Influência das desuniformidades do pneumático no conforto vibracional de um veículo

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Tha´ıs Barbosa dos Santos

Influˆ

encia das Desuniformidades do

Pneum´

atico no Conforto Vibracional de um

Ve´ıculo

Disserta¸cão de Mestrado apresentada à Comissão de Pós-Gradua¸cão da Fac-uldade de Engenharia Mecânica como requisito para obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Engenharia Mecânica.

´

Area de concentra¸cão: Mecânica dos Sólidos e Projeto Mecânico

Orientador: Prof. Dr. Jos´e Roberto de Fran¸ca Arruda

Campinas 2010

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(5)

Agradecimentos

Este trabalho n˜ao poderia ser conclu´ıdo sem a ajuda de diversas pessoas `as quais presto minha homenagem:

• À minha fam´ılia, responsável por proporcionar minha estrutura pessoal: Concei¸cão, Ademir e Danilo;

• Ao meu namorado Felipe, pelo carinho, pelo apoio e pela parceria constantes;

• Ao professor Jos´e Roberto de Fran¸ca Arruda, pelo exemplo de ser humano e pela dedica¸c˜ao a este trabalho;

• Ao amigo Adriano Fabro, pela colabora¸c˜ao no trabalho, principalmente na ´area de Incertezas;

• Aos demais professores e funcionários do Departamento de Mecânica Computacional da Unicamp, pessoas que se dedicam individualmente a cada aluno, criando um ambiente agradável de trabalho;

• Ao Dr. Argemiro Costa e ao Engo. Daniel Pugliese, pela constante contribui¸c˜ao a este trabalho;

• `A minha amiga Ana Paula Otrenti, pela revis˜ao do texto;

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O que chamamos de inspira¸c˜ao ´e a capacidade de reter e ampliar, com um toque

pr´oprio e ´unico, um flash ou insight, uma coisinha de nada que atravessa o nosso

pensamento e pode fugir. Porém, boa parte dessa inspira¸cão é fruto da nossa

capacidade de concentra¸c˜ao, de disciplina, de esfor¸co mental e at´e de teimosia.

Precisamos não de um dia bonito de céu azul, mas de uma boa dose de paciência

para produzir alguma coisa interessante, para organizar racioc´ınios, transformar barro em tijolos e tijolos em casas.

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Resumo

O presente trabalho consiste no estudo estocástico da influência da variabilidade do pneumático no conforto vibracional dos ocupantes do ve´ıculo. Elementos de viga curva Euler-Bernoulli formam um anel que representa o pneu. Este é sujeito a uma for¸ca girante na dire¸cão ra-dial e sua resposta é calculada através do Método do Elemento Espectral. Tal for¸ca girante é modelada como um pulso triangular fora de fase aplicada nos diferentes nós do anel. A pressão interna, os efeitos inerciais e o efeito da rigidez da parede lateral em duas dire¸cões são considerados na modelagem. A componente radial da for¸ca resultante no eixo do pneumático é analisada como critério de conforto. Ela resulta da atua¸cão do pneu na absor¸cão das im-perfei¸cões do solo, ou seja, é uma medida do desempenho do pneumático. Os valores obtidos através da simula¸cão são comparados com dados experimentais fornecidos pela Pirelli Pneus Ltda. Partindo desse modelo validado, uma metodologia de aplica¸cão da teoria estocástica para analisar a variabilidade de pneumáticos é desenvolvida e desuniformidades como emen-das são inseriemen-das no modelo como informa¸cões de caráter aleatório. O Método de Monte Carlo é utilizado como solver.

Palavras Chave: Pneum´atico, Conforto Vibracional, Desuniformidade, An´alise

(8)

Abstract

The present work consists in a stochastic study of the influence of the pneumatic variability on the vehicle passengers vibrational comfort. Euler-Bernoulli curved beam elements con-stitute a ring which represents a pneumatic tire. It is subjected to a rotating radial force and its response is calculated through Spectral Elements Method. The internal pressure, the inertial effects and the side-wall stiffness in two directions effect are considered in the model. The radial component of the resultant hub force is analysed as the comfort criterion. It is the tire performance result on the soil impecfections absorbation. The obtained numerical data are compared with experimental data provided by Pirelli Pneus Ltda. Starting from this validated model, a methodology for the stochastic theory application in order to represent the tire variability is developed. Imperfections like amendments are introduced in the model as informatons with an aleatory character. The Monte Carlo Method is used as solver.

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Sum´

ario

Resumo vi Abstract vii 1 Introdu¸cão 1 1.1 Objetivos . . . 6 2 O Pneumático 7 2.1 Estrutura do Pneumático . . . 7 2.2 Conceitos F´ısicos . . . 10

2.3 Modelos de Pneum´aticos Existentes . . . 11

3 Modelo não Girante de Pneumático 15 3.1 Valida¸cão do Modelo SEM Não Girante . . . 22

4 Modelo Dinˆamico de Pneum´atico 26 4.1 Pulso Triangular . . . 26

4.2 Solu¸c˜ao Anal´ıtica por Superposi¸c˜ao Modal . . . 28

4.3 Valida¸c˜ao do Modelo SEM Dinˆamico . . . 31

5 Modelo Estocástico de Pneumático 33 5.1 Determina¸cão dos dados de entrada do modelo . . . 33

5.2 An´alise da sensibilidade do modelo . . . 35

5.3 Modelagem estoc´astica das desuniformidades . . . 37

5.4 Ajustes de distribui¸c˜oes de probabilidade . . . 40

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6 Comentários e Conclusões 51 6.1 Sugestões para a continua¸cão do trabalho . . . 53

(11)

Lista de Figuras

1.1 M´aquina utilizada para medir a for¸ca que o pneu transmite para o ve´ıculo (LSU) 2 1.2 Componentes da for¸ca resultante no eixo do pneum´atico . . . 3 1.3 Variabilidade da componente radial da for¸ca resultante no eixo de quatro pneus

com imperfei¸c˜oes propositais . . . 5 2.1 Componentes do pneu dispostos ao longo de se¸c˜ao transversal . . . 8 2.2 Angulo de escorregamento, for¸cas e momentos gerados no movimento de rola-ˆ

mento do pneu . . . 10 2.3 Esquema do modelo de pneu FTire . . . 12 2.4 Esquema no Modelo de Pneu Dillinger . . . 13 3.1 Diagrama de corpo livre de uma se¸cão de um anel sujeito a pressão interna . . 15 3.2 Anel circular com molas radiais e tangenciais . . . 23 3.3 Compara¸cão entre valores de frequências naturais obtidas através dos modelos

SEM, ABAQUS e anal´ıtico (Blevins, 2001) . . . 24 4.1 Fun¸c˜ao pulso triangular . . . 27 4.2 Modos de vibrar do modelo de pneum´atico SEM: modo 2 (20,5Hz) superior

es-querdo, modo 3 (57,9Hz) superior direito, modo 4 (111,0Hz) inferior esquerdo e modo 5 (179,5Hz) inferior direito . . . 32 5.1 Frequências naturais radiais e tangenciais do modelo SEM uniforme . . . 35 5.2 Visualiza¸cão da for¸ca resultante utilizada na análise da sensibilidade do modelo 36 5.3 Sensibilidade da componente θ da for¸ca resultante no eixo a 1km/h e a 80km/h

aos parˆametros ρ, E, kr e kt . . . 37

5.4 Resposta temporal do Modelo 1 determin´ıstico . . . 38 5.5 Ilustra¸cão dos critérios de qualidade analisados: F Hpp e CSpp . . . 39 5.6 Análise de convergência do Modelo 1 para (a) Caso 1, (b) Caso 2 e (c) Caso 3 41

(12)

5.7 Histograma e PDFs ajustadas para os dados experimentais de F Hpp. 42 5.8 Histograma e PDFs ajustadas para os dados num´ericos de F Hpp do Modelo

1, Caso 1. . . 42 5.9 Histograma e PDFs ajustadas para os dados num´ericos de F Hpp do Modelo

1, Caso 2. . . 42 5.10 Histograma e PDFs ajustadas para os dados num´ericos de F Hpp do Modelo

1, Caso 3. . . 42 5.11 Histograma e PDF’s ajustadas para os dados experimentais de CSpp. 43 5.12 Histograma e PDF’s ajustadas para os dados num´ericos de CSpp do Modelo

1, Caso 1 . . . 43 5.13 Histograma e PDF’s ajustadas para os dados num´ericos de CSpp do Modelo

1, Caso 2 . . . 44 5.14 Histograma e PDF’s ajustadas para os dados num´ericos de CSpp do Modelo

1, Caso 3. . . 44 5.15 Amostra de resposta temporal do Modelo 2 com covρ= 1%, covk= 1% . . . . 45

