Uma an´alise de confiabilidade foi feita para comparar a probabilidade de um pneu modelado exceder um determinado limite de qualidade (threshold exceedance). Nessa an´alise, utilizou-se o melhor ajuste obtido de acordo com o MLE para ambos os dados experimentais e simulados,
F Hpp e CSpp, obtidos atrav´es do Modelo 2. A partir da melhor PDF ajustada, calculou-se a
fun¸c˜ao densidade cumulativa (CDF - Cumulative Density Function) de cada grupo de dados. Fazendo-se 1 − CDF , obt´em-se a probabilidade de falha de cada caso simulado.
´
E importante notar que a falha ocorre quando o sistema n˜ao satisfaz a fun¸c˜ao desem- penho, no presente estudo, uma falha implica em o pneu n˜ao satisfazer o crit´erio de qualidade estabelecido para qualquer um dos crit´erios.
A Fig. (5.25) ilustra a an´alise de confiabilidade para o crit´erio de F Hpp. Os dados foram normalizados, para permitir a compara¸c˜ao entre eles e, al´em disso eles s˜ao confidenciais. Como esperado, a probabilidade de falha decresce com o aumento do n´ıvel limiar. Nota-se que o modelo num´erico ´e mais conservativo quando comparado com os dados experimentais. A Fig. (5.26) ilustra a an´alise de confiabilidade para o crit´erio de CSpp. Tamb´em se observa que o modelo ´e mais conservativo que os dados experimentais, entretanto h´a uma maior distˆancia entre as curvas de cada caso.
Em ambos os modelos, o caso varkr = 2% e varρ = 1% ´e mais conservativo que o caso
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 10−6 10−5 10−4 10−3 10−2 10−1 100 Nível Limiar Probabilidade de falha do FHpp exp vark=2% varr=1% var k=1% varr=2% var k=varr=1%
Figura 5.25: An´alise de confiabilidade considerando o crit´erio do pico a pico do primeiro har- mˆonico. Dado experimental (azul s´olido), com varkr = varρ = 1% (tracejado em magenta),
varkr = 2% e varρ = 1%(tracejado ponto em preto) e varkr = 1% e varρ = 2% (pontilhado
vermelho).
Tal resultado ´e coerente, pois pneus com maior variˆancia da rigidez e da densisdade de uma emenda possuem como resposta, ao teste de uniformidade, valores maiores de pico a pico da for¸ca radial. Portanto a sua porbabilidade reprovar nesse crit´erio de qualidade ´e maior, ou seja, menor a sua confiabilidade.
Seria poss´ıvel aproximar as curvas num´erias da curva experimental inserindo-se mais elementos que modelam desuniformidades, adicionando o atrito ao modelo, aumentando o n´umero de elementos para melhorar a resposta temporal do modelo sujeito ao pulso triangular, ou seja, inserindo mais fenˆomenos f´ısicos existentes no pneum´atico real.
Observando-se que ambos os crit´erios se comportam de forma semelhante, ´e poss´ıvel buscar uma combina¸c˜ao entre eles atrav´es de otimiza¸c˜ao multicrit´erio, por exemplo. Entre- tanto, ´e necess´ario estar atento ao fato que apenas o CSpp ´e capaz de identificar as desuni- formidades localizadas do pneu, enquanto o F Hpp est´a diretamente relacionado ao conforto vibracional dos ocupantes do ve´ıculo.
