Assad e Xu (1992) citam como aplicação real para os problemas da AGMQ e da AGMQA a transmissão de material, por exemplo, petróleo e/ou seus derivados, de um duto para outro, situação na qual os custos da transmissão podem depender da natureza da interface de conexão entre os dutos e da presença de elementos na rede. Alguns elementos de uma rede de distribuição de gás são, além dos dutos, válvulas de controle e grupos de compressão. O custo de instalação desses elementos pode se caracterizar como um intercusto. Além disso, no caso de o elemento ser ativo, é possível que a sua atuação na rede seja passível de modelagem via intercustos de uma AGQA-bi.
Conseguimos vislumbrar ainda o cenário hipotético a seguir. Suponha que uma cidade possa cobrar impostos em função da transmissão de petróleo e seus derivados por dutos instalados dentro dos limites do município. Neste caso, ao projetar a rede de distribuição, uma estimativa dos impostos que serão pagos pode ser modelada pelo custo quadrático. Dessa forma, na fronteira entre municípios, haveria uma junção entre os dutos de modo que a cobrança de impostos relativos a uma cidade incidiria sobre o fluxo de petróleo e seus derivados que passam pela junção na fronteira do município no sentido de entrar na cidade. Sendo assim, o intercusto poderia modelar os impostos devidos ao fluxo de petróleo de um duto para outro, passando pela junção.
Os efeitos de interação entre pares de arestas também podem ser percebidos na co- nexão entre cabos de energia aéreos e subterrâneos (ASSAD; XU, 1992). Tal conexão, em geral, ocorre em uma estação de conexão de cabos, empregando equipamento apropriado. Neste caso, um para-raios é colocado no ponto terminal do cabo para proteção do cabo
e de equipamentos contra raios (CHANG et al., 2011). Toda essa infraestrutura representa
um custo adicional no projeto da rede de distribuição de energia elétrica.
Redes de transporte ou estradas com penalidades de conversão também são aplicações reais para a AGQA-bi. Neste caso, o projeto da rede leva em conta não apenas os custos de se instalar a rede, mas também a minimização, sobre a rede como um todo, das penalidades de conversão (ASSAD; XU, 1992).
Ao projetar uma rede de transporte apenas com base no custo de instalação da rede, estamos assumindo que os veículos transitarão na rede com velocidade constante e que vão percorrer o caminho determinado no menor tempo possível (JAN et al., 2009). Na realidade,
sabemos que, em função do tráfego, ao se aproximar de uma esquina, o veículo deve ter sua velocidade reduzida e, caso seja necessário realizar alguma conversão à esquerda ou à direita, haverá um tempo de espera, a depender do fluxo estimado de veículos, para que tal operação seja concluída. Sendo assim, para cada possível conversão, teremos penalidades associadas. As penalidades são proporcionais ao tempo de espera estimado. A modelagem por meio da AGQA-bi considera como intercusto a penalidade de movimentar-se de uma rua para outra por meio de uma conversão.
1.4 Objetivos
Tendo em vista a ausência de trabalhos sobre o tema na literatura, esta pesquisa tem por objetivo geral conduzir um estudo de algoritmos exatos e heurísticos para a solução do problema da AGQA-bi.
Dentre as abordagens exatas, foram desenvolvidos um algoritmo backtracking e uma adaptação, para o caso biobjetivo, do branch-and-bound proposto em Assad e Xu (1992) para a AGMQA.
Os algoritmos de busca local, seguem a estratégia Pareto Local Search PLS proposta por Paquete e Stützle (2006). Tal estratégia foi selecionada pela simplicidade e por ser própria para problemas com múltiplos objetivos.
A abordagem metaheurística é uma ferramenta da Otimização Combinatória que tem se mostrado muito eficiente e eficaz na solução de problemas (REEVES, 1993). Dentro deste contexto, destaca-se a Computação Evolucionária.
As técnicas metaheurísticas associadas à Computação Evolucionária apresentam as seguintes características: (a) são baseadas em população, (b) possuem arquitetura de
processamento paralelizável e (c) apresentam mecanismo de busca estocástica com viés (GOLDBARG; GOLDBARG, 2007). Os algoritmos evolucionários são, pois, particularmente
apropriados para resolver problemas de otimização multicritério, por lidarem com um conjunto de possíveis soluções (população). Com isso, além de permitirem encontrar vários membros do conjunto de soluções ótimas de Pareto em uma única execução do algoritmo, facilitam a implementação de estratégias de explotação e exploração mais eficientes do espaço de busca por meio de mecanismos de interação entre soluções.
Dentre as técnicas da Computação Evolucionária encontram-se os Algoritmos Ge- néticos (HOLLAND, 1975), Algoritmos Transgenéticos (GOLDBARG; GOLDBARG, 2007) e outras abordagens.
Fundamentados nos algoritmos genéticos, Deb et al. (2002) propuseram o algoritmo NSGA-II (Nondominated Sorting Genetic Algorithm II ) , desenvolvido especificamente para lidar com problemas multiobjetivo. O NSGA-II foi aplicado a diversos problemas e tem sido usado como base de comparação para novas propostas algorítmicas, como pode ser exemplificado pelos trabalhos elencados a seguir: Almeida et al. (2012), Adra e Fleming (2011), Bandyopadhyay (2012), Fallah-Mehdipour et al. (2012), Huang, Buckley e Kechadi (2010), Jeyadevi et al. (2011) e Murugan, Kannan e Baskar (2009). Neste trabalho, a exemplo dos citados anteriormente, foi desenvolvido um NSGA-II para o problema da AGQA-bi.