5.16 Análise de convergência do Modelo 2 para (a) Caso 1, (b) Caso 2 e (c) Caso 3 45 5.17 Histograma e PDF’s ajustadas para os dados experimentais de F Hpp. 46 5.18 Histograma e PDF’s ajustadas para os dados numéricos de F Hpp do Modelo

2, caso 1. . . 46 5.19 Histograma e PDF’s ajustadas para os dados num´ericos de F Hpp do Modelo

2, Caso 2. . . 46 5.20 Histograma e PDF’s ajustadas para os dados num´ericos de F Hpp do Modelo

2, Caso 3. . . 46 5.21 Histograma e PDF’s ajustadas para os dados experimentais de CSpp. 47 5.22 Histograma e PDF’s ajustadas para os dados num´ericos de CSpp do Modelo

2, Caso 1. . . 47 5.23 Histograma e PDF’s ajustadas para os dados num´ericos de CSpp do Modelo

2, Caso 2. . . 48 5.24 Histograma e PDF’s ajustadas para os dados num´ericos de CSpp do Modelo

2, Caso 3. . . 48 5.25 An´alise de confiabilidade considerando o crit´erio do pico a pico do primeiro

harmˆonico. Dado experimental (azul s´olido), com varkr = varρ = 1%

(trace-jado em magenta), varkr = 2% e varρ = 1%(tracejado ponto em preto) e

(13)

5.26 Análise de confiabilidade considerando o critério do pico a pico do sinal com-posto. Dado experimental (azul sólido), com varkr = varρ = 1% (tracejado em

magenta), varkr = 2% e varρ= 1%(tracejado ponto em preto) e varkr = 1% e

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Lista de Tabelas

3.1 Valores das propriedades do o modelo dinâmico de pneu liso 295/80 R22.5 . . 24 5.1 Valores das propriedades do modelo dinâmico SEM de pneu P7 205/55R16 . . 35 5.2 Valores da fun¸cão Log-Likelihood obtidos para as estima¸cões de F Hpp para o

Modelo1. . . 43 5.3 Valores da fun¸c˜ao Log-Likelihood obtidos para as estima¸c˜oes de CSpp do

Mod-elo 1. . . 44 5.4 Valores da fun¸c˜ao Log-Likelihood obtidos para as estima¸c˜oes de F Hpp para o

Modelo 2. . . 47 5.5 Valores da fun¸c˜ao Log-Likelihood obtidos para as estima¸c˜oes de CSpp do

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Cap´ıtulo 1

Introdu¸

c˜

ao

Ao longo dos anos, fabricantes de automóveis desenvolveram acessórios de forma a garantir o conforto dos ocupantes do ve´ıculo. Devido a isso, clientes daqueles estão mais suscet´ıveis ao ru´ıdo e à vibra¸cão internos, provenientes de componentes como: o trem de dire¸cão, o motor, os pneus, a suspensão das rodas, o sistema de escapamento, entre outros.

Sabe-se que no Brasil, em geral, muitas rodovias não se encontram em boas condi¸cões. Devido a isso, montadoras de ve´ıculos de passeio e de ve´ıculos de transporte de carga buscam um satisfatório sistema de atenua¸cão das vibra¸cões transmitidas ao condutor, aos passageiros e à carga.

O pneumático faz parte do sistema composto pela suspensão (molas, amortecedores, etc.) e pelo pavimento. Suas duas principais fun¸cões são: garantir a seguran¸ca dos ocu-pantes do ve´ıculo, assegurando dirigibilidade ao ve´ıculo; e proporcionar o conforto vibracional, suavizando as irregularidades do solo. Esta segunda fun¸cão pode ser prejudicada quando o pneu atinge uma frequência natural, pois a amplitude de vibra¸cão dele aumentará. Esta situa¸cão poderá ser agravada caso algum outro componente do ve´ıculo vibrar na mesma fre-quência, causando assim uma ressonância do conjunto da suspensão. Essas vibra¸cões afetam o conjunto e o dos pneus.

O pneu é uma estrutura complexa, composto de diferentes matérias-primas como aproxi-madamente 12 tipos de borracha, negro de fumo, fios metálicos e fios têxteis. Tais compostos formam subprodutos, que antes de serem depositados radialmente em um cilindro, o qual serve de base para a montagem do pneu, são agrupados, a fim de que não haja necessidade de excessivas emendas. Um pneu de ve´ıculo de passeio possui, em média, 7 emendas; dentre elas há a emenda da banda de rodagem, a qual é responsável por afetar com mais intensidade o comportamento do pneumático.

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Além das emendas, existem outras imperfei¸cões no pneu, provenientes do processo de produ¸cão ou de varia¸cões nas propriedades da matéria-prima. Elas são chamadas de desuni-formidades e são inevitáveis, pois nenhum pneumático é completamente homogêneo, ou per-feito, em rela¸cão a sua massa, a sua rigidez e a sua geometria.

As montadoras de automóveis estabelecem limites de qualidade para os pneus con-siderando tais desuniformidades. Para atender a estes clientes, as indústrias de pneumáticos devem medir as for¸cas no eixo geradas pelo produto em movimento. Tal medi¸cão é comu-mente feita entre 9 e 15km/h numa máquina chamada Low Speed Uniformity Machine (LSU), mostrada na Fig. (1.1) (MicroPoise, 2009). Ela aproxima uma roda estrada ao pneu, aplica uma pré-carga a ele, ou seja, impõe deslocamento, faz o pneu rolar e mede a for¸ca gerada pela estrutura na própria roda estrada.

Figura 1.1: M´aquina utilizada para medir a for¸ca que o pneu transmite para o ve´ıculo (LSU)

Uma preocupa¸cão dos engenheiros em rela¸cão a esse critério de qualidade é: o pneumático é um produto não linear, portanto, seu comportamento em altas velocidades não é facilmente relacionado ao seu comportamento em baixas velocidades, ou seja, é poss´ıvel um pneu estar dentro do limite a 15km/h, entretanto, ao atingir 80km/h, seu comportamento não estar mais dentro do padrão exigido. Contudo, não é viável investir em máquinas de alta velocidade atualmente, pois o tempo de setup delas é muito alto, prejudicando o tempo de produ¸cão. Os modelos numéricos são uma poss´ıvel solu¸cão para este problema.

Os critérios de conforto comumente utilizados pelas produtoras de pneumáticos são a amplitude do pico a pico da componente radial da for¸ca resultante no eixo do pneu (sinal

(17)

composto) e a amplitude do pico a pico do primeiro harmônico da componente radial da for¸ca resultante no eixo, quando em movimento. Estudos como os de Dorfi (2005) e Schuring (1989) mostram que tal componente possui amplitude aproximadamente constante mesmo com a varia¸cão da velocidade do pneu. Portanto, através a for¸ca radial, é poss´ıvel prever o comportamento do pneu a altas velocidades, mesmo sendo ela medida a baixas velocidades. Ela é também de extrema importância para o conforto vibracional dos ocupantes do ve´ıculo, uma das principais preocupa¸cões das montadoras. A Fig. (1.2), (AbsoluteAstronomy, 2010) ilustra as componentes da for¸ca resultante no eixo do pneumático (Dorfi, 2005).

Figura 1.2: Componentes da for¸ca resultante no eixo do pneum´atico

As desuniformidades, a complexidade e o comportamento não linear do pneumático tornam-no um interessante assunto de estudo. Existem diversos tipos de modelagem de pneus cujo objetivo é o de atender a essa necessidade das indústrias. Além disso, existem alguns modelos espec´ıficos para cada tipo de análise e que são bastante divulgados na literatura tais como:

• o MF-Tire (Pacejka, 2005) utilizado para a an´alise de dirigibilidade, principalmente; • o Ftire (Gipser, 2008) apropriado para o estudo de conforto;

• o brush model (Pacejka, 2005) que tem como foco o atrito e o escorregamento com o solo.

Teorias como o M´etodo dos Elementos Finitos (FEM) (Zienkiewicz et al., 2005), o M´etodo dos Elementos Espectrais (SEM) (Delamotte et al., 2008), (Ahmida and Arruda,

(18)

1997), além de Dinâmica Multicorpos (Shabana, 2004), também são utilizadas para a obten¸cão de equa¸cões matemáticas as quais descrevem o comportamento dinâmico do pneu em contato com o solo, com a atua¸cão ou não da pressão interna, com for¸cas pontuais ou distribu´ıdas, entre outras varia¸cões.

Com um modelo matemático podese apenas aproximar a resposta do sistema real -esse é um dos grandes desafios do engenheiro. Na maioria dos casos, os modelos são criados e preparados para a inser¸cão de dados experimentais. Após a inser¸cão de dados obtidos de experimentos (do sistema em estudo ou de sistemas similares ou componentes destes) é que a análise pode ser realizada. Novos dados são então gerados e posteriormente, comparados com os reais, realimentando o processo de análise já que um produto é capaz de ajudar a validar as simula¸cões de novas versões do mesmo produto ou até de outros.