0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 10−5 10−4 10−3 10−2 10−1 100 Nível Limiar Probabilidade de falha do CSpp exp vark=2% varr=1% var k=1% varr=2% var k=varr=1%
Figura 5.26: An´alise de confiabilidade considerando o crit´erio do pico a pico do sinal com- posto. Dado experimental (azul s´olido), com varkr = varρ = 1% (tracejado em magenta),
varkr = 2% e varρ = 1%(tracejado ponto em preto) e varkr = 1% e varρ = 2% (pontilhado
Cap´ıtulo 6
Coment´arios e Conclus˜oes
Este trabalho apresentou o processo de modelagem de um pneum´atico, contendo cada etapa de seu desenvolvimento e a an´alise da variabilidade do pneu atrav´es da teoria de incertezas. No cap´ıtulo 2, o modelo n˜ao girante de pneum´atico, solucionado atrav´es do M´etodo do Elemento Espectral, foi apresentado. Molas radiais e tangenciais foram adicionadas ao anel circular a fim de representar a sua uni˜ao com a roda. Seu comportamento foi validado comparando-se sua curva de velocidade cr´ıtica com as curvas resultantes do mesmo modelo simulado em ABAQUS R
e da equa¸c˜ao anal´ıtica capaz de fornecer as frequˆencias naturais de um anel circular. Al´em de validar o modelo atrav´es de tal curva, foi poss´ıvel observar o seu formato para uma estrutura circular sem press˜ao interna: uma reta com inclina¸c˜ao positiva. No cap´ıtulo 3, apresentou-se uma forma de modelar uma for¸ca radial girante atrav´es de um pulso triangular aplicado fora de fase em todos os n´os no anel. O modelo girante passou a representar o movimento de rolamento do pneum´atico atrav´es dessa for¸ca girante radial. Uma contribui¸c˜ao original de tal cap´ıtulo ´e o desenvolvimento da equa¸c˜ao anal´ıtica para o c´alculo da resposta for¸cada de viga curva Euler-Bernoulli, sujeita a uma for¸ca girante, solucionada atrav´es de superposi¸c˜ao modal. A valida¸c˜ao do modelo girante de pneum´atico foi realizada atrav´es da equa¸c˜ao anal´ıtica desenvolvida: um mesmo valor de velocidade da for¸ca de excita¸c˜ao gerou os mesmos modos (formas) nas estruturas circulares - Modelo SEM e viga curva.
No cap´ıtulo 4, tendo em m˜aos um modelo com o comportamento dinˆamico equivalente ao de um pneu real, entretanto computacionalmente eficiente, foi poss´ıvel tratar as desuni- formidades do pneum´atico como incertezas. Em primeiro momento, os dados de entrada do modelo foram ajustados a fim de que ele tivesse os valores das frequˆencias naturais ra- diais e tangenciais iguais aos do P7 205/55R16 (P7). Em seguida, fez-se uma an´alise da
sensibilidade do modelo e concluiu-se que os parˆametros ρ e kr seriam utilizados na an´alise
estoc´astica. Eles foram modelados como vari´aveis aleat´orias correlacionadas com distribui¸c˜ao de probabilidade Gamma.
Ajustes das PDF’s foram feitos aos dados de (F Hpp) e (CSpp) num´ericos e experi- mentais atrav´es da ferramenta dfittool do Matlab R
. As PDF’s Gamma, Lognormal e GEV foram testadas e o crit´erio de m´axima verossimilhan¸ca (MLE) foi utilizado para se determi- nar quais os melhores ajustes para cada grupo de dados. Os dados provenientes do Modelo 2 se assemelharam mais aos dados do pneu real quanto aos melhores ajustes: Gamma para (F Hpp) e Lognormal para (CSpp). Portanto, ele foi considerado o modelo mais apropriado para a an´alise de conforto vibracional.
Em seguida, fez-se uma an´alise de probabilidade de falha utilizando os mesmos crit´erios de conforto, pois tamb´em s˜ao os crit´erios de qualidade dos fabricantes e dos consumidores de pneum´aticos automotivos. Concluiu-se que os modelos s˜ao mais conservativos que o pneu real, ou seja, os dados num´ericos indicam maior probabilidade de os pneus estarem fora do padr˜ao de qualidade.
