Conforme explicado na seção3.1, vamos utilizar o conceito de vega-notional para decidir qual é o tamanho da nossa exposição à variância. Essa escolha foi feita por razões intuitivas, pois os investidores preferem e estão acostumados a pensar em termos de volatilidade.
O vega-notional de cada swap de variância será de R$ 10.000,00. Portanto, nossa exposição total à cada ponto de variação na volatilidade é dada por Nvega, onde:
Nvariance =
Nvega
2√Kvar
(4.2) A metodologia utilizada para replicação de um contrato logarítmico e o apreçamento de um swap de variância, conforme já mencionado neste trabalho, é a proposta por (DEMETERFI et al., 1999).
Para a composição do portfólio que replica o payoff de um contrato logarítmico, devem haver no mínimo duas opções de venda sobre o ativo-objeto com strikes diferentes e inferiores ou igual à S∗ e duas opções de compra sobre o ativo-objeto com strikes diferentes
e superiores ou igual à S∗ . Isso é necessário dada a metodologia utilizada.
Capítulo 4. Aplicação Prática da Metodologia 46
• Uma posição vendida em NV ega 2√Kvar× 2 T× 1 S∗
contratos futuros de preço S∗ = S0e(r−q)T.
Uma posição em contratos futuros para o ativo PETR4 é montada através de contratos a termo disponíveis na BM&FBOVESPA;
• Uma posição comprada em put com strike K, para cada strike até S∗ que teve
negociação no dia da concepção da operação. O peso de cada opção será igual a metodologia estabelecida por (DEMETERFI et al., 1999) e dada pelas Equações
3.39 e 3.41 ponderadas por Nvega 2√Kvar
;
• Uma posição comprada em call com strike K, para cada strike superior à S∗ que
teve negociação no dia da concepção da operação. O peso de cada opção será igual a metodologia estabelecida por (DEMETERFI et al., 1999) e dada pelas Equações
3.38 e 3.40 ponderadas por Nvega 2√Kvar
;
Para a escolha das opções, S∗pode ser interpretado como o primeiro strike disponível
com valor equiparável ao futuro do ativo-objeto na concepção da operação. Desta forma, para as puts escolhemos os strikes com valor menor ou igual à S∗ e para as calls escolhemos
os strikes com valor maior ou igual à S∗. As puts com strikes superiores à S∗ e as calls
com strikes inferiores à S∗ foram desconsideradas.
Notamos que a replicação descrita acima é para a venda de um contrato log, ou seja, estaríamos montando uma posição comprada (BuySell = 1) em variância implícita. Logo, se desejarmos uma posição vendida (BuySell = −1) em variância, devemos fazer exatamente o oposto do portfólio replicante descrito acima, ou seja, devemos comprar os contratos futuros e vender as opções.
O payoff desse portfólio é dado pela Equação 3.48 com BuySell = 1 para uma posição comprada em variância e BuySell = −1 para uma posição vendida em variância. No instante t = 0, montamos a posição em futuros do ativo-objeto e nas opções. O custo de montar esse portfólio é dado pela Equação 3.49 multiplicada pela quantidade
N
vega 2√Kvar
.
A última etapa antes de tomarmos a decisão de iniciarmos ou não uma operação de arbitragem estatística da variância, é o calculo da variância implícita, também referida como o strike do swap ou o preço do swap.
Dado que temos o contrato log replicado, a variância implícita do swap é simples- mente calculada pela Equação 3.35.
O cálculo do preço (variância implícita) do swap de variância segue, basicamente, o portfólio replicante dado pela Equação 3.48, já que a maioria das informações necessárias vem do mesmo. Assim, as informações utilizadas no cálculo de Kvar são:
Capítulo 4. Aplicação Prática da Metodologia 47
• A variável T é calculada pela razão entre os dias úteis até o vencimento da operação e os dias úteis no ano, ou seja, DU/252;
• r é a taxa livre de risco e seu valor é dado pelo CDI do dia em que se inicia a operação. Essa taxa é mantida como constante até o final da operação;
• q é a taxa de pagamentos de dividendos (dividend yield). Calculamos a média dessa taxa durante todo o período analisado e assumimos que ela é constante;
• S∗ é preço futuro do ativo-objeto dado por S∗ = S0e(r−q)T;
• S0 é o valor à vista de uma unidade do ativo-objeto em D+0;
• ΠCP é o valor em D+0 da posição em opções de compra e venda sob o ativo-objeto.
