Análise e síntese de sistemas de controle robusto baseado no método evolução diferencial

(1)

Associa¸c˜

ao Ampla Entre CEFET-MG e UFSJ

An´

alise e s´ıntese de sistemas de controle robusto baseado

no m´etodo evolu¸c˜

ao diferencial

Devair de Moura Marcos

Belo Horizonte

2016

(2)

Devair de Moura Marcos

An´

alise e s´ıntese de sistemas de controle robusto baseado

no m´etodo de evolu¸c˜

ao diferencial

Disserta¸c˜

ao

de

mestrado

apresentada

ao

Programa de P´

os-Gradua¸c˜

ao em Engenharia

El´

etrica, associa¸c˜

ao ampla entre o

CEFET-MG e UFSJ como parte dos requisitos exigidos

para a obten¸c˜

ao do t´ıtulo de Mestre em

Engenharia El´

etrica.

´

Area

de

concentra¸

c˜

ao:

Modelagem e

Controle de Sistemas.

Linha de Pesquisa: Sistemas de Controle.

Orientador:

Prof.

Dr.

Eduardo Nunes

Gon¸calves.

Belo Horizonte

2016

(3)

(4)

—–

Dedico este trabalho `a Deus, `a minha fam´ılia, aos meus professores e amigos.

(5)

Agrade¸co primeiramente a Deus pelo dom da vida, pela for¸ca e pela perseveran¸ca que me foram concebidas durante toda minha vida.

Agrade¸co à minha fam´ılia representada por minha mãe Leci Leila de Moura, avó Minervina Firmina Duque,Tia avó Carmita de Souza Duque, por acompanharem meus passos e me incentivarem a al¸car voos mais altos. Por me ensinarem todos os valores leais e me tornarem uma pessoa melhor. Agrade¸co aos meus irmãos, Jair de Moura, e a sua esposa e filhos, e Edivaldo de Moura por todo o suporte fornecido, por sempre me incentivarem e me mostrarem o caminho. Agrade¸co em especial a todos os meus amigos representados na pessoa de Lu´ıza Dias pela amizade e apoio concedido.

Agrade¸co ao meu professor orientador, Eduardo Nunes Gon¸calves, pelo acompanhamento durante todo este trabalho. Agrade¸co pela oportunidade de poder trabalhar com ele, pelo exemplo de respeito, seriedade diante do processo de transferência de conhecimento e pela enorme contribui¸cão na minha forma¸cão.

Agrade¸co aos professores,M´arcio Mathias, Valter Leite e Giovanni Guimar˜aes Rodrigues por estarem sempre dispon´ıveis para ajudar e pelo profissionalismo como professores.

Aos amigos Thiagos em geral, pelas dicas na disserta¸c˜ao e trabalhos realizados em con-junto. Aproveito aqui para desejar sucesso na caminhada de todos vocˆes.

Ao CEFET-MG, CNPq, CAPES e a FAPEMIG pelos apoios financeiros, que deram suporte para a realiza¸c˜ao desta disserta¸c˜ao.

Enfim, agrade¸co a todos que sempre torceram pelo meu sucesso e me ajudaram a construir e concretizar este sonho.

(6)

—–

“Feliz a na¸c˜ao cujo Deus ´e o SENHOR.” B´ıblia King James, Salmos 33:12

(7)

Esta disserta¸cão apresenta metodologias de análise e s´ıntese de sistemas de controle robus-tos, para sistemas incertos lineares invariantes no tempo, com dom´ınio politópico de incerteza, baseado no método de otimiza¸cão evolu¸cão diferencial. Formula¸cões para análise e s´ıntese de sistemas de controle robusto baseadas em desigualdades matriciais lineares são bastante populares, mas podem apresentar resultados conservadores ou até mesmo falhar na obten¸cão de resultados para sistemas de ordem mais elevada ou com maior número de vértices do politopo. Em trabalho anterior foi verificado que combinando uma formula¸cão de análise ba-seada em desigualdades matriciais lineares com uma técnica de divisão de politopos é poss´ıvel determinar se um sistema politópico é robustamente estável ou localizar uma instância de sistema instável no politopo em caso contrário. Além disso, é poss´ıvel determinar os valores de custos garantidos H2 ou H∞ com qualquer precisão necessária na análise de desempenho

robusto (Gon¸calves, Palhares, Takahashi & Mesquita 2006a). Entretanto tal metodologia tem a desvantagem de um rápido crescimento de custo computacional com a complexidade do sistema. Um dos objetivos dessa disserta¸cão é propor uma forma alternativa de análise de estabilidade e desempenho robusto visando um menor custo computacional na aplica¸cão do método evolu¸cão diferencial.

O problema de controle robusto requer a otimiza¸cão do desempenho garantindo a estabi-lidade de infinitos sistemas pertencentes ao dom´ınio de incerteza, um problema de otimiza¸cão semi-infinita de dif´ıcil solu¸cão. Em trabalhos anteriores foi proposto resolver tal problema através de um procedimento iterativo de dois passos, s´ıntese e análise, implementados pelos algoritmos cone-elipsoidal e método Branch-and-Bound, respectivamente (Gon¸calves, Pa-lhares & Takahashi 2005, Gon¸calves, PaPa-lhares & Takahashi 2006, Gon¸calves, PaPa-lhares & Takahashi 2008, Gon¸calves, Gon¸calves, Palhares & Takahashi 2012, Siqueira, Silva, Gon¸cal-ves, Palhares & Takahashi 2014). Nesta disserta¸cão é proposto aplicar o método evolu¸cão

(8)

diferencial para ambos os passos do procedimento de s´ıntese.

Palavras-chave: Controle robusto, sistema politópico, método evolu¸cão diferencial.