Um resultado incoerente encontrado foi um caso com maior variˆancia da densidade (covkr = 1% e covρ = 2%) resultar em uma curva de n´ıvel limiar - para ambos os crit´erios de
conforto - com maior probabilidade de falha que o Caso 1 (covkr = 1% e covρ= 1%). Espera-
se que um grupo de pneum´aticos com maior valor de desuniformidade de rigidez possua maior probabilidade de ser reprovado no teste de qualidade que um grupo com a metade deste valor de desuniformidade.
De acordo com os resultados do presente estudo, observa-se que a rigidez radial ´e o parˆametro de maior importˆancia para um modelo de pneum´atico, pois a resposta de tal estrutura est´a diretamente relacionada com seu valor. Pode-se dizer que qualquer falha no processo produtivo que eleve a rigidez radial do produto final pode acarretar em uma grande quantidade de pneus fora do limite de qualidade exigido.
Uma das contribui¸c˜oes mais importantes do presente trabalho ´e o desenvolvimento de uma metodologia para a abordagem das variabilidades do pneum´atico atrav´es da Teoria de Incertezas. Ela consiste em:
• Desenvolvimento do modelo determin´ıstico; • An´alise da sensibilidade do modelo;
• Modelagem estoc´astica das variabilidades;
Tal metodologia pode ser aplicada em qualquer modelo de baixo custo computacional. No caso do pneum´atico, mesmo com as simplifica¸c˜oes realizadas no modelo, uma grande quantidade de conhecimento a respeito do modelo, de sua sensibilidade, do ajuste dos dados de entrada, dentre outros j´a se encontra registrado no presente trabalho.
Existem alguns pontos a melhorar com o objetivo otimizar o modelo. A correla¸c˜ao entre as vari´aveis ρ e kr, por exemplo, foram estabelecidas arbitrariamente. Testes experimentais
ou uma maior quantidade de informa¸c˜oes sobre as falhas existentes no processo produtivo do pneum´atico poderiam aproximar mais o modelo da realidade.
6.1
Sugest˜oes para a continua¸c˜ao do trabalho
Este estudo apresenta algumas possibilidades de trabalhos futuros. Em primeiro lugar, uma outra forma de simular a for¸ca girante pode ser implementada a fim de se obter uma resposta temporal mais suave, evitando fun¸c˜oes de forma triangular que introduzem efeitos de altas frequˆencias. Al´em disso, pode-se explorar o atrito do pneu com o solo, que n˜ao foi considerado mas j´a est´a implementado, e adicionar o efeito da for¸ca centr´ıfuga, existente no movimento de rolamento do pneu. Tamb´em ´e poss´ıvel analisar a amplitude das componentes radial e tangencial da resposta do modelo variando-se a velocidade a fim de verificar se obt´em-se os comportamentos verificados na literatura. Por fim, pode-se pensar em alternativas para se considerar as desuniformidades de geometria do pneu real no modelo.
Quanto `a gera¸c˜ao de vari´aveis aleat´orias correlacionadas, pode-se utilizar m´etodos como as PDF’s bivari´aveis, al´em disso, pode-se utilizar o conceito de campo aleat´orio para modelar mais de uma emenda no modelo de pneu e considerar a aleatoriedade de sua posi¸c˜ao.
Com base nesse modelo de baixo custo computacional e em seus resultados, pode-se considerar o desenvolvimento de modelos simples para outros produtos complexos, a fim de avaliar a influˆencia da desuniformidade no desempenho destes.
A metodologia de abordagem das variabilidades atrav´es da Teoria de Incertezas pode ser aplicada em qualquer modelo determin´ıstico, inclusive em modelos em Elementos Finitos simulados em softwares comerciais.
A fim de analisar o conforto vibracional de forma mais direta, a resposta temporal do Modelo 2 pode ser inserida como a excita¸c˜ao de um modelo de um quarto de ve´ıculo. A acelera¸c˜ao deste pode ser avaliada de acordo com n´ıveis de conforto j´a existentes. Uma an´alise de confiabilidade tamb´em pode ser realizada em tal estudo.