A Teoria de Incertezas (Soize, 2005) está em destaque atualmente devido a dois prin-cipais motivos: a abrangência em sua aplica¸cão e a alta representatividade da realidade de estruturas e de processos que ela é capaz de proporcionar.

Assim como citado anteriormente, quaisquer processos de fabrica¸cão ou até mesmo presta¸cões de servi¸cos possuem varia¸cões ocasionadas por matéria-prima, a¸cão do homem, condi¸cões ambientais, velocidade do processo, dentre outras causas. A Fig. (1.3) ilustra a variabilidade da curva da componente radial da for¸ca resultante no eixo de quatro pneus com imperfei¸cões iguais e propositais. No eixo das abscissas, observa-se os 128 pontos ao longo da se¸cão radial do pneu nos quais a medida é realizada.

Por outro lado, a evolu¸cão da tecnologia oferece alta qualidade de projetos e os con-sumidores desejam perfei¸cão em produtos e servi¸cos, ou seja, exigem limites de qualidade bastante estreitos. Portanto, quaisquer varia¸cões no processo de fabrica¸cão de um produto são pontos de aten¸cão de indústrias, pois um produto com maior homogeneidade em suas caracter´ısticas tende a ser mais valorizado no mercado.

´

E incomum indústrias possu´ırem informa¸cões qualitativas ou quantitativas sobre a vari-abilidade em seu processo produtivo, o que torna a abordagem estocástica de tal processo ainda mais importante. Para estes diferentes casos, aqueles com mais informa¸cões e aque-les com uma base bastante pobre sobre as incertezas da produ¸cão, existem teorias capazes de obter respostas representativas da análise dos produtos, como o Princ´ıpio da Máxima Entropia (Kapur and Kesavan, 1992). Em seguida, um outro desafio é compreender os re-sultados e decidir quais as atitudes a serem tomadas em rela¸cão à linha de produ¸cão a fim de minimizar a variabilidade do produto. Ainda, os dados finais podem auxiliar na deteçcão das variabilidades com maior impacto negativo no produto final.

(19)

desen-0 20 40 60 80 100 120 140 Pontos

Força Radial (kgf)

Figura 1.3: Variabilidade da componente radial da for¸ca resultante no eixo de quatro pneus com imperfei¸c˜oes propositais

volvido anteriormente. Se ele não representa a estrutura a ser estudada satisfatoriamente, obviamente a Teoria de Incertezas (Soize, 2005), (Papoulis, 1991), (Soize, 2004) não proverá resultados significativos. Portanto, enfatizam-se aqui as três principais etapas de um estudo compreendendo variabilidades: desenvolvimento de um modelo determin´ıstico representa-tivo, modelagem de incertezas, solu¸cão do problema. A modelagem de incertezas consiste em selecionar as variabilidades a serem representadas, em seguida reunir a maior quanti-dade de informa¸cões sobre elas a fim de quantificá-las e, por fim, implementá-las no modelo determin´ıstico.

Os softwares comerciais existentes atualmente permitem o desenvolvimento de modelos bastante complexos para estruturas como o pneu. Os usuários rotineiros desses softwares muitas vezes não têm consciência da complexidade matemática e da quantidade de cálculos efetuados pelo programa, para que se possa obter a solu¸cão desejada. Ao adicionar variáveis aleatórias no problema (Haldar and Mahadevan, 2000), que representam as variabilidades da estrutura, às análises complexas a solu¸cão se torna ainda mais custosa. Portanto, existem métodos espec´ıficos para a solu¸cão de problemas contendo variáveis aleatórias sendo um dos mais conhecidos e intuitivos o Método de Monte Carlo (Soize, 2005).

A combina¸cão de pneumáticos automotivos e variabilidades é bastante instigante e promissora. Na presente disserta¸cão, deseja-se verificar a influência das desuniformidades do pneumático no conforto vibracional dos ocupantes do ve´ıculo tendo como ferramenta a Teo-ria de Incertezas (Soize, 2005) desenvolvendo-se, assim, uma metodologia de abordagem da variabilidade do pneu através da abordagem estocástica. Tal metodologia pode ser aplicada em modelos de pneu mais complexos a fim de se obter resultados ainda mais representativos.

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1.1 Objetivos

Este trabalho tem como objetivos espec´ıficos:

• Desenvolver modelos simples de pneus levando em considera¸c˜ao as desuniformidades e avaliar seus efeitos na for¸ca transmitida ao ve´ıculo;

• Estudar métodos de simula¸cão probabil´ıstica (estocástica) para o estudo das não-uniformidades em modelos dinâmicos de pneumáticos;

• Desenvolver uma metodologia de abordagem da variabilidade do pneum´atico atrav´es da Teoria de Incertezas.

(21)

Cap´ıtulo 2

O Pneum´

atico

Como mencionado anteriormente, pneus são estruturas complexas. Consequentemente, a compreensão do comportamento de tal estrutura em suas diversas condi¸cões de trabalho exige um denso embasamento teórico. A fim de se obter uma base m´ınima sobre tal conteúdo, inicialmente tratou-se do pneu estático: composi¸cão, estrutura e fenômenos f´ısicos envolvidos em seu comportamento.

2.1 Estrutura do Pneum´

atico

O condutor submete o ve´ıculo a diferentes condi¸cões de funcionamento: a baixas e altas velocidades, suportando cargas leves ou pesadas, sob chuva forte ou em estradas secas, em estradas com curvas sinuosas ou em trajetórias retil´ıneas, em solos rugosos ou em asfaltos homogêneos, dentre outras. Nestas variadas situa¸cões o pneumático deve (Michelin, 2005):

• guiar o ve´ıculo suportando for¸cas transversais;

• suportar a carga do ve´ıculo, sobretudo durante as acelera¸c˜oes, frenagens, impactos e curvas;

• amortecer as irregularidades da estrada; • rolar com a m´ınima resistˆencia ao rolamento;

• transmitir as for¸cas motrizes de frenagem e acelera¸c˜ao; • aderir ao solo;

(22)

Ao longo de pesquisas visando a um melhor desempenho do pneu, foram desenvolvidos diferentes tipos de compostos que hoje fazem parte de um pneumático. Eles foram dispostos de forma a garantir o melhor desempenho poss´ıvel do produto. Na Fig. (2.1) se observam os componentes de um pneu e a sua disposi¸cão ao longo de sua se¸cão transversal.

Figura 2.1: Componentes do pneu dispostos ao longo de se¸c˜ao transversal

O liner é um composto fino formulado especialmente para impermeabilizar a superf´ıcie interna do pneu, e assim otimizar a reten¸cão de ar no mesmo. Comporta-se como uma câmara de ar.

A carca¸ca é um conjunto de fios geralmente emborrachados enrolados em feixes de diâmetro e geometria espec´ıfica com a fun¸cão de ancorar o pneu inflado na roda. Ela atravessa o pneu radialmente e envolve o friso no lado oposto, fornecendo a resistência necessária para o pneu ser pressurizado, além de resistência a impactos no flanco. Pneus de ve´ıculos de passeio geralmente possuem a carca¸ca com uma tela; porém, em pneus com capacidade de suportar carga maior, a carca¸ca pode ser composta de duas ou até três telas.

O composto do flanco protege as carca¸cas contra abrasão, impacto e fadiga à flexão. Sua formula¸cão é feita de forma que esse material resista a rachaduras provenientes do contato com o meio ambiente, ou seja, provenientes da exposi¸cão ao calor, à radia¸cão ultra-violeta e a compostos como ozônio e oxigênio. Nele são colocados todos os adere¸cos decorativos e as especifica¸cões do pneu.

A lista anti-abrasiva é uma camada de borracha situada entre a carca¸ca e a roda e resiste às friçcões que existem entre ambas. Este composto sela hermeticamente o conjunto

(23)

roda-pneu.

O enchimento ´e um composto de borracha aplicado sobre o friso, localizado entre a parte interna e a externa da virada da carca¸ca. Variar a altura e a dureza deste composto afeta diretamente o conforto e a dirigibilidade do ve´ıculo.

As cinturas restringem a expansão da carca¸ca, estabilizam a deforma¸cão da banda de rodagem e fornecem resistência ao impacto. Ao variar os comprimentos e ângulos de cintura influencia-se diretamente o conforto e a dirigibilidade do ve´ıculo.

A lista entre cinturas é composta por pequenas faixas de borracha resistentes à fadiga. Ela é aplicada entre a primeira e a segunda cinturas. Sua fun¸cão no pneu é reduzir o cisa-lhamento na extremidade das cinturas enquanto o pneu se deforma, aumentando sua dura-bilidade.

O enchimento do ombro ´e compreendido por tiras de borracha aplicadas sobre a car-ca¸ca que auxiliam as cinturas a manterem um contorno suave e a isolarem a carcar-ca¸ca das extremidades das cinturas.

