5.2 Algoritmos do Tipo RLS
5.2.5 Equaliza¸c˜ao de Canais N˜ao-Lineares Utilizando RCMA
Finalizando o estudo sobre t´ecnicas do tipo RLS, nesta se¸c˜ao s˜ao propostas vers˜oes do tipo RCMA das t´ecnicas desenvolvidas anteriormente para a equaliza¸c˜ao de canais do tipo Wiener. O principal intuito ´e desenvolver t´ecnicas com convergˆencia r´apida para a realiza¸c˜ao de equaliza¸c˜ao adaptativa e cega de canais n˜ao-lineares. Neste caso, utilizando a nota¸c˜ao unificada introduzida na Se¸c˜ao 2.4, a fun¸c˜ao custo do RCMA assume a seguinte forma:
φRCM(n) = n
X
i=0
λn−i |y(n, i)|2− R2
, (5.39)
em que o valor de y(n, i) ´e dado por y(n, i) = qT(n)t(i) e λ ≤ 1 ´e o fator de esquecimento. Isso
significa que o filtro a ser atualizado q ´e sempre indexado por “n” na eq. (5.39) e o vetor de entradas t ´e sempre indexado por “i”. A defini¸c˜ao das diferentes formas de y(n, i) na eq. (5.39) ´e baseada na defini¸c˜ao de y(n, i) na fun¸c˜ao custo do algoritmo RLS (eq. (2.11)). Cada valor de q e t define uma express˜ao diferente para y(n, i), que, por sua vez, define uma fun¸c˜ao custo diferente.
A solu¸c˜ao para este problema de otimiza¸c˜ao ´e desenvolvida de maneira idˆentica ao caso do RCMA para canais lineares, uma vez que o modelo unificado introduzido na Se¸c˜ao 2.4 ´e linear com rela¸c˜ao aos parˆametros dos filtros. Assim o RCMA, neste caso, pode ser representado da seguinte forma:
ˆs(n) = ξ∗(n)t(n), onde ξ(n) = qT(n − 1)t(n),
k(n) = P(n − 1)ˆs∗(n) λ + ˆs⊤(n)P(n − 1)ˆs∗(n),
5.3 Contribui¸c˜oes do Cap´ıtulo 99 P(n) = λ−1·hP(n − 1) − k(n)ˆs⊤(n)P(n − 1)i,
q(n) = q(n − 1) + k(n) · R − |ξ(n)|2 ,
em que P(n) ´e inicializado como P(0) = δ−1INq, δ ´e uma constante positiva, Nq ´e o tamanho
de q e INq ´e matriz identidade de dimens˜ao Nq. Cada par q-t define a t´ecnica a ser utilizada de
acordo com a Tabela 2.1.
Assim como no caso de canais lineares, o RCMA aplicado a estruturas n˜ao lineares pode melhorar significativamente a velocidade de convergˆencia e o EQM residual do CMA e do NCMA, que, em alguns casos, pode n˜ao ter valores aceit´aveis.
As t´ecnicas de equaliza¸c˜ao de canais do tipo Wiener acima desenvolvidas encerram a fam´ılia de algoritmos do tipo RLS. A Tabela 5.5, a seguir, sintetiza os algoritmos dessa fam´ılia discorridos neste cap´ıtulo. A ´unica t´ecnica desta fam´ılia n˜ao origin´aria desta disserta¸c˜ao ´e o RCMA.
Tabela 5.5: Resumo dos Algoritmos do Tipo RLS estudados nesse cap´ıtulo
Algoritmos Equa¸c˜ao de Adapta¸c˜ao
RCMA [81, 82] w(n) = w(n − 1) + k(n)(|ξ(n)|2− R) RDDMA w(n) = w(n − 1) + k(n)(|ξ(n)|2− |ˆa(n)|2)
RMCMA w(n) = w(n − 1) + ˆk(n)ξR(n)(ξ2R(n) − RR) + jξI(n)(ξI2(n) − RI)
RMDDMA w(n) = w(n − 1) + ˆk(n)ξR(n)(ξR2(n) − ˆaR2(n)) + jξI(n)(ξI2(n) − ˆa2I(n))
RCMA N˜ao-Linear q(n) = q(n − 1) + k(n) · R − |ξ(n)|2
5.3
Contribui¸c˜oes do Cap´ıtulo
A fim de visualizar o panorama de contribui¸c˜oes do cap´ıtulo, resumem-se abaixo as principais t´ecnicas propostas e resultados originais:
• Proposi¸c˜ao de vers˜oes dirigidas pela decis˜ao dos algoritmos RCMA e NCMA para constela¸c˜oes com m´ultiplos raios: algoritmos RDDMA e NDDMA;
• Proposi¸c˜ao de uma vers˜ao “modificada” do RCMA: o MRCMA;
• Estabelecimento de uma rela¸c˜ao entre a classe de algoritmos do tipo NCMA e o algoritmo NLMSDD;
• Proposi¸c˜ao de uma vers˜ao “modificada” e dirigida pela decis˜ao do RCMA: o RMDDMA; • Proposi¸c˜ao de t´ecnicas para equaliza¸c˜ao adaptativa cega de canais do tipo Wiener baseados
No pr´oximo cap´ıtulo os resultados de simula¸c˜ao computacional obtidos mostrar˜ao os diferentes desempenhos dos algoritmos desenvolvidos neste cap´ıtulo.