(9)

This dissertation presents methodologies of analysis and synthesis of robust control sys-tems, for uncertain linear time-invariant syssys-tems, with polytopic uncertainty domain, based on the differential evolution method. Robust control analysis and synthesis formulations ba-sed on linear matrix inequalities are quite popular but can present conservative results or can even fail to obtain results in the case of higher order systems or more polytope vertices. In previous works it was verified that combining an analysis formulation based on linear matrix inequalities with a polytope division technique,it is possible to determine whether a poly-topic system is robustly stable or to locate an instance of unstable system in the polytope otherwise. In addition, it is possible to determine the H2 or H∞ guaranteed costs with any

required precision in the robust performance analysis. However this method has the disadvan-tage of a fast increase of the computational cost with the increase of the system complexity. One of the objectives of this dissertation is to propose an alternative way of robust stability and performance analysis with lower computational cost applying the differential evolution method.

The robust control problem requieres the optimization of the performance ensuring sta-bility for infinite systems belonging to the uncertainty domain, a semi-infinity optimization problem that is difficult to solve. In previous works it was proposed to solve this problem by a two-step iterative procedure, synthesis and analysis, implemented by the cone-ellipsoidal algorithm and branch-and-bound method, respectively. In this dissertation, it is proposed to apply the differential evolution method for both steps of the synthesis iterative procedure.

Keywords : Robust control, polytopic system, differential evolution method.

(10)

Sum´

ario

Agradecimentos v

Resumo vii

Abstract ix

Lista de Acrˆonimos xvi

Lista de Nota¸c˜oes xvii

1 Introdu¸c˜ao 1

1.1 Revis˜ao Bibliogr´afica . . . 1

1.2 Motiva¸c˜ao . . . 5

1.3 Objetivos . . . 6

1.4 Organiza¸c˜ao do Trabalho . . . 7

2 Método Evolu¸cão Diferencial 9 2.1 Introdu¸cão . . . 9

2.2 Técnica de otimiza¸cão baseada no método evolu¸cão diferencial (DE) . . . 10

2.2.1 Muta¸c˜ao . . . 11

2.2.2 Recombina¸c˜ao . . . 14

2.2.3 Sele¸c˜ao . . . 14

2.2.4 Algoritmo b´asico . . . 14

2.3 Conclus˜ao . . . 15

3 An´alise de Estabilidade Robusta 16 3.1 Introdu¸c˜ao . . . 16

(11)

3.3.1 Popula¸c˜ao Inicial . . . 19

3.3.2 Muta¸c˜ao diferencial . . . 20

3.3.3 Cruzamento . . . 21

3.3.4 Tratamento das restri¸c˜oes . . . 21

3.3.5 Sele¸c˜ao . . . 22

3.3.6 Crit´erio de parada . . . 22

3.4 Testes exaustivos . . . 22

3.5 An´alise de Diferentes Op¸c˜oes . . . 26

3.6 Conclus˜oes . . . 31

4 Método DE no Cálculo de Custos Garantidos H2 e H∞ 32 4.1 Fundamenta¸cão teórica . . . 32

4.2 Normas de sinais e sistemas . . . 33

4.3 Formula¸c˜ao do problema . . . 36

4.4 Método Evolu¸cão Diferencial aplicado ao cálculo de custos garantidos H2 e H∞ 39 4.4.1 Popula¸cão Inicial . . . 39

4.4.3 Crit´erio de parada . . . 40

4.5 Testes exaustivos . . . 40

4.6 Conclus˜oes . . . 45

5 S´ıntese de Controladores Robustos pelo Método DE 50 5.1 Fundamenta¸cão teórica . . . 50

5.2 Formula¸c˜ao do problema . . . 51

5.3 Procedimento de S´ıntese Iterativo . . . 53

5.4 Aplica¸cão do Método Evolu¸cão Diferencial no Passo de S´ıntese . . . 54

5.4.1 Popula¸c˜ao Inicial . . . 55

5.4.3 Cruzamento . . . 55

5.4.4 Tratamento das restri¸c˜oes . . . 55

(12)

5.4.5 Crit´erio de parada . . . 55 5.5 Exemplo Ilustrativo . . . 56 5.6 Conclus˜oes . . . 58

6 Conclus˜ao 62

6.1 Método Evolu¸cão Diferencial aplicado à Análise de Estabilidade Robusta . . . 62 6.2 Método Evolu¸cão Diferencial aplicado ao Cálculo de Custos Garantidos H2 ou

H∞ . . . 63

6.3 S´ıntese de Controladores Robustos pelo Método Evolu¸cão Diferencial . . . 64 6.4 Propostas para Trabalhos Futuros . . . 64 6.5 Trabalhos Apresentados em Eventos Cient´ıficos Relativos à Disserta¸cão . . . . 65

Referˆencias 66

Apˆendice 70

(13)

2.1 Diagrama de bloco das principais etapas do algoritmo DE . . . 11 2.2 Operadores muta¸cão e recombina¸cão no espa¸co de parâmetros bidimensional . 13 3.1 Exemplo de opera¸cões de muta¸cão, cruzamento e tratamento de restri¸cão para

η = 2. . . 22 3.2 Superf´ıcie de maxiR(λi(A(χ))), em fun¸c˜ao de χ2 e χ6, para um modelo com

η = 8. . . 26 3.3 Regi˜oes de n´ıvel de maxiR(λi(A(χ))), em fun¸c˜ao de χ2 e χ6, para um modelo

com η = 8. . . 27 4.1 Superf´ıcie de kTzw(s, χ)k2, em fun¸c˜ao de χ2 e χ5, para um modelo com n = 8

e η = 8. . . 43 4.2 Perfil de kTzw(s, χ)k2, sobre a aresta que ocorre o pior caso para um modelo

com n = 8 e η = 8. . . 44 4.3 Fun¸cões limitantes inferior e superior do método BB no cálculo do custo

ga-rantido H2 para um modelo com n = 8 e η = 8. . . 45

4.4 Perfil de kTzw(s, χ)k∞, sobre a aresta onde ocorre o pior caso para um modelo

com n = 4 e η = 8. . . 46 4.5 Divisão de simplex pelo método BB e máximo obtido para um modelo com

