Parte 2 An´eis

(1)

An´ eis

R e f e r ê n c i a s Sobre a aritmética dos inteiros: Números-Uma Introdu¸cão à Matemáticade César Polcino Milies e Sônia Pitta Coelho. Editado pela Editora da Universidade de São Paulo (Edusp), 2000.

Para saber mais sobre anéis e o dom´ınio principal dos inteiros: Curso de Álgebra, Volume 1de Abramo Hefez, Cole¸cão Matemática Universitária, Sociedade Brasileira de Matemática (SBM), 1998.

Sobre anéis, extensões algébricas de corpos e grupos:Introdu¸cão à Algebra´ de Adilson

Gon¸calves, Projeto Euclides, IMPA, 2000.

A Matemática faz parte do nosso cotidiano e, em particular, recorremos aos números para descrever diversas situa¸cões do dia a dia.

Contamos com os números naturais, repartimos um bolo usando os números racionais, medimos comprimentos com os números reais, contabili- zamos preju´ızos com números negativos. Comparamos dois números inteiros, dois números racionais e dois números reais. Calculamos ra´ızes de polinômios com coeficientes reais com números complexos.

Estamos familiarizados com números naturais, inteiros, racionais, reais e complexos, que estão relacionados pelas seguintes inclusões:

N⊂Z⊂Q⊂R⊂C.

Esses conjuntos estão munidos com opera¸cões de adi¸cão e multiplica¸cão, que têm diversas propriedades.

Nosso objetivo é introduzir o estudo de estruturas algébricas, abor- dando os conceitos de anel, dom´ınio, dom´ınio ordenado e dom´ınio principal, ideais de um anel comutativo, homomorfismo de anéis e a fatora¸cão única em dom´ınios principais.

O conjunto dos inteiros é o primeiro exemplo de dom´ınio principal, será estudado sobre o ponto de vista algébrico e aritmético e faremos um estudo detalhado das suas propriedades no contexto dos dom´ınios principais.

Introduziremos o conceito de indu¸cão, uma técnica muito utilizada em demonstra¸cões.

Não faremos a constru¸cão axiomática dos números naturais, usaremos apenas as no¸cões intuitivas.

(2)

Usaremos a divisão euclidiana para escrever os números inteiros não- negativos em uma baseb > 1.

(3)

Conceito de anel

Vamos introduzir a estrutura alg´ebrica de anel e dar exemplos. Veremos os conceitos de anel comutativo e de anel com unidade, assim como diversos exemplos.

Vocês conhecem vários conjuntos, onde estão definidas opera¸cões de adi¸cão e multiplica¸cão entre seus elementos e essas opera¸cões têm diversas propriedades. Lembramos algumas dessas estruturas algébricas:

• os n´umeros naturais N={ 0, 1, 2, 3, . . .}.

• os polinˆomios com coeficientes reais, denotados por R[x];

• as matrizes Mn×n(R);

• os n´umeros inteirosZ={ . . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .};

• os n´umeros racionais Q= _m

n | n, m∈Z e n6=0

;

• os n´umeros reais R;

• os n´umeros complexos C={ a+bi | a, b∈R e i²= −1 };

• os números inteiros, racionais e reais podem ser comparados com uma rela¸cão de ordem ≤. Veremos que as opera¸cões de adi¸cão e multiplica¸cão, a ordem e as propriedades que as relacionam caracterizarão os números inteiros.

Defini¸c˜ao 1 (Opera¸c˜ao)

Dizemos que um conjunto A está munido com opera¸cões de adi¸cão ( + ) e multiplica¸cão ( · ) se, e somente se, para todo par (a, b) ∈ A×A sabemos associar um único elemento c ∈ A e um único elemento d ∈ A denotados, respectivamente, por:

Lembre que uma associa¸cão desse tipo é uma fun¸cão.

c=a+b e d=a·b.

Nesse caso, dizemos que as opera¸cões estão fechadas no conjunto A, isto é, para quaisquer a, b∈A, temosa+b∈A e a·b∈ A.

A adi¸cão e a multiplica¸cão são descritas por fun¸cões + : A×A −→ A

(a, b) 7−→ c=a+b e · : A×A −→ A (a, b) 7−→ d=a·b

(4)

Exemplo 1

Todos os conjuntos listados acima são conjuntos munidos de opera¸cões de adi¸cão e multiplica¸cão.

Defini¸c˜ao 2 (Anel)

Um anel A é um conjunto munido com opera¸cões de adi¸cão ( + ) e de multiplica¸cão (· ), tendo as seguintes propriedades:

A1 (Associativa) Para quaisquera, b, c∈A, temos(a+b)+c=a+(b+c).

A2 (Comutativa) Para quaisquer a, b∈A, temosa+b=b+a.

A3 (Existˆencia de elemento neutro para a adi¸c˜ao)

Existe θ∈A, tal que a+θ=θ+a=a, para todo a∈A.

A4 (Existˆencia de sim´etrico)

Para cadaa∈A, existe a^′ ∈A, tal que a+a^′ =a^′+a=θ.

M1 (Associativa) Para quaisquer a, b, c∈A, temos (a·b)·c=a·(b·c).

AM (Distributiva) Para quaisquera, b, c∈A, temosa·(b+c) =a·b+a·c e(a+b)·c=a·c+b·c.

Exemplo 2

Nn˜ao ´e um anel.

A adi¸cão e multiplica¸cão têm as propriedades A1, A2, A3, M1 e AM, mas não vale a propriedade A4.

Exemplo 3

Z,Q,ReC, respectivamente, inteiros, racionais, reais e complexos são anéis, onde o elemento neutro para a adi¸cão é o número inteiro 0.

Exemplo 4

M_n×n(R) = { X = (X_ij) ; X_ij ∈ R, onde 1 ≤ i, j ≤ n }é um anel, com as opera¸cões usuais de adi¸cão e multiplica¸cão de matrizes, definidas por:

Z=X+Y, ondeZ_ij=X_ij+Y_ij, para 1≤i, j≤n;

Z=X·Y, onde Zij= Xn k=1

Xik·Ykj, para1≤i, j≤n, para X, Y ∈Mn×n(R).

De fato, a adi¸cão e multiplica¸cão têm as propriedades A1, A2, A3, A4, M1 e AM, conforme já foi verificado em um curso básico de Álgebra Linear.

Volte a um texto de ´Algebra Linear, para recordar as opera¸c˜oes com matrizes e suas propriedades.

(5)

Para ilustrar vamos verificar duas dessas propriedades: AM e M1.

Sejam X, Y, Z∈Mn×n(R). Para quaisquer i, jtais 1≤i, j≤n, temos

Usamos a defini¸cão da multiplica¸cão e adi¸cão de matrizes e, sucessivamente, as seguintes propriedades das opera¸cões do anelR:

AM, A2, A1. Depois, novamente, usamos a defini¸cão de multiplica¸cão e adi¸cão de matrizes.

(X·(Y+Z))ij = Xn

r=1

Xir·(Y+Z)rj

= Xn

r=1

Xir·(Yrj+Zrj)

= Xn

r=1

(X_ir·Y_rj+X_ir·Z_rj)

= Xn

r=1

Xir·Yrj+ Xn

r=1

Xir·Zrj

= (X·Y)ij+ (X·Z)ij

= (X·Y+X·Z)_ij,

mostrando queX·(Y+Z) =X·Y+X·Z e vale AM.

Usamos duas vezes a defini¸cão de multiplica¸cão de matrizes e após,

sucessivamente, as seguintes propriedades das opera¸c˜oes do anelR: AM, M1, A2, A1.

Depois, novamente, usamos duas vezes a defini¸c˜ao de multiplica¸c˜ao de matrizes.