O nylon circunferencial é utilizado em pneus de alta-velocidade, depositado em tiras ou de forma espiralada sobre as cinturas. Ele impede a expensão excessiva do pneu, com a a¸cão das for¸cas centr´ıfugas geradas durante os rolamentos a altas velocidades.

A folheta ´e uma fina camada de borracha que se localiza entre o nylon e o substrato, a fim de garantir uma boa ades˜ao entre a rodagem e o pacote de cinturas durante a montagem do pneu.

O substrato ´e um composto de baixa histerese depositado abaixo da rodagem para melhorar a resistˆencia ao rolamento do pneu.

A banda de rodagem é responsável por promover a tra¸cão necessária em condi¸cões de acelera¸cão, frenagem e deriva. O desenho da banda de rodagem, moldado durante a vulcan-iza¸cão é importante para o bom desempenho do produto e fundamental para a evacua¸cão da água em caso de solo molhado, minimizando riscos de aquaplanagem.

Após a montagem do pneu, realiza-se a vulcaniza¸cão. Esta rea¸cão ocorre em uma prensa, a altas temperaturas e na presen¸ca de enxofre, já adicionado aos compostos do pneu. Um emaranhamento viscoso de moléculas com longa cadeia é convertido em uma rede elástica tridimensional através da união qu´ımica (reticula¸cão) destas moléculas em vários pontos ao longo da cadeia. No caso do pneu, propriedades como resistência à ruptura, elasticidade e dureza são modificadas até atingirem o estado desejado. Esse processo produz os sulcos: cavidades da banda de rodagem.

(24)

2.2 Conceitos F´ısicos

Quando em repouso, o peso do ve´ıculo gera uma uma deforma¸cão inicial no pneumático, ou seja, o valor do raio da estrutura em sua condi¸cão de trabalho é inferior ao raio do mesmo pneu isolado. Ao realizar os testes com seus produtos, as indústrias comumente introduzem uma pré-carga, que simula a condi¸cão real de opera¸cão do pneu.

Ao entrar em movimento, a inércia do pneu gera a resistência ao rolamento: torque no pneu resistente ao torque fornecido pelo eixo e for¸ca longitudinal (F x), gerada ao frear ou ao acelerar o carro. Ao fazer curvas com o ve´ıculo, o pneu é submetido a outra situa¸cão de desequil´ıbrio e assim gera a for¸ca lateral (F y) e o torque de auto-alinhamento (Pacejka, 2005).

Além do comportamento dinâmico, deve-se considerar a deforma¸cão do pneu como uma fonte de efeitos f´ısicos. Um exemplo é a diferen¸ca entre a velocidade da estrada e a do pneu; resultante do escorregamento e da deforma¸cão cont´ınua da banda de rodagem. Da´ı provém um conceito importante: o raio efetivo (re). Ele pode ser calculado através da razão entre

a componente longitudinal da velocidade no centro da roda (Vx) e a velocidade angular do

pneu (ω0).

A varia¸cão da for¸ca lateral (Fy) em fun¸cão do ângulo de escorregamento (α) próximo

à origem é determinante para a estabilidade e para a dirigibilidade do ve´ıculo. A Fig. (2.2) ilustra os conceitos já mencionados.

Figura 2.2: ˆAngulo de escorregamento, for¸cas e momentos gerados no movimento de rola-mento do pneu

A cambagem é a inclina¸cão do pneu em rela¸cão a um eixo vertical. O valor do seu ângulo é positivo quando a parte superior da roda se inclina para fora e negativo quando ela se inclina para dentro, em rela¸cão ao ve´ıculo. O deslocamento lateral da carga vertical do

(25)

pneu durante as curvas gera uma varia¸c˜ao da cambagem que, por sua vez, origina o torque de invers˜ao (oveturning).

São inúmeros os conceitos f´ısicos envolvidos no comportamento do pneumático e, a fim de compreendê-los torna-se importante aprofundar-se não apenas nos fenômenos relacionados ao pneu, mas também em Dinâmica Veicular (Pacejka, 2005), (Jazar, 2009).

2.3 Modelos de Pneum´

aticos Existentes

A fim de propor uma nova modelagem, torna-se necessária a análise de outras já desenvolvi-das. Existem vários tipos de modelos de pneus com finalidades espec´ıficas, que derivam de métodos diferentes de modelagem. A maioria deles necessita de ajustes com base em dados experimentais para representar a resposta da estrutura de forma aceitável. Alguns modelos de pneumático são:

• MF-Tire: ´

E um modelo anal´ıtico no qual o pneu é representado por um disco r´ıgido e bidimen-sional. Ele foi criado por Pacejka (2005), fazendo uso de uma ”Fórmula Mágica”, que descreve apenas o comportamento em regime estacionário do pneu quando em contato com o solo. É um modelo utilizado principalmente para a análise de dirigibilidade. Assume-se que, na dire¸cão radial, o pneu se comporta como uma mola linear e como um amortecedor linear, com um ponto de contato com a superf´ıcie da estrada. As for¸cas e os momentos agem apenas nesse ponto de contato.

A Fórmula Mágica, cujos parâmetros são obtidos experimentalmente, possui cerca de 85 variáveis. Com tais dados, a fórmula é capaz de gerar os valores das for¸cas normal, longitudinal, lateral, torques, escorregamento, entre outras grandezas caracter´ısticas da situa¸cão simulada. Testes são realizados a fim de comparar o comportamento do pneu real e o do seu modelo.

• FTire:

Desenvolvido pelo Prof. Michael Gipser (Gipser, 2008), é um modelo 3D, não-linear e baseado em elementos f´ısicos como molas. Ele é comumente utilizado para simu-la¸cões de conforto de ve´ıculos sobre estradas irregulares. Ao mesmo tempo, pode servir como uma base f´ısica, altamente não-linear, e como um modelo dinâmico de pneu para manipula¸cão de caracter´ısticas sob condi¸cões de excita¸cão acima mencionadas.

(26)

Nesse modelo o contato do pneu com o solo é representado por uma área, não apenas por um ponto. A aproxima¸cão utilizada pelo modelo é apresentada na Fig. (2.3). Ele consiste em vários elementos circulares conectados entre si através de molas que representam a rigidez nas dire¸cões radial (Crad), tangencial (Ctang) e lateral (Cbelt e

Cbend) (Gipser, nd). O FTire est´a dispon´ıvel em softwares comerciais como o Adams

R

_.

Figura 2.3: Esquema do modelo de pneu FTire

• Modelo de Pneu Dillinger

Em (Dillinger et al., 2008) desenvolve-se um modelo anal´ıtico, bidimensional e baseado em um anel r´ıgido para o pneumático. Esse modelo é capaz de simular o desbalancea-mento, o escorregadesbalancea-mento, o run-out, a desuniformidade de rigidez e a dissipa¸cão de energia na região do flanco. Seu objetivo principal é analisar os efeitos das desuniformi-dades no conforto vibracional do ve´ıculo, através do estudo das for¸cas resultante no eixo do modelo de pneumático.

Ele ´e simulado em ambientes MatlabR

e SimulinkR

. As constantes como valores de massa, rigidez e amortecedor são calculados através de Algoritmos Genéticos e os re-sultados são comparados com dados experimentais. A Fig. (2.4) ilustra tal modelo. Existem diversos métodos para solucionar modelagens de sistemas como o Método dos Elementos de Contorno (Kythe, 1995), o Método dos Elementos Finitos (FEM), (Zienkiewicz et al., 2005) e o Método dos Elementos Espectrais (SEM), (Delamotte et al., 2008), (Ahmida and Arruda, 1997). Eles diferem essencialmente pelo tipo das equa¸cões utilizadas para a modelagem do problema e das solu¸cões obtidas através de cada um deles. As equa¸cões podem ser diferenciais ou integrais, enquanto as solu¸cões são anal´ıticas ou numéricas.

O Método dos Elementos de Contorno (Kythe, 1995) discretiza o contorno da geometria em estudo. Seu equacionamento é baseado em equa¸cões integrais e sua solu¸cão é numérica.

(27)

Figura 2.4: Esquema no Modelo de Pneu Dillinger

O Método dos Elementos Finitos (Zienkiewicz et al., 2005) consiste na divisão do dom´ınio de integra¸cão em um número finito de pequenas regiões denominadas elementos finitos, transformando o meio cont´ınuo em discreto. A essa divisão da estrutura, dá-se o nome de malha. Ela é composta de elementos e os elementos consistem em arestas e nós. Seu equacionamento é baseado em equa¸cões diferenciais parciais e sua solu¸cão é numérica.

