Propriedades termof´ısicas (massas espec´ıficas e entalpias) e de transporte (visco- sidades e tens˜ao superficial) de cada fase figuram nas equa¸c˜oes de conserva¸c˜ao e constitutivas apresentadas para o escoamento bif´asico, exigindo-se a aplica¸c˜ao de m´etodos para sua previs˜ao.
Os pr´oximos cap´ıtulos apresentam estudos de estrat´egias de solu¸c˜ao num´erica do problema de interesse, cujas potencialidades ficam mais claras `a medida que o modelo resolvido se torna mais rigoroso. Considerando este crit´erio, tais simula¸c˜oes foram baseadas em um escoamento fict´ıcio de uma corrente multicomponente de nafta, cuja composi¸c˜ao global (dada pela Tabela 4.1) ´e semelhante `a verificada por cromatografia gasosa e apresentada por RIAZI (2005).
Tabela 4.1: Composi¸c˜ao molar da corrente de nafta. Componente Porcentagem molar (%)
n-Pentano 4,03 n-Heptano 13,55 2-Metil-Heptano 16,98 Ciclohexano 17,28 Benzeno 3,72 Tolueno 25,26 Etilbenzeno 4,57 p-Xileno 10,96 o-Xileno 3,65
A nafta ´e uma fra¸c˜ao de petr´oleo separada em colunas de destila¸c˜ao, sendo tamb´em obtida em outros processos de refino (JONES e PUJAD ´O, 2006). Optou-se pela mesma como mistura multicomponente com o objetivo de basear os c´alculos em cen´arios representativos de refinarias de petr´oleo, pouco explorados na litera- tura relacionada. Vale frisar, no entanto, que todas as t´ecnicas discutidas neste trabalho s˜ao aplic´aveis a qualquer outro problema de interesse, bastando substituir a composi¸c˜ao global da nafta pela da mistura fluida em quest˜ao.
Os c´alculos das propriedades das fases l´ıquida e vapor exigem o conhecimento de suas composi¸c˜oes em termos das esp´ecies qu´ımicas listadas na Tabela 4.1. Estas composi¸c˜oes foram calculadas para P e T locais a partir das constantes de equil´ıbrio de cada componente, em conjunto com a solu¸c˜ao da conhecida equa¸c˜ao de Rachford e Rice. A dependˆencia das constantes de equil´ıbrio com as composi¸c˜oes do vapor e do l´ıquido foi rigorosamente considerada, calculando-se as mesmas como a raz˜ao entre os coeficientes de fugacidade destas fases. A determina¸c˜ao de tais coeficientes foi baseada na equa¸c˜ao de estado c´ubica de Peng-Robinson. Os parˆametros de intera¸c˜ao que comp˜oem esta equa¸c˜ao s˜ao frequentemente aproximados como nulos para pares de hidrocarbonetos. Tal suposi¸c˜ao foi adotada neste trabalho, uma vez que a nafta considerada ´e composta somente por hidrocarbonetos (REID et al., 1987; RIAZI, 2005).
O c´alculo da entalpia de cada fase foi dividido em duas etapas. Na primeira, as fra¸c˜oes molares das esp´ecies qu´ımicas foram utilizadas em conjunto com suas express˜oes de calor espec´ıfico no estado de g´as ideal, obtendo-se a´ı a entalpia da fase
considerada no estado de g´as ideal. Este resultado foi somado `a entalpia residual da fase, tamb´em calculada em conjunto com a equa¸c˜ao de estado de Peng-Robinson, passando-se assim do estado de g´as ideal para o estado real.
A massa espec´ıfica da fase vapor foi obtida a partir de seu fator de compressi- bilidade, o qual resulta diretamente da equa¸c˜ao de estado de Peng-Robinson. J´a a massa espec´ıfica da fase l´ıquida e as viscosidades das duas fases, bem como a tens˜ao superficial entre as mesmas, foram todas calculadas por m´etodos apresenta- dos por DAUBERT e DANNER (1997) e RIAZI (2005) para fra¸c˜oes de petr´oleo de composi¸c˜ao qu´ımica definida.
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E importante salientar que a aproxima¸c˜ao de equil´ıbrio termodinˆamico para fins de c´alculo das propriedades foi introduzida com o objetivo de preencher uma lacuna de informa¸c˜ao, representada pelas composi¸c˜oes qu´ımicas das duas fases como fun¸c˜ao da posi¸c˜ao axial. No m´aximo n´ıvel de rigor, tal deficiˆencia seria sanada pela inclus˜ao, nos modelos de escoamento bif´asico, das equa¸c˜oes da continuidade para esp´ecies qu´ımicas (BIRD et al., 2002; GHIAASIAAN, 2008). Isto aumentaria sobremaneira a complexidade do problema, e n˜ao foi tentado com os modelos unidimensionais de interesse nos trabalhos pesquisados na literatura.