(X·(Y·Z))_ij = Xn

r=1

Xir·(Y·Z)_rj

= Xn

r=1

Xir· Xn

s=1

Yrs·Zsj

!

= Xn

r=1

Xn s=1

X_ir·(Y_rs·Z_sj)

!

= Xn

r=1

Xn s=1

(Xir·Yrs)·Zsj

= Xn

s=1

Xn r=1

(X_ir·Y_rs)

!

·Z_sj

= Xn

s=1

(X·Y)is·Zsj

= ((X·Y)·Z)_ij,

mostrando queX·(Y·Z) = (X·Y)·Z e vale M1.

A matriz n por n com todos os elementos nulos, Xij= 0 para 1 ≤ i, j≤ n, denotada porO, ´e o elemento neutro da adi¸c˜ao.

Lembramos que o sim´etrico deX´e a matrizY, tal que Y_ij= −X_ij, para todo 1≤i, j≤n. Costumamos escrever Y = −X.

Exemplo 5

Consideremos o intervalo I = (−1, 1) e seja F(I) o conjunto de todas as

fun¸cões deI em R, isto é, ^Você tem familiaridade com

as fun¸c˜oes de vari´avel real e valores reais.

F(I) = {f : I−→R | f´e uma fun¸c˜ao }.

(6)

Para quaisquer f, g∈ F(I), as opera¸cões usuais de adi¸cão e multiplica¸cão de fun¸cões são definidas por:

(f+g)(x) = f(x) +g(x), para todo x∈I e (f·g)(x) =f(x)·g(x), para todo x∈I . Com essas opera¸c˜oes, F(I) ´e um anel.

De fato, vamos mostrar que valem as seis propriedades das opera¸c˜oes da Defini¸c˜ao 2.

Primeiramente, para quaisquer f, g, h∈ F(I), temos:

((f+g) +h)(x) ⁽¹⁾= (f+g)(x) +h(x)

(2)= (f(x) +g(x)) +h(x)

(3)= f(x) + (g(x) +h(x))

(4)= f(x) + (g+h)(x)

(5)= (f+ (g+h))(x), para todox∈I,

implicando que(f+g) +h=f+ (g+h), portanto vale a propriedade A1;

Em (1),(2),(4) e (5) usamos a defini¸cão da adi¸cão de fun¸cões e em (3) a propriedade (A1) da adi¸cão de números reais.

substituindo a adi¸cão pela multiplica¸cão, de modo análogo, ((f·g)·h)(x) ⁽¹⁾= (f·g)(x)·h(x)

(2)= (f(x)·g(x))·h(x)

(3)= f(x)·(g(x)·h(x))

(4)= f(x)·(g·h)(x)

(5)= (f·(g·h))(x), para todo x∈I,

implicando que(f·g)·h=f·(g·h), portanto vale a propriedade M1;

Em (1),(2),(4) e (5) usamos a defini¸cão da multiplica¸cão de fun¸cões e em (3) a propriedade (M1) da multiplica¸cão de números reais.

((f+g)·h)(x) ⁽¹⁾= (f+g)(x)·h(x)

(2)= (f(x) +g(x))·h(x)

(3)= f(x)·h(x) +g(x)·h(x)

(4)= (f·h)(x) + (g·h)(x)

(5)= ((f·h) + (g·h))(x), para todo x∈I,

implicando que(f+g)·h =f·h+g·h, portanto, vale a propriedade AM.

Em (1) e (4) usamos a defini¸cão da multiplica¸cão de fun¸cões, em (2) e (5), a defini¸cão de adi¸cão de fun¸cões e em (3), a propriedade distributiva (AM) da multiplica¸cão números reais.

Vale que (g +h)· f = g· f+h ·f, porque a multiplica¸cão de fun¸cões é comutativa (verifique).

Para quaisquer f, g∈ F(I) e x∈I, temos:

(f+g)(x) = f(x) +g(x)

= g(x) +f(x)

= (g+f)(x)

Lembre que . . . a adi¸cão de números reais é

comutativa.

(7)

implicando quef+g=g+f e, assim, vale a propriedade A2.

O elemento neutro ´e a fun¸c˜ao o, tal que o(x) = 0, para cada x ∈ I. Note que, para toda f∈ F(I) e para todo x∈I,

(o+f)(x) =o(x) +f(x) = 0+f(x) = f(x)⇐⇒o+f=f.

O n´umero real zero ´e elemento neutro aditivo, no anelR.

O elemento neutro aditivo ´e a fun¸c˜ao constante e igual a zero no intervalo I, valendo a propriedade A3.

Vale, finalmente, a propriedade A4, pois o simétrico defé a fun¸cãogdefinida por g(x) = −f(x), para cada x ∈ I. O gráfico do simétrico de f é obtido fazendo a simetria com respeito ao eixox dos pontos do gráfico def. Exemplo 6

Consideremos 2Z={ 2x | x∈Z }, o conjunto dos n´umeros inteiros pares.

Vamos mostrar que2Zé um anel com a adi¸cão e a multiplica¸cão de números inteiros.

Primeiramente, observe que para quaisquera, b∈2Z, existem x, y∈Z, tais quea=2x, b=2y e

a+b=2x+2y=2(x+y)∈2Z e a·b=2x·2y=2(2x·y)∈2Z.

Observe que

x+y∈Z e 2x·y∈Z.

Logo, a adi¸cão e a multiplica¸cão de números inteiros é fechada em 2Z.

As propriedades A1, A2, M1 e AM valem em 2Z, pois essas propriedades valem emZ e 2Z ´e um subconjunto deZ.

Como0=2·0∈2Z, ent˜ao2Z tem elemento neutro aditivo.

Além disso, o simétrico dea=2xéa^′ = −2x=2(−x)∈2Z. ^x^∈^Z^⇐⇒^−x^∈^Z.

Portanto, valem as propriedades A3 e A4 e2Z´e um anel.

Observamos que a multiplica¸cão nos anéis dos Exemplos 3, 5 e 6 é comutativa, enquanto no anel do Exemplo 4 é não-comutativa sempre que a ordem da matriz é maior do que 1.

O que ´eM1×1(R)?

De fato, é claro que a multiplica¸cão nos inteiros, nos racionais e nos reais é comutativa.

Sejam x =a+bi, y=c+di∈C. Ent˜ao, a, b, c, d∈R, i²= −1 e

Usamos aqui que

a multiplica¸cão de números reais é comutativa.

x·y = (a+bi)·(c+di)

= (a·c−b·d) + (a·d+b·c)i

= (c·a−d·b) + (d·a+c·b)i

= (c+di)·(a+bi)

= y·x ,

(8)

mostrando que a multiplica¸cão de números complexos é comutativa.

Para verificar a comutatividade da multiplica¸c˜ao emF(I), consideremos f, g∈ F(I) e x∈I, ent˜ao

(f·g)(x) = f(x)·g(x)

= g(x)·f(x)

= (g·f)(x)

Lembre que . . . a multiplica¸c˜ao de n´umeros

reais ´e comutativa.

implicando quef·g=g·f.

Para n ≥ 2, o produto de matrizes n por n ´e n˜ao-comutativo, pois X·Y 6=Y·X para as seguintes matrizes:

X11 = 1, X12 = 1, X21 = 0 e X22 = 0 ; Y11 = 1, Yij = 0, para todo (i, j)6= (1, 1).

Temos que X·Y = 1 1

0 0

!

· 1 0 0 0

!

= 1 0 0 0

! e

Y·X= 1 0 0 0

!

· 1 1 0 0

!

= 1 1 0 0

!

A multiplica¸cão em 2Z é a multiplica¸cão de números inteiros, logo também é comutativa.