O Método do Elemento Espectral (SEM) (Delamotte et al., 2008), (Ahmida and Arruda, 1997) é uma técnica relativamente nova que combina as caracter´ısticas comuns e as vantagens competitivas dos métodos de baixa ordem (FEM) com exatidão e a convergência rápida dos métodos de ordem mais alta (métodos espectrais). Esse método é mais apropriado para problemas de propaga¸cão de onda em estruturas de geometria relativamente simples.

O SEM (Delamotte et al., 2008), (Ahmida and Arruda, 1997) é semelhante ao método dos elementos finitos em rela¸cão à montagem da matriz de rigidez dinâmica global a partir das matrizes dos elementos, mas sua matriz de rigidez é escrita no dom´ınio da frequên-cia. Isto permite que a inércia da massa distribu´ıda seja representada de uma forma exata, considerando-se as simplifica¸cões feitas na modelagem. A formula¸cão espectral permite a descri¸cão exata da dinâmica de propaga¸cão de ondas nesses elementos e somente um

(28)

ele-mento espectral é equivalente a um número infinito de elementos finitos convencionais. Nele, caso a estrutura possua descontinuidades, o número de elementos a ser usado deve coincidir com o número de descontinuidades da estrutura. No presente trabalho, o modelo de pneu é solucionado através do SEM.

(29)

Cap´ıtulo 3

Modelo n˜

ao Girante de Pneum´

atico

Nesse cap´ıtulo, um modelo de pneumático bidimensional e de baixo custo computacional é desenvolvido. Nele, a pressão interna, o amortecimento e a influência da parede lateral do pneu em seus deslocamentos são representados. A contribui¸cão do presente trabalho para o modelo consiste na adi¸cão das molas radiais e tangenciais e na valida¸cão deste. O modelo sem as molas foi desenvolvido por Delamotte et al. (2008).

A pressão interna, em especial, possui uma influência determinante no comportamento do pneumático. A Fig. (3.1) ilustra um anel com pressão interna a ser inserida no equaciona-mento como uma tensão:

x

y

R

T

Pint

(30)

O equil´ıbrio est´atico do anel circular resulta em:

Z θ=π

θ=0 Pintsin θbRdθ = 2T (3.1)

onde R é o raio, Pinté a pressão interna e b é a largura do anel circular.

Integrando, a Eq. (3.1) a tens˜ao torna-se:

T = PintbR (3.2)

Utilizando as equa¸cões de uma viga curva Euler-Bernoulli proveniente de Delamotte et al. (2008), dadas em coordenadas cil´ındricas e já compreendendo a pressão interna:

EA∂ 2_u ∂s2 + 1 R2 EI ∂2_u ∂s2 − EAR ∂v ∂s + EIR ∂3_v ∂s3 ! = ρA∂ 2_u ∂t2 EI∂ 4_v ∂s4 + 1 R2 EAv − EAR ∂u ∂s + EIR ∂3_u ∂s3 ! − " T∂ 2_v ∂s2 # = −ρA∂ 2_v ∂t2 (3.3)

onde u e v s˜ao os deslocamentos tangencial e radial, respectivamente, ρA ´e a densidade linear,

R é o raio da viga curva, EA é a rigidez longitudinal e EI é a rigidez relacionada à flexão. Observa-se que esse é um sistema acoplado.

As solu¸cões harmônicas para a Eq. (3.3) são:

v(θ,t) = Cvei(−γs−ωt)

u(θ,t) = Cuei(−γs−ωt) (3.4)

onde γ = ±k dependendo do sentido de propaga¸c˜ao. Substituindo as Eqs. (3.4) em (3.3), obtˆem-se:

− EAγ2_C u+ 1 R2 −EIγ2_C u+ iEARγCv+ iEIRγ3Cv = −ρAω2_C u EIγ4Cv+ 1 R2

EACv+ iEARγCu+ iEIRγ3Cu

−T γ2Cv

= ρAω2Cv (3.5)

Fatorando, ´e poss´ıvel reescrever as Eqs. (3.5) da seguinte forma:

−EAγ2 −EI_R₂γ2+ ρAω2 Cu+ 1 R iEARγ + iEIγ3Cv = 0 EIγ4+ EA R2 − ρAω 2_{+ T γ}2_C v+ iEA R γ + i EI R γ 3_C u = 0 (3.6)

(31)

Em forma matricial, escreve-se:   −EA − EIR2 γ2_{+ ρAω}2 iγ R(EA + EIγ 2₎ iγ R (EA + EIγ 2₎ _EIγ4₊ EA R2 − ρAω 2_{+ T γ}2     Cu Cv  ₌   0 0   _(3.7)

Através do sistema matricial, Eq. (3.7), é poss´ıvel encontrar a equa¸cão caracter´ıstica do sistema fazendo-se o cálculo do determinante. Com algumas simplifica¸cões matemáticas, obtém-se: 1 ω2k 6 − _ρω E + 2 R2_ω − T ₁ EIω + 1 EAR2_ω k4 + − _ρAω EI + ρω ER2 + 1 R4_ω + T ρω E2_I k2₋ 1 R2_EI − ρω2 EIE ! ρAω = 0 (3.8)

As rela¸c˜oes entre as constantes Cu e Cv, derivadas da Eq. (3.7), s˜ao dadas por:

α = Cu Cv = − iγ R(EA + EIγ 2₎ −EA + EI R2 γ2_{+ ρAω}2 α = Cu Cv = − EIγ4₊EA R2 − ρAω2+ T γ2 iγ R (EA + EIγ2) (3.9) Nota-se que: γ = k ⇒ αk = α = − ik R (EA + EIk 2₎ −EA + EI R2 k2 _{+ ρAω}2 γ = −k ⇒ αk = −α = ik R (EA + EIk 2₎ −EA + EI R2 k2 _{+ ρAω}2 (3.10)

Assim, as solu¸c˜oes gerais da Eq. (3.3) s˜ao dadas da seguinte forma:

v(s,t) = [Cv1e−ik1s+ Cv2e−ik2s+ Cv3e−ik3s

+ Cv4eik1s+ Cv5eik2s+ Cv6ek3s]e−iωt

u(s,t) = [Cu1e−ik1s+ Cu2e−ik2s+ Cu3e−ik3s (3.11)

(32)

´

E poss´ıvel relacionar as constantes Cui e Cvi, com i = 1,2,3,4,5,6 como segue:

Cu1 Cv1 = α1, Cu2 Cv2 = α2, Cu3 Cv3 = α3, Cu4 Cv4 = −α 1, Cu5 Cv5 = −α 2, Cu6 Cv6 = −α 3 (3.12)

Substituindo as raz˜oes da Eq. (3.12) na Eq. (3.11) e considerando-se Cvi = Ci, tem-se:

v(s) = C1e−ik1s+ C2e−ik2s+ C3e−ik3s

+ C4eik1s+ C5eik2s+ C6eik3s

u(s) = C1α1e−ik1s+ C2α2e−ik2s+ C3α3e−ik3s (3.13)

− C4α1eik1s− C5α2eik2s− C6α3eik3s

Os nós do elemento de viga estão localizados nos extremos desta. Calculando-se a resposta da estrutura nos nós, é poss´ıvel determinar a resposta desse elemento em qualquer ponto, tendo em mãos as equa¸cões anal´ıticas que descrevem seu deslocamento em fun¸cão das respostas nas extremidades. Assim, reescrevendo-se a Eq. (3.13) considerando os limites inicial (s0) e final (s) da viga, obtém-se:

v(s) = C1e−ik1s+ C2e−ik1(s0−s)+ C3e−ik2s

+ C4e−ik2(s0−s)+ C5e−ik3s+ C6e−ik3(s0−s)

u(s) = α1C1e−ik1s− α1C2e−ik1(s0−s)+ α2C3e−ik2s (3.14)

− α2C4eik2(s0−s)+ α3C5eik3s− α3C6eik3(s0−s)

Os deslocamentos podem ser arranjados em forma matricial:

v(s) =               e−ik1s e−ik1(s0−s) e−ik2s e−ik2(s0−s) e−ik3s e−ik3(s0−s)               T               C1 C2 C3 C4 C5 C6               (3.15)

(33)

e u(s) =               α1e−ik1s −α1e−ik1(s0−s) α2e−ik2s −α2e−ik2(s0−s) α3e−ik3s −α3e−ik3(s0−s)               T               C1 C2 C3 C4 C5 C6               (3.16)

Para simplificar, ´e poss´ıvel desenvolver matrizes, que quando multiplicadas resultem nos deslocamentos radial e tangencial. Estas s˜ao:

[α] =               α1 0 0 0 0 0 0 _−α1 0 0 0 0 0 0 α2 0 0 0 0 0 0 _−α2 0 0 0 0 0 0 α3 0 0 0 0 0 0 _−α3               , {N(s)} =               e−ik1s e−ik1(s0−s) e−ik2s e−ik2(s0−s) e−ik3s e−ik3(s0−s)               , {C} =               C1 C2 C3 C4 C5 C6               . (3.17)

Portanto, determinam-se os deslocamentos atrav´es das seguintes multiplica¸c˜oes:

  

v(s) = {N(s)}T {C}

u(s) = {N(s)}T [α] {C} (3.18)

Um terceiro grau de liberdade que pode ser extra´ıdo desse equacionamento é a rota¸cão das se¸cões transversais, calculada através da derivada de v.