η = 3. . . 47 4.6 Popula¸cão inicial ,’o’, após 10 itera¸c˜_{oes, ’’, e final, ’x’, do método DE para}

um modelo com η = 3. . . 48 4.7 Superf´ıcie de kTzw(s, χ)k∞, em fun¸c˜ao de χ1 e χ2, para um modelo com η = 3. 49

5.1 Fronteira candidata a Pareto-´otima obtida pelo m´etodo DE, ’◦’, e pelos m´ eto-dos CE/BB, ’’. . . 58

(14)

5.2 Nuvem de polos de kTzw(s, α)k∞ com 1 itera¸c˜ao para ε2 = 0,01. . . 59

5.3 Superf´ıcie de kTcd(s, α)k∞. . . 60

5.4 Curvas de n´ıvel de kTcd(s, α)k∞ com os pontos de eΩ, •, ap´os 10 itera¸c˜oes com

ε2 = 0,01. . . 61

(15)

3.1 Resultados do teste 1 . . . 23 3.2 Resultados do teste 2 . . . 25 3.3 Compara¸cão entre diferentes op¸cões de análise de estabilidade robusta pelo DE 29 3.4 Compara¸cão entre dois valores de Cr na análise de estabilidade robusta pelo DE 30

3.5 Compara¸cão entre três valores de F na análise de estabilidade robusta pelo DE 30 3.6 Compara¸cão entre números de solu¸cões aleatórias iniciais na análise de

esta-bilidade robusta pelo DE . . . 30 4.1 Resultados do teste exaustivo H2 . . . 42

4.2 Resultados do teste exaustivo H∞ . . . 42

(16)

Lista de Acrˆ

onimos

• PID – Proporcional-Integral-Derivativo • LMI – do inglˆes, Linear Matrix Inequality • SLIT – Sistema Linear Invariante no Tempo • DE – do inglˆes, Differential Evolution

• BB – do inglˆes, Branch-and-Bound • CE – Cone-Elipsoidal

(17)

• * - Bloco simétrico nas LMIs • R - Conjunto dos números reais • C - Conjunto dos números complexos • R -Parte real do número

• G(s) =   A B C D  = C(sI − A)−1B + D

• kT k∞ - Norma H∞ da fun¸c˜ao de transferˆencia T

• kT k2 - Norma H2 da fun¸c˜ao de transferˆencia T

• I(m) -um número inteiro pseudo-aleatório com distribui¸cão uniforme no intervalo [1, m]

• U(a,b) -um número real pseudo-aleatório com distribui¸cão uniforme no intervalo (a, b)

• Ω -Conjunto polit´opico com infinitos sistemas

• eΩ -Conjunto polit´opico com n´umero finito de pontos

(18)

Cap´ıtulo 1

Introdu¸

c˜

ao

1.1 Revis˜

ao Bibliogr´

afica

Com o extenso desenvolvimento na área de sistemas lineares variantes no tempo e siste-mas não-lineares, a representa¸cão de sistemas de controle por sistemas lineares invariantes no tempo (SLIT) é bastante empregada devido a sua maior simplicidade de análise e de s´ıntese e todo o desenvolvimento já consolidado na área. A aplicabilidade de SLIT é ainda maior quando inclu´ıdas incertezas no modelo. Tais incertezas podem ser decorrentes de dinâmicas em alta-frequência negligenciadas da planta, de não linearidades e de incertezas nos parˆ a-metros do sistema não precisamente conhecidos e que podem variar em faixas conhecidas. Uma forma bastante popular de se modelar sistemas incertos é tratá-los como sistemas li-neares invariantes no tempo (SLIT), representados por modelos no espa¸co de estado, com incerteza politópica. Para esta representa¸cão, cada um dos infinitos sistemas pertencentes ao dom´ınio de incerteza podem ser descritos como uma combina¸cão convexa dos sistemas que correspondem aos vértices do politopo. Sistemas politópicos podem ser derivados de sistemas com parâmetros variando em faixas ou por diferentes pontos de opera¸cão, por exemplo. A popularidade de sistemas politópicos é devida às formula¸cões de análise e s´ıntese baseadas em desigualdades matriciais lineares (LMIs, do inglês linear matrix inequality) (Boyd, El Ghaoui, Feron & Balakrishnan 1994). Por meio das formula¸cões LMI, é poss´ıvel analisar e projetar sistemas de controle considerando somente os sistemas correspondentes aos vértices do politopo. Desse modo, problemas de factibilidade ou de otimiza¸cão global não-convexos, de dif´ıcil solu¸cão, são representados por problemas convexos de solu¸cão mais simples. A

(19)

ponibilidade de softwares comerciais e gratuitos para solu¸cão de problemas LMI refor¸caram a populariza¸cão do uso de sistemas politópicos combinados com formula¸cões LMI (Gahinet, Nemirovski, Laub & Chilali 1995),(Sturm 1999).

Existem diferentes formula¸cões LMI para a análise de estabilidade robusta de SLIT repre-sentados por modelos politópicos, tanto cont´ınuo como discreto no tempo, ou no formato mais geral de D-estabilidade (Chilali & Gahinet 1996), derivadas das condi¸cões de estabilidade se-gundo Lyapunov. A condi¸cão de estabilidade quadrática (Boyd et al. 1994), baseada em uma fun¸cão de Lyapunov simples, com uma única variável de Lyapunov para todos os vértices, ´