Cap´ıtulo 6
Simula¸c˜oes Computacionais
N
O presente cap´ıtulo o comportamento das fam´ılias de algoritmos propostas nesta disserta¸c˜ao ´e analisado atrav´es de simula¸c˜oes computacionais. Ser´a verificado se as t´ecnicas propostas realmente fornecem ganhos significativos em performance em rela¸c˜ao `as t´ecnicas cl´assicas. Os crit´erios de desempenho utilizados durante as simula¸c˜oes computacionais para se comparar as performances dos algoritmo s˜ao a velocidade de convergˆencia e o EQM residual, que podem ser visualizados nos gr´aficos de evolu¸c˜ao de EQM. Em alguns casos tamb´em ´e utilizada a ISI como figura de m´erito para se testar o desempenho dos algoritmos. J´a para as simula¸c˜oes de equaliza¸c˜ao de canais n˜ao-lineares, tamb´em s˜ao analisados os gr´aficos de Taxa de Erro de Bit - Bit Error Rate (BER).Nos gr´aficos de EQM deste cap´ıtulo as curvas foram obtidas atrav´es da m´edia de simula¸c˜oes de Monte Carlo medidas sob um n´umero de realiza¸c˜oes independentes de dados. Nesses mesmos gr´aficos, a linha horizontal mostra o EQM ´otimo de Wiener. Nas simula¸c˜oes computacionais os equalizadores s˜ao inicializados com o coeficiente central igual a 1 e os restantes iguais a zero. Em alguns casos ´e necess´ario utilizar algoritmos do tipo dual-mode e, em outros, a utiliza¸c˜ao desta abordagem n˜ao acrescentou ganhos na performance dos algoritmos.
´
E importante destacar ainda que nesta disserta¸c˜ao ser´a observado o comportamento dos diversos algoritmos frente `as distor¸c˜oes provocadas por um canal de comunica¸c˜ao, sem uma forte influˆencia do ru´ıdo.
Um dispositivo de recupera¸c˜ao de fase da portadora do sinal recebido (PLL) ´e utilizado na sa´ıda do equalizador, com exce¸c˜ao feita aos algoritmos do tipo “modificado”, que realizam a recupera¸c˜ao de portadora implicitamente. A express˜ao de adapta¸c˜ao do PLL utilizada nas simula¸c˜oes computacionais pode ser escrita da seguinte forma [1]:
ˆ
ϕ(n + 1) = ˆϕ(n) − µP LL Im [e∗DD(n)y(n)] ,
em que µP LL ´e o fator de passo do PLL e ˆϕ(n) ´e a fase aplicada `a sa´ıda do equalizador no instante “n” .
O restante deste cap´ıtulo est´a organizado da seguinte forma: na Se¸c˜ao 6.1 s˜ao apresentados os resultados relativos aos algoritmos do tipo LMS; na Se¸c˜ao 6.2 s˜ao ilustrados os resultados concernentes `as rela¸c˜oes entre os pontos de m´ınimo das fun¸c˜oes custo de Wiener e DDM; na Se¸c˜ao
6.3 s˜ao mostrados os resultados relativos as algoritmos normalizados; na Se¸c˜ao 6.4 s˜ao mostrados os resultados concernentes aos algoritmos do tipo RLS; a Se¸c˜ao 6.5 apresenta os resultados que comparam as trˆes fam´ılias de algoritmos; e na Se¸c˜ao 6.6 s˜ao ilustrados os resultados concernentes `
as t´ecnicas de equaliza¸c˜ao de canais do tipo Wiener.
6.1
Algoritmos do Tipo LMS
Nesta se¸c˜ao s˜ao apresentados os resultados de simula¸c˜oes computacionais concernentes `a fam´ılia de algoritmos para equaliza¸c˜ao de canais lineares propostos no Cap´ıtulo 3, ou seja, os algoritmos do tipo gradiente estoc´astico. Inicialmente ´e verificado se as t´ecnicas dirigidas pela decis˜ao propostas s˜ao capazes de abrir o olho de um sinal na sa´ıda de um canal de comunica¸c˜ao. Ap´os esses resultados, a performance do DDMA ser´a comparada com a do CMA e a do DAMA, descritos na Se¸c˜ao 3.2. No final, todos os algoritmos do tipo CMA s˜ao testados e comparados com o DDA.
Nos algoritmos testados nesta se¸c˜ao observa-se o tradicional compromisso entre a velocidade de convergˆencia e o EQM residual, onde o fator de passo ´e o parˆametro que controla este compromisso. Um aumento no fator de passo aumenta a velocidade de convergˆencia e o EQM residual. Por outro lado, uma diminui¸c˜ao no fator de passo gera uma diminui¸c˜ao da velocidade de convergˆencia e do EQM residual. Devido a isso, em alguns casos, objetivando demonstrar a melhor performance de um algoritmo em rela¸c˜ao a outro, o fator de passo ´e ajustado de tal forma que os algoritmos forne¸cam aproximadamente o mesmo EQM residual e diferentes velocidades de convergˆencia. Em outros casos, o fator de passo ´e ajustado de forma que ambos os algoritmos forne¸cam aproximadamente a mesma velocidade de convergˆencia e diferentes EQM residual. Desta forma, o ganho em performance de um algoritmo em rela¸c˜ao a outro ´e mostrado de forma expl´ıcita. J´a em alguns outros casos, o fator de passo ´e simplesmente ajustado de forma que forne¸ca um bom compromisso entre a velocidade de convergˆencia e o EQM residual.