∂v

∂s = −ik1C1e

−ik1s

+ ik1C2e−ik1(s0−s)− ik2C3e−ik2s

(34)

ou seja:

v′_{(s) = {N(s)}}′T _{C} (3.20)

As expressões dos três graus de liberdade para os limites da viga são:

        

v(0) = C1+ C2e−ik1s0 + C3+ C4e−ik2s0 + C5+ C6e−ik3s0

u(0) = α1C1− α1C2e−ik1s0 + α2C3− α2C4e−ik2s0 + α3C5− α3C6e−ik3s0

v′

(0) = −ik1C1+ ik1C2e−ik1s0 − ik2C3+ ik2C4e−ik2s0 − ik3C5+ ik3C6e−ik3s0

(3.21)         

v(s0) = C1e−ik1s0 + C2+ C3e−ik2s0 + C4+ C5e−ik3s0 + C6

u(s0) = α1C1e−ik1s0 − α1C2+ α2C3e−ik2s0 − α2C4+ α3C5e−ik3s0 − α3C6

v′

(s0) = −ik1C1e−ik1s0 + ik1C2− ik2C3e−ik2s0 + ik2C4− ik3C5e−ik3s0+ ik3C6

(3.22)

Em forma matricial novamente, tem-se:

              v(0) u(0) v′ (0) v(s0) u(s0) v′ (s0)               = [G]               C1 C2 C3 C4 C5 C6               (3.23) onde [G] =              

1 e−ik1s0 1 e−ik2s0 1 e−ik3s0

α1 −α1e−ik1s α2 −α2eik2s α3 −α3eik3s

−ik1 ik1e−ik1s0 −ik2 ik2e−ik2s0 −ik3 ik3e−ik3s0

e−ik1s0 1 e−ik2s0 1 e−ik3s0 1

α1e−ik1s −α1 α2e−ik2s −α2 α3e−ik3s −α3

−ik1e−ik1s0 ik1 −ik2e−ik2s0 ik2 −ik3e−ik3s0 ik3

              (3.24) Ou seja: {U} = [G] {C} ⇒ {C} = [G]−1 {U} (3.25)

(35)

e final do elemento de viga, respectivamente. Da mesma forma:      v(s) u(s) v′ (s)     =      {N(s)}T {N(s)}T [α] {N(s)}′T     [G] −₁ {U} (3.26) onde denomina-se: [dN ] =      {N(s)}T {N(s)}T [α] {N(s)}′T      (3.27)

Portanto, obtém-se os deslocamentos radial, tangencial e a rota¸cão da viga curva através da seguinte equa¸cão:      v(s) u(s) v′ (s)     = [dN ][G] −1 {U} (3.28)

As express˜oes dos esfor¸cos aplicados na viga s˜ao (Doyle, 1997):

Q = −EI 1 R ∂2_u ∂s2 + ∂3_v ∂s3 ! , N = EA ∂u ∂s − v R ! , M = EI 1 R ∂u ∂s + ∂2_v ∂s2 ! (3.29)

onde Q é a for¸ca cisalhante, relacionada ao grau de liberdade radial, N é a for¸ca normal, relacionada com o grau de liberdade tangencial e M é o momento fletor, relacionado à rota¸cão.

Substituindo a Eq. (3.28) na Eq. (3.29), obt´em-se:

         Q(s) = −EI1 R{N(s)} ′′_T [α] + {N(s)}′′′T[G]−1_{U} N (s) = EA_{N(s)}′T _{[α] −} 1 R{N(s)} T [G]−₁ {U} M (s) = EI_R1 _{N(s)}′T _{[α] + {N(s)}}′′T[G]−₁ {U} (3.30)

(36)

s0 = 0, tem-se:               −Q(0) −N(0) −M(0) Q(s) N (s) M (s)               =               EI_R1 _{N(0)}′′T _{[α] + {N(0)}}′′′T −EA{N(0)}′T [α] − 1 R{N(0)} T −EI1 R{N(0)} ′_T )[α] + {N(0)}′′T −EIR1 {N(s)} ′′_T [α] + {N(s)}′′′T EA_{N(s)}′T _{[α] −} _R1 _{N(s)}T EI1 R{N(s)} ′_T [α] + {N(s)}′′T               [G]−1_{U} (3.31)

Por fim, a matriz de rigidez dinˆamica da viga curva ´e escrita como:

[K] =               EI_R1 _{N(0)}′′T_{[α] + {N(0)}}′′′T −EA{N(0)}′T [α] − 1 R{N(0)} T −EI1 R{N(0)} ′_T )[α] + {N(0)}′′T −EIR1 {N(s)} ′′_T [α] + {N(s)}′′′T EA_{N(s)}′T _{[α] −} _R1 _{N(s)}T EI_R1 _{N(s)}′T_{[α] + {N(s)}}′′T               [G]−1 (3.32)

A fim de aproximar o Modelo SEM do pneu real, adicionam-se ao modelo molas radiais e tangenciais em cada nó. Uma extremidade da mola conecta-se ao nó do anel e a outra conecta-se a um ponto fixo, que representa a roda. Elas agirão como a parede lateral do pneumático, que está conectada à roda. A Fig. (3.2) ilustra a posi¸cão das molas para um anel com quatro nós e quatro elementos.

Esse melhoramento do modelo é implementado de forma simples: adicionam-se as molas na diagonal principal da matriz de rigidez dinâmica (Eq. (3.32)), nas posi¸cões relacionadas aos graus de liberdade respectivos a cada mola. A Eq. (3.33) ilustra tal adi¸cão:

K(1,1) = K(1,1) + kr (3.33)

K(2,2) = K(2,2) + kt (3.34)

(3.35)

3.1 Valida¸

c˜

ao do Modelo SEM N˜

ao Girante

Para a valida¸cão do modelo estático, utilizou-se como critério a curva de velocidade cr´ıtica

(37)

y

x kr

kt

Figura 3.2: Anel circular com molas radiais e tangenciais

Quando sem pressão interna, a curva de velocidade cr´ıtica é uma reta com inclina¸cão positiva (Nantes and Meirelles, 2009), enquanto com pressão interna, para os primeiros modos a curva possui um valor mais alto, decai e tende a estabilizar em um valor constante conforme aumenta-se o número do modo (Soedel, 1975). Esse valor para o qual a curva tende é chamado de velocidade cr´ıtica do pneumático. Ao ating´ı-lo excita-se diversos modos da estrutura ao mesmo tempo, consequentemente a amplitude dos deslocamentos do pneu se amplia, o que pode resultar na destrui¸cão do pneu.

Em Blevins (2001) encontra-se uma equa¸c˜ao anal´ıtica a fim de obter as frequˆencias naturais de um anel circular:

ωblevins= n (n2_{− 1)} 2πR2√_R2_{+ 1} s EI ρA (3.36)

ou seja, dados o módulo de elasticidade (E), a densidade (ρ), o raio (R), o momento de inércia (I) e a área (A) de uma estrutura circular, obtêm-se os valores de frequências naturais relacionadas aos n modos. ´E importante notar aqui que a Eq. (3.36) não considera pressão interna ou molas radiais e tangenciais na estrutura circular; portanto, adota-se pressão interna e rigidezes das molas nulas para essa valida¸cão.

(38)

Tabela 3.1: Valores das propriedades do o modelo dinâmico de pneu liso 295/80 R22.5 Propriedade Valor Densidade 7800kg/m3 Raio 0,25m Número de Elementos 30 Módulo de Elasticidade _{210 × 10}9_{P a}

Base da se¸c˜ao transversal 0,15m Atura da se¸c˜ao transversal 0,002m

Press˜ao interna 0psi

Rigidez Radial 0N/m

Rigidez Tangencial 0N/m

A Tabela (3.1) mostra os dados de entrada estabelecidos através do modelo de pneumático do trabalho de (Nantes and Meirelles, 2009) (pneu liso 295/80 R22.5 não comercializado pela Pirelli). 0 5 10 15 0 20 40 60 80 100 120 n wn/n analítico abaqus sem

Figura 3.3: Compara¸cão entre valores de frequências naturais obtidas através dos modelos SEM, ABAQUS e anal´ıtico (Blevins, 2001)

A Fig. (3.3) ilustra a curva de velocidade cr´ıtica do pneumático obtida através do modelo SEM, através do mesmo modelo simulado em ABAQUSR

(39)

O modelo em ABAQUSR

é composto de 50 elementos de viga reta e, devido a isso, com-putacionalmente eficiente, assim como o modelo SEM. Observa-se que os três métodos de cálculo das frequências foram equivalentes, portanto o modelo de pneumático SEM possui comportamento equivalente a um anel circular e a um pneu real sem pressão interna.