Os fatos acima motivam a seguinte defini¸c˜ao.

Defini¸c˜ao 3 (Anel comutativo)

Dizemos que um anel A´ecomutativo se, e somente se, tem a propriedade:

M2 (Comutativa) Para quaisquer a, b∈A, a·b=b·a.

Exemplo 7

Nos an´eis Z, Q, R, C, F(I) e 2Z vale M2.

No anel Mn×n(R), onde n≥2n˜ao vale M2.

Os an´eis dos Exemplos 3, 4 e 5 tˆem um elemento neutro multiplicativo, a saber:

• o n´umero inteiro 1 satisfaz

para todo a ∈ A, temos a·1 =1·a =a , nos casos A= Z, A = Q, A=R ouA=C;

• A matriz identidadeI∈M_n×n(R), com os elementos da diagonal iguais a1 e os elementos fora da diagonal iguais a 0, tem a propriedade

Matriz identidadeI Iij =

1 , sei=j 0 , sei6=j , para qualqueri, jcom

1≤i, j≤n.

(9)

para qualquer X∈M_n_×n(R), X·I=I·X=X.

• a fun¸c˜ao constante e igual a1no intervaloI, isto ´e,e(x) =1, para todo x ∈I, satisfaz

para qualquer f∈ F(I) e para todo x∈I, temos

(f·e)(x) =f(x)·e(x) =f(x)·1=f(x), tamb´em (e·f)(x) =e(x)·f(x) = 1·f(x) =f(x),

mostrando que f·e=f·e=f.

Entretanto, o anel 2Z n˜ao tem elemento neutro multiplicativo, moti- vando a seguinte defini¸c˜ao.

Defini¸c˜ao 4 (Anel com unidade)

Dizemos que o anel A tem unidade, se e somente se, A tem a propriedade:

M3 (Existˆencia de elemento neutro multiplicativo)

Existe um elemento e∈A, tal que a·e=e·a=a, para todo a∈A.

Exemplo 8

Nos an´eisZ, Q, R, C, Mn×n(R) e F(I) vale M3.

No anel2Z n˜ao vale M3.

Resumindo, há anéis que têm propriedades adicionais e são chamados de nomes especiais: quando a multiplica¸cão é comutativa (M2) o anel é chamado comutativo; quando o anel tem elemento neutro multiplicativo (M3)

´e chamado de anel com unidade.

Exerc´ıcios

1. Seja n um n´umero natural com n≥2.

Mostre que nZ = { n·x | x ∈ Z } é um anel comutativo com as opera¸cões de adi¸cão e multiplica¸cão de números inteiros.

2. Seja Z[√

2] ={ a+b√

2 | a, b∈Z }.

(a) Mostre que a adi¸cão e multiplica¸cão de números reais é fechada em Z[√

2], verificando que:

para qualquer a, b, c, d∈Z, x=a+b√

2 ey=c+d√ 2

(10)

x+y = (a+c) + (b+d)√

2∈Z[√ 2]

x·y = (a·c+2b·d) + (a·d+b·c)√

2∈Z[√ 2]

(b) Mostre que Z[√

2]´e um anel.

(c) Mostre que Z[√

2]´e um anel comutativo com unidade.

x+yé a adi¸cão ex·yé a multiplica¸cão de números reais, apenas reescrevemos as parcelas de modo conveniente, usando as propriedades comutativa, associativa e distributiva das opera¸cões dos números reais.

3. Seja Z[i] ={ a+bi | a, b∈Z e i²= −1 }.

(a) Mostre que a adi¸cão e multiplica¸cão de números complexos é fechada em Z[i], verificando que:

para qualquer a, b, c, d∈Z, x =a+bi e y=c+di x+y = (a+c) + (b+d)i

x·y = (a·c−b·d) + (a·d+b·c)i

x+yé a adi¸cão de números complexos e x·yé a multiplica¸cão de números complexos.

Z[i]´e conhecido como o anel dos inteiros de Gauss.

(b) Mostre que Z[i]´e um anel.

(c) Mostre que Z[i]´e um anel comutativo com unidade.

4. Seja A=

X= x11 x12

x21 x22

!

; xij∈Z, para todo1≤i, j≤2

, o conjunto das matrizes 2 por 2 com coeficientes inteiros.

ParaX, Y, Z∈A, definimos a adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao emA por:

Z=X+Y ⇐⇒ z_ij=x_ij+y_ij, com1≤i, j≤2 Z=X·Y ⇐⇒ zij=xi1y1j+xi2y2j, com1≤i, j≤2

Observe que as opera¸cões de adi¸cão e multiplica¸cão são as usuais.

Costumamos denotarApor M2×2(Z).

(a) Mostre que A´e um anel com as opera¸c˜oes acima.

(b) Mostre que A´e um anel n˜ao-comutativo com unidade.

5. Seja F(R) ={ f : R−→R, f fun¸c˜ao }.

Para qualquer f, g ∈ F(R), as opera¸cões usuais de adi¸cão e multiplica¸cão de fun¸cões são definidas por:

(f+g)(x) =f(x) +g(x), para qualquer x∈R e (f·g)(x) =f(x)·g(x), para qualquer x∈R . (a) Mostre que com essas opera¸c˜oes F(R)´e um anel.

Copie o que foi feito no Exemplo 5, fazendo as modifica¸c˜oes convenientes.

Na verdade, vocˆe pode verificar queF(I)´e um anel, para qualquer intervaloIda reta real.

(b) Mostre que F(R)´e um anel comutativo.

(c) Mostre que F(R)´e um anel com unidade.

(11)

Propriedades elementares

Mostraremos agora algumas propriedades elementares, v´alidas em um anel, tais como: a unicidade do elemento neutro aditivo, do sim´etrico e, quando existe, do elemento neutro multiplicativo.

Proposi¸c˜ao 1 (Unicidade) Seja A um anel. Ent˜ao,

(i) o elemento neutro aditivo ´e ´unico;

(ii) o elemento neutro multiplicativo, se existe, ´e ´unico;

(iii) o simétrico é único.

Demonstra¸c˜ao:

(i): Sejamθ eθ^′ elementos neutros aditivos do anel A. Ent˜ao, θ=θ^′+θ=θ^′,

onde a primeira igualdade segue do fato deθ^′ ser elemento neutro da adi¸c˜ao e a segunda, de θser elemento neutro da adi¸c˜ao.

Logo, θ=θ^′ e o elemento neutro aditivo ´e ´unico.

(ii): SejaA um anel com unidades e e e^′. Ent˜ao, e=e^′·e=e^′,

onde a primeira igualdade segue do fato dee^′ ser unidade e a segunda, de e ser unidade.

Logo, e=e^′ e o elemento neutro multiplicativo ´e ´unico.

(iii) Sejama^′ ∈A ea^′′ ∈Asim´etricos de a∈A.

Ent˜ao, θ=a+a^′′, θ=a^′+a e

a^′ =a^′+θ=a^′+ (a+a^′′) = (a^′+a) +a^′′=θ+a^′′=a^′′, onde na terceira igualdade usamos a associatividade da adi¸c˜ao.

Logo, o simétrico é único.

Pela unicidade do elemento neutro aditivo, do sim´etrico e do elemento neutro multiplicativo (se existe), daqui por diante, denotaremos num anelA:

• o elemento neutro da adi¸c˜ao pelo s´ımbolo 0;

(12)

• o sim´etrico de a pelo s´ımbolo −a;

• a unidade ou elemento neutro multiplicativo, se existe, pelo s´ımbolo 1.

Al´em disso, escrevemos

a−b=a+ (−b),

e chamamos desubtra¸c˜ao.

