An´alise das propriedades

Segundo Desrochers & Al-Jaar (1995), os problemas de alcanc¸abilidade e de cobertura s˜ao quest ˜oes de an´alise de redes de Petri muito b´asicos e s˜ao ´uteis para o estabelecimento de propriedades tais como limitabilidade e reversibilidade.

O problema de alcanc¸abilidade pode ser definido da seguinte forma: Dada uma rede de Petri N com duas marca¸c˜oes diferentes m e m′_{, ´e poss´ıvel determinar se m}′_{´e alcan¸c´avel a partir de m (isto}

´e, m′_{∈ R (N, m))?}

Dado que um estado m′ _{´e dito ser coberto por um estado m}′′_{se, todos os componentes de}

m′′_{s˜ao maiores ou iguais aos correspondentes componentes de m}′_{, o problema de cobertura}

pode ser definido da seguinte forma: Dada uma rede de Petri N com uma marca¸c˜ao inicial m0

e uma marca¸c˜ao m′_{, existe uma marca¸c˜ao alcan¸c´avel m}′′ _{∈ R (m}

0), tal que m′′ cobre m’ (isto ´e,

m′′>m′)?

A verificac¸˜ao das propriedades de limitabilidade e reversibilidade pode ser feita pela cons- truc¸˜ao da ´arvore de alcanc¸abilidade que ´e a representac¸˜ao de todas as marcac¸ ˜oes que a RdP pode alcanc¸ar a partir da marcac¸ ˜ao inicial (MURATA, 1989). Cada n ´o da ´arvore corresponde a uma marcac¸ ˜ao alcanc¸ ´avel e cada arco corresponde ao disparo de uma transic¸˜ao, que faz passar de uma marcac¸ ˜ao a outra (KHANSA, 1997). Por´em ´e poss´ıvel que esta ´arvore cresc¸a sem que seja poss´ıvel determinar seu fim.

A construc¸˜ao da ´arvore de cobertura permite decidir se uma RdP ´e limitada. A ´arvore de cobertura ´e definida de modo similar `a ´arvore de alcanc¸abilidade exceto pelo fato de que as marcac¸ ˜oes que crescem indefinidamente s˜ao substitu´ıdas por uma ´unica marcac¸ ˜ao que

cont´em o s´ımbolo ω (n ´umero finito, indefinidamente grande). Desse modo, a ´arvore de cobertura ´e finita, com a presenc¸a do s´ımbolo ω na ´arvore indicando que qualquer estado obtido pela substituic¸˜ao deste s´ımbolo por algum n ´umero inteiro ´e coberto por algum estado alcanc¸´avel.

A RdP ´e limitada se e somente o s´ımbolo ω n˜ao aparece na ´arvore de cobertura. Atrav´es desta ´arvore, ´e poss´ıvel verificar as outras propriedades. Entretanto, para uma RdP ilimi- tada, construir a ´arvore de cobertura n˜ao ´e suficiente para resolver o problema de alcanc¸abi- lidade e o de vivacidade. Estes dois problemas s˜ao decid´ıveis2, mas com algoritmos muito mais complicados (KHANSA, 1997). Este m´etodo ´e v´alido apenas para a rede marcada, e a cada marcac¸ ˜ao inicial diferente corresponde uma nova ´arvore. Esta abordagem de an´alise ´e geral, pois ela ´e aplic´avel a todas as classes de rede. Sua limitac¸ ˜ao reside na explos˜ao combi- natorial do n ´umero de estados (KHANSA, 1997). A abordagem baseada no estudo de RdP atrav´es de sua ´arvore de cobertura constitui a An´alise Enumerativa ou por Enumerac¸˜ao. • An´alise por Invariantes

Os problemas de conservac¸˜ao e de consistˆencia mostrados na sec¸˜ao 3.2.2, podem ser tratados atrav´es da An´alise por Invariantes. Esta an´alise consiste em determinar algumas das pro- priedades estruturais a partir da matriz de incidˆencia da rede de Petri. Conforme o teorema 3.2 a existˆencia de uma soluc¸˜ao n˜ao nula para a equac¸˜ao xt.C = 0 ´e condic¸˜ao necess´aria e

suficiente para a conservatividade da rede de Petri.