(40)

Cap´ıtulo 4

Modelo Dinˆ

amico de Pneum´

atico

Após valida¸cão do modelo sem rota¸cão de pneumático, é poss´ıvel avan¸car em seu desen-volvimento. O movimento de rolamento do pneumático foi simulado através de uma for¸ca girante, ou seja, ao invés de o pneumático girar, uma for¸ca radial se moverá ao seu redor. Tal método foi escolhido, pois o eixo cartesiano referencial do anel circular permanecerá sempre em repouso, o que simplifica o estudo.

Nesse cap´ıtulo, o Pulso Triangular, já existente na literatura (Nascimento, 2009), será um instrumento de valida¸cão para mais uma contribui¸cão do presente trabalho: a For¸ca Girante Anal´ıtica.

4.1 Pulso Triangular

A amplitude da for¸ca girante radial é dada pela fun¸cão pulso triangular, que é observada na Fig. (4.1) (Nascimento, 2009), (Delamotte et al., 2008):

f (t) =    b1 + t a , _{− a < t ≤ 0} b_{1 −} t a , _{0 < t ≤ a} (4.1)

Para periodizar a for¸ca aplicou-se a Transformada de Fourier (Lighthill, 1958) na Eq. (4.1): P (ω) = Z 0 −ab 1 + t a e−jωt_{dt +}Z a 0 b 1 − _at e−jωt_dt _(4.2)

Ao ser integrada, a Eq. (4.2) resulta em:

P (ω) = −_aωb₂ ejωa_{+ e}−jωa

(41)

x f(t)

b

-a a

Figura 4.1: Fun¸c˜ao pulso triangular

onde j = √_{−1. O pulso aplicado a cada nó m deve ser deslocado de ∆t, a fim de que ele} percorra todos os nós. Essa opera¸cão pode ser realizada através da multiplica¸cão da Eq. (4.3) por ejωm△t_: {P (ω)} = " − b aω2 ejωa_{+ e}−jωa − 2 # ejωm△t _(4.4)

Para o pulso triangular ser utilizado na formula¸cão espectral, é necessário transformar o sinal periódico do dom´ınio do tempo para o dom´ınio da freqüência. Faz-se isso do seguinte modo: {P (ωk)} = " −_aωb2 k ejωa+ e−jωa_{− 2} # ejωm△t τ (4.5)

onde ωk= 2πk_τ e k varia de 1 at´e o M , n´umero de coeficientes da S´erie de Fourier.

Uma vez a matriz de rigidez e o vetor de for¸cas obtidos no dom´ınio da frequência, encontra-se a resposta, ou seja, os deslocamentos do anel, também no dom´ınio da frequência:

{X(ωk)} = −[K −₁

(ωk)] {P (ωk)} (4.6)

onde P (ωk) ´e o vetor de carregamento. Para obter a reposta no dom´ınio do tempo, utiliza-se

a seguinte express˜ao: {x(t)} = M X k=1 [X(ωk)]e j2πkt τ (4.7)

(42)

4.2 Solu¸

c˜

ao Anal´ıtica por Superposi¸

c˜

ao Modal

Em Soedel (1975), uma fórmula anal´ıtica para a resposta for¸cada de um pneu tri-dimensional e com pressão interna é desenvolvida. Com tal base, foi poss´ıvel desenvolver uma solu¸cão anal´ıtica para a resposta for¸cada de um anel a uma for¸ca girante com velocidade angular constante.

A partir de uma viga reta, bi-apoiada e sujeita a uma for¸ca concentrada deriva-se a resposta do anel circular, pois ele nada mais ´e que a mesma viga, por´em curva e com a extremidade, x = 0, unida a sua outra extremidade x = L. Para a for¸ca que se desloca ao longo da viga reta pode-se escrever:

p(x,t) = P δ (x − vt) (4.8)

onde P é a amplitude da for¸ca, v é a velocidade linear da for¸ca ou velocidade de excita¸cão,

x ´e o deslocamento e t ´e o tempo.

Com x − vt = 0 ⇒ t = x/v e L − vτ = 0 ⇒ τ = L/v, onde τ ´e o per´ıodo da for¸ca girante, ou seja, o tempo com o qual a for¸ca completa uma volta ao redor do anel. Portanto, a for¸ca peri´odica pode ser escrita como:

p(x,t) = P δ t − x_v + nL v (4.9) onde n ´e um n´umero inteiro.

Expressando a for¸ca periódica através da Série de Fourier escreve-se:

P δ t − x v + nL v =X k αke i2πkt τ =X k αke i2πktv L (4.10)

onde os coeficientes da S´erie de Fourier (Lighthill, 1958) αk s˜ao:

αk = v L Z L v 0 P δ t − x_v e−i2πktvL dt (4.11) onde nL

v foi desconsiderado, pois ´e efetuado apenas um per´ıodo no c´alculo dos coeficientes da

for¸ca.

O c´alculo da Eq. (4.11) resulta em:

αk =

v

LP e

−i2πkx

(43)

Portanto: p(x,t) =X k P v L e −i2πkx L e i2πktv L (4.13)

onde fk= kv_L, por isso, pode-se reescrever a Eq. (4.13) da seguinte forma:

p(x,t) =X k P v L e −i2πkx L ei2πkfkt _(4.14)

Para transformar a for¸ca periódica aplicada em uma viga biapoiada em um anel circular sujeito a uma for¸ca girante, é necessária uma mudan¸ca de coordenadas, de cartesianas para polares: • x = Rθ • dx = Rdθ • v = R ˙θ • T = 2π_ω • L = 2πR • ω = ˙θ

Reescrevendo a Eq. (4.14) em coordenadas polares, obt´em-se:

p(θ,t) =X

k

P ω

2πe

−ikθ_eikωt _(4.15)

Partindo da equa¸c˜ao da viga (Doyle, 1997), tem-se:

EI∂

4_u

∂x4 − ρA

∂2_u

∂t2 = p(x,t) (4.16)

onde E é o módulo de elasticidade, I é o momento de inércia e ρA é a massa por unidade de comprimento. É poss´ıvel encontrar uma solu¸cão através da Teoria da Superposi¸cão Modal (Craig, 1981),(Soedel, 1975) para o deslocamento do anel, sujeito a uma for¸ca girante radial, da seguinte forma: ˆ u =X k ˆ vkϕk(x) (4.17)

(44)

Substituindo a Eq. (4.17) na Eq. (4.16), tem-se: ˆ v = Pˆr (EIk4 r− ρAω02) (4.18)

onde ˆPr é o vetor de carregamento, ω0 é a frequência natural da viga curva, k é o n´umero do

modo e ˆu =Prvˆrϕr(x).

Fazendo ωs= sω0 com s inteiro ´e poss´ıvel escrever vr(ωs) = vrs e a Eq. (4.18) pode ser

reescrita da seguinte maneira:

u(t) =X s X r ˆ vr(sω0)ϕr(x)eisω0t (4.19) Assim: vrs = ˆ Pr ρA ω2 r − ωs2 = ˆ Pr ρA s2hωr s − ω2 0 i (4.20)

Resta equacionar a for¸ca ˆPr:

ˆ Pr = Z 2π 0 P ω0 2π e −irθ_eikω0t ϕt(x)dθ (4.21)

Como os modos de vibrar do pneumático podem ser obtidos através da soma de fun¸cões cosseno, supôs-se modos cossenoidais para o anel:

ˆ Prs = eikω0t Z 2π 0 P ω0 2π e −isθ_cos(rθ)dθ _(4.22)

onde o cosseno pode ser escrito como:

cos(rθ) = e

irθ _{+ e}−irθ

2 (4.23)

Substituindo a Eq. 4.23 na Eq. 4.22, tem-se: ˆ Prs = eikω0t Z 2π 0 P ω0 2π ei(r−s)θ_{+ e}−i(r+s)θ 2 dθ (4.24)

(45)

for¸ca girante radial de velocidade constante ´e portanto: u(θ,t) =X k P0ω0 2ρAe irθ0tcos(rθ) r2ωr r 2 − ω2 0 (4.25)

4.3 Valida¸

c˜

ao do Modelo SEM Dinˆ

amico

O pneumático possui modos de vibrar caracter´ısticos (Soedel, 1975) e estes foram utilizados na valida¸cão da for¸ca modelada como um pulso triangular e da For¸ca Girante Anal´ıtica. Quando uma estrutura circular atinge o modo dois, ela possui dois lóbulos em sua forma de vibrar, ao atingir o modo três, observa-se três lóbulos e assim por diante. O mesmo valor de velocidade da for¸ca girante como dado de entrada gerou o mesmo modo de vibrar em ambos os métodos. A Fig. (4.2) ilustra os modos de vibrar obtidos.

