Seja Aum anel comutativo com unidade 1A. Defini¸c˜ao 14 (Anel ordenado)
Um anel A, comutativo com unidade, ´e chamado de anel ordenadose existir uma rela¸c˜ao bin´aria a≤ b (menor ou igual), que tem as seguintes proprie-dades:
Quandoa≤b, tamb´em dizemos queb´e maior ou igual aae escrevemos b≥a.
O1 (Reflexiva) Para qualquer a ∈A, temos a≤a.
O2 (Antisim´etrica) Para quaisquera, b∈A, sea≤beb≤a, ent˜aoa=b.
O3 (Transitiva) Para quaisquer a, b, c∈A, se a≤b eb≤c, ent˜ao a≤c.
O4 (Total) Dados a, b∈A, uma das afirma¸c˜oes ´e verdadeira:
a≤b oub≤a.
OA (Compat´ıvel com a adi¸c˜ao) Para quaisquer a, b, c∈A, se a≤b, ent˜ao a+c≤b+c.
OM (Compat´ıvel com a multiplica¸c˜ao) Para quaisquer a, b, c∈A, se a≤be c≥0, ent˜ao a·c≤b·c.
Usamos as seguintes nota¸c˜oes:
a < b⇐⇒a≤b coma6=b.
b > a (bmaior do que a) ⇐⇒a < b.
Observamos que num anel ordenado A, para cada a∈A vale uma das seguintes propriedades: a > 0 oua=0 oua < 0.
Defini¸c˜ao 15 (Positivo ou negativo)
SejaA um anel ordenado. Seja a∈ A. Sea > 0 dizemos que a´e positivo e sea < 0dizemos que a´enegativo.
A ordem emQ´e induzida pela ordem deZ.
Exemplo 27
(1)Z´e um dom´ınio ordenado.
(2)Q= m
n ; m, n∈Z, n6=0 ´e um corpo ordenado, pois definimos:
a, b∈Q, a≤b⇐⇒b−a≥0, onde
m
n > 0⇐⇒m, n s˜ao ambos positivos ou ambos negativos.
(3)R´e um corpo ordenado.
Proposi¸c˜ao 9 (Propriedades de anel ordenado) SejaA um anel ordenado e seja a∈A. Ent˜ao:
(i) Se a≤0, ent˜ao −a≥0.
(ii) Sea≥0, ent˜ao −a≤0.
(iii) a2≥0.
(iv)1 > 0.
Demonstra¸c˜ao:
(i)a≤0=OA⇒a+ (−a)≤0+ (−a)=⇒0≤−a⇐⇒−a≥0.
(ii) a≥0=OA⇒a+ (−a)≥0+ (−a)=⇒0≥−a⇐⇒−a≤0.
(iii) a≥0=OM⇒a·a≥0·a=⇒a2 ≥0.
a≤0=(i⇒) −a≥0=OM⇒a·(−a)≤0·(−a)=⇒−a2≤0=(i⇒) a2≥0.
(iv)1=12≥0 e 16=0=⇒1 > 0.
Aten¸c˜ao: Observamos que o corpo dos n´umeros complexos n˜ao ´e um anel ordenado pois, caso contr´ario,i6=0e, pelo item (iii) da proposi¸c˜ao anterior,
−1=i2 > 0ent˜ao, pelo item (ii), 1 < 0, uma contradi¸c˜ao com o item (iv).
Proposi¸c˜ao 10
Se D ´e um dom´ınio ordenado, ent˜ao o corpo de fra¸c˜oes de D ´e um corpo ordenado.
Demonstra¸c˜ao: Primeiramente, observe que se x = ab ∈ K, ent˜ao x pode ser representado por uma fra¸c˜ao com denominador positivo. De fato, se b > 0, nada h´a a fazer. Suponhamos que b seja negativo. Ent˜ao, −b > 0 e x= ab= −a−b.
A ordem em K ´e induzida pela ordem em D. Definimos
a
b≤ dc, com b > 0 e d > 0, se, e somente se, ad≤bc. (⋆) Agora devemos verificar as seis propriedades da ordem em K.
O1 (Reflexiva): ´E claro que ab ≤ ab, pois ab−ba=0.
