Com o objetivo de realizar uma an´alise relativa `a qualidade do modelo GSM, esta sec¸c˜ao destina-se `a an´alise da subtra¸c˜ao de mapas simulados pelo modelo com mapas reais obtidos por sat´elites da NASA e efetua-se ainda uma an´alise estat´ıstica que consiste num teste de correla¸c˜ao de Pearson e num teste de Kolmogorov-Smirnov. As proje¸c˜oes mollview apresentadas correspondem a mapas subtra´ıdos a duas frequˆencias de observa¸c˜ao, 408 MHz
e 94 GHz (dispon´ıveis na base de dados LAMBDA da NASA), onde s˜ao evidenciadas as diferen¸cas de fluxo entre os mapas simulado e real conhecido como teste zero.
Figura 5.24: Proje¸c˜ao a 408 MHz resultante da diferen¸ca entre os mapa simulado e o da NASA. `A direita ´e ilustrada a proje¸c˜ao a 94 GHz resultante da diferen¸ca entre um mapas simulado e o da NASA.
Analisando as proje¸c˜oes ilustradas na figura 5.24, verifica-se que fora do plano gal´actico as estruturas est˜ao distribu´ıdas de forma uniforme, indicando semelhantes propriedades de ru´ıdo nos dois mapas.
Na tabela 5.7 apresentam-se os fluxos m´edios residuais para 408 MHz e 94 GHz.
Tabela 5.7: Intensidades m´edias obtidas para os mapas simulado e da NASA e ainda as diferen¸cas das intensidades m´edias obtidas pela subtra¸c˜ao dos mesmo.
Modelo GSM Mapas reais Frequˆencia (GHz) Temperatura da antena (K) Temperatura da antena (K) ∆ T (K) 0,408 32,06 34,40 2,340 94 2,968× 10−5 0,0393 0,0393 Com o intuito de analisar a coerˆencia do modelo GSM em compara¸c˜ao com as medidas obtidas por observa¸c˜oes reais pelos sat´elites da NASA foi efetuado um estudo estat´ıstico que assenta numa an´alise de correla¸c˜ao de Pearson e ainda num teste de Kolmogorov-Smirnov, os quais s˜ao abordados a seguir:
Coeficiente de correla¸c˜ao de Pearson
As medidas de correla¸c˜ao permitem medir o grau de rela¸c˜ao entre duas vari´aveis designando-se coeficiente de correla¸c˜ao. Este coeficiente ´e uma medida da correla¸c˜ao linear entre duas vari´aveis x e y cujo valor ´e expresso no intervalo de 1 e -1. O valor 1
descreve correla¸c˜ao linear perfeita entre as vari´aveis.[31] O coeficiente de correla¸c˜ao de Pearson, r, ´e dado pela seguinte formula, [32]
r = P i(xi− x)(yi− y) pP i(xi− x)2 pP i(yi− y)2 (5.2)
onde x ´e a m´edia de todos os xi e y a m´edia de todos os yi. As vari´aveis x e y s˜ao
o mapa que resulta das simula¸c˜oes e o mapa real obtido por observa¸c˜oes da NASA, respetivamente.[32]
O sinal e valor absoluto do coeficiente de correla¸c˜ao descrevem a dire¸c˜ao e a magni- tude entre as duas vari´aveis, respetivamente. Quanto maior o valor absoluto do coe- ficiente de correla¸c˜ao mais forte ´e a rela¸c˜ao linear entre as vari´aveis. Uma correla¸c˜ao forte ´e aquela que apresenta um coeficiente de correla¸c˜ao superior a 0,7. Obtˆem-se ainda o valor da covariˆancia usado em estat´ıstica para descrever a incerteza dos dois conjuntos de dados.[31]
Teste de Kolmogorov-Smirnov (KS)
Trata-se de uma medida de correla¸c˜ao n˜ao param´etrica que avalia o grau de con- cordˆancia entre a distribui¸c˜ao de um conjunto de valores amostrais (valores obser- vados) e a distribui¸c˜ao te´orica espec´ıfica que permite verificar se dois conjuntos de dados diferem significativamente.[32,33] O teste baseia-se nas estat´ısticas KS que me- dem a maior distˆancia entre a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao emp´ırica (EDF) de um conjunto de dados e a fun¸c˜ao etapa de compara¸c˜ao do segundo conjunto de dados (ou a sua fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao cumulativa). Em ambos os casos, a distribui¸c˜ao da popula¸c˜ao ´e assumida como cont´ınua.[33]
A fun¸c˜ao (EDF) denotada Fn ´e definida da seguinte forma [33],
Fn(x) = 1 n n X i=1 I[Xi 0 x], (5.3)
A estat´ıstica de KS com respeito `a fun¸c˜ao modelo F0 ´e dada por [33],
D =√nmaxx|Fn(x) − F0(x)|, (5.4)
o parˆametro D indica-nos o desvio m´aximo escalar que define a estat´ıstica de KS especifica e n ´e dado pelo n´umero de pixeis, npix. O n´ıvel de significˆancia, p, para um
dado valor D observado diz-nos que quanto maior o seu valor mais significativamente um conjunto de valores difere do outro.[32, 33]
O teste de Kolmogorov-Smirnov apresenta grande utilidade na ´area de Astronomia devido `as seguintes caracter´ısticas, [33]:
– ´e uma distribui¸c˜ao que apresenta probabilidades v´alida na medida do grau de concordˆancia entre a distribui¸c˜ao de um conjunto de valores amostrais (valores
observados) e a distribui¸c˜ao do conjunto de dados originais. Isto torna-se parti- cularmente valioso para Astronomia pois geralmente n˜ao existem conhecimentos sobre a distribui¸c˜ao matem´atica das estruturas observadas tais como, planetas, estrelas, gal´axias.
– Os valores cr´ıticos de probabilidade est˜ao amplamente dispon´ıveis para um grande n´umero de amostras e existem valores tabelados para pequenas amostras. – pode servir como um teste de ajuste para uma regress˜ao ou outro procedimento o que ´e extremamente importante na liga¸c˜ao dos dados astron´omicos com a teoria astrof´ısica.
– ´e um teste de estat´ıstica simples, f´acil de calcular e interpretar e ainda familiar para quase todos os astr´onomos.
Tabela 5.8: Valores estat´ısticos obtidos pelo m´etodo de correla¸c˜ao de Pearson e pelo teste de Kolmogorov-Smirnov.
408 MHz 94 GHz Coeficiente de Pearson 0,9243 0,7685 Covariˆancia 1250,68 25,29×10−6 Desvio m´aximo, D 0,1462 0,9890 N´ıvel de significˆancia, p 0,0 0,0
Os valores obtidos para o coeficiente de correla¸c˜ao de Pearson, tabela 5.8, evidenciam uma forte correla¸c˜ao linear para as frequˆencias de 408 MHz e 94 GHz, ambos valores superiores a 0,7. Para altas energias o modelo apresenta maiores diferen¸cas com os mapas reais uma vez que o modelo foi calibrado com mais dados a baixas frequˆencias. O teste de KS, tabela 5.8, permitiu ainda obter uma significˆancia nula para ambos os casos e um desvio m´aximo de ∼ 0,146 para uma frequˆencia de observa¸c˜ao de 408 MHz e de ∼ 0,989 para 94 GHz. Comparando as duas frequˆencias utilizadas no estudo, 408 MHz e 94 GHz, obteve- se melhores parˆametros para a frequˆencia de 408 MHz. Desta forma, o modelo utilizado nas simula¸c˜oes apresenta uma muito boa performance a baixas frequˆencias podendo ser utilizado para o planeamento de observa¸c˜oes.