A maneira como realizamos nossas medidas nos permite adquirir todos os termos de ru´ıdo que comp˜oem a matriz de covariˆancia do OPO (VOP O), sendo simples aplicar o crit´erio
de Positividade sob Transposi¸c˜ao Parcial (PPT), discutido no cap´ıtulo 2.
Rigorosamente, medimos somente correla¸c˜oes entre mesmas quadraturas dos trˆes cam- pos. Para compor a matriz VOP O assumimos que as correla¸c˜oes entre amplitude e fase s˜ao
nulas, o que ´e teoricamente esperado quando n˜ao h´a dessintonia no OPO.
De fato, realizando medidas em que somente um dos feixes interage com uma cavidade, podemos medir a correla¸c˜ao Cpˆˆq e averiguar se ´e realmente nula. No
entanto, a mesma an´alise pode ser feita de um modo mais simples, em que se verifica a simetria da curva de ru´ıdo dos feixes em fun¸c˜ao da dessintonia da cavidade de an´alise (conforme discutido na se¸c˜ao1.2.1). Nossos resultados indicam que estas correla¸c˜oes s˜ao desprez´ıveis (Cpˆˆq ≈ 0).
Al´em disto, o crit´erio PPT s´o ´e necess´ario e suficiente no caso em que o estado medido ´e gaussiano. Este ´e o estado gerado em um OPO ideal. Levando em conta as perdas do sistema, espera-se que haja uma atenua¸c˜ao dos ru´ıdos, por´em sem uma mudan¸ca na forma gaussiana de sua distribui¸c˜ao no espa¸co de fase.
Mais uma vez, temos evidˆencias de que seja este o caso. Como em nossas me- didas s˜ao adquiridas as flutua¸c˜oes diretamente, podemos calcular os momentos de ordem superior hδˆxni. No caso de um estado gaussiano os momentos de
ordem ´ımpar s˜ao nulos e o momento de quarta ordem se relaciona `a variˆancia segundo a express˜ao: hδˆx4i = 3 (hδˆx2i)2. Por problemas t´ecnicos, no caso das
atuais medidas, este c´alculo foi realizado utilizando uma parcela pequena dos dados e somente para a quadratura amplitude. Por exemplo, analisando so- mente o feixe de bombeio e para uma potˆencia espec´ıfica (σ=1,67), obtivemos hδ ˆp20i = 3, 58(4) , hδ ˆp30i = 0, 08 ± 0, 2 = 0 , (4.4.1)
hδ ˆp40i = 38(1) , 3 × (hδ ˆp20i)2 = 38, 5(9) , (4.4.2)
sendo os ru´ıdos escritos em unidades arbitr´arias (n˜ao normalizado pelo ru´ıdo de um estado coerente). Sendo assim, para esta parcela de dados analisadas, o estado ´e gaussiano. Uma an´alise an´aloga, por´em mais detalhada, foi realizada no passado, fornecendo resultados similares.
Feitas estas considera¸c˜oes, vejamos como o m´etodo se aplica aos resultados obtidos. Em nossas medidas, temos como resultado final os ru´ıdos ∆2xˆ
j e correla¸c˜oes Cxˆjxˆk, com
a quadratura generalizada ˆx sendo escolhida de acordo com a dessintonia da cavidade ∆. Para obter o valor de todos estes ru´ıdos, numa dada potˆencia de bombeio σ, procedemos assim como nos casos anteriores: fazemos um gr´afico das diversas variˆancias em fun¸c˜ao de ∆ e selecionamos os ru´ıdos na quadratura amplitude e fase.