´
os resultados obtidos atrav´es de cada um. Um exemplo ´e o FORM2 (Haldar, 2000), ideal para casos de an´alise de confiabilidade em que n˜ao se tem uma express˜ao anal´ıtica para o gradiente da equa¸c˜ao de estado limite.
Com rela¸c˜ao ao comportamento do pneum´atico real, seria interessante realizar uma s´erie de testes experimentais a fim de detectar o que cada falha do pneum´atico ocasiona, por exemplo, se o pneum´atico possui uma descentragem, mas n˜ao possui emendas fora do limite de qualidade nem qualquer outra falha, quais os efeitos disso no comportamento do pneu: for¸cas no eixo, vibra¸c˜ao, dentre outros. Desta forma, seria poss´ıvel conhecer a quais efeitos cada falha est´a relacionada.
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Principais c´odigos dos programas
utilizados
Foram implementados os seguintes programas utilizando a linguagem do Matlab .R
Programa principal em Matlab do Modelo 1, incluindo a amostragem Monte Carlo eR
a gera¸c˜ao de vari´aveis aleat´orias correlacionadas.
% Esse programa ´e a implementa¸c~ao do MC para o modelo 1 de pneu SEM: close all
clear all clc
v1=7.2;%input(’Velocidade da for¸ca em km/h:’); N=12000; % n´umero de simula¸c~oes MC
ppfc=zeros(1,N); pp1h=zeros(1,N); xconv=zeros(N,1); xcomp=zeros(350,1); massa=14.03; % Massa (kg) R=0.25; % raio (in)
b=0.2; % largura da se¸c~ao transversal do anel (m) h=0.002; % altura da se¸c~ao transversal do anel (m) kr=(9.5*1.3806e+004); % rigidez das molas radiais (N/m) rho=massa/(b*pi*((R+h/2)^2-(R-h/2)^2)); % densidade (kg/m3)
% Gera¸c~ao das vari´aveis aleat´orias correlacionadas:
% Rho ´e dependente de kr - se a rigidez aumenta, a densidade aumentou % tamb´em e assim por diante...
x1=randg(1,1,N); x2=randg(1,1,N); x=0.8473*x1+0.5311*x2; y=0.5311*x1+0.8473*x2; T=[0.8473 0.5311; 0.5311 0.8473]; rhod=rho*ones(size(x1))+0.01*rho*(x/(T(1,1)+T(1,2))); krd=kr*ones(size(x1))+0.01*kr*(y/(T(1,1)+T(1,2))); for i=1:N [xcomp(:,1),t,ppfc(1,i),pp1h(1,i)]=... ...solverpneu(rhod(i),krd(i),rho,kr,b,h,R,v1); % Convergencia: aux(i)=trapz(xcomp(:,1)’); xconv(i)=mean(aux(1:i)); waitbar(i/N,barre_attente) end close(barre_attente); % save(’dados_SEM_rho’,’ppfc’,’pp1h’,’xconv’); figure(3) plot(real(xconv))
ylabel(’m´edia do deslocamento radial (m)’) xlabel(’n´umero de simula¸c~oes MC’)
Programa em Matlab utilizado para gerar o anel circular e calcular sua respostaR
quando submetido `a for¸ca girante.
%**************************************************************************
% CURVED BEAM - SPECTRAL ELEMENTS
%**************************************************************************
% Tha´ıs Barbosa dos Santos 09/03/2010
% Esse programa modela um pneu simples com elementos espectrais. Em cada n´o % do modelo h´a uma mola radial e uma tangencial que representam a liga¸c~ao do % pneum´atico com a roda. O movimento do pneu girando ´e gerado atrav´es de um % pulso triangular. Ele possui dire¸c~ao radial e gira ao redor do anel ao % longo do tempo. Calcula-se as componentes x e y do pulso no eixo do pneu. % Essas s~ao as for¸cas transmitidas ao ve´ıculo. Da´ı ´e poss´ıvel retirar
% informa¸c~oes sobre o conforto dos ocupantes do ve´ıculo.
