Aplica¸c˜ ao do M´ etodo Evolu¸c˜ ao Diferencial no Passo de S´ıntese

Diferentemente dos problemas do passo de análise onde as variáveis de otimiza¸cão são as coor- denadas α do politopo, no passo de s´ıntese as variáveis de otimiza¸cão são os elementos das matrizes Ac, Bc, Cce Dctal que K(s) = C(sI −A)−1B +D. Deste modo, é necessário uma nova configura¸cão do método DE que é descrita a seguir.

CAPÍTULO 5. SÍNTESE DE CONTROLADORES ROBUSTOS PELO M ÉTODO DE 55

5.4.1 Popula¸c˜ao Inicial

Na etapa de s´ıntese, as variáveis de otimiza¸cão são os parâmetros do controlador, χk,i = [θ1, . . . , θp]T, sendo p o número de parâmetros. A popula¸cão inicial é distribu´ıda uniformemente no intervalo entre −L e L, sendo o valor de L especificado pelo projetista, isto é, χ1,i,j = U(−L,L), i = 1, . . . , N e j = 1, . . . , p. O tamanho da popula¸cão foi fixado em N = 3p.

5.4.2 Muta¸c˜ao diferencial

Considere os ´ındices r1 6= r2 6= r3 6= i dados por rj = I(N ), j = 1, ..., 5. No passo de s´ıntese adotamos que a i-ésima solu¸cão mutante é obtida como sendo:

vk,i= χk,r1+ Fi(χk,r2 − χk,r3) (5.13)

i = 1, . . . , N . Neste caso, adotamos o fator de escala aleat´orio para cada muta¸c˜ao, sendo Fi = U(0,5,1)

5.4.3 Cruzamento

O cruzamento entre as i-ésimas solu¸cões da k-ésima popula¸cão, Xk, e da popula¸cão mutante, Vk, gera a popula¸cão tentativa, Uk:

uk,i,j =  



vk,i,j, se U(0,1) ≤ Cr ou j = δi χk,i,j, caso contr´ario

, (5.14)

para j = 1, . . . , m, i = 1, . . . , N , sendo Cr ∈ [0, 1] a taxa de cruzamento. Adotamos Cr = 0,5. O ´ındice δi= I(η)garante que uk,i6= χk,i.

5.4.4 Tratamento das restri¸c˜oes

Na etapa de s´ıntese, não é considerada nenhuma restri¸cão adicional sobre os parâmetros do controlador, sendo que a faixa de varia¸cão é considerada apenas para a cria¸cão da popula¸cão inicial.

5.4.5 Crit´erio de parada

Adotamos como critérios de parada um número máximo de gera¸cões, Ng, ou a convergência da popula¸cão, comparando os valores máximos e m´ınimos de f (χ) da k-ésima popula¸cão, maxif (χk,i)− minjf (χk,j) ≤ , sendo um número pequeno. No passo de s´ıntese, adotamos Ng = 8.000 e = 5 × 10−4.

5.5 Exemplo Ilustrativo

Para avalia¸cão do procedimento de s´ıntese iterativo com ambos os passos implementados pelo método DE, consideramos um sistema idealizado que requer várias itera¸cões para convergência do procedimento iterativo de s´ıntese de controladores robustos. Considere o sistema de 6a ordem com w(t) = [d(t) n1(t) n2(t)]T, sendo d(t) o distúrbio do sistema e n1(t) e n2(t) ru´ıdos de medi¸cão, z(t) = [c(t) u(t)]T, sendo c(t) a sa´ıda controlada e u(t) a variável manipulada, e y(t) = [x5(t) + n1(t) x6(t) + n2(t)]T. As matrizes do modelo no espa¸co de estados, Eq. (5.1), são:

