Vejamos agora como definir o ˆangulo entre uma reta e um plano. Naturalmente, este ˆangulo dever ´a ser igual a 90o quando a reta ´e perpendicular ao plano e dever ´a ser igual a zero quando a reta est ´a contida no plano ou ´e paralela a ele. Se uma reta r ´e obl´ıqua a um plano α, definimos o ˆangulo entre r e α como o ˆangulo que r forma com sua projec¸ ˜ao ortogonal r0 sobre α.
Teorema
O ˆangulo entre uma reta r e um plano ´e igual ao menor ˆangulo formado por r e uma reta qualquer do plano.
Prova. Consideremos uma reta qualquer s contida no plano α e vamos comparar o ˆangulo θ0 formado por r e s com o ˆangulo θformado por r e α. Podemos supor que s passa pelo ponto O em que r corta α. Por um ponto P de s exterior a α tracemos a perpendicular←PQ ao plano α, Q ∈ α e a perpendicular→ ←PR `a→ reta s. Os tri ˆangulos ret ˆangulos 4OQP e 4ORP t ˆem a hipotenusa comum OP, enquanto os catetos opostos aos ˆangulos θ e θ0 s ˜ao tais que PR > PQ. Em consequ ˆencia, sen θ0 > sen θ e, assim, θ0 > θ. Al ´em disso, a igualdade s ´o ocorre quando a reta s ´e a projec¸ ˜ao ortogonal de r sobre α.
Exemplo
A figura abaixo mostra a planta do telhado de uma casa. Cada plano contendo uma porc¸ ˜ao do telhado ´e chamado de “ ´agua”; o telhado da figura, portanto, possui 4 ´aguas. Ao longo da reta de intersec¸ ˜ao de duas ´aguas corre uma calha. Sabendo que cada ´agua ´e inclinada de 30oem relac¸ ˜ao `a horizontal, qual ´e a
inclinac¸ ˜ao em relac¸ ˜ao `a horizontal da calha AM assinalada na figura?
A figura abaixo mostra uma vista em perspectiva do telhado, no qual est ˜ao representados os pontos P, Q e R, obtidos,
respectivamente, projetando o ponto M sobre as beiradas AB e AD do telhado e sobre o plano ABCD.
Os ˆangulos que as ´aguas ABM e ADMN formam com a horizontal s ˜ao iguais, respectivamente, aos ˆangulos ∠MPR e ∠MQR. Como estes ˆangulos s ˜ao ambos iguais a 30o, os tri ˆangulo ret ˆangulos 4MQR e 4MPR s ˜ao congruentes, j ´a que possuem um cateto comum MR. Assim, designando a menor dimens ˜ao do ret ˆangulo ABCD, por 2a temos:
RP = RQ = a e MR = RQtg30o=a √
3 3
O ˆangulo α que a reta←→AM forma com o plano horizontal ´e igual ao ˆangulo ∠RAM do tri ˆangulo ret ˆangulo 4MAR, do qual conhecemos os catetos MR (calculado acima) e AR (diagonal do quadrado APRQ). Assim:
tgα = MR AR = a √ 3 3 a√2 = √ 6 6 Logo, α ∼= 22o.
A Esfera
Ceratamente a figura geom ´etrica mais diretamente ligada com a noc¸ ˜ao de dist ˆancia ´e a esfera:
Definic¸ ˜ao
Asuperf´ıcie esf ´erica(ou simplesmenteesfera) de centro O e raio R ´e o conjunto dos pontos do espac¸o cuja dist ˆancia a O ´e igual a R.
A esfera ´e o an ´alogo tridimensional do c´ırculo, inclusive na ambiguidade de terminologia: a palavra esfera tanto pode ser usada para se referir `a superf´ıcie esf ´erica quanto ao s ´olido por ela determinado.
A posic¸ ˜ao de um ponto em relac¸ ˜ao a uma esfera ´e
determinada pela sua dist ˆancia ao centro da esfera. Assim, pontos cuja dist ˆancia ao centro sejamenor que,maior que, ou igualao raio s ˜ao, respectivamente,interiores,exterioresou est ˜ao sobrea superf´ıcie da esfera.
A esfera ´e o an ´alogo tridimensional do c´ırculo, inclusive na ambiguidade de terminologia: a palavra esfera tanto pode ser usada para se referir `a superf´ıcie esf ´erica quanto ao s ´olido por ela determinado.
A posic¸ ˜ao de um ponto em relac¸ ˜ao a uma esfera ´e
determinada pela sua dist ˆancia ao centro da esfera. Assim, pontos cuja dist ˆancia ao centro sejamenor que,maior que, ou igualao raio s ˜ao, respectivamente,interiores,exterioresou est ˜ao sobrea superf´ıcie da esfera.
Da mesma forma, a posic¸ ˜ao de uma reta ou plano em relac¸ ˜ao a uma esfera ´e determinada pela dist ˆancia do centro a esta reta ou plano. Quando a dist ˆancia ´e maior que o raio, temos uma reta ou plano exterior `a esfera (ou seja, sem pontos de intersec¸ ˜ao com a esfera).
Da mesma forma, a posic¸ ˜ao de uma reta ou plano em relac¸ ˜ao a uma esfera ´e determinada pela dist ˆancia do centro a esta reta ou plano. Quando a dist ˆancia ´e maior que o raio, temos uma reta ou plano exterior `a esfera (ou seja, sem pontos de intersec¸ ˜ao com a esfera).
Uma reta ou plano cuja dist ˆancia ao centro seja exatamente igual ao raio ´e tangente `a esfera; isto ´e, tem apenas um ponto em comum com a esfera. Este ponto ´e justamente o p ´e da perpendicular conduzida do centro da esfera a esta reta ou plano.