%%%%%%%%%%%%%%% % Par^ametros: %%%%%%%%%%%%%%%
function [x_forca_corrigido, t1, ppfc, pp1h]=... ...solverpneu(rhod,krd,rho,kr,b,h,R,v1)
% Inserindo o amortecimento na rigidez radial:
Nele=35;%input(’No. de elementos:’); % N´umero de elementos espectrais Ndof=3*Nele; % N´umero de DOFs [v u v’]=[radial tangencial rota¸c~ao] eta=0.05; % amortecimento
s0=R*2*pi; % comprimento da circunfer^encia (m) s0_e=s0/Nele; % comprimento de cada elemento (m) A=b*h; % area (m^2)
cteE=.07; % Aproxima¸c~ao para a obten¸c~ao das fn desejadas E=cteE*210e9*(1+i*eta); % m´odulo de Young (Pa)
I=b*h^3/12; % inertia (m^4) Pint=30; % Press~ao interna (psi)
% (cte=6.895e3transforma a press~ao de psi para N/m^2) T=(Pint*6.895e3)*b*R; % Tens~ao equivalente
im=sqrt(-1); % n´umero imagin´ario
kt=(1.6*1.7194e+004)*(1+i*eta); % rigidez das molas tangenciais (N/m) krd=krd*(1+i*eta);
kr=kr*(1+i*eta);
% Divis~ao dos comprimento angular do anel
intervalle_angle=2*pi/Nele; % Comprimento angular de cada elemento angle=[0:intervalle_angle:2*pi]’; % Vetor de ^angulos dos elementos
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % For¸ca Triangular
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
v1=v1*1000/3600; % Transforma¸c~ao de Km/h para m/s
T1=s0/v1; % Tempo que a for¸ca leva para fazer uma volta no anel a=s0_e/v1; % Tempo de passagem de um elemento a outro
t1=0:a/10:T1; % Discretiza¸c~ao de um periodo (a/10=tempo de amostragem) Nt1=length(t1); % Numero de pontos no tempo
M1=3*Nele; % Numero de termos da s´erie de Fourier B=1; % Amplitude da for¸ca
% % Constru¸c~ao da matriz for¸ca girante numa fun¸c~ao externa: Ft1=rot_force(v1,T1,a,t1,Nt1,M1,Ndof,B);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % C´alculo da FRF com a for¸ca girante como excita¸c~ao %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% C´alculo do vetor de frequencias para o c´aculo % da resposta do anel (deslocamentos):
for k1=1:M1 k=k1-1;
w1(k1,1)=(2*pi*k)/T1; end
w1(1)=1e-6; % para n~ao ocorrer divis~ao por zero em K_Curved_beam
X_freq=zeros(Ndof,M1); % Matriz de deslocamentos [radial tangencial rota¸c~ao] % Matriz de armazenagem dos deslocamentos radiais:
deslocamento=zeros(Nele*30/3,length(w1));
% varia¸c~ao das frequencias: para cada frequencia o programa monta um % novo anel.
for cont1=1:length(w1); omega=w1(cont1); K=zeros(Ndof,Ndof);
[Ke,G]=K_Curved_beam_vfinal(omega,E,I,rho,A,s0_e,R,T,kt,kr);
% varia¸c~ao dos elementos: for cont2=1:Nele-1
% O Elemento 2 ´e desuniforme: if cont2 == 19
% Rigidez radial e densidade diferenciadas:
K_desuni=K_Curved_beam_vfinal(omega,E,I,rhod,A,s0_e,R,T,kt,krd); K([3*cont2-2:3*cont2+3],[3*cont2-2:3*cont2+3])=...