A inspiração para os Algoritmos Transgenéticos advém da concepção da endossimbiose e da transferência horizontal de genes como duas grandes forças evolucionárias Goldbarg e Goldbarg (2009). Este tipo de algoritmo foi aplicado a dois problemas relacionados ao objeto de estudo desta tese: AG-bi (MONTEIRO; GOLDBARG; GOLDBARG, 2009, 2010; MONTEIRO, 2011) e AQ com múltiplos objetivos (ALMEIDA et al., 2012). Uma proposta de hibridização do NSGA-II com Algoritmos Transgenéticos foi, também, proposta por Al- meida et al. (2012) e aplicada ao AQ multiobjetivo e ao Problema do Caixeiro Comprador Biobjetivo.
Nessa perspectiva, assim como em Almeida et al. (2012), esta Tese, também, inclui a implementação dos algoritmos NSGA-II, do Algoritmo Transgenético e da hibridização entre essas abordagens, que deu origem à abordagem denominada NSTA .
Outra abordagem adotada é a Busca Tabu. O interesse nesta abordagem se dá pelo fato de que, no que se refere ao problema de Alocação Quadrática, a Busca Tabu é uma estratégia que tem obtido excelentes resultados, conforme pode ser verificado nos trabalhos de Drezner (2005), James, Rego e Glover (2009a), James, Rego e Glover (2009b),
Misevicius (2005), Paul (2010, 2011), Fescioglu-Unver e Kokar (2011) e Hussin e Stützle (2014).
A literatura dos problemas da AGMQ e da AGMQA também é rica em abordagens Tabu, implementadas em trabalhos como Cordone e Passeri (2008), Palubeckis, Rubli- auskas e Targamadzé (2010) e Cordone e Passeri (2012). Nesse sentido, é interessante averiguar a eficiência e eficácia da Busca Tabu na solução do problema da AGQA-bi.
De maneira geral, o objetivo desta Tese é, pois, a definição do problema da AGQA-bi, assim como a implementação e análise de algoritmos exatos backtracking e branch-and- bound para a AGQA-bi e das abordagens (meta)heurísticas elencadas a seguir: busca local PLS, NSGA-II, Algoritmo Transgenético, NSTA e Busca Tabu. A escolha dessas metaheurísticas foi motivada pelo sucesso das mesmas no contexto da Otimização Multi- objetivo, da solução do problema da AG-bi ou da solução do problema da AQ, conforme já explicitado.
Experimentos computacionais comparam a eficiência e a eficácia dos algoritmos de- senvolvidos. Nesse sentido, esta tese inclui um capítulo específico para experimentos com- putacionais envolvendo algoritmos exatos e outro para os algoritmos heurísticos.
O conjunto de instâncias (casos de teste) usadas nesta pesquisa está dividido em qua- tro grupos. O primeiro é uma extensão do conjunto de instâncias proposto em Cordone e Passeri (2012) para o problema da AGMQ. Instâncias com até 50 vértices foram disponibi- lizadas em: http://homes.di.unimi.it/~cordone/research/qmst.html pelos referidos autores. Utilizando o mesmo método, geramos instâncias com até 175 vértices. Os outros três grupos de instâncias foram criados por Öncan e Punnen (2010) e foram gentilmente cedidos pelos autores.
Dois critérios principais de comparação são considerados: o tempo de processamento e a qualidade das soluções geradas. A qualidade das soluções geradas pelos algoritmos heu- rísticos é comparada com base em indicadores de qualidade apropriados para a avaliação de algoritmos para problemas com múltiplos objetivos (conforme apêndice específico para Otimização Multiobjetivo). Os resultados dos indicadores são submetidos a testes esta- tísticos não-paramétricos para verificar se há evidência estatística de que um algoritmo tenha desempenho melhor que o outro.
Para o desenvolvimento deste estudo, faz-se necessário conhecer: os fundamentos da Otimização Multiobjetivo, a literatura para a AGMQ e AGMQA bem como as metaheu- rísticas envolvidas e suas inspirações.
De modo sucinto, podemos estabelecer, pois, os seguintes objetivos específicos:
• Explicar os princípios da Otimização Multiobjetivo e como avaliar algoritmos de- senvolvidos para problemas com múltiplos critérios.
• Apresentar os problemas AGMQ e AGMQA, bem como realizar uma revisão da literatura destes problemas.
• Definir o problema da AGQA-bi, o objeto de estudo desta tese.
• Apresentar algoritmos exatos para a AGQA-bi, a saber: backtracking e branch-and- bound.
• Apresentar algoritmos (meta)heurísticos para a AGQA-bi, seguindo as abordagens busca local PLS, NSGA-II, Algoritmo Transgenético, NSTA e Busca Tabu.
• Realizar estudos comparativos entre os diversos algoritmos desenvolvidos.
1.5 Contribuições
Uma das contribuições desta tese advém do fato de que o problema da AGQA-bi ainda é inexplorado. Nesse sentido, a definição formal do problema bem como o estudo de algoritmos para a AGQA-bi proposto nesta pesquisa contribui para ampliar as fronteiras da Otimização Combinatória e da Otimização Multiobjetivo, permitindo caracterizar esta tese como um trabalho original e inovador.
Como demonstração da relevância desta pesquisa, pode-se citar o trabalho intitulado “On the Biobjective Adjacent Only Quadratic Spanning Tree Problem”, apresentado na International Network Optimization Conference (INOC) 2013 e aceito para publicação na Electronic Notes in Discrete Mathematics (ENDM) , um periódico classificado no Qualis de Ciência da Computação.
Além disso, esta tese inclui revisão do estado da arte para problemas da AGMQ e da AGMQA. Também são descritos os princípios da Otimização Multiobjetivo e da avaliação de algoritmos para problemas com múltiplos critérios. Assim sendo, esperamos que esta pesquisa possa servir de incentivo e fundamentação teórica para novos estudos na área.