Por exemplo, em σ = 1, 17 temos a seguinte matriz de covariˆancia, seguindo nota¸c˜ao dada na equa¸c˜ao (3.1.41), VOP O = 1.22(5) 0 −0.42(3) 0 −0.44(5) 0 0 2.50(6) 0 0.67(1) 0 1.04(1) −0.42(3) 0 1.81(6) 0 1.43(5) 0 0 0.67(1) 0 2.51(12) 0 −1.15(4) −0.44(5) 0 1.43(5) 0 1.97(5) 0 0 1.04(1) 0 −1.15(4) 0 2.70(6) . (4.4.3)
Utilizando a matriz simpl´etica Ω [equa¸c˜ao (1.3.4)] e realizando a transposi¸c˜ao parcial com rela¸c˜ao ao subespa¸co de cada feixe (bombeio, sinal e complementar, respectivamente), calcula-se os autovalores simpl´eticos ˜ν(0), ˜ν(1), ˜ν(2) [conforme equa¸c˜ao (1.3.29)], em que
˜
ν(j) ´e o menor entre os autovalores obtidos {˜ν(j) k }.
σ
ν ν
!
Figura 4.11: Resultados obtidos experimentalmente para os autovalores simpl´eticos ˜ν(0)
(quadrados) e ˜ν(1) (c´ırculos). Como ˜ν(0) > 1, o emaranhamento tripartite n˜ao foi compro-
vado. A previs˜ao te´orica, usando parˆametros do OPO(II), ´e dada pela linha s´olida (˜ν(0))
e “linha s´olida + c´ırculos” (˜ν(1)).
Na figura4.11mostramos12os resultados obtidos ap´os termos repetido o procedimento
acima para diversas potˆencias σ. Al´em dos dados experimentais, acrescentamos curvas s´olidas mostrando a previs˜ao te´orica (que sabemos n˜ao estar completa), utilizando os parˆametros medidos do OPO (II). Vemos que ˜ν(1) < 1 (c´ırculos) em praticamente toda
a regi˜ao analisada, apesar de que seu valor aumenta com σ de modo muito mais r´apido que o esperado teoricamente. Este resultado comprova o emaranhamento entre o feixe sinal e o sistema composto pelo feixe de bombeio mais complementar.
J´a ˜ν(0), que atesta o emaranhamento entre gˆemeos e bombeio, mostra que este sistema
´e separ´avel para todas as potˆencias de bombeio utilizadas, uma vez que ˜ν(0) > 1. Na
regi˜ao σ ≈ 1, 15 este autovalor simpl´etico assume valor m´ınimo e mostra-se no limite de viola¸c˜ao, levando em conta o erro experimental.
Este resultado indica que talvez, mesmo com o OPO(II), seja poss´ıvel obter emara- nhamento tripartite, caso possamos obter resultados com menor erro experimental. Ou seja, podemos nos concentrar na regi˜ao σ ≈ 1, 15 e fazer v´arias medidas de ru´ıdo com as cavidades de an´alise travadas na dessintonia ∆ = 0, 5 (para fase) ou fora de ressonˆancia (para amplitude), de modo a obter uma maior estat´ıstica de dados. Este trabalho vem sendo feito pelos novos estudantes do grupo, Jˆonathas E. S. Cesar e Antˆonio S. O. Coelho. Com rela¸c˜ao ao erro experimental nos autovalores simpl´eticos vale mencionar que eles foram obtidos atrav´es de uma simula¸c˜ao do tipo Monte Carlo. Cada elemento da matriz
12O autovalor simpl´etico ˜ν(2) tem comportamento similar a ˜ν(1). Uma vez que ˜ν(0) ´e o autovalor
simpl´etico que realmente est´a impossibilitando a comprova¸c˜ao do emaranhamento tripartite, omitimos aqui detalhes sobre o anterior.
σ σ ! " # $ % &
Figura 4.12: Incerteza nos ru´ıdos medidos pode ser obtida via a distribui¸c˜ao de resultados de v´arias medidas, que segue um perfil gaussiano.
ν σ ! ! ν " σ ! !
Figura 4.13: Erro nos autovalores simpl´eticos, obtidos via um m´etodo de Monte Carlo. Foram realizadas 10 mil simula¸c˜oes.
de covariˆancia possui um erro experimental associado, que corresponde ao desvio padr˜ao
(σG) da gaussiana 13 que seria obtida via in´umeras medidas deste elemento.
