Gao, Lu e Liu (2004)

Gao, Lu e Liu (2004) apresentam o problema da Árvore Geradora Mínima Quadrática Fuzzy (AGMQF) , em que os custos linear e quadrático são considerados fuzzy. Os auto- res formulam um modelo de programação chance-constrained (restrita a probabilidades) usando como fundamentação o conceito de medida de credibilidade. A caracterização dos custos fuzzy como números fuzzy trapezoidais permite a obtenção do equivalente crisp (ou equivalente determinístico). Um algoritmo genético é delineado, no trabalho em referên- cia, para resolver o modelo de programação chance-constrained bem como seu equivalente determinístico. De fato, o algoritmo genético apresentado também pode ser aplicado à solução do próprio problema da AGMQ.

Primeiramente, os autores apresentam algumas definições relacionadas à Teoria da Possibilidade e à Teoria da Credibilidade. Um espaço de possibilidades (EP) é uma tripla EP = (Θ, P (Θ), P os), em que Θ é um conjunto não-vazio; P(Θ) é o conjunto das partes de Θ e P os é uma métrica de possibilidades. Sendo assim, para cada evento fuzzy EF ∈ P (Θ), sua possibilidade de ocorrência é P os{EF } e sua necessidade de ocorrência é dada por Nec{EF } = 1 − P os{EFc_{} . Com base nessas informações, os}

autores apresentam a definição de uma medida de credibilidade (Cr) para um evento qualquer EF ∈ P (Θ):

Cr{EF } = 1

2(P os{EF } + N ec{EF }) (2.34) Gao, Lu e Liu (2004) mostram que a medida de credibilidade apresentada é mais apropriada como medida de probabilidade do que a medida de possibilidade ou a de necessidade. Nesse sentido, o modelo de programação chance-constrained proposto pelos autores para formular a AGMQF é baseada na medida de credibilidade.

Retomemos a formulação para o problema da AGMQ apresentada na Expressão 2.3, para um grafo G = (V, E), com custos lineares expressos pelo vetor W e intercustos pela matriz C. Considerando a existência de incerteza sobre os valores dos custos linear e quadrático, os autores defendem que tais custos sejam especificados como variáveis fuzzy. Isso implica que a própria função-objetivo em 2.3 deve ser tratada como fuzzy também.

Nessa perspectiva, os autores estabelecem α como um nível de confiança para que o valor da função objetivo em 2.3 seja inferior ou igual a um dado valor f , que diz respeito ao valor α-pessimista da função. Nesse sentido, a função-objetivo do problema da AGMQF é exibido nas Expressões 2.35-2.37:

min f, sujeito a: (2.35) CrnPm i=1 Pm j=1cijxixj +Pm_i=1wixi ≤ f o ≥ α (2.36) xi ∈ {0, 1} ∧ x ∈ T (2.37)

Gao, Lu e Liu (2004) também apresentam o equivalente crisp da formulação por programação chance-constrained em 2.35-2.37 sob a hipótese de que os custos linear e

quadrático são números fuzzy trapezoidais. Com isso, é possível calcular facilmente o valor da função-objetivo nas Expressões 2.35-2.37.

Os autores apresentaram um algoritmo genético baseado em simulação para solucionar o problema da AGMQF. Assim como Zhou e Gen (1998), a codificação de cromossomos por meio de números de Prüfer foi adotada.

Os operadores de cruzamento e mutação empregados no algoritmo genético desenvol- vido por Gao, Lu e Liu (2004) são bem simples. Dados dois indivíduos para se reproduzi- rem, o operador de cruzamento simplesmente realiza a troca de seus dígitos em posições escolhidas randomicamente. Os autores não mencionam a metodologia empregada para selecionar os pares a serem submetidos ao operador de cruzamento. A mutação, por sua vez, seleciona uma posição do indivíduo randomicamente e, a seguir, escolhe um valor inteiro entre 1 e n, inclusive, para substituir o valor original naquela posição.

