An´ alise Comparativa e Avan¸cos Esperados

Em estado estacion´ario, os modelos unidimensionais de interesse para o escoamento bif´asico podem ser trivialmente representados sob a forma padr˜ao 5.10, a qual aco- moda tanto as equa¸c˜oes diferenciais de balan¸co quanto as restri¸c˜oes alg´ebricas nas vari´aveis dependentes do problema (equa¸c˜oes constitutivas). H´a importantes van- tagens a esperar da aplica¸c˜ao da abordagem DAE em substitui¸c˜ao aos m´etodos iterativos baseados em volumes finitos, as quais resultam, em ´ultima an´alise, da existˆencia de uma ´unica vari´avel independente na modelagem analisada.

Destaca-se, primeiramente, que o m´etodo BDF resolve todas as equa¸c˜oes dife- renciais e alg´ebricas de um sistema DAE de forma verdadeiramente simultˆanea a cada passo de integra¸c˜ao. As se¸c˜oes anteriores apontaram que os procedimentos atualmente consolidados de CFD baseiam-se em t´ecnicas segregadas n˜ao por impe- dimentos te´oricos, mas sim por limita¸c˜oes de capacidade computacional. Embora este argumento fa¸ca sentido quando se consideram geometrias bi ou tridimensionais subdivididas em milh˜oes de volumes de controle, ele n˜ao invalida a integra¸c˜ao de Problemas de Valor Inicial unidimensionais pelo m´etodo BDF, o qual calcula y_n pelo M´etodo de Newton de forma individual para cada passo na dire¸c˜ao axial, e n˜ao para toda a geometria discretizada. Esperam-se, portanto, ganhos de eficiˆencia advindos da solu¸c˜ao progressiva e simultˆanea das equa¸c˜oes do escoamento bif´asico em compara¸c˜ao com a aplica¸c˜ao dos algoritmos segregados.

A tarefa essencial de equilibrar o custo computacional e a acur´acia da solu¸c˜ao tamb´em pesa a favor da abordagem Alg´ebrico-Diferencial. Enquanto as apro-

xima¸c˜oes introduzidas na discretiza¸c˜ao por volumes finitos frequentemente possuem baixas ordens de acur´acia (e.g., a t´ecnica upwind de primeira ordem), ordens maiores podem ser alcan¸cadas por meio do m´etodo BDF, o que se traduz em acur´acia igual ou superior mediante passos de integra¸c˜ao maiores. Verifica-se, pois, que esta dife- ren¸ca se acentua quando se considera a estabilidade num´erica da solu¸c˜ao, dado que este ´e o principal motivo que leva `a preferˆencia pelo m´etodo upwind em substitui¸c˜ao `

a mais acurada discretiza¸c˜ao por diferen¸cas centrais (PROSPERETTI e TRYGG- VASON, 2007; VERSTEEG e MALALASEKERA, 2007). C´odigos de integra¸c˜ao como o DASSL, por outro lado, s˜ao capazes de reduzir a ordem do m´etodo BDF de forma criteriosa e avan¸car em passos maiores usando f´ormulas mais est´aveis, ga- rantindo eficiˆencia quando o crit´erio da estabilidade restringe o passo de integra¸c˜ao al´em do exigido pela tolerˆancia estabelecida para a solu¸c˜ao num´erica (BRENAN et al., 1996).

Tamb´em deve ser enfatizado que, uma vez aplicado dado conjunto de t´ecnicas e aproxima¸c˜oes na discretiza¸c˜ao por volumes finitos, a acur´acia da solu¸c˜ao obtida depender´a somente da resolu¸c˜ao da malha empregada, qualquer que seja o algoritmo selecionado para resolver o sistema de equa¸c˜oes discretizadas. Consequentemente, os supracitados m´etodos de baixa ordem ir˜ao demandar malhas mais refinadas atrav´es de valores altos de N V , elevando a quantidade de equa¸c˜oes discretizadas a resolver. Outro resultado ´e que, na pr´atica, somente ´e poss´ıvel garantir a tolerˆancia desejada atrav´es de seguidas simula¸c˜oes com refinamento sucessivo de malha at´e o ponto em que determinados valores-chave deixem de registrar altera¸c˜oes significativas, quando a solu¸c˜ao ent˜ao ´e dita independente de malha (VERSTEEG e MALALASEKERA, 2007). Integradores DAE, por sua vez, atendem `a tolerˆancia estabelecida em uma ´