Por exemplo, com rela¸c˜ao `a quadratura amplitude, podemos tomar todos os valores de ru´ıdo compreendidos entre as dessintonias −4, 5 < ∆ < −3 e cons- truir um histograma, de onde se extrai o valor de σG. Na figura4.12mostramos
o resultado desta opera¸c˜ao para o ru´ıdo ∆2pˆ
1 (em σ=1,17). Quanto `a quadra-
tura fase n˜ao podemos fazer um gr´afico parecido devido ao n´umero reduzido de pontos experimentais (somente em |∆| ≈ 0, 5), portanto o erro ´e estimado tirando uma m´edia dos valores obtidos em dessintonia positiva e negativa.
Utilizamos uma fun¸c˜ao aleat´oria para escolher um novo valor para cada elemento de VOP O. Ou seja, ∆2xˆj → ∆2xˆj + ǫ, em que ǫ corresponde a qualquer n´umero dentro da
13Consideramos a defini¸c˜ao usual de uma fun¸c˜ao gaussiana, a saber, f (x) = A exp[−(x − x
distribui¸c˜ao gaussiana de ∆2xˆ
j (de largura σG). O n´umero de vezes que o valor ∆2xˆj+ ǫ ´e
escolhido est´a relacionado `a frequˆencia com que ele ocorre na distribui¸c˜ao. Substitui¸c˜oes similares s˜ao feitas nas correla¸c˜oes. Deste modo, calculamos os autovalores simpl´eticos para cada nova matriz de covariˆancia obtida (via a substitui¸c˜ao de elementos mencionada). Finalmente, ap´os 10 mil simula¸c˜oes, um histograma ´e constru´ıdo de onde o erro ´e extra´ıdo. Mostramos os resultados desta opera¸c˜ao no c´alculo do erro de ˜ν(0) e ˜ν(1) em σ = 1, 17 na
figura4.13. σ ! " # $ %
ν
ν
Figura 4.14: Compara¸c˜ao entre os dois crit´erios de emaranhamento utilizados; viola¸c˜ao ocorre quando o valor obtido encontra-se abaixo da linha pontilhada. Com o crit´erio PPT, obtemos ˜ν(0) (quadrados) e ˜ν(1) (c´ırculos fechados). Com o crit´erio de P. van Loock et al.
obtemos V0 (c´ırculos abertos) e V1 (triˆangulos). Ambos se aproximam da viola¸c˜ao para
mesmo valor de σ. Com rela¸c˜ao ao ru´ıdo esp´urio, ˜ν(1) parece ser mais robusto que V 0.
Concluindo esta se¸c˜ao, podemos comparar os resultados experimentais utilizando os dois crit´erios de emaranhamento vistos. Vemos na figura4.14 que ambos concordam que a regi˜ao mais promissora para averiguar o emaranhamento neste OPO seria σ ≈ 1, 15. Aparentemente, o crit´erio PPT ´e um pouco mais robusto que o de P. van Loock et al. com rela¸c˜ao ao ru´ıdo esp´urio, uma vez que V0 > 2 j´a em σ ≈ 1, 3, enquanto ˜ν(1) > 1
somente a partir de σ ≈ 1, 7.
No entanto, tanto V1 quanto ˜ν(0) n˜ao mostram a viola¸c˜ao que busc´avamos observar.
Compreender a causa e as caracter´ısticas do ru´ıdo esp´urio mostra-se impreter´ıvel para que possamos observar o emaranhamento tripartite. Na pr´oxima se¸c˜ao apresentamos o comportamento de outras combina¸c˜oes de ru´ıdo focando a discuss˜ao no que diz respeito a este problema. Esta an´alise nos fornece dados importantes, que nos permitem divisar poss´ıveis maneiras de contornar este problema.