Finalmente, se a dist ˆancia ao centro ´e menor que o raio, a reta ou plano ´e secante `a esfera.
A intersec¸ ˜ao de uma reta secante com a esfera ´e um par de pontos, enquanto um plano secante corta a esfera segundo um c´ırculo. De fato, os pontos de intersec¸ ˜ao de um plano com uma esfera s ˜ao os pontos P do plano cuja dist ˆancia PO ao centro O da esfera ´e igual a seu raio R. Seja Q o p ´e da perpendicular baixada de O ao plano α.
Qualquer que seja o ponto P em α, o tri ˆangulo 4POQ ´e ret ˆangulo em Q. Logo, PO2=PQ2+OQ2e, assim, PO = R se e somente se PQ2=R2− d2, onde d = OQ ´e a dist ˆancia
de O a α. Portanto, quando d < R, os pontos de α que est ˜ao na esfera se encontram em um c´ırculo de centro Q e raio r =√R2− d2. Observe que esse raio ´e m ´aximo quando d = 0
(isto ´e, quando o plano cont ´em o centro da esfera). C´ırculos assim obtidos s ˜ao chamados dec´ırculos m ´aximosda esfera e t ˆem o mesmo centro e o mesmo raio que a esfera.
Exemplo
Calcule o raio das esferas circunscrita, inscrita e tangente `as arestas a um cubo de aresta a.
Em qualquer paralelep´ıpedo, todas as diagonais (isto ´e, os segmentos que ligam v ´ertices opostos) t ˆem um ponto comum, que ´e o ponto m ´edio de cada uma delas (basta observar que as diagonais de um paralelep´ıpedo s ˜ao, duas a duas, diagonais de paralelogramos. O ponto de intersec¸ ˜ao das diagonais ´e, na verdade, o centro de simetria do paralelep´ıpedo. Se o
paralelep´ıpedo ´e ret ˆangulo, todas as diagonais t ˆem o mesmo comprimento; logo, existe uma esfera centrada nesse ponto e que passa por todos os v ´ertices. Essa esfera ´e chamada de esfera circunscrita ao paralelep´ıpedo. No caso do cubo, o centro ´e tamb ´em equidistante das 6 faces e equidistante das 12 arestas. Logo, com o mesmo centro, existe tamb ´em uma esfera tangente `as faces (que ´e a esfera inscrita no cubo) e uma esfera tangente `as arestas. ´E f ´acil ver que os raios das esferas circunscrita, inscrita e tangente `as arestas do cubo t ˆem raios respectivamente iguais `a metade de uma diagonal, `a metade da aresta e `a metade da diagonal de uma face.
Logo, esses raios s ˜ao respectivamente: R = a √ 3 2 , r = a 2, e r 0 = a √ 2 2
Vamos aqui estudar, de uma forma geral, os s ´olidos formados porfaces, os chamados poliedros. Dizer apenas que poliedros s ˜ao s ´olidos formados por faces (partes limitadas de um plano), pode dar uma ideia do que eles sejam, mas n ˜ao serve
absolutamente como definic¸ ˜ao. Ali ´as, uma das causas da dificuldade que os matem ´aticos do passado tiveram para demonstrar teoremas sobre poliedros, estava justamente na falta de uma definic¸ ˜ao precisa do significado dessa palavra. Ainda que tomassemos a seguinte definic¸ ˜ao:
Definic¸ ˜ao
Poliedro ´e uma reuni ˜ao de um n ´umero finito de pol´ıgonos planos, onde cada lado de um desses pol´ıgonos ´e tamb ´em lado de um, e apenas um, outro pol´ıgono. Cada um desses pol´ıgonos chama-se umafacedo poliedro, cada lado comum a duas faces chama-se umaaresta do poliedro e cada v ´ertice de uma face ´e tamb ´em chamadov ´erticedo poliedro.
Esta definic¸ ˜ao permite que a seguinte figura seja classificada como poliedro:
Para evitar tal tipo de figura iremos incluir em nossa definic¸ ˜ao mais uma restric¸ ˜ao:
Definic¸ ˜ao
Poliedro ´e uma reuni ˜ao de um n ´umero finito de pol´ıgonos planos chamados faces onde:
1 Cada lado de um desses pol´ıgonos ´e tamb ´em lado de um,
e apenas um, outro pol´ıgono.
2 A intersec¸ ˜ao de duas faces quaisquer ou ´e um lado
comum, ou ´e um v ´ertice ou ´e vazia. Cada lado de um pol´ıgono, comum a exatamente duas faces, ´e chamado uma aresta do poliedro e cada v ´ertice de uma face ´e um v ´ertice do poliedro.
3 E sempre poss´ıvel ir de um ponto de uma face a um ponto´
de qualquer outra, sem passar por nenhum v ´ertice (ou seja, cruzando apenas arestas).
Todo poliedro (no sentido da definic¸ ˜ao anterior), limita uma regi ˜ao do espac¸o chamada de interior desse poliedro. Dizemos que um poliedro ´econvexose o seu interior ´e convexo. Vamos recordar o que isto significa:
Definic¸ ˜ao
Um conjunto C, do plano ou do espac¸o, diz-se convexo, quando qualquer segmento de reta que liga dois pontos de C est ´a inteiramente contido em C.
No caso dos poliedros, podemos substituir essa definic¸ ˜ao por outra equivalente, que nos ser ´a mais ´util:
Definic¸ ˜ao
Um poliedro ´e convexo se qualquer reta (n ˜ao paralela a nenhuma de suas faces) o corta em, no m ´aximo, dois pontos.