e a formula¸cão mais simples, porém a mais conservadora. Para reduzir o conservadorismo, podem-se utilizar variáveis de Lyapunov dependentes de parâmetros (Peaucelle, Arzelier, Ba-chelier & Bernussou 2000, Ramos & Peres 2002, Leite & Peres 2003, Oliveira & Peres 2005b) e fun¸cões de Lyapunov com dependência polinomial de parâmetros (Bliman 2004, Hen-rion, Arzelier, Peaucelle & Lasserre 2004, Chesi, Garulli, Tesi & Vicino 2005b, Oliveira & Peres 2006, Chesi 2008, Chesi 2010). Como verificado em Leite & Peres (2003) e Gon¸calves, Palhares, Takahashi & Mesquita (2007b), a eficiência da formula¸cão LMI de análise diminui com o aumento do número de vértices do politopo ou da ordem do sistema. É poss´ıvel obter formula¸cões menos conservadoras aumentando o número de variáveis de decisão ao custo de um maior tempo de processamento. Mesmo com formula¸cões LMIs mais complexas, nem sempre é poss´ıvel determinar se um sistema politópico é robustamente estável ou não. Este fato motivou o desenvolvimento de um método de análise combinando formula¸cões LMIs com uma técnica de divisão de politopo (Gon¸calves, Palhares, Takahashi & Mesquita 2006b, Gon-¸calves et al. 2007b). Foi verificado que, quando uma formula¸cão baseada em LMIs é não fact´ıvel para um determinado politopo, ela pode se tornar fact´ıvel se for aplicada as subdi-visões do politopo. Desse modo é poss´ıvel determinar se um sistema é robustamente estável dividindo cada politopo até que todos eles resultem em uma solu¸cão fact´ıvel para formula¸cão de análise LMI. Caso o sistema não seja robustamente estável, é poss´ıvel localizar uma ins-tância de sistema instável correspondente a um dos vertices dos politopos. Em (Gon¸calves et al. 2007b) foi verificado que o método LMI/divisão requer menor custo computacional do que formula¸cões LMIs mais complexas.

Um sistema de controle robusto deve garantir não somente a estabilidade robusta do sistema mas também o seu desempenho ótimo para todos os valores poss´ıveis dos parâmetros

(20)

CAPÍTULO 1. INTRODU ¸C ÃO 3 incertos. Uma das formas de caracterizar o desempenho de sistemas de controle é através de normas matriciais de determinadas matrizes de transferência do sistema. Normas matriciais, como as normas H2 e H∞, proporcionam uma medida da influência das entradas exógenas

(dist´urbios de carga, ru´ıdos, sinais de referˆencia etc.) sobre as sa´ıdas controladas do sistema (erros de rastreamento, sinais de controle etc.) (Zhou & Doyle 1998).

Existem formula¸cões LMI de análise para o cálculo de um limitante superior para as normas H2 e H∞ dos infinitos sistemas pertencentes ao dom´ınio de incerteza politópico,

de-nominado custo garantido H2 ou H∞. Formula¸c˜oes LMI de an´alise baseadas no conceito

de estabilidade quadrática (Palhares, Takahashi & Peres 1997), com o uso de uma única variável de Lyapunov para todo o dom´ınio de incerteza, geralmente apresentam resultados conservadores, isto é, o limitante superior é muito maior que o valor real do máximo da norma. Da mesma forma que no caso da análise de estabilidade robusta, para reduzir o con-servadorismo, trabalhos posteriores adotaram o uso de variáveis de Lyapunov dependentes de parâmetros, variáveis matriciais extras e/ou parâmetros de sintonia, como por exemplo em Apkarian, Tuan & Bernussou (2001), de Oliveira, Geromel & Bernussou (2002), de Oli-veira, OliOli-veira, Leite, Montagner & Peres (2004a), de OliOli-veira, OliOli-veira, Leite, Montagner & Peres (2004b), Ebihara & Hagiwara (2004), Trofino, Coutinho & Barbosa (2005) e He, Wu & She (2005). Contudo, os valores obtidos por estas estratégias são apenas limites superiores dos custos exatos dos resultados obtidos que pode variar consideravelmente de um caso para outro. Para reduzir o conservadorismo, as novas formula¸cões estão cada vez mais complexas, requerendo maior esfor¸co computacional, como, por exemplo, as formula¸cões baseadas em fun¸cões de Lyapunov quadráticas com dependência polinomial homogênea de grau arbitrário nos parâmetros (Chesi, Garulli, Tesi & Vicino 2005a, Oliveira & Peres 2005a). A vantagem desta abordagem é que a precisão do custo garantido pode ser melhorada com o aumento do grau da dependência polinomial de parâmetros. Entretanto, a complexidade dessas formu-la¸cões aumenta rapidamente com o número de vértices do dom´ınio politópico de incerteza e com o grau do polinômio. No caso de sistema lineares invariantes no tempo (SLIT), foi verificado que é poss´ıvel calcular o custo garantido com qualquer precisão desejada através do método Branch-and-Bound (Gon¸calves, Palhares, Takahashi & Mesquita 2007a). Como no caso de análise de estabilidade robusta, esse método combina formula¸cões LMI de análise com uma técnica de divisão de politopos. O valor máximo dos custos garantidos calculados

(21)

para cada divisão do politopo é considerado o limitante superior e o valor máximo de norma nos vértices das divisões do politopo é considerado o limitante inferior. O método converge quando a diferen¸ca entre os dois limitantes atende à precisão especificada ou se é localizado um sistema instável sobre os vértices das divisões do politopo.

Na s´ıntese de sistemas de controle robustos, o controlador deve garantir a estabilidade robusta do sistema incerto e minimizar os custos garantidos H2 e/ou H∞ de determinadas

matrizes de transferência em malha-fechada. Através da minimiza¸cão dos custos garantidos H2 e H∞, é poss´ıvel minimizar a influência das entradas exógenas (distúrbios de carga,

ru´ıdos de medi¸cão, sinais de referência etc.) sobre as sa´ıdas controladas do sistema (sa´ıdas da planta, sinais de controle, erros de rastreamento etc.) (Zhou & Doyle 1998). O problema de s´ıntese de sistemas de controle robusto pode ser formulado como um problema de otimiza¸cão semi-infinita em que é necessário minimizar o valor máximo da fun¸cão objetivo e garantir o atendimento às restri¸cões em um dom´ınio com infinito pontos (Zakovic & Rustem 2002), que ´

e um problema de dif´ıcil solu¸c˜ao.