A subtra¸cão é a adi¸cão com o simétrico.

As seguintes propriedades s˜ao muito ´uteis e importantes.

Proposi¸c˜ao 2 (Outras propriedades)

SejaA um anel. Ent˜ao, para quaisquer a,b ec∈A, temos:

(i)a·0=0e 0·a=0;

(ii) −(a·b) = (−a)·b=a·(−b);

(iii) a·(b−c) =a·b−a·c e (b−c)·a=b·a−c·a;

(iv) se A´e um anel com unidade, ent˜ao (−1)·a= −a=a·(−1).

Demonstra¸c˜ao:

Lembre que . . . Em um anelAa multiplica¸c˜ao nem sempre ´e comutativa.

(i): Como 0 = 0+0, multiplicamos `a esquerda, ambos os membros dessa igualdade, pelo elemento a, e usamos a distributividade (AM), obtendo

a·0=a·(0+0) = a·0+a·0,

que ´e equivalente a a·0=a·0+a·0.

Somando o sim´etrico −(a·0)dea·0a ambos os membros da igualdade acima e usando em (1) a propriedade associativa da adi¸c˜ao (A1), temos:

0=a·0−a·0 = (a·0+a·0) −a·0

(1)= a·0+ (a·0−a·0)

= a·0+0

= a·0,

Multiplicando pora`a direita, tomando o sim´etrico

−(0·a)de0·ae fazendo as modifica¸c˜oes convenientes, mostre que0·a=0.

donde conclu´ımos que 0=a·0.

(ii) Vamos mostrar que −(a·b) = (−a)·b.

Como 0 =a+ (−a), multiplicando `a direita ambos os membros dessa igualdade porb, usando (i) e a distributividade AM, obtemos:

0=0·b = (a+ (−a))·b

= a·b+ (−a)·b

Fa¸ca as modifica¸c˜oes convenientes para demonstrar que

−(a·b) =a·(−b).

A igualdade acima significa que (−a)·b ´e o sim´etrico dea·b.

(13)

Logo, −(a·b) = (−a)·b.

(iii): Vamos demonstrar a primeira igualdade e deixamos a segunda para vocˆe tentar, fazendo as modifica¸c˜oes convenientes.

a·(b−c) ⁽¹⁾= a·(b+ (−c))

(2)= a·b+a·(−c)

(3)= a·b−a·c.

Em (1) usamos a defini¸c˜ao de subtra¸c˜ao, em (2), a distributividade AM e em (3), o item (ii).

(iv) Seja A um anel com unidade 1. Ent˜ao, 0= 1+ (−1). Multiplicando `a direita ambos os membros dessa igualdade por a, usando (i) e a distributividade, obtemos:

O s´ımbolo−1deve ser lido como ”o sim´etrico da unidade”.

0=0·a= (1+ (−1))·a=1·a+ (−1)·a=a+ (−1)·a,

significando que(−1)·aé o simétrico dea. Como denotamos o simétrico de apor −a, da unicidade do simétrico, temos −a= (−1)·a.

A igualdade−a=a·(−1)é análoga e você deve tentar fazer repetindo a idéia acima, mas fazendo a multiplica¸cão pora à esquerda.

Vimos na Se¸cão anterior que há anéis sem unidade.

Quando um anel A tem unidade, escrevemos a sua unidade com o s´ımbolo 1, propositadamente, diferente do s´ımbolo 0 do elemento neutro aditivo. Por quˆe?

Suponhamos que no anel A temos 1=0. A igualdade ao lado deve ser lida como ”os elementos neutros aditivo e

multiplicativo s˜ao iguais”.

Ent˜ao, para todo a∈A, temos

a=a·1=a·0=0,

onde a primeira igualdade é conseqüência de 1 ser o elemento neutro multiplicativo e a última, do item (i) da Proposi¸cão 2. Logo, A={ 0 }.

N˜ao tem a menor gra¸ca estudar esse anel.

Portanto, quando tratamos, teoricamente, de anéis com unidade supo- mos sempre que os elementos neutros aditivo e multiplicativo são diferentes, isto é,16=0.

Defini¸c˜ao 5 (Divisores de zero)

Seja A um anel. O elemento não-nulo a ∈ A é um divisor de zero se, e somente se, existe um elemento não-nulob∈Atal que a·b=0oub·a=0.

Exemplo 9

a. No anel F(I), onde I = (−1, 1), s˜ao divisores de zero as fun¸c˜oes f, g:I−→R definidas por

(14)

f(x) =

1, sex∈(−1, 0)

0, sex∈[0, 1) e g(x) =

0, sex∈(−1, 0) 2, sex∈[0, 1)

f·g=0, poisf(x)·g(x) =0, para todox∈(−1, 1).

b. No anel M2×2(R) s˜ao divisores de zero as seguintes matrizes

X= 1 0 0 0

!

e Y = 0 0

0 1

!

Os an´eis comutativos com unidade sem divisores de zero s˜ao chamados de dom´ınios.

Defini¸c˜ao 6 (Dom´ınio)

SejaA um anel comutativo com unidade. A´e um dom´ıniose, e somente se, tem a propriedade:

M4 se a·b=0, ent˜ao a=0 ou b=0.

Observamos que a propriedade M4´e equivalente a:

SejamPeQpropriedades e

∼Pe∼Q, respectivamente, suas nega¸c˜oes. Ent˜ao, P=⇒Q

´

e equivalente a

∼Q=⇒∼P.

M4^′ se a6=0 eb6=0, ent˜ao a·b6=0.

Exemplo 10

O anel dos números inteiros Zé um dom´ınio, pois o produto de dois inteiros não-nulos é um inteiro não-nulo.

Proposi¸c˜ao 3 (Lei do cancelamento)

SejaA um dom´ınio. Se a·b=a·ccom a6=0, ent˜ao b=c.

Demonstra¸cão: Se a·b=a·c, então somando −a·b a ambos os membros dessa igualdade, obtemos0=a·b−a·b=a·c−a·b=a·(c−b). Como a6=0, pela propriedade M4, 0=c−b. Somandob, a essa última igualdade, temos b=0+b= (c−b) +b⁽¹⁾= c+ (−b+b) =c+0=c.

Em (1) usamos a propriedade associativa da adi¸c˜ao (A1).

Defini¸c˜ao 7 (Elemento invert´ıvel)

Seja A um anel com unidade. Um elemento a ∈ A ´e dito invert´ıvel se, e somente se, existe um elemento a^′ ∈A, tal que a·a^′ =a^′·a=1.

Nesse caso, dizemos que a^′ ´e inversode a ea´e inversode a^′. Exemplo 11

No anelM2×2(Z)das matrizes 2por 2 com coeficientes no anel dos inteiros, a matrizX= 2 3

1 2

!

´e invert´ıvel e X^′ = 2 −3

−1 2

!

´e seu inverso, pois verificamos, facilmente, que X·X^′ =X^′ ·X=I.

Volte ao Exerc´ıcio 4 da Se¸c˜ao anterior. Nesse anel, a unidade, conhecida como matriz identidade, ´e

I= 1 0 0 1

!

(15)

Exemplo 12

Consideremos o anel comutativo com unidadeZ[√

2]do Exerc´ıcio 2, da Se¸c˜ao anterior. O inverso de1+√

2´e−1+√ 2, pois

(1+√

2)(−1+√

2) = (−1+√

2)(1+√

2) = 1.

Exemplo 13

Os elementos invert´ıveis do anel Zs˜ao 1 e−1.

Proposi¸c˜ao 4 (Unicidade do inverso)

Sejam A um anel com unidade ea∈A. Se a ´e invert´ıvel, ent˜ao seu inverso

´e ´unico.