Através desses resultados, conclui-se que a For¸ca Girante Anal´ıtica e o pulso triangular são maneiras equivalentes de se modelar uma for¸ca girante radial aplicada em um anel circular. Além disso, o modelo dinâmico de pneumático SEM comporta-se de forma equivalente a um pneu real rolando.

(46)

Figura 4.2: Modos de vibrar do modelo de pneum´atico SEM: modo 2 (20,5Hz) superior esquerdo, modo 3 (57,9Hz) superior direito, modo 4 (111,0Hz) inferior esquerdo e modo 5 (179,5Hz) inferior direito

(47)

Cap´ıtulo 5

Modelo Estoc´

astico de Pneum´

atico

A desuniformidade em pneus afeta diretamente o seu comportamento. Entretanto, em alguns casos, ela é necessária para se atingir o desempenho desejado de tal estrutura. Observa-se em alguns modelos de pneumáticos, por exemplo, um perfil assimétrico da banda de rodagem obtido através de testes experimentais e simula¸cões, feitos para garantir que esse perfil é o mais apropriado. No caso da banda de rodagem, isso pode ocorrer para garantir o escoamento da água através dos sulcos do pneu.

De modo geral, a fabrica¸cão de pneus possui duas principais etapas. A primeira consiste na prepara¸cão das diferentes misturas de borracha e demais substâncias, na confeçcão dos componentes citados na Se¸cão (2.1). Essa etapa possui uma maior quantidade de fontes de incertezas, mas é complicado controlá-las ou mensurá-las, pois diversos processos possuem a interven¸cão do homem, consequentemente, as desuniformidades estudadas concentram-se na segunda parte do processo produtivo do pneumático. A segunda etapa da fabrica¸cão de pneus compreende a montagem de todos esses componentes ordenadamente e a vulcaniza¸cão. No presente trabalho, o foco será as desuniformidades geradas nesta segunda etapa.

5.1 Determina¸

c˜

ao dos dados de entrada do modelo

O modelo SEM de pneu requer os seguintes dados de entrada: densidade (ρ), módulo de elasticidade (E), base (b) e altura (h) da se¸cão transversal retangular do anel equivalente, pressão interna (Pint), raio do anel (R) e rigidez das molas radial (kr) e tangencial (kt). O

momento de inércia (I) é calculado através da base e da altura da se¸cão transversal retangular do anel: I = bh3_/12.

Tais dados foram obtidos com base em um modelo simulado em ABAQUSR

(48)

205/55R16 (P7) produzido pela Pirelli Pneus Ltda. Ele ´e demandado por diversas montadoras e, consequentemente, um grande volume de informa¸c˜oes pode ser obtido sobre ele.

Ao estabelecer os dados de entrada uma sequˆencia de passos foi seguida para que o modelo tivesse um comportamento equivalente ao P7 simulado em ABAQUSR

. Inicialmente, estabeleceu-se a pressão interna de 30P si, o mesmo valor presente no modelo de elementos finitos. Em seguida, foram estabelecidos arbitrariamente o número de elementos (35) e a base e a altura da se¸cão transversal, 0.2m e 0.002m, respectivamente, com base na teoria de Euler-Bernoulli (a viga é delgada e longa). Em terceiro lugar, com o valor do peso do P7 e com o volume do modelo de anel, calculou-se a densidade: 34890kg/m3 _{do modelo SEM.}

Em seguida, sabendo-se o valor de uma mola radial equivalente do modelo em ABAQUSR

, calculou-se um valor de mola radial para o modelo SEM. Isso foi feito estabelecendo-se como dado de entrada tal valor de mola radial. Posteriormente, esse valor foi ajustado até se atingir o deslocamento do modelo SEM equivalente ao existente no outro modelo. O módulo de elasticidade e a mola tangencial foram ajustados, através de tentativa e erro, a fim de obter as frequências naturais tangenciais do modelo do P7 em ABAQUSR

. Por fim, um novo ajuste foi feito no valor da mola radial, também através de tentativa e erro, para se atingir as frequências naturais radiais.

A Tabela (5.1) mostra os dados de entrada estabelecidos pelo procedimento de estudo acima. Na Fig. (5.1) observa-se uma fun¸cão de resposta em frequência (FRF) (Ogata, 2003) radial do anel circular. Ao se calcular a FRF radial, excita-se um grau de liberdade radial com uma for¸ca de amplitude unitária em toda a faixa de frequências mede-se a resposta nesse mesmo grau de liberdade e, ao se calcular a FRF tangencial, procede-se da mesma forma, porém as medi¸cões e o carregamento são relacionados aos graus de liberdade tangenciais.

Observa-se na Fig. (5.1) que os modos se acoplam e isso é explicado pela Eq. (3.3), na qual as duas equa¸cões não são desacopláveis. A primeira frequência natural tangencial (42Hz). As duas primeiras frequências naturais radiais (72Hz e 92Hz) são semelhantes em ambos os modelos (ABAQUSR

e SEM).

Uma observa¸cão a ser feita é que a prioridade desse ajuste foram as frequências naturais, pois para ating´ı-las foi necessário alterar a rigidez do anel e, portanto, as amplitudes do deslocamento calculado com a nova rigidez estabelecida e do deslocamento do modelo em ABAQUSR

não são equivalentes, mas são da mesma ordem de grandeza.

A velocidade da for¸ca de excita¸c˜ao foi estabelecida como 7,2km/h, pois essa ´e a veloci-dade com a qual a LSU, Fig. (1.1), obteve os dados experimentais a serem apresentados em seguida.

(49)

Tabela 5.1: Valores das propriedades do modelo dinˆamico SEM de pneu P7 205/55R16

Propriedade Valor

Densidade 34890kg/m3

Raio 0,25m

M´odulo de Elasticidade _{1,4700 × 10}10_{P a}

Base da área da se¸cão transversal 0,2m Atura da área da se¸cão transversal 0,002m

Press˜ao interna 30psi

Rigidez Radial 131157N/m

Rigidez Tangencial 27510N/m N´umero de elementos (Nele) 35

Velocidade da for¸ca de excita¸c˜ao (v) 7,2 km/h

0 50 100 150 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2x 10 −4 X: 42 Y: 6.974e−005 Frequência (Hz) Amplitude FRF − Radial FRF − Tangencial

Figura 5.1: Frequˆencias naturais radiais e tangenciais do modelo SEM uniforme

5.2 An´

alise da sensibilidade do modelo

Como a aplica¸cão da Teoria de Incertezas (Soize, 2005), (Papoulis, 1991), (Soize, 2004) agrega ao modelo uma grande complexidade matemática, que aumenta com o número de parâmet-ros aleatórios, antes de utilizá-la analisou-se a sensibilidade do modelo a parâmetparâmet-ros que pudessem representar as desuniformidades do pneu real.

(50)

O primeiro modelo de pneumático desuniforme consiste no modelo SEM com apenas um elemento de massa e rigidez variáveis (Modelo 1). Tal elemento representa uma emenda do pneu que engloba dois tipos de desuniformidade: massa e rigidez. A rigidez pode ser modificada variando-se E, kr ou kt, enquanto a massa é determinada apenas pela densidade

ρ.

Na análise da sensibilidade, os parâmetros variaram de -0.2% a 2.5% dos valores respec-tivos determinados na Se¸cão (5.1). Tal varia¸cão foi estabelecida levando em considera¸cão a estabilidade do modelo, pois ao se reduzir muito os parâmatros, a matriz de rigidez dinâmica do modelo torna-se mal condicionada. Analisou-se o comportamento do valor pico a pico da componente radial da for¸ca resultante no eixo, cuja represent¸cão está na Fig. (5.2).

Figura 5.2: Visualiza¸c˜ao da for¸ca resultante utilizada na an´alise da sensibilidade do modelo

O Modelo SEM uniforme, a baixas velocidades, quando sujeito a uma for¸ca concentrada, reage com uma resultante na mesma dire¸cão. Entretanto, ao inserir uma desuniformidade no anel, quando a for¸ca de excita¸cão é aplicada sobre a região de maior rigidez, a amplitude da for¸ca de resposta varia. Já a altas velocidades e com desuniformidade, a amplitude da for¸ca resultante variará e sua dire¸cão pode ser desviada devido ao efeito da inércia e também devido à não homogeneidade de rigidez radial do pneu.

A fim de obter um resultado adimensional, o resultado analisado foi dividido pela am-plitude da for¸ca de entrada, nesse caso, unitária. A Fig. (5.3) mostra a varia¸cão do pico a pico da for¸ca resultante em fun¸cão da varia¸cão dos parâmetros a 1 e a 80km/h. O modelo foi analisado a 1km/h para avaliar o seu comportamento a uma condi¸cão aproximadamente