A =               −0,05 −0,01 − γ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 −0,01 + γ −0,1 −0,01 − β 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 −0,01 + β −0,05 −1 0 0 0 0 1 0               (5.15) Bu =         0,1 0 .. . 0         , Bw =         0,1 0 0 0 0 0 .. . ... ... 0 0 0         , (5.16) Cz =   0 0 0 0 0 0,1 0 0 0 0 0 0  , (5.17) Dzu=   0 1  , Dzw =   0 0 0 0 0 0  , (5.18) Cy =   0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1  , (5.19) Dyu=   0 0  , D_yw =   0 1 0 0 0 1  , (5.20)

sendo que os parâmetros incertos γ e β pertencem ao politopo no espa¸co R2 com 5 vértices e 5 arestas definidas por: 0 ≤ γ ≤ 1, 0 ≤ β ≤ 1 e γ + β ≤ 1,5. O objetivo de projeto é obter o controlador que minimiza a norma H∞ da fun¸cão de transferência que relaciona a perturba¸cão e a sa´ıda controlada, kTcd(s, α)k∞, e a norma H2 da fun¸cão de transferência que relaciona os ru´ıdos

CAPÍTULO 5. SÍNTESE DE CONTROLADORES ROBUSTOS PELO M ÉTODO DE 57

de medi¸cão com a variável manipulada, kTun(s, α)k2, garantindo que o sistema seja robustamente estável para todo α ∈ Ω ⊂ R5. É adotado um controlador de 2a ordem com a seguinte estrutura:

dxc(t) dt =   θ1 1 θ2 0  x_c(t) +   θ3 θ4 θ5 θ6  y(t), u(t) = h 1 0 i xc(t) + h 0 0 i y(t), (5.21)

sendo θ1, . . . , θ6 os parˆametros de otimiza¸c˜ao.

Para gerar uma curva candidata a Pareto-ótimo, é adotado os seguintes valores no problema (5.9): 2 ∈ {0,01; 0,05; 0,10; 0,25; 0,50; 0,75; 1,00; 1,25; 1,50; 1,75; 2,00}. Em todos os casos foi necessário acrescentar pontos em eΩ para obter um sistema em malha-fechada robustamente estável, para garantir a restri¸cão 2 da norma H2 e para garantir a minimiza¸cão da norma H∞. Foram necessárias de 5 a 10 itera¸cões do procedimento de s´ıntese proposto. Para 2 = 0,01 e 2 = 0,05, adotamos distribuir a popula¸cão inicial na etapa de s´ıntese no intervalo −0,01 ≤ θi ≤ 0,01, ∀i. Nos demais casos, escolhemos −5 ≤ θi ≤ 5, ∀i. A Fig. 5.1 apresenta as fronteiras candidatas a Pareto-ótima obtidas pelo procedimento iterativo de s´ıntese implementado pelo método DE e pelo método cone-elipsoidal (CE), no passo de análise, e o método Branch-and-Bound (BB), no passo de s´ıntese, onde pode ser observado o melhor resultado do método DE. Para esse exemplo espec´ıfico, do ponto de vista de custo computacional, uma implementa¸cão não supera a outra em todos os casos de 2. O método BB teve dificuldade de convergência no passo de análise para alguns casos.

Para ilustrar o funcionamento do método, com 2 = 0,01, foram necessários dez itera¸cões para convergência do procedimento de s´ıntese proposto. Somente na 2a itera¸cão, após acrescentar um novo ponto no conjunto eΩ, obteve-se um controlador que estabilizasse o sistema para todo χ ∈ Ω. A Fig. 5.2 mostra a nuvem de polos para o sistema em malha-fechada obtido na 1a itera¸cão onde pode ser observado a presen¸ca de polos no semi-plano direito. Na 2a itera¸cão, na etapa de otimiza¸cão, foi obtido max_α∈e_ΩkT_cd(s, α)k∞ = 3,9657 e max_α∈e_ΩkT_un(s, α)k2 = 0,0099 ao passo que, na etapa de análise, foi verificado que, para todo o conjunto Ω, os valores são na verdade maxα∈ΩkTcd(s, α)k∞= 16,0054 e maxα∈ΩkTun(s, α)k2= 0,0135. A Fig. 5.3a apresenta a superf´ıcie de kTcd(s, α)k∞ na 2a itera¸cão. Além da diferen¸ca alta no valor da norma H∞ entre as etapas de s´ıntese e análise, ainda é observado que a restri¸cão sobre a norma H2 não é atendida. Após 10 itera¸cões, com adi¸cão de 11 pontos em eΩ, o método converge para maxα∈ΩkTcd(s, α)k∞= 4,3822 e maxα∈ΩkTun(s, α)k2 = 0,0100. A Fig. 5.3b apresenta a superf´ıcie de kTcd(s, α)k∞ na 10a itera¸cão, ao passo que a Fig. 5.4 apresenta as curvas de n´ıvel correspondente e a localiza¸cão de todos os pontos adicionados no espa¸co [γ β]T ∈ R2_{. Pode ser observado pelas curvas de n´ıvel que o problema}