Demonstra¸c˜ao: Digamos queb e csejam inversos de a, isto ´e, a·b=b·a=1 e a·c=c·a=1.

Ent˜ao,

Em (1) usamos que a multiplica¸c˜ao ´e associativa (M1).

b=b·1=b·(a·c)⁽¹⁾= (b·a)·c=1·c=c.

Da unicidade do inverso no anel A, costumamos denotar o inverso de apor a⁻¹.

SejaB=Mn×n(A), ondeA

´

e um anel comutativo com unidade. Então,Bé um anel com unidade e, para qualquerX∈B, temos X·adj(X) =adj(X)·X= det(X)In, onde adj(X)é a adjunta clássica deX. Além disso,Xé invert´ıvel se, e somente se, det(X)é invert´ıvel emA.

Exemplo 14

a. Os elementos invert´ıveis no anel M_n×n(R) são as matrizes X com deter- minante não-nulo, isto é, det(X)6=0.

b. Os elementos invert´ıveis no anel Mn×n(Z) s˜ao as matrizes X com deter- minante invert´ıvel emZ, isto ´e, det(X)∈{−1, 1}.

c. Todo número racional não-nulo é invert´ıvel.

d. Todo número real não-nulo é invert´ıvel.

Defini¸c˜ao 8 (Corpo)

Um anel comutativo com unidade é chamado decorpose, e somente se, todo elemento não-nulo é invert´ıvel.

Exemplo 15

Q, R e C s˜ao exemplos de corpos.

Defini¸c˜ao 9 (Subanel)

Um subconjunto não-vazioBde um anel Aé um subanelde Ase, e somente se, Bé um anel com as opera¸cões de A.

(16)

Exemplo 16

a. Pelo exerc´ıcio 1 da se¸c˜ao anterior, nZ´e um subanel de Z.

b. Pelo exerc´ıcio 2 da se¸c˜ao anterior, Z[√

2] ´e um subanel de R.

c. Pelo exerc´ıcio 3 da se¸c˜ao anterior, Z[i]´e um subanel de C.

d. Pelo exerc´ıcio 4 da se¸c˜ao anterior, M_2×2(Z)´e um subanel de M_2×2(R).

Proposi¸c˜ao 5

Um subconjunto n˜ao-vazioBde um anel A´e umsubanel deAse, e somente se,

(i) se a, b∈B, ent˜ao a+b∈B;

(ii) se a, b∈B, ent˜ao a·b∈B;

(iii) 0A∈B;

(iv) se b∈B, ent˜ao −b∈B.

Demonstra¸cão : Suponhamos queBé um subanel deA. Então, as opera¸cões de A estão fechadas em B e logo, (i) e (ii) são válidas; além disso, todo elemento de B tem simétrico em B e vale (iv). Por outro lado, tomando b∈B, por (iv), −b∈B e, por (i),0A=b+ (−b)∈B. Logo, 0B=0A∈B.

Reciprocamente, suponhamos v´alidas as propriedades (i) a (iv) em B.

Logo, as opera¸cões de A estão fechadas em B e valem A3 e A4. As propriedades A1, A2, M1 e AM valem em B porque são válidas em A e B ⊂ A.

Portanto, B´e um anel com as opera¸c˜oes de A.

Exemplo 17 Z[√

3]´e um subanel de R.

De fato, sejama, b, c, d∈Z. Então, com a adi¸cão e multiplica¸cão de números reais, temos:

(a+b√

3) + (c+d√

3)⁽¹⁾= a+c+b√

3+d√

3⁽²⁾= (a+c) + (b+d)√ 3;

Em (1) usamos A1 e A2 e em (2), A1 e AM do anelR.

Em (3) usamos AM, M2 e

em (4), A2 e A1 do anelR. (a+b√

3)(c+d√

3) ⁽³⁾= a·c+a·d√

3+b·c√

3+3b·d

(4)= (a·c+3b·d) + (a·d+b·c)√ 3.

Al´em disso, a+b√

3=0, a, b∈Zse, e somente se, a=b=0 e

−(a+b√

3) = (−a) + (−b)√

3∈Z[√

3], para quaisquer a, b∈Z.

Defini¸c˜ao 10 (Subcorpo)

Sejam K e L corpos, com K ⊂ L. Dizemos que K é um subcorpo de L se, e somente se, Ké um corpo com as opera¸cões de L.

(17)

Exemplo 18

(1)Q´e um subcorpo de R.

(2)R´e um subcorpo de C. (3)Q´e um subcorpo de Q(√

2).

(4)Q(√

2)´e um subcorpo de R. (5)Q(i) ´e um subcorpo de C.

Veja os exerc´ıcios 12 e 13, item (a)

Agora, para cada dom´ınio D vamos construir um corpo K, chamado corpo de fra¸c˜oes deD, tal que

(i) D⊂K

(ii) as opera¸cões de adi¸cão e multiplica¸cão de Dsão as de K.

(iii) se L´e um corpo contendo D como subanel, ent˜aoK⊂L.

As condi¸cões acima significam que todo dom´ınio D é subanel de um corpo e o menor corpo com as propriedades (i) e (ii) acima é o corpo de fra¸cões deD.

Para isto, consideramos o conjunto

S=D×D\{0}={(a, b) ; a, b∈Deb6=0}. Para (a, b),(c, d)∈S, definimos

(a, b)∼(c, d)⇐⇒a·d=b·c.

Proposi¸c˜ao 6

A rela¸cão binária acima é uma rela¸cão de equivalência em S.

Demonstra¸c˜ao: De fato, para todo (a, b) ∈ S, temos a ·b = b· a, logo (a, b)∼(a, b).

Suponhamos que (a, b)∼(c, d). Ent˜ao,a·d=b·c e d·a^M2= a·d=b·c^M2= c·b. Logo, (c, d)∼(a, b).

Suponhamos que (a, b) ∼ (c, d) e (c, d) ∼ (e, f). Ent˜ao, a·d ⁽¹⁾= b·c e c·f ⁽²⁾= d·e. Multiplicando a igualdade (1) por f e a igualdade (2) por b, obtemos a·d·f = b·c·f = b·d·e. Pelas propriedades M2 e M1 da multiplica¸c˜ao em D, temos d·(a·f) = d·(b·e). Como d 6=0, pela lei do cancelamento em D, temosa·f=b·e. Portanto,(a, b)∼(e, f).

(18)

Consideremos o conjunto quociente K=S/∼. Ent˜ao, K=D×D\{0}/∼={(a, b) ; (a, b)∈D×D\{0}}.

Denotamos por â_b a classe de equivalência de (a, b), isto é, â_b= (a, b).

Desta maneira,

a

b = (a, b) = (c, d) = _d^c ⇐⇒(a, b)∼(c, d)⇐⇒a·d=b·c. K=_a

b; a, b∈Deb6=0 , onde ^a_b = _d^c se, e somente se, a·d=b·c.

Chamamos o elemento â_b deK defra¸cão ea eb6=0 em D, respectivamente, denumerador e denominadorda fra¸cão.

Podemos dar a Kuma estrutura de corpo.

Proposi¸c˜ao 7 (Corpo de fra¸c˜oes de um dom´ınio D) SejaK=_a

b ; a, b∈Deb6=0 com as opera¸c˜oes

a

b+_d^c = â·d+b_b_·d^·c e â_b· _d^c = _b·dâ·c,

onde no numerador e no denominador as opera¸c˜oes s˜ao as do dom´ınio D.

Ent˜ao, valem as seguintes propriedades:

(i)K ´e um corpo,

(ii) D´e um subanel de K,

(iii) seL ´e um corpo contendo D como subanel, ent˜ao K⊂L.