...K([3*cont2-2:3*cont2+3],[3*cont2-2:3*cont2+3])+K_desuni; % Se n~ao for o elemento 2, monte na matriz global a matriz % e rigidez din^amica de um elemento uniforme: (Ke)
else
% Posiciona-se as matrizes dos elementos na matriz global:
% Ex: para cont2=1: K(1:6,1:6)=K(1:6,1:6)+Ke e assim por diante. K([3*cont2-2:3*cont2+3],[3*cont2-2:3*cont2+3])...
...=K([3*cont2-2:3*cont2+3],[3*cont2-2:3*cont2+3])+Ke; end
%varia¸c~ao dos elementos: end
cont2=Nele;
% Para fechar a circunfer^encia, superp~oe-se o ´ultimo elemento % e o primeiro elemento da estrutura:
K([1:3],[1:3])=K([1:3],[1:3])+Ke([4:6],[4:6]);
K([Ndof-2:Ndof],[Ndof-2:Ndof])=K([Ndof-2:Ndof],[Ndof-2:Ndof])+... ...Ke([1:3],[1:3]);
K([1:3],[Ndof-2:Ndof])=K([1:3],[Ndof-2:Ndof])+Ke([4:6],[1:3]); K([Ndof-2:Ndof],[1:3])=K([Ndof-2:Ndof],[1:3])+Ke([1:3],[4:6]);
% C´alculo do vetor de deslocamentos X_freq(:,cont1)=K\Ft1(:,cont1);
% C´alculo e armazenagem do deslocamento dos 350 pontos do anel nos % quais a for¸ca age:
deslocamento(:,cont1)=desloc(G,X_freq(:,cont1),Nele,cont1,Ndof); % varia¸c~ao das frequencias:
end
% J´a montei todo o anel; uniforme ou n~ao.
% N´ıvel DC:
x_time=real(deslocamento(:,1))*ones(1,Nt1);
% Transforma¸c~ao da frequencia para o tempo: for k1=2:M1
% Multiplica-se por 2 porque considera-se apenas o lado positivo do % sinal no dom´ınio da frequencia.
x_time=x_time+2*real(deslocamento(:,k1)*exp(im*(k1-1)*2*pi*t1/T1)); end
%dom´ınio do tempo e no dom´ınio da frequencia:
plot_desloc;
Programa em Matlab utilizado para gerar o pulso triangular.R
% Constru¸c~ao da matriz for¸ca girante
function [Ft1]=rot_force(v1,T1,a,t1,Nt1,M1,Ndof,B)
im=sqrt(-1);
% Constru¸c~ao da matriz for¸ca girante Ft1=zeros(Ndof,M1);
m=-1; % Para o c´alculo de mdt
% criterio_dof=0 (radial), criterio_dof=1 (tangencial), % criterio_dof=2 (rota¸c~ao)
criterio_dof=0;
mi=0; % Fator de atrito deve variar de 0.5 a 0.8 for dof1=0:(Ndof-1)
if criterio_dof==3
% Retorna-se ao grau de liberdade radial criterio_dof=0; end if criterio_dof==0 m=m+1; end mdt=m*a; k=0; for k1=1:M1 k=k1-1; if criterio_dof==0 if k1==1
else
Ft1(dof1+1,k1)=-((B*T1)/(4*a*k^2*pi^2))*...
...exp(-im*2*pi*k*mdt/T1)*(exp(im*2*pi*k*a/T1)... ...+exp(-im*2*pi*k*a/T1)-2);
end
% Componente do pulso na dire¸c~ao tangencial - For¸ca de atrito % se for dof tangencial, calcule a for¸ca de atrito
elseif criterio_dof==1 Ft1(dof1+1,k1)=Ft1(dof1,k1)*mi; else Ft1(dof1+1,k1)=0; end end criterio_dof=criterio_dof+1; end
Programa em Matlab utilizado para gerar a matriz de rigidez dinˆamica de cada ele-R
mento do anel.