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 max ||T un (s, α )|| 2 max ||T cd(s,α)||∞

Figura 5.1: Fronteira candidata a Pareto-ótima obtida pelo método DE, ’◦’, e pelos métodos CE/BB, ’’.

de determina¸cão do valor máximo de norma é não-diferenciável, não-convexo e multimodal. As matrizes do controlador final são dadas por:

K =      −0,1049 1 −0,0025 −0,0001 −0,6576 0 0,0001 −0,0028 1 0 0 0      . (5.22)

5.6 Conclus˜oes

Foi proposta uma nova implementa¸cão para um procedimento de s´ıntese de sistemas de controle robusto H2/H∞baseado em dois passos iterativos. No passo de s´ıntese é determinado o controlador que minimiza a fun¸cão objetivo e atende às restri¸cões considerando um número finito de pontos do dom´ınio politópico de incerteza. No passo de análise, o controlador obtido é avaliado para todo o dom´ınio infinito de incerteza e é verificada a necessidade de se acrescentar novos pontos no conjunto

CAPÍTULO 5. SÍNTESE DE CONTROLADORES ROBUSTOS PELO M ÉTODO DE 59 −0.14 −0.12 −0.1 −0.08 −0.06 −0.04 −0.02 0 0.02 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 Real Imag

Figura 5.2: Nuvem de polos de kTzw(s, α)k∞ com 1 itera¸c˜ao para ε2 = 0,01.

finito de pontos considerado no passo de s´ıntese. Nesse cap´ıtulo, foi estudada a implementa¸cão de ambos os passos pelo método evolu¸cão diferencial. No passo de s´ıntese, o método evolu¸cão diferencial possui maior probabilidade de obter uma solu¸cão melhor que o algoritmo cone-elipsoidal, utilizado em implementa¸cões anteriores. No passo de análise, o método Branch-and-Bound é capaz de determinar exatamente se um sistema é robustamente estável ou não e também capaz de calcular o máximo da norma no dom´ınio infinito com a precisão especificada, mas pode apresentar custo computacional proibitivo. Apesar do método evolu¸cão diferencial não ter a garantia de obter a solu¸cão ótima global, ele pode ser efetivo com menor custo computacional. O procedimento iterativo, com as duas etapas implementadas pelo método DE, foi avaliado para um problema, especialmente constru´ıdo para demandar itera¸cões, tendo apresentado comportamento bastante satisfatório.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.5 1 0 2 4 6 8 10 12 14 16 γ β ||T cd (s, α )|| ∞

(a) 2a itera¸c˜ao.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.5 1 0 2 4 6 8 10 12 14 16 γ β ||T cd (s, α )|| ∞ (b) 10a itera¸c˜ao. Figura 5.3: Superf´ıcie de kTcd(s, α)k∞.

CAPÍTULO 5. SÍNTESE DE CONTROLADORES ROBUSTOS PELO M ÉTODO DE 61 γ β 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 11 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Figura 5.4: Curvas de n´ıvel de kTcd(s, α)k∞ com os pontos de eΩ, •, ap´os 10 itera¸c˜oes com