O corpo K é chamado corpo de fra¸cões do dom´ınio D e, pelas propriedades (iii) e (ii), é o menor corpo contendoD como subanel.

Demonstra¸c˜ao:

(i) Primeiramente, precisamos mostrar que a soma e o produto independem do representante da classe, isto é, que as opera¸cões estão bem definidas.

De fato, suponhamos que â_b= â_b^′′ e ^c_d= ^c_d^′′. Então, a·b^′ ⁽¹⁾=b·a^′, c·d^′ ⁽²⁾= d·c^′ e

N˜ao esque¸ca que todo dom´ınio ´e um anel comutativo com unidade.

Em (3) usamos AM, M2, M1. Em (4) usamos M2, (1) e (2). Em (5) usamos M2, M1, AM. Em (6) usamos M2 e M1. Em (7) usamos M2, (1) e (2). Em (8) usamos M2.

b^′ ·d^′·(a·d+b·c) ⁽³⁾= (b^′·a)·(d^′·d) + (b^′·b)·(d^′·c)

(4)= (a^′·b)·(d^′·d) + (b^′·b)·(c^′·d)

(5)= b·d·(a^′·d^′+b^′·c^′). Logo, ^a·d_b^+b_·d^·c = ^a^′^·d_b^′′^+b·d^′^′^·c^′.

(a·c)·(b^′·d^′) ⁽⁶⁾= (a·b^′)·(c·d^′)

(7)= (a^′·b)·(c^′·d)

(8)= (b·d)·(a^′·c^′)

(19)

Logo, _b^a·c_·d = _b^a^′′·d^·c^′^′ ˙.

Agora devemos mostrar: A1, A2, A3, A4, AM, M1, M2, M3, concluindo queKé um anel comutativo com unidade. Observe que as propriedades das opera¸cões de K são induzidas das propriedades das opera¸cões deD.

Faremos algumas delas.

A2: â_b+_d^c = â·d+b_b·d^·c = ^c·b+d·a_d_·b = _d^c +â_b Êm^Dvalem M2 e A2.

A3: O elemento neutro da adi¸cão é ⁰₁, pois para todo â_b∈K temos

0

1 +â_b = ^0·b+1·a_1·b = â_b. M1: â_b· ^c_d

· ê_f = â·c_b_·d· ê_f = ^(a·c)·e_(b_·d_)·f = _b·(â^·(c·e)_d·f) = â_b·_d·f^c·e = â_b _d^c ·ê_f

M3: O elemento neutro multiplicativo, a unidade de K, ´e ¹₁, pois para todo

a

b∈K temos

1

1· ^ab= ^1·a_1·b= ^a_b

Falta verificar as

propriedades: A1, A4 e M2.

Verifique as outras propriedades.

Observe que ^a_b = ⁰₁ se, e somente se, a=a·1=b·0=0.

Assim, todoâ_b 6= ⁰₁é invert´ıvel e^b_a ∈Ké seu inverso, pois â_b·^ba = â·b_b·a = ¹₁. (ii) Observamos que â₁ = ^b₁ ∈K se, e somente se,a=b.

Podemos ver D como um subconjunto de K, identificando cada a∈D com ^a₁ ∈K. Neste caso, D={^a₁ ; a∈D} e

a

1 + ^b₁ = â·1+b_1·1^·1 = â+b₁ , â₁ +^−a₁ = ⁰₁ e â₁ · ^b1 = â_1·1^·b= â·b₁ .

A segunda igualdade significa que

−^a₁ =^−a₁ .

Logo, D´e um subanel de K.

(iii) Se L é um corpo que contém D como subanel, então para quaisquer a, b∈D com b6=0 temos: a·b⁻¹∈L e

a·b⁻¹=c·d⁻¹se, e somente se,a·d= (a·b⁻¹)(b·d) = (c·d⁻¹)(b·d) =b·c.

Logo, K⊂L. .

Veja os Exerc´ıcios 12 e 13, item (d).

Exemplo 19

(1) O corpo dos n´umeros racionais Q=_a

b ; a, b∈Zeb6=0 ´e o corpo de fra¸c˜oes do dom´ınio Z.

(2) O corpo Q(√

2)´e o corpo de fra¸c˜oes do dom´ınio Z[√ 2].

(3) O corpo Q(i)´e o corpo de fra¸c˜oes do dom´ınio Z[i].

(20)

Exerc´ıcios

1. Mostre que num anel A valem as seguintes propriedades:

(a) Se a+c=b+c, ent˜ao a=b.

(b) Se a+b=a para algum a, ent˜ao b=0.

(c) −(a+b) = −a−b.

(d) Se Atem unidade 1, ent˜ao −1 ´e invert´ıvel.

2. Seja A um dom´ınio. Mostre que valem as seguintes propriedades:

(a) a²=0 se, e somente se,a=0.

(b) se a·b=0 eb6=0, ent˜aoa=0.

(c) a²=a se, e somente se,a=0 oua=1.

3. Mostre que todo corpo ´e um dom´ınio.

4. Sejam A eB anéis eA×B={(a, b) ; a∈A, b∈B}. (a) Mostre que A×Bé um anel com as opera¸cões:

(a, b) + (c, d) = (a+c, b+d) e (a, b)·(c, d) = (a·c, b·d), onde na primeira coordenada a adi¸cão e a multiplica¸cão são do anel A e na segunda coordenada, do anel B.

(b) Mostre que se A e B são anéis com unidades 1A e 1B, respectivamente, então A×B é anel com unidade.

(c) Mostre que A×Btem divisores de zero.

(d) Determine os elementos invert´ıveis de A×B, se A e B s˜ao an´eis com unidades 1Ae 1B, respectivamente.

5. SejaAum anel com unidade. DefinimosA^∗ ={a∈A; a´e invert´ıvel }. Para cada anelA determine A^∗:

(a) A=M2×2(Z).

(b) A=Z×Z.

(c) A=Z[i] ={a+bi∈C; a, b∈Z}.

(d) A=Q.

6. Sejam A=Z×Z e B=Z×{0}. Mostre que:

(21)

(a) Aé um anel comutativo com unidade e não é um dom´ınio.

(b) B´e um subanel de A.

(c) B´e um dom´ınio e 1B6=1A.

7. Mostre que se A é um dom´ınio e B é um subanel de A tal que B tem unidade 1B, então 1B=1A.

8. Mostre que B´e um subanel do anel A:

(a) A=Q e B= x

2ⁿ; x∈Zen=0, 1, 2, . . . .

(b) A=F(R) eB=C(R) ={f∈ F(R) ;f é cont´ınua}. (c) A=C(R) eB={f∈ C(R) ; f é derivável}.

9. Sejam Aum anel, a ∈A e B={x∈A; x·a=0}.

(a) Mostre que B´e um subanel de A.

(b) Se A=Z ea∈Z ´e n˜ao-nulo, determineB.

(c) Se A=Z×Z ea= (b, 0) com b6=0, determine B.

(d) Se A=M2×2(Z) e a= 1 1 0 0

!

, determine B.

10. Mostre que todo n´umero racional pode ser representado por uma fra¸c˜ao com denominador positivo.

11. Seja Q(√

3) ={x+y√

3;x, y∈Q}. Mostre que:

(a) Q(√

3)´e um subanel de R.

(b) Q(√

3)´e um corpo.

(c) Z[√

3]´e um subanel de Q(√ 3).

(d) Q(√

3)´e o corpo de fra¸c˜oes de Z[√ 3].

12. Seja Q(√

2) ={x+y√

2;x, y∈Q}. Mostre que:

(a) Q(√

2)´e um subanel de R.

(b) Q(√

2)´e um corpo.