O2 (Antisim´etrica): Sejam ab ≤ dc e dc ≤ ab, com b > 0 e d > 0. Ent˜ao, ad≤bc e bc≤ad. Pela propriedade O2 em D, temosad=bc. Portanto,
a b= cd.
O3 (Transitiva): Dados ab ≤ cd e cd ≤ ef em K, com b > 0, d > 0 e f > 0, ent˜ao ad ≤ bc e cf ≤ ed. Como f > 0 e b > 0, pela propriedade OM em
D, temos que (ad)f≤ (bc)f e b(cf) ≤ b(ed). Pela propriedade O3 em D, obtemos que adf ≤ bed. Como d > 0, pela propriedade OM em D, temos af≤be. Pela defini¸c˜ao (⋆) da ordem em K, temos ab ≤ ef.
O4 (Total): Dados ab e dc em K, com b > 0 e d > 0, temos que, pela propriedade O4 em D,ad≤bc ou bc≤ad. Logo, ab ≤ dc ou dc ≤ ab.
OA (Compat´ıvel com a adi¸c˜ao): Dados ab ≤ cd e ef em K, com b > 0, d > 0 e f > 0, ent˜ao ad≤ bc, com b > 0, d > 0 e f > 0. Pela propriedade OM em D, f2> 0 e (ad)f2≤ (bc)f2. Pela propriedade OA em D, obtemos (ad)f2+bedf≤(bc)f2+bedf. Logo,
(af+be)(df)≤(cf+de)(bf), com df > 0 ebf > 0, que ´e equivalente a,
a
b+ef = af+bebf ≤ cf+dedf = dc +ef.
OM (Compat´ıvel com a multiplica¸c˜ao): Dados ab ≤ dc e ef ≥ 0, com b > 0, d > 0 e f > 0, ent˜ao ad ≤ bc, com b > 0, d > 0, f > 0 e e ≥ 0. Pela propriedade OM em D, temos ef ≥ 0 e (ad)(ef) ≤ (bc)(ef), com b > 0, d > 0. Logo, (ae)(df)≤(bf)(ce), com df > 0 ebf > 0, que ´e equivalente a
ae
bf ≤ cedf.
Vocˆe deve verificar OM e OA.
Defini¸c˜ao 16 (Valor absoluto)
SejaA um anel ordenado. Definimos ovalor absoluto de a∈Apor
|a|=
a, sea≥0
−a, sea < 0 O valor absoluto tem as seguintes propriedades.
Proposi¸c˜ao 11
Sejam Aum anel ordenado e a, b∈A. Ent˜ao:
(i)|a|≥0 e |a|=0 se, e somente se,a=0.
(ii) −|a|≤a≤|a |.
(iii) |−a|=|a|.
(iv)|a·b|=|a|·|b|.
A desigualdade ao lado ´e conhecida como
desigualdade triangular.
(v)|a+b|≤|a|+|b|.
(vi)| |a|−|b| |≤|a±b|≤|a|+|b|. Demonstra¸c˜ao: Fa¸ca como exerc´ıcio.
Agora vamos introduzir o conceito de anel bem ordenado.
Defini¸c˜ao 17 (Conjunto limitado inferiormente)
SejaS6=∅ um subconjunto de um anel ordenado A.
Dizemos que S´elimitado inferiormente se existir um elementoa∈A, tal que para todos∈S temos s≥a.
Dizemos que Stem ummenor elemento, se existirs0 ∈S, tal que, para todos∈S, temos s≥s0.
Observa¸c˜ao (unicidade do menor elemento): O menor elemento, se existe, ´e
´ unico.
De fato, digamos ques0es1s˜ao menores elementos de um subconjunto n˜ao-vazioS de um anel ordenado A, ent˜ao:
s1≥s0, poiss0´e um menor elemento de S e s0≥s1, poiss1´e um menor elemento de S,
logo, pela propriedade antisim´etrica (O2) da rela¸c˜ao de ordem, s0=s1. Defini¸c˜ao 18 (Dom´ınio bem ordenado)
Um dom´ınio ordenado A ´e chamado bem ordenado se, e somente se, todo subconjunto n˜ao-vazio de A limitado inferiormente tem menor elemento.