Conclus˜ao

6.1 Método Evolu¸cão Diferencial aplicado à Análise de

Estabilidade Robusta

A primeira contribui¸cão dessa disserta¸cão foi apresentar uma nova metodologia de análise de estabilidade robusta de sistemas incertos lineares invariantes no tempo, representados por modelos de sistema politópicos, baseada no método evolu¸cão diferencial. A metodologia proposta foi comparada a uma metodologia que combina formula¸cão LMI de análise de estabilidade robusta com uma técnica de divisão de politopo. Ao passo que formula¸cões LMIs podem falhar na identifica¸cão de sistemas robustamente estáveis, pela divisão do politopo, é poss´ıvel determinar se um sistema politópico é robustamente estável ou localizar uma instância de sistema instável no politopo em caso contrário. Outra vantagem da divisão de politopo combinada com formula¸cão LMI mais simples é apresentar menor custo computacional e melhor confiabilidade que formula¸cões LMIs mais complexas. A única desvantagem do método LMI/divisão é o fato do rápido crescimento do custo computacional com o aumento do número de vértices do politopo e da ordem do sistema. Para redu- zir o custo computacional na análise de estabilidade robusta foi proposto aplicar o método evolu¸cão diferencial para localizar um sistema instável no politopo no caso de sistemas não robustamente estáveis. Após vários experimentos, com diferentes formas de implementa¸cão e diferentes configura¸cões dos parâmetros do método DE, foi apresentada uma versão de implementa¸cão com alta taxa de sucesso para identifica¸cão de sistemas que não são robustamente estáveis. Em compara¸cão com o método LMI/divisão, foi conclu´ıdo que para sistemas politópicos com maior número de vértices e ordem mais elevada, o método DE apresenta custo computacional muito menor porém sem a mesma confiabilidade. Nos testes exaustivos realizados, o método DE apresentou um percentual de sucesso

CAP´ITULO 6. CONCLUS ˜AO 63

na identifica¸cão de sistemas não robustamente estáveis em mais de 99% dos 18.000 testes realizados ao passo que o método LMI/divisão não teve nenhuma falha. Desse modo, podemos concluir que, se for computacionalmente viável, o método LMI/divisão continua sendo o mais indicado para análise de estabilidade robusta devido a sua maior confiabilidade. Nos casos em que o método divisão/LMI apresentar custo computacional inaceitável, o método DE passa a ser uma boa alternativa de análise de estabilidade robusta, admitindo o pequeno risco de falha na análise. A motiva¸cão para o uso do método DE para análise de estabilidade robusta é o seu uso no procedimento iterativo de s´ıntese de controladores robustos aplicado a sistemas mais complexos.

6.2 Método Evolu¸cão Diferencial aplicado ao Cálculo

de Custos Garantidos H

ou H

∞

A segunda contribui¸cão dessa disserta¸cão foi apresentar uma nova metodologia de cálculo de custos garantidos H2ou H∞de sistemas incertos lineares invariantes no tempo, com modelo politó- pico baseado no método evolu¸cão diferencial. Quando o custo computacional é aceitável, o método Branch-and-Bound, que combina formula¸cões LMI com divisão de politopo, é o mais indicado por ser uma técnica que calcula o custo garantido H2 ou H∞ de forma determin´ıstica, com a precisão desejada. No caso do método DE, como foi observado nos testes exaustivos, nem sempre o algoritmo de otimiza¸cão converge para o máximo global. Apesar disso, o método DE obteve um percentual de sucesso de 83,6% para cálculo de custo garantido H2 e 93,2% para cálculo de custo garantido H2 nos testes realizados. Desse modo, quando o método BB se tornar proibitivo computacionalmente, o método DE é uma alternativa a ser considerada. Outra vantagem do método DE é a maior sim- plicidade de implementa¸cão em rela¸cão ao método BB. Além de mostrar a viabilidade do método DE para análise do custos garantidos H2 e H∞ de sistemas politópicos, outra contribui¸cão desse estudo é apresentar uma implementa¸cão e uma configura¸cão de parâmetros eficiente para aplicar o algoritmo DE nesse problema espec´ıfico. A versão final apresentada foi obtida depois de vários testes com diferentes implementa¸cões e diferentes configura¸cões de parâmetros com contribui¸cão de ajuste ao problema proposto. Da mesma forma que no caso da nova metodologia de análise de estabilidade robusta, a motiva¸cão para o uso do método DE para cálculo de custos garantidos H2ou H∞ é o seu uso no procedimento iterativo de s´ıntese de controladores robustos aplicado a sistemas mais complexos.