Neste contexto, conv´em destacar, particularmente, que a fra¸c˜ao vaporizada ob- tida da equa¸c˜ao de Rachford e Rice cumpre apenas um papel intermedi´ario na estimativa das composi¸c˜oes qu´ımicas e n˜ao corresponde ao real valor da raz˜ao entre os fluxos m´assicos previstos pelos modelos de Dois Fluidos e Drift-Flux. O motivo para isto ´e que o modelo obtido para Γv n˜ao obriga que a transferˆencia de massa
siga as rela¸c˜oes de equil´ıbrio de fases. Caso isto fosse arbitrado, seria necess´ario flexibilizar a modelagem de algum outro termo do balan¸co interfacial de energia.
4.10
Considera¸c˜oes Finais
Este cap´ıtulo apresentou e discutiu toda a modelagem constitutiva utilizada no presente trabalho para resolver as equa¸c˜oes m´edias de conserva¸c˜ao do escoamento bif´asico.
Ficou evidente que o alto n´umero de equa¸c˜oes complementares exigidas somente pelo Modelo de Dois Fluidos, bem como o n´ıvel de detalhe modelado pelas mesmas, tornam esta abordagem significativamente mais complexa que o Modelo de Mistura. Que boa parte da modelagem apresentada tenha sido obtida ou adaptada a partir do c´odigo RELAP5 (ISL, 2001a,b) n˜ao surpreende. Julgando pela frequˆencia com que o mesmo ´e referenciado na literatura, pode-se afirmar com seguran¸ca que este simulador encontra-se atualmente entre as aplica¸c˜oes mais consolidadas de modelos m´edios unidimensionais do escoamento bif´asico.
Cap´ıtulo 5
Aprimoramento da Simula¸c˜ao
Num´erica do Escoamento Bif´asico
Unidimensional
De acordo com o Cap´ıtulo 3, todos os modelos atualmente dispon´ıveis e computaci- onalmente vi´aveis para a simula¸c˜ao de escoamentos bif´asicos, desde os mais simples (correla¸c˜oes emp´ıricas) at´e os mais avan¸cados (Modelos de Dois Fluidos e de Mis- tura), s˜ao compostos por equa¸c˜oes diferenciais representando balan¸cos de massa, quantidade de movimento e energia.
Este cap´ıtulo apresenta a primeira contribui¸c˜ao do presente trabalho baseada na solu¸c˜ao (e n˜ao no desenvolvimento) das respectivas equa¸c˜oes unidimensionais, a qual consiste na aplica¸c˜ao de uma estrat´egia num´erica alternativa. Apresenta-se, antes da mesma, uma breve revis˜ao dos m´etodos num´ericos mais utilizados na literatura atual. Estes tamb´em foram implementados no c´odigo desenvolvido com o prop´osito de demonstrar objetivamente as vantagens esperadas da proposta deste cap´ıtulo, como ´e analisado a seguir.
5.1
Integra¸c˜ao do Gradiente de Press˜ao “Ho-
mogˆeneo” Permanente
O Cap´ıtulo 3 referenciou e discutiu correla¸c˜oes emp´ıricas e modelos mecan´ısticos que fornecem o gradiente de press˜ao, dP/dx, para escoamentos bif´asicos em estado estacion´ario. Uma vez selecionado o m´etodo ou correla¸c˜ao, o cˆomputo da varia¸c˜ao de press˜ao axial exige sua integra¸c˜ao ao longo de todo o comprimento L da tubula¸c˜ao:
∆P = Z L 0 dP dx dx (5.1)
O gradiente de press˜ao dP/dx ´e fun¸c˜ao de vari´aveis como propriedades f´ısicas e velocidades superficiais das fases, as quais variam com a press˜ao (a menos que sim- plifica¸c˜oes em casos particulares permitam supor o contr´ario). Como a press˜ao varia com x, o mesmo ocorre com dP/dx, e m´etodos num´ericos s˜ao ent˜ao necess´arios para o cˆomputo rigoroso da integral na Equa¸c˜ao 5.1, mesmo em escoamentos isot´ermicos. Entretanto, a situa¸c˜ao com que engenheiros tipicamente se defrontam ao resol- ver problemas de escoamento de fluidos ´e aquela em que a temperatura ao longo da linha tamb´em n˜ao ´e conhecida. Vaz˜oes e propriedades f´ısicas n˜ao podem ser previs- tas sem um valor de temperatura (consequentemente, nem o gradiente de press˜ao). Neste caso, a Equa¸c˜ao 5.1 deve ser resolvida simultaneamente a um balan¸co de energia. Conforme mencionado na Se¸c˜ao 3.7.3, a pr´atica mais difundida neste sen- tido ´e a considera¸c˜ao de um gradiente de entalpia na forma das Equa¸c˜oes 2.31 ou 3.114 (BRILL e MUKHERJEE, 1999; GREGORY e AZIZ, 1978; MOKHATAB e POE, 2012). A solu¸c˜ao do problema passa, ent˜ao, pela integra¸c˜ao simultˆanea de duas equa¸c˜oes diferenciais.