Exemplo 28
(1)Z, Q, Rs˜ao dom´ınios ordenados.
(2)R n˜ao ´e bem ordenado.
Consideremos o intervalo S = (0,+∞) ⊂ R. Ent˜ao, S ´e limitado inferior-mente por 0 eS n˜ao tem menor elemento.
(3)Q n˜ao ´e bem ordenado.
Consideremos S=1
n; n=1, 2, 3, . . . ⊂Q. Temos
1 > 12 > 13 > 14 >· · ·> n1 > n+11 >· · ·> 0.
S´e limitado inferiormente por 0e S n˜ao tem menor elemento.
Para entender melhor um dom´ınio bem ordenado, vamos ver mais pro-priedades.
Proposi¸c˜ao 12
SejaA um dom´ınio bem ordenado e seja a∈A. Se a > 0, ent˜ao a≥1.
Demonstra¸c˜ao: Suponhamos, por absurdo, que existe um elemento a ∈ A, tal que 0 < a < 1. Logo, o conjunto
S ={x∈A; 0 < x < 1}
´e n˜ao-vazio e limitado inferiormente.
Portanto, S tem um menor elemento s0 e 0 < s0 < 1.
Segue de OM que 0=0·s0 < s0·s0< 1·s0=s0, isto ´e,0 < s02 < s0. Como s0 < 1, pela transitividade da rela¸c˜ao de ordem, temos 0 < s02< 1 e logo, s02∈S com s02 < s0, contradizendo o fato de s0 ser o menor elemento deS.
Corol´ario 1
Sejam Aum dom´ınio bem ordenado e a, b∈A. Se a > b, ent˜ao a≥ b+1.
Demonstra¸c˜ao: Como a > b, de OA segue que a −b > b −b = 0. Da proposi¸c˜ao anterior temos quea−b≥1 e, de OA, a≥b+1.
Observa¸c˜ao: Seja A um dom´ınio bem ordenado. Seja a ∈ A tal que a > 0.
Ent˜ao, a ≥ 1. Se a 6= 1, ent˜ao a > 1 e, do corol´ario anterior, obtemos a≥1+1. Sea6=1+1, ent˜aoa > 1+1e, do corol´ario anterior, a≥1+1+1.
Prosseguindo com esse processo, temos
0 < 1 < 1+1 < 1+1+1 < 1+1+1+1 <· · ·.
A propriedade acima nos lembra o dom´ınio bem conhecido dos inteiros.
O dom´ınio dos inteirosZtem a propriedade da boa ordena¸c˜ao, a saber:
Axioma (Princ´ıpio da Boa Ordena¸c˜ao): Todo conjunto n˜ao-vazio de inteiros n˜ao-negativos tem menor elemento.
Como conseq¨uˆencia do Axioma da Boa Ordena¸c˜ao de Z, temos que Z
´e um dom´ınio bem ordenado.
Proposi¸c˜ao 13
Todo subconjunto n˜ao-vazio de inteiros limitado inferiormente tem menor elemento.
Demonstra¸c˜ao: Seja S ⊂ Z, S 6= ∅ e limitado inferiormente, digamos por k∈Z.
Consideremos T ={x−k; x ∈S}. Ent˜ao,T ⊂Z e T 6=∅, pois S6=∅. Como x≥k, para todo x∈S, ent˜ao x−k≥0 e logo, T ´e um subcon-junto n˜ao-vazio de inteiros n˜ao-negativos. Pelo axioma da boa ordena¸c˜ao, existe t0∈T o menor elemento deT. Afirmamos que s0=t0+k ´e o menor elemento de S.
De fato, t0 ∈ T. Logo, existe s0 ∈ S tal que t0 = s0 −k. Assim, s0=t0+k∈S. Precisamos apenas mostrar que se x∈S, ent˜ao x≥s0.
Com efeito, suponhamos, por absurdo, que existey∈S, tal quey < s0. Ent˜ao, y−k < s0−k=t0, comy−k∈T, contradizendo o fato de t0 ser o menor elemento de T.
Na verdade, mostraremos adiante que Z´e o ´unico dom´ınio bem orde-nado. Deve ser estudado com mais cuidado.