%--- % Dynamic stiffness matrix for a curved beam
%---
function [K,G]=K_Curved_beam(omega,E,I,rho,A,s0,R,T,kt,kr)
%omega=pulsation %E=Young’s modulus
%I=Second moment of inertia %rho=density
%A=area of the section
%s0=length of the curved beam %R=radius
%Calculation of the three wavenumbers k1, k2 and k3 p6=1/omega; p5=0; p4=-(rho*omega/E+2/(R^2*omega)-(T*(1/(E*I*omega)+1/(E*A*R^2*omega)))); p3=0; p2=-(rho*A*omega/(E*I)+rho*omega/(E*R^2)-1/(R^4*omega)+T*rho*omega/(E^2*I)); p1=0; p0=-(1/(R^2*E*I)-rho*omega^2/(E*I*E))*rho*A*omega; polynome=[p6 p4 p2 p0]; r=sqrt(roots(polynome));
%Calculation of matrix G, determined by U=G.C
a1=-(i*r(1)/R*(E*A+E*I*r(1)^2))/(-r(1)^2*(E*A+E*I/R^2)+rho*A*omega^2); a2=-(i*r(2)/R*(E*A+E*I*r(2)^2))/(-r(2)^2*(E*A+E*I/R^2)+rho*A*omega^2); a3=-(i*r(3)/R*(E*A+E*I*r(3)^2))/(-r(3)^2*(E*A+E*I/R^2)+rho*A*omega^2); e1=exp(-i*r(1)*s0); e2=exp(-i*r(2)*s0); e3=exp(-i*r(3)*s0); G=[ 1 e1 1 e2 1 e3
a1 -a1*e1 a2 -a2*e2 a3 -a3*e3
-i*r(1) i*r(1)*e1 -i*r(2) i*r(2)*e2 -i*r(3) i*r(3)*e3 e1 1 e2 1 e3 1
a1*e1 -a1 a2*e2 -a2 a3*e3 -a3
-i*r(1)*e1 i*r(1) -i*r(2)*e2 i*r(2) -i*r(3)*e3 i*r(3)];
%Calculation of the vector N(x), and its derivatives for x=0 and x=s0 %Syntax : N _ derivatives-number _ 0-or-s0
N_0_0 =[ (-i*r(1))^0*exp(-i*r(1)* 0 ) ( i*r(1))^0*exp(-i*r(1)*(s0- 0))
(-i*r(2))^0*exp(-i*r(2)* 0 ) ( i*r(2))^0*exp(-i*r(2)*(s0- 0)) (-i*r(3))^0*exp(-i*r(3)* 0 )
( i*r(3))^0*exp(-i*r(3)*(s0- 0)) ]; N_0_s0=[ (-i*r(1))^0*exp(-i*r(1)* s0 ) ( i*r(1))^0*exp(-i*r(1)*(s0-s0)) (-i*r(2))^0*exp(-i*r(2)* s0 ) ( i*r(2))^0*exp(-i*r(2)*(s0-s0)) (-i*r(3))^0*exp(-i*r(3)* s0 ) ( i*r(3))^0*exp(-i*r(3)*(s0-s0)) ]; N_1_0 =[ (-i*r(1))^1*exp(-i*r(1)* 0 ) ( i*r(1))^1*exp(-i*r(1)*(s0- 0)) (-i*r(2))^1*exp(-i*r(2)* 0 ) ( i*r(2))^1*exp(-i*r(2)*(s0- 0)) (-i*r(3))^1*exp(-i*r(3)* 0 ) ( i*r(3))^1*exp(-i*r(3)*(s0- 0)) ]; N_1_s0=[ (-i*r(1))^1*exp(-i*r(1)* s0 ) ( i*r(1))^1*exp(-i*r(1)*(s0-s0)) (-i*r(2))^1*exp(-i*r(2)* s0 ) ( i*r(2))^1*exp(-i*r(2)*(s0-s0)) (-i*r(3))^1*exp(-i*r(3)* s0 ) ( i*r(3))^1*exp(-i*r(3)*(s0-s0)) ]; N_2_0 =[ (-i*r(1))^2*exp(-i*r(1)* 0 ) ( i*r(1))^2*exp(-i*r(1)*(s0- 0)) (-i*r(2))^2*exp(-i*r(2)* 0 ) ( i*r(2))^2*exp(-i*r(2)*(s0- 0)) (-i*r(3))^2*exp(-i*r(3)* 0 ) ( i*r(3))^2*exp(-i*r(3)*(s0- 0)) ]; N_2_s0=[ (-i*r(1))^2*exp(-i*r(1)* s0 ) ( i*r(1))^2*exp(-i*r(1)*(s0-s0)) (-i*r(2))^2*exp(-i*r(2)* s0 ) ( i*r(2))^2*exp(-i*r(2)*(s0-s0)) (-i*r(3))^2*exp(-i*r(3)* s0 ) ( i*r(3))^2*exp(-i*r(3)*(s0-s0)) ]; N_3_0 =[ (-i*r(1))^3*exp(-i*r(1)* 0 ) ( i*r(1))^3*exp(-i*r(1)*(s0- 0)) (-i*r(2))^3*exp(-i*r(2)* 0 ) ( i*r(2))^3*exp(-i*r(2)*(s0- 0))
(-i*r(3))^3*exp(-i*r(3)* 0 ) ( i*r(3))^3*exp(-i*r(3)*(s0- 0)) ]; N_3_s0=[ (-i*r(1))^3*exp(-i*r(1)* s0 ) ( i*r(1))^3*exp(-i*r(1)*(s0-s0)) (-i*r(2))^3*exp(-i*r(2)* s0 ) ( i*r(2))^3*exp(-i*r(2)*(s0-s0)) (-i*r(3))^3*exp(-i*r(3)* s0 ) ( i*r(3))^3*exp(-i*r(3)*(s0-s0)) ]; alfa=[ a1 0 0 0 0 0 0 -a1 0 0 0 0 0 0 a2 0 0 0 0 0 0 -a2 0 0 0 0 0 0 a3 0 0 0 0 0 0 -a3];
dN= [ E*I*(1/R*transpose(N_2_0) *alfa + transpose(N_3_0)) -E*A*( transpose(N_1_0) *alfa - 1/R*transpose(N_0_0)) -E*I*(1/R*transpose(N_1_0) *alfa + transpose(N_2_0)) -E*I*(1/R*transpose(N_2_s0)*alfa + transpose(N_3_s0)) E*A*( transpose(N_1_s0)*alfa - 1/R*transpose(N_0_s0)) E*I*(1/R*transpose(N_1_s0)*alfa + transpose(N_2_s0)) ];
K=dN*inv(G); K(1,1)=K(1,1)+kr; K(2,2)=K(2,2)+kt;
%---End---
Programa em Matlab utilizado para o c´alculo dos crit´erios de conforto (F Hpp e CSpp)R
atrav´es da resposta temporal do modelo.
% Essa fun¸c~ao plota os deslocamentos do pneu SEM nos pontos nos quais a % for¸ca girante ´e aplicada.
% par^ametros do sinal N=350; dt=t1(2)-t1(1); fmax=1/(2*dt); df=2*fmax/N; freq=linspace(0,df*N/2,N/2)/(2*pi); x_forca=zeros(N,1); % Loop dos GDLs for i=1:(length(x_forca)) x_forca(i,1)=x_time(i,i); end % figure(1) % plot(t1(1:length(x_forca)),x_forca) % xlabel(’t(s)’) % ylabel(’Deslocamento (m)’) % set(gca,’YDir’,’reverse’)
% Tratamento dos sinais: comp=length(x_forca); x_forca_fft=fft(x_forca); x_forca_fft_new=x_forca_fft(1:comp/2); k=1; for i=1:comp/2 if i == k*Nele+1 k=k+1; x_forca_fft_new(i)=0; % Evitando aliasing: % x_forca_fft_new(i-1)=0;