Esses preços são obtidos dos dados fornecidos pela (BM&FBOVESPA, 2016a). Com a variância implícita do swap calculada, o próximo passo é compará-la com os níveis superior e inferior da janela de volatilidade histórica correspondente, descritos na seção 4.1.1. Esses níveis são utilizados como base para entrarmos em uma operação de arbitragem estatística (comprar ou vender a variância implícita) ou ficarmos zerado.
Vamos supor que, utilizando a Equação 3.35, obtemos uma volatilidade implícita √
Kvar = 202 para os próximos 20 dias úteis do ativo-objeto PETR4, e temos que o nível
inferior da janela de volatilidade de um mês (20 dias úteis) é de 25. Neste exemplo, devemos comprar a variância implícita, esperando que a variância realizada no decorrer da operação seja maior do que a implícita. Portanto, temos que comprar um swap de variância, e para isso, vamos seguir a estratégia dinâmica auto-financiável descrita na seção 3.2.1:
• Primeiramente para ficarmos comprado na variância implícita, temos que vender o contrato logarítmico sob o ativo-objeto, dado pela Equação 3.49. Para isso, a variável
BuySell assume o valor 1;
• Temos que manter uma posição em ∆t (0 ≤ t < T e t é um número inteiro) ações do
ativo-objeto. O valor de ∆t do contrato logarítmico é dado por:
∆t= BuySell × 2 T × Nvega 2√Kvar × e−r(T −t) 1 St !
Essa posição ocorre sobre o mercado à vista do ativo-objeto e o rebalanceamento é feito todo final do dia com o preço de fechamento, St, do ativo-objeto.
Essa dinâmica de delta-hedge faz com que seja gerado um excesso ou necessidade de caixa todo final de dia. Este caixa é acumulado diariamente e corrigido pela taxa
2 Por convenção, a volatilidade é multiplicada por um fator de 100, por exemplo, um strike de 20 para a
Capítulo 4. Aplicação Prática da Metodologia 48
livre de risco dada pelo CDI do início da operação, que é considerado constante até o vencimento da operação. A dividend-yield paga pelo ativo-objeto durante o período da operação também é acumulada no caixa.
• No vencimento, o P&L da operação é dado pela Equação 3.14, onde NT é o número
final de ações na carteira (ultimo delta calculado), βT é o valor final em caixa e
f (ST) é o payoff do contrato logarítmico replicado dado pela Equação 3.48.
O payoff de f (ST) possui dois termos: – Posição vendida em NV ega
2√Kvar × 2 T × 1 S∗
contratos futuros que tem payoff dado pela diferença entre a cotação no início da operação dada por S∗ = S0e(r−q)T e
o preço final ST;
– Posição em opções que tem retorno dado pela diferença entre os prêmios em
t = 0 de cada opção remunerados pelo CDI até o vencimento da operação e o payoff das mesmas.
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5 Apresentação e Discussão dos Resultados
Neste capítulo serão apresentados os resultados gerados pela metodologia estabele- cida nos capítulos anteriores. Primeiramente, vamos apresentar como as ordens de compra e de venda da variância implícita são disparadas durante o backtesting. Logo em seguida, apresentaremos os retornos gerados por essas operações. Depois, apresentaremos uma estra- tégia otimizada com relação à inicial a fim de eliminar alguns resultados e comportamentos indesejáveis durante momentos de crise (picos de volatilidade). E, finalmente, faremos uma análise dos retornos acumulados, separando as compras das vendas de variância.