Proposi¸c˜ao 14 (Propriedade Arquimediana deZ)
Dadosa, b∈Z com b6=0, existe n∈Ztal que n·b≥a.
Demonstra¸c˜ao: Como b6=0, ent˜ao |b|> 0e logo |b|≥1.
Como |a|≥0, por OM, temos|a|·|b|≥|a|·1=|a|≥a.
Se b > 0, tomen=|a|, ent˜ao n·b=|a|·|b|≥a.
Se b < 0, tomen= −|a|, ent˜ao
n·b= −|a|·b=|a|·(−b) =|a|·|b|≥a.
Proposi¸c˜ao 15 (Propriedade Arquimediana deQ)
Dadosa, b∈Q com b6=0, existe n∈Ztal que n·b≥a.
Demonstra¸c˜ao: Escrevemos a= dc e b= sr com c, d, r, s∈ Z, d > 0, s > 0 e r6=0.
Consideremos os inteirosr·d6=0ec·s. Pela propriedade arquimediana deZ, existe n∈Z tal que n·(r·d)≥c·s.
Como s·d > 0, ent˜ao s·d1 > 0 e
n·b=n· rs =n· r·ds·d=n·(r·d)· s·d1 ≥c·s· s·d1 = c·sd·s = dc =a.
Exerc´ıcios
1. Demonstre as propriedades do valor absoluto num anel ordenado A.
2. Seja A um anel ordenado. Mostre que:
(a) Se a+c≤b+c, ent˜ao a≤b.
(b) Se a≤be c≤d, ent˜ao a+c≤b+d.
(c) Se a≤be c≤0, ent˜ao a·c≥b·c.
(d) Se a < b eb < c, ent˜ao a < c.
(e) Se a < be b≤c, ent˜ao a < c.
(f) Se a < b, ent˜ao a+c < b+c, para todo c.
(g) Se a≥0 e b≤0, ent˜ao a·b≤0.
(h) Se a≤0 e b≤0, ent˜ao a·b≥0.
3. Seja A um dom´ınio ordenado. Mostre que:
(a) Se a < be c > 0, ent˜ao a·c < b·c.
(b) Se a·c≤b·c e c > 0, ent˜ao a≤b.
(c) Se a·c≤b·c e c < 0, ent˜ao a≥b.
4. Seja A um dom´ınio ordenado. Mostre que:
(a) Se a6=0, ent˜ao a2> 0.
(b) 1 > 0 e −1 < 0.
5. Seja A um dom´ınio ordenado.
(a) Mostre que para cada a ∈ A, | a | ´e o ´unico elemento x ≥ 0 tal que x2=a2.
(b) Paraa≥0, definimos o s´ımbolo√
a∈Acomo o ´unicox ∈A, tal que x≥0 e x2=a, se tal elemento existe.
Mostre que se a ≥ 0 e b ≥ 0 e √ a e √
b existem, ent˜ao √ a·b existe e √
a·b=√ a·√
b.
(c) Mostre que |a|=√
a2, para todo a∈A.
6. Seja A um dom´ınio bem ordenado e sejam a, b∈A.
Mostre que se a·b=1, ent˜ao a=b=1 ou a=b= −1.
7. SejaAum dom´ınio e suponhamos que existeP ⊂Atendo as seguintes propriedades:
(a) Para cada x ∈A, temos x∈ P, ou x=0, ou −x ∈ P e essas trˆes possibilidades s˜ao mutuamente excludentes.
(b) Se x∈ P ey∈ P, ent˜ao x+y∈ P e x·y∈ P.
Mostre que A´e um dom´ınio ordenado com a seguinte rela¸c˜ao de ordem:
para a, b∈A, a < b⇐⇒b−a∈P.
8. Mostre que se A´e um dom´ınio ordenado, ent˜ao P ={x∈A;x > 0}
tem as propriedades (a) e (b) do exerc´ıcio anterior.
Conclua que a rela¸c˜ao de ordem de um dom´ınio ordenado est´a perfei-tamente determinada pelo conjunto dos elementos positivos.