Da bibliografia relacionada, depreende-se que a t´ecnica h´a muito utilizada nestes c´alculos ´e a subdivis˜ao do duto em intervalos menores, no interior dos quais o gradi- ente de press˜ao ou as propriedades f´ısicas dos fluidos possam ser aproximados como constantes (BEGGS e BRILL, 1973; BRILL e MUKHERJEE, 1999; GREGORY e AZIZ, 1978; MOKHATAB e POE, 2012). Esta ´e a essˆencia do procedimento geral que BRILL e MUKHERJEE (1999) denominaram marching algorithm (“algoritmo de marcha”). De posse das condi¸c˜oes de vaz˜ao, press˜ao e temperatura em uma extremidade da tubula¸c˜ao, subdivide-se-a nos m referidos subintervalos de compri- mento ∆x e calculam-se sequencialmente as press˜oes e temperaturas desconhecidas nas extremidades opostas de cada um. Ao final do c´alculo, estar˜ao dispon´ıveis as press˜oes em ambas as pontas do tubo, e ∆P pode finalmente ser calculado.
A Figura 5.1 ilustra o roteiro do c´alculo para dado intervalo de comprimento ∆x, supondo que as condi¸c˜oes a montante do mesmo (´ındice i) j´a se encontram determi- nadas, restando o c´alculo da press˜ao e temperatura a jusante (´ındice i + 1). Trata-se de um procedimento duplamente iterativo, onde a sequˆencia de c´alculo para cada press˜ao estimada exige outra itera¸c˜ao na temperatura. Em escoamentos bif´asicos, a express˜ao C´alculos PVT na figura engloba a determina¸c˜ao da transferˆencia de massa entre as fases, bem como de suas propriedades f´ısicas e termodinˆamicas (massas es- pec´ıficas, viscosidades, tens˜ao superficial e entalpias) `a press˜ao e temperatura m´edias do intervalo. Conv´em destacar que o procedimento ilustrado torna-se triplamente iterativo se esta etapa termodinˆamica tamb´em o for.
MOKHATAB e POE (2012) recomendam explicitamente o M´etodo da Substi- tui¸c˜ao Sucessiva no refinamento das press˜oes e temperaturas a cada itera¸c˜ao.
Figura 5.1: Fluxograma do marching algorithm para cada subintervalo da tubula¸c˜ao.
literatura. Ao recomendar esta metodologia para escoamentos monof´asicos de g´as natural, KELKAR (2008) argumenta que ´e prefer´ıvel trabalhar com curtos incre- mentos de press˜ao em vez de comprimento, embora o balan¸co de energia n˜ao tenha sido inclu´ıdo nesta discuss˜ao. J´a MOKHATAB e POE (2012) recomendam iterar na temperatura em um la¸co externo, e na press˜ao em outro interno, o que justifi- cam alegando menor esfor¸co computacional. O m´etodo b´asico de “marchar” pela tubula¸c˜ao, entretanto, ´e utilizado em todos estes casos.
Tanto BRILL e MUKHERJEE (1999) quanto MOKHATAB e POE (2012) in- dicam c´alculos de flash para o cˆomputo da transferˆencia de massa entre as fases, pressupondo-se a´ı que ambas encontram-se sempre em equil´ıbrio termodinˆamico. Dos balan¸cos macrosc´opicos de massa apresentados por BIRD et al. (2002), ou do balan¸co material escrito por BRASIL (2004), deduz-se que, em estado estacion´ario e na ausˆencia de rea¸c˜oes qu´ımicas, as vaz˜oes m´assicas de todas as esp´ecies qu´ımicas
presentes permanecem as mesmas ao longo da tubula¸c˜ao. Isto implica que a vaz˜ao m´assica total independe da posi¸c˜ao axial (como j´a foi verificado anteriormente) e, mais importante ainda, que a composi¸c˜ao qu´ımica global da mistura bif´asica tamb´em n˜ao varia com x. Ent˜ao, para dadas P (x) e T (x), o c´alculo do flash sobre a com- posi¸c˜ao global conhecida resulta na fra¸c˜ao m´assica vaporizada local, possibilitando a determina¸c˜ao local das vaz˜oes m´assicas e composi¸c˜oes qu´ımicas das fases e, por conseguinte, das diversas propriedades f´ısicas necess´arias mediante a aplica¸c˜ao dos m´etodos termodinˆamicos pertinentes.