(c) Z[√

2]´e um subanel de Q(√ 2).

(d) Q(√

2)´e o corpo de fra¸c˜oes de Z[√ 2].

13. Seja Q(i) = {x+yi; x, y∈Q}. Mostre que:

(22)

(a) Q(i)´e um subanel deC.

(b) Q(i)´e um corpo.

(c) Z[i]´e um subanel deQ(i).

(d) Q(i)´e o corpo de fra¸c˜oes de Z[i].

(23)

Polinˆ omios com coeficientes em um anel comutativo com unidade

Nesta se¸cão definiremos o anel dos polinômios com coeficientes em um anel comutativo com unidade. Veremos que as propriedades das opera¸cões dos polinômios estão relacionadas diretamente com as propriedades da adi¸cão e multiplica¸cão do anel, e aprenderemos a efetuá-las na prática.

Vocês estão familiarizados com expressões do tipo ax² +bx + c e ax+b, sendo a, b e c números reais fixados e a 6=0, sob o ponto de vista geométrico. Estas expressões sãopolinômios com coeficientes reais e vão ser estudadas agora sob o ponto de vista algébrico, isto é, essas expressões serão manipuladas, usando opera¸cões de adi¸cão e multiplica¸cão.

Seja A um anel comutativo com unidade 1A. Seja x um s´ımbolo n˜ao pertencente ao anel A, chamado uma indeterminada ou vari´avel sobre A.

Para cada número natural j ≥ 1, designamos a j-ésima potência de x porx^j e escrevemos x¹=x.

Defini¸c˜ao 11 (Polinˆomio)

Umpolinômio com coeficientes em Aé uma expressão do tipo

O s´ımboloP

lˆe-se como somat´orio ou soma e convencionamos escrever a0x⁰=a0.

f(x) =a0+a1x+a2x²+· · ·+anxⁿ= Xn

j=0

ajx^j, onde n´e um n´umero natural e a_j∈A, para0≤j≤n.

Para 0 ≤ j ≤ n, os elementos aj são chamados de coeficientes, as parcelas ajx^j de termos e os termos ajx^j tais que aj 6= 0 de monômios de grau j do polinômio f(x). O coeficiente a0 é chamado de termo constante.

Convencionamos:

(a)Para cada n´umero naturaln, chamar0(x) =0+0x+· · ·+0xⁿdepolinˆomio identicamente nuloe escrever 0(x) =0.

(b)Chamar f(x) =a0 depolinˆomio constante.

(c) Escrever o polinômio f(x) com as j-ésimas potências de x em ordem crescente ou em ordem decrescente, a saber,f(x) =a0+a1x+a2x²+· · ·+anxⁿ ouf(x) =anxⁿ+· · ·+a2x²+a1x+a0.

(d) Não escrever o termo a_jx^j sempre que a_j = 0, quando houver algum termo não-nulo no polinômio.

(24)

Exemplo 20

a. Dados os n´umeros reais a0 = ³

2, a1 = −1, a2 = √

2 e a3 = 1, temos f(x) = ³

2 −x+√

2x²+x³∈R[x].

b. Dados os n´umeros reais a0 = 2, a1 = −√

5, a2 = 0, a3 = −π, a4 = 0 ea5 = −2

,

4, temos g(x) = 2−√

5x−πx³−2

,

4 x⁵∈R[x].

c. Dados os n´umeros reais a0 = 0, a1 = −1, a2 = 3, a3 = 0 e a4 = −3, temos h(x) = −x+3x²−3x⁴∈R[x].

d. Dados os n´umeros reais a0 = 5, a1 = −1 e a2 = 3, temos r(x) = 5−x+3x²∈R[x].

e. Dados os n´umeros reais a₀ = 2, a₁ = −1, a₂ = 3, a₃ = 0 e a₄ = −3, temos s(x) =2−x+3x²−3x⁴∈R[x].

f. Dados os n´umeros reais a0 = 2, a1 = −1, a2 = 3, a3 = 0, a4 = −3 ea5 =a6=0, temost(x) = 2−x+3x²−3x⁴∈R[x].

g. As express˜oes u(x) = x⁻²+3√

x+x⁵ e v(x) = 6√

x³−4x²+5 não são polinômios porque nem todos os expoentes da variável x são números naturais.

O polinômio f(x) = a0+a1x+· · ·+anxⁿ ∈ A[x] pode também ser escrito comof(x) =a0+a1x+· · ·+anxⁿ+0xⁿ⁺¹+0xⁿ⁺²+· · ·+0x^n+m, para todo número naturalm≥1. Portanto, quando comparamos dois polinômios f(x), g(x)∈A[x], é poss´ıvel assumir que os termos de ambos têm as mesmas potências de x.

Igualdade de polinˆomios:

Os polinˆomios f(x) = a0 + a1x¹ + a2x² + · · · + anxⁿ ∈ A[x] e g(x) =b0+b1x¹+b2x²+· · ·+bnxⁿ∈A[x] s˜ao iguais se, e somente se, aj=bj para todoj, tal que 0≤j≤n. Escrevemos f(x) = g(x).

Isto é, f(x) e g(x) são iguais apenas quando todos os coeficientes das correspondentes potências de x em f(x) e g(x) são iguais.

Observe que, se f(x) eg(x)não são iguais, então existe algum número naturalj, com 0≤j≤n eaj6=bj. Neste caso, dizemos que f(x)e g(x) são diferentes e escrevemos f(x)6=g(x).

No Exemplo 20, os coeficientes dos termos constantes dos polinômios h(x) = −x +3x² −3x⁴ e t(x) = 2 −x +3x² −3x⁴ são diferentes; logo h(x) 6= t(x). Enquanto s(x) = t(x), pois todos os coeficientes das mesmas potências de x em s(x) et(x) são iguais.

(25)

Exemplo 21

Os polinômiosf(x) =x⁴−x⁵+4x²+3−2x e g(x) = 3+4x²−2x−x⁵+x⁴ são iguais, porque os seus coeficientes ajda j-ésima potência x^j são: a0=3, a1= −2, a2=4, a3 =0, a4 =1 e a5= −1.

Escrevendo os polinômios com as potências dex em ordem crescente, visua- lizamos imediatamente a igualdade dos polinômios. Temos

f(x) =g(x) =3−2x+4x²+x⁴−x⁵.

O s´ımbolo6≡lˆe-se como n˜ao

´ e idˆentico.

O s´ımbolo grau(f(x))lˆe-se como grau de f dex.

Em todo polinômio não identicamente nulo,f(x)6≡0, algum coeficiente deve ser diferente de zero, então há um maior número natural n, tal que an 6= 0. Definimos o grau de f(x) por grau(f(x)) = n e, nesse caso, an é chamado de coeficiente l´ıder def(x).

Os polinômios de grau ncom coeficiente l´ıder an=1 são chamados de polinômiosmônicos.

Importante: N˜ao definimos o grau do polinˆomio identicamente nulo,0(x)≡0.

Exemplo 22

O polinômio constante w(x) = 5 não é identicamente nulo e grau(w(x)) = 0. Volte ao Exemplo 20 e observe que grau(f(x)) = 3, grau(g(x)) = 5, grau(h(x)) =4, grau(r(x)) =2, grau(s(x)) =4, grau(t(x)) =4 e que f(x)é o único polinômio mônico.

Note que:

grau(f(x)) = 0 se, e somente se, f(x) =a6=0, a∈A.

Denotamos o conjunto de todos os polinˆomios na vari´avel x com coeficientes no anel comutativo com unidade 1Apor A[x].