9. Seja A um anel ordenado. Dizemos que um subconjunto T de A ´e limitado superiormente se, e somente se, existe a ∈ A, tal que, para todo t ∈ T, temos t ≤ a. Dizemos que um subconjunto T de A tem maior elemento se, e somente se, existet0∈T, tal que, para todot∈T, temos t≤t0.
Seja A um dom´ınio ordenado. Mostre que A ´e bem ordenado se, e somente se, todo subconjuntoT deAlimitado superiormente tem maior elemento.
Sugest˜ao: O conjuntoS={−t; t ∈T} ´e limitado inferiormente.
Indu¸ c˜ ao
Uma t´ecnica muito utilizada em demonstra¸c˜oes ´e o Princ´ıpio de Indu¸c˜ao Finita.
Apresentaremos este conceito e mostraremos que ´e conseq¨uˆencia do Axioma da Boa Ordena¸c˜aodo dom´ınio dos n´umeros inteiros Z.
Consideremos, para n∈N, a seguinte afirma¸c˜aoP(n): 3n < 2n. Observamos que:
0=3·0 < 1=20 =⇒ P(0)´e verdadeira 3=3·1 > 2=21 =⇒ P(1)´e falsa 6=3·2 > 4=22 =⇒ P(2)´e falsa 9=3·3 > 8=23 =⇒ P(3)´e falsa 12=3·4 < 16=24 =⇒ P(4)´e verdadeira 15=3·5 < 32=25 =⇒ P(5)´e verdadeira
Na verdade, para todon≥4´e v´alida a desigualdade3n < 2n. Podemos demonstrar essa desigualdade, usando o princ´ıpio da indu¸c˜ao finita.
O m´etodo de demonstra¸c˜ao por indu¸c˜ao finita consiste de se especificar uma afirma¸c˜ao ou proposi¸c˜aoP(n), dependendo de n´umeros inteirosn≥n0, tais que P(n)pode ser verdadeira ou falsa. O princ´ıpio assegura que para a validade de P(n), para todo n≥n0, basta mostrar que:
(i) P(n0)´e verdadeira;
(ii) para cada n≥n0, se P(n) ´e verdadeira ent˜ao, P(n+1) ´e verdadeira.
Proposi¸c˜ao 16 (Princ´ıpio de Indu¸c˜ao Finita - 1aforma)
Suponhamos que para cada inteiro n ≥n0 temos uma afirma¸c˜ao P(n), tal que:
(i)P(n0)´e verdadeira;
(ii) para cada n≥n0, se P(n)´e verdadeira, ent˜ao P(n+1) ´e verdadeira.
Ent˜ao, para todon≥n0, a afirma¸c˜ao P(n) ´e verdadeira.
Demonstra¸c˜ao: SejaP(n)uma afirma¸c˜ao, paran≥n0, tendo as propriedades (i) e (ii) do enunciado. Consideremos
S={n∈Z; n≥n0eP(n)´e falsa}. Vamos mostrar que S=∅.
Suponhamos, por absurdo, que S6= ∅. Como S´e um subconjunto dos inteiros limitado inferiormente, pelo axioma da boa ordena¸c˜ao, existes0 ∈S, o menor elemento deS. Ent˜ao,s0−16∈S,s0 ≥n0e, comoP(n0)´e verdadeira, temos ques0 > n0. Portanto,P(s0−1)´e verdadeira coms0−1≥n0 e, pela propriedade (ii), conclu´ımos queP(s0)´e verdadeira, contradizendo o fato que s0∈S.
Na verifica¸c˜ao da propriedade (ii), quando supomos a afirma¸c˜ao P(n) verdadeira, chamamos de hip´otese de indu¸c˜ao.
Exemplo 29
Vamos mostrar a validade da desigualdade3n < 2n, para todo n≥4.
SejaP(n) :3n < 2n, paran≥4.
J´a vimos que P(4) ´e verdadeira.
Seja n ≥ 4 e suponhamos P(n) verdadeira. Vamos mostrar que P(n+1) tamb´em ´e verdadeira.
Temos
2n+1=2·2n(> 21) ·(3n) = 3n+3n
(2)
≥ 3n+12 OA> 3n+3=3(n+1).
Portanto, P(n+1) ´e verdadeira. Logo,P(n) ´e verdadeira, para todon≥4.