• P-invariante – um p-invariante (lugar invariante) ´e um vetor de inteiros positivos x de dimens˜ao s que satisfaz:

xt.C = 0 (3.14)

Sendo x um p-invariante, m0a marcac¸ ˜ao inicial de uma RdP e m uma marcac¸˜ao alcan-

c¸´avel a partir de m0tem-se:

xt.m = xt.m0 (3.15)

Este resultado ´e uma conseq ¨uˆencia da equac¸˜ao fundamental.

Deve-se observar que as soluc¸˜oes da equac¸˜ao 3.15 est˜ao no n ´ucleo (kernel) da matriz Ct, logo o n ´umero de soluc¸˜oes linearmente independentes ´e igual `a dimens˜ao deste

espac¸o.

O conjunto de lugares correspondentes a elementos n˜ao nulos em um p-invariante x > 0 ´e denominado suporte deste invariante ou componente conservativo e ´e denotado por kxk. Um suporte ´e minimal se n˜ao existe outro invariante x1tal que x1(p) 6 x (p) para todo p. Dado

um suporte minimal de um invariante, existe um ´unico invariante minimal correspondendo ao suporte minimal. Tal invariante ´e denominado suporte–minimal do invariante.

2_{Para mostrar a decidibilidade de um problema de rede de Petri, ´e necess´ario reduzir este problema a um problema}

com uma soluc¸˜ao conhecida. Para mostrar indecidibilidade, deve-se reduzir este problema a outro conhecido como sendo indecid´ıvel (PETERSON, 1980).

A existˆencia de p-invariantes implica na conservac¸˜ao da rede conforme o teorema 3.3. • T-invariante– um T-invariante ´e um vetor de inteiros positivos y de dimens˜ao r que

satisfaz:

C.y = 0 (3.16)

Seja σ uma seq ¨uˆencia de disparo e S seu vetor caracter´ıstico. Sendo S = y um T- invariante, e sendo m0 uma marcac¸ ˜ao inicial de N e m uma marcac¸ ˜ao alcanc¸ ´avel a

partir de m0tem-se:

m = m0 (3.17)

Este resultado ´e imediato a partir da equac¸˜ao fundamental e mostra que σ ´e uma seq ¨uˆencia c´ıclica, isto ´e, o disparo da seq ¨uˆencia σ faz o sistema retornar `a marcac¸˜ao inicial da rede (a rede ´e reinici´avel).

O conjunto de transic¸ ˜oes correspondentes a elementos n˜ao nulos em um t-invariante y > 0 ´e denominado suporte deste invariante ou componente repetitivo estacion´ario e ´e denotado por kyk. Um suporte ´e minimal se n˜ao existe outro invariante y1tal que y1(p) 6 y (p) para todo

p.

A existˆencia de t-invariantes implica na consistˆencia da rede conforme o teorema 3.5. Segundo Desrochers & Al-Jaar (1995) um resultado importante da t-invariˆancia ´e dado por:

Propriedade 3.3 Dada a rede de Petri N =< P, T , I, O > e sua matriz de incidˆencia C, se a equa¸c˜ao Cy =0 s´o admite a solu¸c˜ao trivial, ent˜ao N n˜ao ´e revers´ıvel.

Esta ´e uma condic¸˜ao suficiente, mas n˜ao ´e necess´aria para a irreversibilidade. Donde, a soluc¸˜ao n˜ao trivial garante apenas a reversibilidade parcial.

O conjunto de todos os poss´ıveis suportes minimais de invariantes serve como um gerador de invariantes, isto ´e, qualquer invariante pode ser escrito como uma combinac¸ ˜ao linear dos suportes-minimais de invariantes (WANG, 1998).