Através das formula¸cões LMI é poss´ıvel não somente analisar como também projetar sis-temas de controle robusto considerando somente os sissis-temas correspondentes aos vértices do politopo. Desse modo, os problemas de otimiza¸cão semi-infinita, geralmente não-convexos, de dif´ıcil solu¸cão, são representados por problemas convexos mais fáceis de serem soluciona-dos. Entretanto, nem todos os problemas de controle robusto podem ser representados por formula¸cões LMI. Problemas de controle robusto representados por formula¸cões LMI podem gerar resultados muito conservadores e, em alguns casos, pode até mesmo não ser obtida uma solu¸cão para o problema. Esses dois fatos motivam o desenvolvimento de estratégias de s´ın-tese alternativas que possam resolver problemas de controle robusto ainda não formulados por LMI ou fornecer solu¸cões ainda mais eficientes. Um exemplo de abordagem alternativa são os métodos probabil´ısticos para projetos de sistemas de controle incertos (Calafiore, Dabbeneb & Tempo 2011).

Em uma dessas abordagens alternativas, o problema de controle robusto, na forma original de problema de otimiza¸cão semi-infinita, foi solucionado através de um procedimento iterativo de dois passos similar ao método proposto por Zakovic & Rustem (2002) para solu¸cões de problemas de otimiza¸cão semi-infinita. Tal procedimento obteve resultados melhores que os obtidos por formula¸cões LMI em diferentes tipos de problemas na área de controle robusto

(22)

CAP´ITULO 1. INTRODU ¸C ˜AO 5 (Gon¸calves, Bachur, Palhares & Takahashi 2011a) (Gon¸calves et al. 2005, Gon¸calves, Palhares & Takahashi 2006, Gon¸calves et al. 2008, Gon¸calves et al. 2011a). A ideia do procedimento ´

e obter a solu¸cão do problema em dois passos: s´ıntese e análise. No passo de s´ıntese, o dom´ınio infinito é substitu´ıdo por um conjunto finito de sistemas que pode ser inicialmente os vértices do politopo. O controlador é projetado para minimizar a fun¸cão objetivo e garantir o atendimento às restri¸cões somente para esse conjunto finito, o que torna o problema mais fácil de ser solucionado. No passo de análise, o controlador obtido no passo de s´ıntese é analisado para todos os infinitos sistemas do politopo. Se for verificado que alguma restri¸cão foi violada ou que o máximo da fun¸cão objetivo nos passos de s´ıntese e de análise possuem uma diferen¸ca significativa, novos sistemas são acrescentados no conjunto finito e os dois passos são executados novamente. O procedimento finaliza quando é verificado que todas as restri¸cões são atendidas para todos os sistemas no dom´ınio infinito e que a diferen¸ca entre o m´ınimo da fun¸cão objetivo calculada em cada passo está dentro de um limite especificado. Nos trabalhos anteriores, esse procedimento foi implementado considerando o algoritmo cone-elipsoidal (CE) para o passo de s´ıntese e o método Branch-and-Bound (BB) para o passo de análise.

1.2 Motiva¸

c˜

ao

Essa implementa¸cão do procedimento iterativo baseada no algoritmo cone-elipsoidal (CE) e no método Branch-and-Bound (BB) pode apresentar problemas em determinadas situa¸cões. Primeiro, o algoritmo cone-elipsoidal é mais adequado para problemas de otimiza¸cão conve-xos. Segundo, apesar do método Branch-and-Bound possuir garantia de convergência para o máximo global com a precisão desejada, o custo computacional do método aumenta rapida-mente com o aumento da ordem do sistema e do número de vértices do politopo, como ocorre com as formula¸cões LMIs. Ao se aplicar o procedimento iterativo para problemas na área de controle multivariável, onde a ordem do modelo no espa¸co de estados é elevada, o método Branch-and-Bound pode apresentar custos computacionais proibitivos. Além disso, quando o sistema de controle é baseado em controladores proporcional-integral-derivativo (PID), é observado que existem diferentes subótimos / ótimos locais no espa¸co de variáveis de oti-miza¸cão, caracterizando o problema como multimodal e então não-convexo. Desse modo é

(23)

interessante estudar outras possibilidades de implementa¸cão desse procedimento. O método evolu¸cão diferencial (DE, do inglês differential evolution) (Storn & Price 1997) apresenta caracter´ısticas que permitem a sua aplica¸cão na implementa¸cão de ambos os passos do pro-cedimento iterativo. Por ser um método evolucionário baseado em popula¸cões, o método DE pode ser aplicado a problemas não diferenciáveis, não convexos e multimodais com maior probabilidade de localiza¸cão do m´ınimo global. Baseado em nossa experiência prévia, o m´ e-todo evolu¸cão diferencial possui a vantagem de manipula¸cão dos operadores o que difere dos algoritmos genéticos, em compara¸cão obteve um menor custo computacional e, em alguns casos observados com solu¸cões melhores. Apesar de não ter a garantia de convergência, como ocorre com o método Branch-and-Bound, para problemas mais complexos, o método evolu¸cão diferencial pode requerer custo computacional muito menor, o que torna essa nova alternativa bastante interessante. Uma motiva¸cão adicional para o uso do método evolu¸cão diferencial ´

e sua maior simplicidade de implementa¸cão que os métodos cone-elipsoidal e Branch-and-Bound o que pode facilitar a utiliza¸cão do procedimento iterativo de s´ıntese de controladores robusto por outros pesquisadores.

1.3 Objetivos

O foco do projeto de pesquisa desta disserta¸cão de mestrado é avaliar o desempenho do método evolu¸cão diferencial na implementa¸cão de ambos os passos do procedimento iterativo de s´ıntese de controladores robustos. Deste modo, este trabalho tem como objetivos:

1. Formular uma nova metodologia de análise de estabilidade robusta de SLIT com mode-los politópicos baseada no método evolu¸cão diferencial, para ser utilizada no passo de análise do procedimento iterativo, de modo que, em caso de sistemas não robustamente estáveis, seja localizada uma coordenada do politopo relativa a um caso de sistema instável no politopo.