Em (1) usamos a hip´otese de indu¸c˜ao: 2n> 3ne OM.
Em (2) usamos quen≥4e, por OM,3n≥12.
Exemplo 30
A soma dosn primeiros n´umeros inteiros positivos ´e n(n+1)2 . SejaP(n) a igualdade1+2+· · ·+n= n(n2+1), paran≥1.
Para n=1 temos 1= 1·22 . Logo, P(1)´e verdadeira.
Seja n≥1 e suponhamos P(n) verdadeira, isto ´e, 1+2+· · ·+n= n(n2+1). Vamos mostrar que a igualdade vale para n+1. Temos:
Em (1) usamos a hip´otese de
indu¸c˜ao. (1+· · ·+n) +n+1(=1)n(n+1)2 +n+1= n(n+1)+2(n2 +1) = (n+1)(n+2)2 . Portanto, P(n+1) ´e verdadeira. Logo,P(n) ´e verdadeira para todon≥1.
Exemplo 31
Sejaf(x) = 1x, para x∈R\{0}. Para todo n≥1, temos f(n)(x) = (−1)xn+1nn!. De fato, paran=1, a derivada de f(x) ´ef′(x) = −1x2 = (−1)x1+11·1! e a igualdade
´e verdadeira.
Sejan≥1 e suponhamos quef(n)(x) = (−1)xn+1nn!. Ent˜ao,
f(n+1)(x) (1)= dxd(f(n)(x))
(2)= dxd
(−1)nn!
xn+1
(3)= (−1)nn!(−n−1)x−n−2
= (−1)n+1xn+2(n+1)!
Em (1) usamos a defini¸c˜ao de derivada de ordemn+1, em (2) usamos a hip´otese de indu¸c˜ao e em (3), as f´ormulas de deriva¸c˜ao.
Logo, a igualdade vale paran+1.
Portanto, a igualdade vale para todo n≥1.
Agora apresentamos a segunda formula¸c˜ao do princ´ıpio de indu¸c˜ao.
Proposi¸c˜ao 17 (Princ´ıpio de indu¸c˜ao finita -2a forma)
Suponhamos que para cada inteiro n ≥ n0 temos uma afirma¸c˜ao P(n), tal que:
(i)P(n0)´e verdadeira;
(ii) Para cada n > n0, se P(k) ´e verdadeira para n0 ≤k < n, ent˜ao P(n) ´e verdadeira.
Ent˜ao, a afirma¸c˜ao P(n) ´e verdadeira para todo inteiron≥n0.
Demonstra¸c˜ao: SejaP(n)uma afirma¸c˜ao, paran≥n0, tendo as propriedades (i) e (ii) do enunciado.
Seja S={n∈Z; n≥n0eP(n)´e falsa}. Vamos mostrar que S=∅.
Suponhamos, por absurdo, queS6=∅. Ent˜ao, S´e um subconjunto n˜ao-vazio de inteiros limitado inferiormente e, pelo axioma da boa ordena¸c˜ao,S tem um menor elemento, digamos s0. Como s0 ≥ n0 e P(n0) ´e verdadeira, ent˜ao s0> n0. Portanto,s0−1≥n0e, pela escolha de s0, para todo inteiro k com n0 < k≤ s0−1, temos k 6∈S, o que significa que P(k) ´e verdadeira.
Pela propriedade (ii), P(s0)´e verdadeira, contradizendo o fato que s0 ∈S.
Exemplo 32
Sejaxnuma seq¨uˆencia definida por:
x1=1, x2=3 exn=xn−1+xn−2, para todo n≥3.
Vamos mostrar quexn< 74n
, para todo n≥1.
De fato,x1 =1 < 74 ex2=3 < 4916= 742
. Sejan≥3e suponhamos xk< 74k
, para todo ktal que 1≤k < n. Ent˜ao,
xn=xn−1+xn−2
(1)< 74n−1
+ 74n−2
= 74n−2 7 4+1
= 74n−2
· 114
(2)
< 74n−2
· 4916
= 74n−2
· 74
2
= 74n Em (1) usamos a hip´otese de
indu¸c˜ao e em (2), a
desigualdade 114 <4916 e OM.