Este conjunto de suporte minimais de invariantes proporciona uma vis˜ao decomposta da estrutura da rede de Petri estudada e esta decomposic¸˜ao torna poss´ıvel implementar a de- composic¸˜ao das redes de Petri em processos (ver sec¸˜ao 2.4), com cada suporte minimal dos p- invariantes sendo tratado como um processo e com cada suporte minimal dos t-invariantes sendo usado para verificar a repetitividade da rede.

Estes resultados s˜ao interessantes no contexto deste trabalho, pois tornam poss´ıvel a trans- posic¸˜ao (ou traduc¸˜ao) da modelagem em redes de Petri para a modelagem em programac¸˜ao linear inteira mista, da seguinte forma:

– na sec¸˜ao 3.5, ser˜ao estudados os invariantes caracter´ısticos dos processos simples, com sincronismo, com alternˆancia e com compartilhamento (definidos na sec¸˜ao 2.4);

p5 p4 p6 t3 t4 p17 p16 t1 p2 t2 p1 p3 p13 t5 p8 t6 p7 p9 p14 p18 t7 p11 t8 p10 p12 p15

Figura 3.7: Problema de Escalonamento com Precedˆencias Conflitantes

– no cap. 5 ser´a proposto um algoritmo para encontrar o conjunto dos suportes minimais dos invariantes, decomp ˆor a rede de Petri em componentes conservativos e modelar cada componente de acordo com a formulac¸˜ao proposta no cap. 4.

De acordo com Aalst (1995), ´e poss´ıvel encontrar precedˆencias conflitantes e precedˆencias redundantes usando-se a an´alise da p-invariˆancia.

A precedˆencia conflitante acontece quando um p-invariante n˜ao cont´em fichas na marcac¸˜ao inicial, sendo portanto uma seq ¨uˆencia n˜ao realiz´avel. Para ilustrar este resultado considere o problema de escalonamento mostrado na figura 3.7. Seja o componente conservativo gerado pelo conjunto (Aalst, 1995):

{p2, p13, p5, p14, p8, p15, p11, p16}

O seu p-invariante ´e:

p₂+ p₁₃+ p₅+ p₁₄+ p₈+ p₁₅+ p₁₁+ p₁₆ = 0

Esta invariante mostra que existem 4 restric¸˜oes de precedˆencia em conflito, representadas pelos lugares p13, p14, p15 e p16 e seus arcos (ver figura 3.7). Uma forma de tornar esta

seq ¨uˆencia realiz´avel ´e remover um destes lugares e seus respectivos arcos.

As restric¸ ˜oes de precedˆencia redudante ocorrem quando os lugares que representam estas restric¸˜oes s˜ao redundantes, como conseq ¨uˆencia, a retirada de um destes lugares n˜ao afeta o comportamento da rede. As restric¸ ˜oes de precedˆencias redundantes tamb´em podem ser encontradas usando-se os p-invariantes. Por exemplo, na figura 3.7 se for mudada a direc¸˜ao dos arcos de entrada e de sa´ıda do lugar p16(que simbolizam uma restric¸˜ao de precedˆencia

do problema de escalonamento), ser´a obtida uma rede de Petri sem precedˆencias conflitantes (mostrado pela figura 3.8), gerando o seguinte P-invariante:

p₂+ p₁₃+ p₅+ p₁₄+ p₈+ p₁₅+ p₁₁− p₁₆ = 0

p5 p4 p6 t3 t4 p17 p16 t1 p2 t2 p1 p3 p13 t5 p8 t6 p7 p9 p14 p18 t7 p11 t8 p10 p12 p15

Figura 3.8:Problema de Escalonamento com Precedˆencias Redundantes

p1 p3 t1 t3 t4 t2 p2

Figura 3.9:Rede de Petri n˜ao viva

Neste trabalho, a an´alise de invariˆancia ser´a usada para encontrar precedˆencias redundantes e/ou conflitantes e ainda, para verificar a consistˆencia e a conservac¸˜ao da rede, atrav´es de um algoritmo para a verificac¸˜ao das propriedades estruturais de conservac¸˜ao e de consis- tˆencia em uma rede de Petri e que ser´a discutido no cap´ıtulo 5.