O procedimento de avaliação é que faz com que esse algoritmo seja adaptável tanto à versão fuzzy proposta quanto ao problema da AGMQ comum. No caso da AGMQ comum, é suficiente:

(i) decodificar o cromossomo (de número de Prüfer para uma representação de conjunto de arestas) e

(ii) calcular o valor da função objetivo como sendo o fitness do cromossomo.

Por outro lado, se estivermos lidando com o modelo chance-constrained proposto no artigo em referência, faz-se necessário (GAO; LU; LIU, 2004):

(i) decodificar o cromossomo;

(ii) calcular o custo α-pessimista de acordo com as equações e procedimentos de simu- lação fuzzy apresentados em Gao, Lu e Liu (2004);

(iii) associar a cada cromossomo um valor de fitness via um método baseado em classi- ficação (rank) de acordo com o valor do objetivo.

A seleção da população que vigorará na próxima geração é realizada por meio da aplicação de roleta tantas vezes quanto seja o tamanho da população. O algoritmo termina depois de um dado número de iterações executadas. O procedimento geral do algoritmo genético proposto por Gao, Lu e Liu (2004) pode ser descrito pelos seguintes passos:

(i) Inicie pop_tam indivíduos randomicamente.

(ii) Atualize os cromossomos de acordo com as operações de cruzamento e mutação.

(iii) Calcule os valores dos objetivos para todos os cromossomos por meio do procedi- mento de simulação fuzzy proposto em Gao, Lu e Liu (2004).

(iv) Calcule o fitness de cada cromossomo de acordo com os valores do objetivo.

(v) Selecione os cromossomos por meio de roleta.

(vi) Repita os passos (ii)-(v) por um dado número de ciclos.

(vii) Retorne o melhor cromossomo como sendo a solução ótima.

Este trabalho não relata experimentos computacionais envolvendo um conjunto de casos de teste, apenas ilustra o funcionamento do algoritmo genético na resolução de um exemplo numérico.

2.4.4 Gau e Lu (2005)

O trabalho de Gao e Lu (2005) é uma extensão do artigo apresentado por Gao, Lu e Liu (2004). Nesse sentido, se dedicam ao estudo do problema da árvore geradora mínima quadrática fuzzy (AGMQF).

Os autores se fundamentam na teoria da credibilidade recentemente desenvolvida por Liu (2002, 2004) para propor os conceitos de Árvore Geradora Mínima Esperada (AGME) , Árvore Geradora Mínima α-Pessimista (AGM-αP) e Menor Árvore Geradora Mínima (MAGM) . Para encontrar essas árvores, o problema da AGMQF é formulado via modelo de valor esperado, programação chance-constrained (restrita a probabilidades) e programação dependent-chance (dependente de probabilidade), respectivamente. Quando os custos fuzzy são caracterizados por números fuzzy trapezoidais, também se discutem os crisps equivalentes.

Perceba que a AGM α-pessimista corresponde exatamente à AGMQF proposta em Gao, Lu e Liu (2004) e já discutida em subseção anterior. Sendo assim, a título de exem- plificação, já apresentamos um dos modelos fuzzy propostos. Como a abordagem fuzzy, até o momento, não é o foco deste trabalho, não nos ateremos detalhadamente a esse tema.

Após a apresentação dos modelos de AGMQF mencionados, os autores apresentam um algoritmo genético para solucionar as três variantes. Esse algoritmo corresponde exa- tamente ao algoritmo proposto em Gao, Lu e Liu (2004), exceto no que diz respeito à função de avaliação, a qual exige o cálculo do custo esperado, do custo α-pessimista e da função de probabilidade de acordo com as equações e procedimentos de simulação fuzzy apresentados em Gao e Lu (2005).

Os autores também não reportam experimentos computacionais, apenas apresentam um exemplo numérico. Dessa forma, não há resultados da comparação deste genético com outros algoritmos da literatura no artigo em referência.