A[x] ={f(x) = a₀+a₁x+· · ·+a_nxⁿ | n∈N, a_j∈A, 0≤j≤n}. No conjuntoA[x]estão definidas as opera¸cões de adi¸cão e multiplica¸cão de polinômios.

Defini¸cão 12 (Adi¸cão de polinômios)

Definimos a adi¸c˜ao dos polinˆomios f(x) = Xn

j=0

ajx^j e g(x) = Xn

j=0

bjx^j de A[x] por

f(x) +g(x) = Xn

j=0

cjx^j, ondecj=aj+bj, para0≤j≤n.

O resultado da adi¸cão de dois polinômios é chamado de soma.

(26)

Exemplo 23

Sejamf(x) =4x³−3x²+4x+5,g(x) =2x²−5x−2eh(x) = −4x³+5x²−3x+1 em Z[x]. Ent˜ao,

Lembre que a−b=a+ (−b), para quaisqueraebno anel

A.

f(x) +g(x) = (4+0)x³+ (−3+2)x²+ (4+ (−5))x+ (5+ (−2))

= 4x³−x²−x+3,

f(x) +h(x) = (4−4)x³+ (−3+5)x²+ (4−3)x+ (5+1)

= 0x³+2x²+x+6

= 2x²+x+6.

No exemplo anterior, observamos que

grau(f(x)) =grau(h(x)) =3e grau(f(x) +h(x)) =2, enquanto grau(g(x)) = 2 e grau(f(x) +g(x)) = 3= m´aximo{grau(f(x)), grau(g(x))}.

Na adi¸c˜ao de polinˆomios vale a seguinte propriedade do grau.

Propriedade do grau: (Adi¸c˜ao de polinˆomios)

Sejam f(x) = Xn

j=0

a_jx^j, com a_n6=0, eg(x) = Xm

j=0

b_jx^j, com b_m6=0.

Se f(x) +g(x)6≡0, ent˜ao

O s´ımbolo max significa o maior ou o m´aximo dos

n´umeros. grau(f(x) +g(x))≤max{grau(f(x)),grau(g(x))}=max{n, m} valendo a igualdade sempre que grau(f(x)) =n6=m=grau(g(x)).

A adi¸cão de polinômios tem diversas propriedades, que são conseqüência das propriedades da adi¸cão no anel A, conforme veremos a seguir.

Propriedades da adi¸c˜ao:

Sejam f(x) = Xn

j=0

a_jx^j, g(x) = Xn

j=0

b_jx^j e h(x) = Xn

j=0

c_jx^j em A[x].

(A1) Associativa: (f(x) +g(x)) +h(x) =f(x) + (g(x) +h(x)),

Lembre que a adi¸c˜ao no anelA´e associativa (A1) e comutativa (A2).

pois para quaisquer aj, bj, cj ∈ A e 0 ≤ j ≤ n, temos que (aj+bj) +cj=aj+ (bj+cj).

(A2) Comutativa: f(x) +g(x) =g(x) +f(x),

pois para quaisquer aj, bj∈A e0≤j≤n, temos aj+bj=bj+aj. (A3) Existˆencia de elemento neutro:

Como o polinˆomio identicamente nulo0= Xn

j=0

0x^j, ent˜aof(x) =0+f(x), pois para qualquer a_j∈A, 0≤j≤n, temosa_j=0+a_j.

Lembre que no anelA 0´e o elemento neutro aditivo.

(27)

(A4) Existˆencia de sim´etrico:

Dadof(x) = Xn

j=0

ajx^j, o polinˆomio−f(x) = Xn

j=0

(−a_j)x^j´e osim´etricode f(x), sendo

f(x) + (−f(x)) = Xn

j=0

0x^j,

Lembre que no anelA

−a´e o sim´etrico dea.

poisaj+ (−aj) = 0 para qualquer aj∈A, 0≤j≤n.

Exemplo 24

Consideremos os polinˆomiosf(x) =4x³−3x²+4x+5,g(x) =2x²−5x−2 eh(x) = −4x³+5x²−3x+1 do Exemplo 23.

a. No Exemplo 23 determinamos f(x) +g(x) =4x³−x²−x+3.

Assim, (f(x) +g(x)) +h(x) = (4x³−x²−x+3) + (−4x³+5x²−3x+1)

= (4−4)x³+(−1+5)x²+(−1−3)x+(3+1) =0x³+4x²−4x+4=4x²−4x+4.

b. A adi¸cão de polinômios pode ser feita facilmente se escrevemos os po- linômios numa tabela, onde nas primeiras linhas estão cada um dos po- linômios com as potências x^j em ordem decrescente, e na última linha o resultado da adi¸cão, de maneira similar à adi¸cão de números reais. Calcula- remosg(x) +h(x) desse modo.

2x² − 5x − 2 (+) − 4x³ + 5x² − 3x + 1

− 4x³ + 7x² − 8x − 1 Nesse caso,g(x) +h(x) = −4x³+7x²−8x−1.

c. Podemos usar este processo para calcular a soma de m polinômios, construindo uma tabela com m +1 linhas e tantas colunas quantas forem necessárias. Por exemplo, para calcular f(x) + g(x) +h(x) a tabela terá quatro linhas

4x³ − 3x² + 4x + 5 2x² − 5x − 2 (+) − 4x³ + 5x² − 3x + 1 0x³ + 4x² − 4x + 4 Logo, f(x) +g(x) +h(x) =4x²−4x+4.

Defini¸cão 13 (Multiplica¸cão de polinômios)

Definimos amultiplica¸c˜aodos polinˆomiosf(x) = Xn

j=0

ajx^j e g(x) = Xm

j=0

bjx^j em A[x] por

(28)

f(x)·g(x) =

n+mX

j=0

c_jx^j

O resultado da multiplica¸cão de dois polinômios é chamado de produto.

sendo

c₀ =a₀·b₀

c₁ =a₀·b₁+a₁·b₀

c₂ =a₀·b₂+a₁·b₁+a₂·b₀ ...

cj =a0·bj+a1·bj−1+· · ·+aj·b0 = X

λ+µ=j

aλ·bµ

...

cn+m =a_n·b_m.

Propriedade do grau: (Multiplica¸c˜ao de polinˆomios)

Sejam A um dom´ınio ef(x) = Xn

j=0

ajx^j, coman6=0, e g(x) = Xm

j=0

bjx^j, com bm6=0. Ent˜ao,

Lembre que em um dom´ınio a·b=0⇐⇒a=0oub=0.

grau(f(x)·g(x)) = n+m

pois o coeficiente l´ıder de f(x)·g(x) é cn+m=an·bm6=0. A multiplica¸cão de polinômios tem as seguintes propriedades.

Propriedades da multiplica¸c˜ao:

Sejam f(x) = Xn

j=0

ajx^j, g(x) = Xm

j=0

bjx^j e h(x) = Xr

j=0

cjx^j elementos deA[x].

(M1) Associativa: (f(x)·g(x))·h(x) =f(x)·(g(x)·h(x)). (M2) Comutativa: f(x)·g(x) =g(x)·f(x),

Lembre que no anelAa multiplica¸c˜ao ´e

associativa e comutativa. pois para todo j com 0≤j≤n+m, vale a identidade X

λ+µ=j

aµbλ= X

λ+µ=j

bλaµ. Note que, em vista da defini¸c˜ao das opera¸c˜oes:

• Para quaisquer j, k∈N, vale a identidade: x^j·x^k=x^j+k.

• Se f(x) =a e g(x) =b0+b1x+· · ·+bmx^m, ent˜ao f(x)·g(x) =a·g(x) =a·

Xm k=0

b_kx^k

!

= Xm k=0

(a·b_k)x^k

= (a·b0) + (a·b1)x+· · ·+ (a·bm)x^m,