2. Analisar o comportamento de diferentes configura¸cões do método de evolu¸cão diferencial para análise de estabilidade robusta por meio de testes exaustivos identificando o grau de confiabilidade do mesmo.

3. Formular uma nova metodologia de c´alculo de custos garantidos H2 e H∞de SLIT com

(24)

CAPÍTULO 1. INTRODU ¸C ÃO 7 passo de análise do procedimento iterativo, que possa determinar o sistema no politopo que corresponde ao valor máximo de norma.

4. Analisar o comportamento de diferentes configura¸cões do método de evolu¸cão diferencial para cálculo de custos garantidos H2 e H∞ por meio de testes exaustivos identificando

o grau de confiabilidade do mesmo.

5. Implementar a etapa de s´ıntese do procedimento iterativo baseado no método de evolu-¸cão diferencial para atender às restri¸cões e minimizar o valor máximo da fun¸cão objetivo para um número finito de sistemas pertencentes ao politopo.

6. Avaliar o comportamento do procedimento iterativo, com ambos os passos implemen-tados pelo m´etodo DE, para a solu¸c˜ao de problemas de controle robusto H2 e H∞.

1.4 Organiza¸

c˜

ao do Trabalho

Esta disserta¸c˜ao est´a organizada da seguinte maneira:

Cap´ıtulo 1: Introdu¸cão. Este cap´ıtulo apresenta uma breve contextualiza¸cão do tema abordado, bem como os objetivos e justificativas do desenvolvimento desta disserta¸cão.

Cap´ıtulo 2: Método Evolu¸cão Diferencial. Apresenta¸cão do Método Diferencial Evolutivo, que será aplicado para resolver diferentes problemas de otimiza¸cão descritos nos Cap´ıtulos 3, 4 e 5.

Cap´ıtulo 3: Analise de Estabilidade Robusta. Apresenta um estudo da viabilidade do uso do método evolu¸cão diferencial para a análise de estabilidade robusta comparando diferentes possibilidades de implementa¸cão e escolha de parâmetros dos operadores.

Cap´ıtulo 4: Aplica¸cão do Método Evolu¸cão Diferencial no cálculo de Custos Garantidos H2 e H∞. Neste cap´ıtulo é avaliada a aplica¸cão do método evolu¸cão diferencial

para o cálculo do valor máximo de normas de SLIT com modelo politópico de incerteza. Cap´ıtulo 5: S´ıntese de Controle Robusto pelo Método Evolu¸cão Diferencial. Neste cap´ıtulo é proposto uma implementa¸cão do método evolu¸cão diferencial para o passo de s´ıntese do procedimento iterativo de s´ıntese de controladores robustos. O procedimento iterativo, com ambos os passos de s´ıntese e análise implementados pelo método evolu¸cão diferencial, é aplicado a um problema de s´ıntese de dif´ıcil solu¸cão e os resultados são

(25)

com-parados com as solu¸c˜oes obtidas por implementa¸c˜oes anteriores (Gon¸calves et al. 2005, Gon-¸calves, Palhares & Takahashi 2006, Gon¸calves et al. 2008, GonGon-¸calves, Bachur, Palhares & Takahashi 2011b).

Cap´ıtulo 6: Conclusões. Apresenta¸cão das conclusões, propostas para trabalhos futu-ros e a produ¸cão acadêmica relacionada com a disserta¸cão.

(26)

Cap´ıtulo 2

M´

etodo Evolu¸

c˜

ao Diferencial

2.1 Introdu¸

c˜

ao

Projetistas muitas vezes têm de lidar com o problema clássico de otimiza¸cão, ou seja, encontrar a solu¸cão mais adequada de um problema dentro das limita¸cões e flexibilidades do projeto. Através de métodos de otimiza¸cão, pretendemos descobrir o conjunto de valores dos parâmetros do sistema para as quais o desempenho global do sistema será o melhor sob algumas condi¸cões de projeto. As técnicas de otimiza¸cão baseiam-se na busca pela “melhor solu¸cão” ou “ótimo global” de problemas de projeto para os quais é poss´ıvel quantificar o grau de adequa¸cão de cada solu¸cão (Takahashi 2007). Os projetistas geralmente necessitam de uma técnica que atenda a três requisitos principais. O método deve ser capaz de encontrar uma solu¸cão ótima para o problema que resulte em um desempenho adequado para o sistema projetado. A convergência do algoritmo deve ser rápida, requerendo um menor custo com-putacional. Além disso, o método deve possuir o m´ınimo número de parâmetros de ajuste tal que fique fácil de ser utilizado (Storn & Price 1995).

Com base em experiência prévia, podemos afirmar que os três diferentes problemas de otimiza¸cão, a serem tratados nas etapas de s´ıntese e análise do procedimento iterativo de s´ıntese de sistemas de controle robusto em estudo, podem ser não diferenciável, não convexo e multimodal. Desse modo, métodos de otimiza¸cão determin´ısticos, como os métodos quasi-Newton ou o método elipsoidal, podem ter dificuldades para obten¸cão do m´ınimo global. Para a solu¸cão dessa classe de problemas são comumente empregados os métodos evolutivos, baseados em popula¸cões de solu¸cões, que terão maior probabilidade de obten¸cão do m´ınimo

(27)

global. Dentro dos métodos evolutivos mais conhecidos, podemos citar o algoritmo genético (Goldberg 1989), o método de enxame de part´ıculas (Kennedy 1995), o método de evolu-¸cão diferencial (Rainer Storn e Kenneth Price em 1995) e o algoritmo de busca harmônica (Geem & Loganathan 2001). Com base em experiência prévia com alguns desses algoritmos de otimiza¸cão, nessa disserta¸cão de mestrado é realizada o estudo sobre a viabilidade de im-plementa¸cão dos passos do procedimento de projeto iterativo com base no método evolu¸cão diferencial.

