c˜ao Custo DDM num Simples Canal AR 75 wN = ± s R E{|x(n)| 2 E{|x(n)|4}. (4.40)
Os resultados obtidos em [77] s˜ao ampliados em [78], onde o autor mostra, num procedimento an´alogo, que existem outros vetores solu¸c˜oes que correspondem a m´ınimos do CM para sinais reais utilizando o canal (4.36). Esta extens˜ao de resultado tamb´em pode ser aplicada ao crit´erio DDM. Para tanto, faz-se necess´ario buscar solu¸c˜oes para a minimiza¸c˜ao da fun¸c˜ao custo DDM da seguinte forma:
w1 = [0 w1 0 ... 0 ],
que tamb´em representam apenas um ganho e um atraso, i.e., um m´ınimo local. Neste caso, a eq. (4.38) torna-se:
E{x(n − 1)w1(|w1x(n − 1)|2− |ˆa(n)|2)x(n)} = 0,
que tamb´em constitui um conjunto de N equa¸c˜oes cuja maioria ´e diretamente satisfeita para qualquer w1. Neste caso, apenas a segunda equa¸c˜ao n˜ao ´e diretamente satisfeita.
Desenvolvendo-se o mesmo procedimento acima descrito, pode-se demonstrar facilmente que w1 = wN (eq. (4.39)). Na verdade, pode-se demonstrar facilmente que todas as solu¸c˜oes da
forma w1 = [0 w1 0 ... 0 ], w2 = [0 0 w2 ... 0 ], .. . wDing = [0 0 0 ... wN ], (4.41)
s˜ao solu¸c˜oes de minimiza¸c˜ao do crit´erio DDM, onde todos os wi (i=1, 2, ... N) s˜ao expressos
por (4.39). Os vetores da forma (4.41) tamb´em s˜ao solu¸c˜oes do crit´erio CM, entretanto, neste caso, os wi (i=1, 2, ... N) s˜ao dados por (4.40).
M´ınimos de Wiener para o um canal AR de ordem 1
O trabalho [78] ainda encontrou os m´ınimos do receptor de Wiener para diferentes atrasos utilizando o mesmo canal (4.36). Os resultados mostraram que os m´ınimos de Wiener associados a diferentes atrasos s˜ao colineares com os m´ınimos do CM dados por (4.40). Tais m´ınimos do receptor de Wiener s˜ao da forma:
wW iener,0 = [1 0 0 ... θ ] wW iener,1 = [0 (1 − θ)2 0 ... 0 ] wW iener,2 = [0 0 (1 − θ)2 ... 0 ] .. . wW iener,N = [0 0 0 ... (1 − θ)2 ]. (4.42)
Isto mostra que, assim como para o DDM e o CM, o crit´erio de Wiener tamb´em possui m´ınimos indesej´aveis para o canal (4.36). Ademais, comparando-se a eq. (4.42) com a eq. (4.41), pode-se concluir facilmente que os m´ınimos do DDM, do CM e de Wiener s˜ao colineares para este caso.
Isto ´e um fato a ser ressaltado, uma vez que mostra que o importante resultado obtido para o CM pode ser ampliado para a nova fun¸c˜ao custo DDM. A colinearidade entre os m´ınimos do CM e do crit´erio de Wiener j´a havia sido observada anteriormente em [69, 70]. A proximidade dos pontos de m´ınimo do DDM e do crit´erio de Wiener ser´a melhor explorada na se¸c˜ao seguinte, onde ser´a estabelecida uma estreita rela¸c˜ao entre os m´ınimos de Wiener e do DDM.