6.3 S´ıntese de Controladores Robustos pelo M´etodo

Evolu¸c˜ao Diferencial

A terceira contribui¸cão dessa disserta¸cão foi propor uma nova implementa¸cão para um procedimento de s´ıntese de sistemas de controle robusto H2/H∞ baseado em dois passos iterativos. No passo de s´ıntese é determinado o controlador que minimiza a fun¸cão objetivo e atende às restri¸cões considerando um número finito de pontos do dom´ınio politópico de incerteza. No passo de análise, o controlador obtido é avaliado para todo o dom´ınio infinito de incerteza e é verificada a necessidade de se acrescentar novos pontos no conjunto finito de pontos considerado no passo de s´ıntese. Nessa disserta¸cão foi avaliada a implementa¸cão de ambos os passos pelo método evolu¸cão diferencial. No passo de s´ıntese, o método evolu¸cão diferencial possuiu maior probabilidade de obter uma solu- ¸

cão melhor que o algoritmo cone-elipsoidal, já utilizado em implementa¸cões, considerando que o problema pode ser não convexo e multimodal. No passo de análise, o método Branch-and-Bound, também utilizado em implementa¸cão anterior, é capaz de determinar exatamente se um sistema é robustamente estável ou não e capaz de calcular o máximo da norma no dom´ınio infinito com a precisão especificada, mas podendo apresentar custo computacional proibitivo. Apesar do método evolu¸cão diferencial não ter a garantia de solu¸cão ótima global, ele pode ser efetivo também na etapa de análise com menor custo computacional. Foi apresentado um exemplo ilustrativo especialmente formulado para gerar itera¸cões do procedimento. A implementa¸cão do procedimento de s´ıntese proposta nessa disserta¸cão funcionou de forma satisfatória tendo gerado uma fronteira candidata a Pareto-ótima melhor que implementa¸cões anteriores com outros métodos.

6.4 Propostas para Trabalhos Futuros

E interessante investigar como aumentar a confiabilidade da metodologia de análise de estabilidade robusta e cálculo de custos garantidos H2 ou H∞ de sistemas incertos lineares invariantes no tempo, com modelo politópico. O estudo de operadores dedicados para implementa¸cão e ajuste de parâmetros. Também é poss´ıvel escolher outro tipo de algoritmo de otimiza¸cão, como o Enxame de Part´ıculas, Busca Harmônica ou h´ıbrido.

Nessa disserta¸cão, o procedimento de s´ıntese foi aplicado a um exemplo ilustrativo puramente matemático que requer itera¸cões do procedimento de s´ıntese. Em trabalhos futuros, o procedimento de s´ıntese iterativo de dois passos, implementado pelo método DE, deve ser avaliado em problemas de projeto de controladores de sistemas industriais multivariáveis que são representados no espa¸co

CAP´ITULO 6. CONCLUS ˜AO 65

de estados por modelos de ordem mais elevada. A implementa¸cão pelo método DE poderá ser comparada com implementa¸cões anteriores baseadas nos algoritmos cone-elipsoidal e Branch-and- Bound. Quando computacionalmente viável, os resultados podem ser analisados pelos métodos de análise LMI/divisão para verifica¸cão da confiabilidade do método DE no caso de sistemas mais complexos.

Nessa disserta¸cão, as metodologias de análise e s´ıntese de sistemas de controladores robustos foi aplicada apenas a sistemas cont´ınuos no tempo. A adapta¸cão para tratar sistemas discretos no tempo poderá ser realizada em trabalho futuro. Apesar das adequa¸cões serem simples, as caracter´ısticas dos problemas são diferentes merecendo um estudo detalhado do comportamento do método DE, especialmente para análise de estabilidade robusta.

6.5 Trabalhos Apresentados em Eventos Cient´ıficos Re-

lativos `a Disserta¸c˜ao

• Marcos, D. M., Gon¸calves, E. N.(2016). Análise de Estabilidade Robusta pelo Método de Evolu¸cão Diferencial. XXI Congresso Brasileiro de Automa¸cão - Vitória-ES

• Marcos, D. M., Gon¸calves, E. N.(2016). Cálculo de Custo Garantido H∞ pelo Método de Evolu¸cão Diferencial. XXI Congresso Brasileiro de Automa¸cão - Vitória-ES

• Marcos, D. M., Gon¸calves, E. N.,e Silva, S. J.(2016). S´ıntese de Controladores Robustos pelo Método de Evolu¸cão Diferencial. XXI Congresso Brasileiro de Automa¸cão - Vitória-ES

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