unica simula¸c˜ao mediante estimativas de erros de truncamento seguidas de ajuste do passo de integra¸c˜ao `a medida que avan¸cam. Este comportamento tamb´em garante o emprego de passos mais reduzidos apenas onde necess´ario, o que exigiria, no m´etodo alternativo, o refinamento local da malha entre simula¸c˜oes em substitui¸c˜ao ao simples aumento de N V .

Em que pese o fato de conceitos bastante consolidados basearem a presente discuss˜ao, foram encontrados pouqu´ıssimos estudos na literatura que tentassem a solu¸c˜ao dos modelos unidimensionais estacion´arios do escoamento bif´asico por t´ecnicas alternativas `aquelas baseadas na discretiza¸c˜ao em volumes finitos. A desco- berta mais original neste sentido foram as recomenda¸c˜oes apresentadas por GHIA- ASIAAN (2008). Esta referˆencia destaca que, ao contr´ario dos modelos transientes e/ou multidimensionais, os quais exigem m´etodos e algoritmos mais sofisticados, as equa¸c˜oes de conserva¸c˜ao unidimensionais estacion´arias s˜ao pass´ıveis de solu¸c˜ao num´erica por pacotes de integra¸c˜ao amplamente dispon´ıveis. O m´etodo de Runge- Kutta ´e mencionado, assim como elevadas ordens de integra¸c˜ao, passos ajust´aveis

e at´e mesmo o integrador BDF para sistemas DAE denominado LSODI (HIND- MARSH, 1980). Apesar da ´ultima cita¸c˜ao, o referido autor concentra a discuss˜ao somente nas EDOs dos modelos e instrui que os sistemas sejam reformulados para a forma expl´ıcita antes da integra¸c˜ao num´erica:

dy

dx = f [x; y (x)] (5.12)

A execu¸c˜ao deste rearranjo for¸ca que as varia¸c˜oes espaciais de determinadas propriedades termof´ısicas sejam expressas em fun¸c˜ao das derivadas das vari´aveis de estado, o que se consegue atrav´es da aplica¸c˜ao da Regra da Cadeia. Nos exemplos apresentados, s˜ao descartados com frequˆencia os termos em que figura a derivada da massa espec´ıfica da fase l´ıquida ρl com rela¸c˜ao `a press˜ao P . A incompressibilidade

de l´ıquidos ´e, de fato, uma simplifica¸c˜ao comum, mas que deve considerar somente os aspectos termodinˆamicos envolvidos, sendo inadequada a sua imposi¸c˜ao em raz˜ao da rearruma¸c˜ao matem´atica do modelo. Perdas de informa¸c˜ao desta natureza e o tempo consumido nesta reformula¸c˜ao est˜ao entre as justificativas apresentadas por BRENAN et al. (1996) e VIEIRA e BISCAIA JR (2001) para preferir trabalhar diretamente com a forma 5.10 em vez de reescrever o sistema DAE na forma 5.12.

Felizmente, o que se verifica ´e que pouqu´ıssima (frequentemente, nenhuma) mani- pula¸c˜ao alg´ebrica ´e requerida para programar as equa¸c˜oes de determinada aplica¸c˜ao no formato de subrotina padronizada pelos c´odigos e pacotes de integra¸c˜ao num´erica mais comuns. No presente trabalho, as equa¸c˜oes dos Modelos de Dois Fluidos, de Mistura e “Homogˆeneo” foram programadas nas respectivas fun¸c˜oes de res´ıduos re- presentando o lado esquerdo da Equa¸c˜ao 5.10, conforme exigido pelo DASSLC em complemento `as condi¸c˜oes iniciais (SECCHI, 2012).