O Método Evolu¸cão Diferencial (DE, do inglês Differential Evolution) é um algoritmo de otimiza¸cão evolucionário para solu¸cão de problemas com fun¸cões de dom´ınio real, proposto por Rainer Storn e Kenneth Price em 1995. O método DE inclui operadores similares aos empregados por algoritmos evolucionários padrões: muta¸cão, cruzamento ou recombina¸cão e sele¸cão. O mecanismo de busca do algoritmo é baseado em um operador de muta¸cão di-ferencial e embora a muta¸cão diferencial não tenha base ou inspira¸cão em nenhum processo natural, o algoritmo DE é classificado como um algoritmo evolutivo (Storn & Price 1995). O algoritmo ganhou destaque na comunidade internacional de Computa¸cão Evolutiva após apre-sentar excelente desempenho nas edi¸cões de 1996 e 1997 da International Contest on Evoluti-onary Optimization da International Conference on EvolutiEvoluti-onary Computation (IEE/ICEC) (Storn & Price 1995). O método DE apresenta qualidades computacionais interessantes, destacando-se:

• simplicidade de implementa¸c˜ao; • robustez e eficiˆencia;

• f´acil adapta¸c˜ao; • versatilidade.

2.2 T´

ecnica de otimiza¸

c˜

ao baseada no m´

etodo evolu¸

c˜

ao

diferencial (DE)

Um problema de otimiza¸c˜ao escalar com restri¸c˜oes de desigualdades pode ser representado por:

(28)

CAPÍTULO 2. M ÉTODO EVOLU ¸C ÃO DIFERENCIAL 11    x∗ = arg min x f (x) Sujeito a: g(x) ≤ 0 (2.1) sendo x ∈ Rn _{o vetor de vari´}_{aveis de otimiza¸c˜}_{ao a ser determinado, f (x) : R}n _{7→ R a fun¸cão}

objetivo a ser minimizada, g(x) : Rn7→ Rp _{o vetor de fun¸c˜}_{oes de restri¸c˜}_{oes a serem atendidas}

e x∗ _{∈ R}n _{o vetor solu¸c˜}_{ao do problema.}

O m´etodo DE foi desenvolvido para tratar problemas de otimiza¸c˜ao escalar irrestrito na forma:

x∗ = arg min

x f (x) (2.2)

A Figura 2.1 apresenta um diagrama de blocos do algoritmo evolutivo representando a sequˆencia dos operadores.

Figura 2.1: Diagrama de bloco das principais etapas do algoritmo DE As se¸c˜oes a seguir apresentam uma descri¸c˜ao dos operadores.

2.2.1 Muta¸

c˜

ao

Em geral o conjunto inicial de vetores é gerado aleatoriamente e deve cobrir todo o espa¸co de busca. Na ausência de qualquer conhecimento acerca do espa¸co de busca (regiões pro-missoras ou mesmo solu¸cões parciais), utiliza-se uma distribui¸cão uniforme para a popula¸cão inicial.

U(a,b) um número real pseudo-aleatório com distribui¸cão uniforme no intervalo (a, b); I(m)

um número inteiro pseudo-aleatório com distribui¸c˜_{ao uniforme no intervalo [1, m]; x ∈ R}n o vetor de variáveis de otimiza¸cão; e N o número de indiv´ıduos (solu¸cões candidatas) da popula¸cão, em que geralmente 5n ≤ N ≤ 10n. Supondo uma popula¸cão na k-ésima itera¸cão,

(29)

Xk = {xk,i; i = 1, . . . , N }, a i-ésima solu¸cão é definida como: xk,i=      xk,i,1 .. . xk,i,n      . (2.3)

sendo n o número de variáveis de otimiza¸cão.

O DE gera novos vetores de parâmetros através da adi¸cão da diferen¸ca ponderada entre dois vetores de parâmetros a um terceiro vetor, denominado vetor base. Considere esta opera¸cão como uma muta¸cão.

O operador muta¸cão é descrito na equa¸cão:

vk,i = xk,r1 + F (xk,r2 − xk,r3)

em que:

• Os ´ındices r1 6= r2 6= r3 6= i s˜ao gerados como rj = I(N ), j = 1, ..., 3.

• vk,i representa a i-ésima solu¸cão mutante, na k-ésima gera¸cão;

• F ´e um fator de escala aplicado ao vetor diferen¸ca, geralmente F ∈ [0; 1]; • xk,r1 ´e denominado vetor de base.

Obt´em-se uma popula¸c˜ao mutante tomando como partida este procedimento: Vk =

{vk,i; i = 1, . . . , N }. Baseado em resultado de pesquisas anteriores, ´e verificado que

sele-cionando F aleatoriamente em um intervalo entre 0,5 e 1, para cada gera¸cão ou para cada vetor-diferen¸ca, melhora significativamente o comportamento de convergência, especialmente para fun¸cões objetivo não suaves (Price 2014). A opera¸cão de muta¸cão é demonstrado na figura 2.2

(30)

CAPÍTULO 2. M ÉTODO EVOLU ¸C ÃO DIFERENCIAL 13 vetor base xk,r x x x v k,r k,r k,i k,i 1 3 2 x x 1 2

possíveis vetor teste, u_k,i

Figura 2.2: Operadores muta¸cão e recombina¸cão no espa¸co de parâmetros bidimensional Quando usado em conjunto com recombina¸cão binomial, o operador muta¸cão básico é denominado DE / rand / 1 / bin (Das 2011).