Pela transitividade da rela¸c˜ao de ordem, temos xn < 74n
. Portanto, a desigualdade ´e verdadeira para n.
Logo, a desigualdade ´e verdadeira para todo n≥1.
Exerc´ıcios
1. Para n≥0 seja P(n) :n2+5 > 6n.
(a) Verifique que P(0)´e verdadeira e P(1), P(2), P(3), P(4)e P(5)s˜ao falsas.
(b) Mostre, por indu¸c˜ao sobre n, que n2+5 > 6n, para todo n≥6.
2. Mostre, por indu¸c˜ao sobre n:
(a) 1+3+5+· · ·+ (2n+1) = (n+1)2; (b) 12+22+32+· · ·+n2= n(n+1)(2n+1)
6 ;
(c) 13+23+33+· · ·+n3=n(n+1)
2
2
;
(d) 14+24+34+· · ·+n4= n(n+1)(2n+1)(3n2+3n−1)
30 .
3. Mostre, por indu¸c˜ao sobre n:
(a) 2n≥1+n, para todo n≥1;
(b) 2n3−3n2+n+31≥0, para todo n≥−2;
(c) n! ≥2n, para todo n≥4;
(d) n! ≥3n, para todo n≥7;
(e) n! ≥4n, para todo n≥9;
(f) n+3 < 5n2, para todo n≥1;
(g) n2 < 2n, para todo n≥5.
4. Seja A um anel comutativo com unidade 1A. Seja n ∈ N com n ≥ 1.
Definimos
an=
a , se n=1 a·an−1 , se n > 1
Para quaisquer a, b ∈ A\{0} e m, n ∈ N tais que m ≥ 1 e n ≥ 1, mostre que:
(a) am·an=am+n. (b) (am)n=am·n.
(c) an·bn= (a·b)n.
(d) Sea6=0, definimosa0 =1Ae se a´e invert´ıvel en < 0, definimos an= (a−1)−n.
Mostre que se a, b s˜ao invert´ıveis em A, ent˜ao as igualdades dos itens anteriores valem em Z.
5. Seja x ∈ R. Mostre que xn−1 = (x−1)(xn−1+xn−2+· · ·+x+1), para todo n≥2.
6. Sejam a1, r∈R. Para cada n≥2, definimos an=an−1+r. A sequˆenciaa1, . . . , an´e uma progress˜ao aritm´etica.
(a) Mostre, por indu¸c˜ao sobre n, que an=a1+ (n−1)r.
(b) Se Sn = a1+a2+· · ·+an mostre, por indu¸c˜ao sobre n, que Sn= n(a12+an).
7. Sejam a1, q ∈ R, com q 6= 0 e q 6= 1. Para cada n ≥ 2, definimos an=an−1·q.
A sequˆenciaa1, . . . , an´e uma progress˜ao geom´etrica.
(a) Mostre, por indu¸c˜ao sobre n, que an=a1·qn−1.
(b) Se Sn = a1+a2+ · · ·+an mostre, por indu¸c˜ao sobre n, que Sn= anq−1·q−a1.
8. Para n, m ∈N, com n≥ m ≥1, temos mn
= (n−m)!mn! ! , onde n ≥ 1, n! =n(n−1)·. . .·1, 0! =1 e n0
=1.
(a) Mostre a seguinte igualdade
n m−1
+ mn
= n+1m
, para todo n≥1e n≥m≥1. Essa igualdade ´e conhecida como rela¸c˜ao de Stifel.
(b) Mostre, por indu¸c˜ao sobre n, que mn
´e um n´umero natural, para todo n≥1, n≥m≥0.
(c) SejaAum anel comutativo com unidade. Para quaisquerx, y∈A e para todo n≥1, mostre que
(x+y)n = xn+ nn−1
xn−1y1+ nn−2
xn−2y2+· · ·+ n1
x1yn−1+yn
= Xn
i=0
n i
xn−iyi
Na express˜ao do somat´orio ao lado, convenciona-se escreveryn=x0yn e xn=y0xn.
9. Seja A um dom´ınio ordenado e seja c∈A, tal quec≥−1.
Desigualdade de Bernoulli Mostre que, para todo n´umero natural positivo n, (1+c)n≥1+nc.