A conven¸cão geral usada é DE / x / y / z, onde x representa um texto denotando o vetor base a ser perturbado, y é o número de diferen¸cas de vetores considerados para perturba¸cão de x e z o tipo de recombina¸cão a ser utilizado (exp: exponencial; bin: binomial). Os outros quatro esquemas diferentes de muta¸cão, sugeridos por Storn e Price, são resumidos como (Storn & Price 1995),(Storn & Price 1997):

DE/best/1:

vk,i = xk,best+ F (xk,r1 − xk,r2)

DE/target-to- best/1:

vk,i = xk,i+ F (xk,best− xk,i) + F (xk,r1 − xk,r2)

DE/best/2:

vk,i = xk,best+ F (xk,r1 − xk,r2) + F (xk,r3 − xk,r4)

DE/rand/2:

(31)

2.2.2 Recombina¸

c˜

ao

O operador de recombina¸cão é obtido da seguinte maneira: os indiv´ıduos da popula¸cão Xk são recombinados com os indiv´ıduos da popula¸cão mutante Vk. A partir desta

recombi-na¸cão, gera-se uma popula¸cão de solu¸cões teste Uk. Na versão clássica do DE, emprega-se

recombina¸c˜ao discreta com probabilidade Cr entre 0 e 1, ou seja:

uk,i,j =

  

vk,i,j, se U[0,1] ≤ Cr ou j = δi

xk,i,j, caso contr´ario.

para j = 1, . . . , n, i = 1, . . . , N , sendo Cr ∈ [0, 1] a taxa de cruzamento. A figura 2.2 apresenta

as possibilidades de vetor teste para o caso de um espa¸co de parˆametros bidimensional.

2.2.3 Sele¸

c˜

ao

A opera¸cão de sele¸cão determina qual solu¸cão, se o alvo, xk,i, ou a tentativa, uk,i, sobrevive

para pr´oxima gera¸c˜ao:

xk+1,i =

  

uk,i, se f (uk,i) ≤ f (xk,i)

xk,i, caso contr´ario.

2.2.4 Algoritmo b´

asico

Com rela¸cão ao tamanho da popula¸cão, N , recomenda-se utilizar a seguinte rela¸cão: 5n ≤ N ≤ 10n

Estrutura de código computacional é representado uma montagem para resolver um pro-blema de otimiza¸cão com o DE. Supondo L o limite de cada variável; N o tamanho da popula¸cão; M o número de gera¸cões, Cr a probabilidade de recombina¸cão e F o fator de escala, considerando o espa¸co de busca normalizado [0,1] o algoritmo DE pode ser descrito como:

k ← 1

Xk ← Inicia Populacao(L, N )

(32)

CAPÍTULO 2. M ÉTODO EVOLU ¸C ÃO DIFERENCIAL 15 enquanto k ≤ M para i = 1, . . . , N % Muta¸cão diferencial Gerar r1 6= r2 6= r3 ∈ {1, . . . , N } Fi ← 0,5 + 0,5U(0, 1) vk,i← xk,r1 + Fi× (xk,r2 − xk,r3) fim-para para i = 1, . . . , N δi ← I(n)

uk,i ← Recombinacao(xk,i, vk,i, δi, Cr)

fim-para Fu ← funcao objetivo(Uk) Xk+1 ← Selecao(Xk, Uk, Fx, Fu) k ← k + 1 fim-enquanto

2.3 Conclus˜

ao

No próximo cap´ıtulo é apresentado o estudo da aplica¸cão do método DE para análise de estabilidade robusta. Tal análise é necessária para implementa¸cão do procedimento iterativo de s´ıntese a ser descrito no Capitulo 5.

(33)

An´

alise de Estabilidade Robusta

3.1 Introdu¸

c˜

ao

Na análise de estabilidade Robusta é apresentada uma formula¸cão de otimiza¸cão que ´

e resolvida pelo Método DE. A implementa¸cão do método DE foi feita com base numa configura¸cão de parâmetros a fim de obter um melhor desempenho de tempo computacional por via de testes com diferentes possibilidades. São apresentados os resultados dos testes exaustivos do método DE proposto para analisar a viabilidade de seu uso como estratégia de análise de estabilidade robusta de SLIT.

3.2 Formula¸

c˜

ao do problema

Considere o sistema linear invariante no tempo descrito por

˙x(t) = A(χ)x(t) (3.1) sendo x(t) ∈ Rn o vetor de variáveis de estado. Considere que a matriz A(χ) pode possuir parâmetros incertos que pertencem a um conjunto compacto convexo, ou politopo, definido por seus vértices:

A , ( A(χ) ∈ Rn×n : A(χ) = η X i=1 χiAi; χ ∈ Ω ) , (3.2) 16

(34)

CAP´ITULO 3. AN ´ALISE DE ESTABILIDADE ROBUSTA 17 Ω , ( χ ∈ Rη : χi ≥ 0, η X i=1 χi = 1 ) , (3.3)

sendo Ai, i = 1, . . . , η, os v´ertices do politopo e χ =

h

χ1 . . . χη

iT

o vetor que parametriza o politopo. O sistema politópico é robustamente estável se todos os autovalores de A(χ) ∈ A, para todo χ ∈ Ω, estão localizados no semi-plano esquerdo do plano-S, isto é, possuem parte real negativa.

A estabilidade robusta do sistema politópico (3.1) pode ser facilmente verificada pelo seguinte problema de factibilidade LMI: o sistema (3.1) é quadraticamente estável se existe P = PT _{∈ R}n×n tal que P 0 e

AT_i P + P Ai ≺ 0, (3.4)

para i = 1, . . . , η. Tal problema ´e facilmente solucionado pelos LMI solvers dispon´ıveis como o LMI Control Toolbox (Gahinet et al., 1995) ou o SeDuMi Interface (Peaucelle, Henrion, Labit e Taitz, 2002; Sturm, 1999), ambos para uso com o MATLABr_{. A formula¸c˜}_{ao de}

esta-bilidade quadrática é muito exigente para o caso de análise de estabilidade robusta de SLIT. Como mencionado na introdu¸cão, várias formula¸cões LMI mais complexas foram propostas buscando aumentar a taxa de sucesso para identifica¸cão de sistemas robustamente estáveis ao custo de um maior esfor¸co computacional. A formula¸cão de análise de estabilidade robusta mais simples é obtida considerando uma variável de Lyapunov dependente de parâmetro na equa¸cão (3.4): Pi = PiT 0, i = 1, . . . , η.

Mesmo com o aumento da complexidade e maior custo computacional, como foi verifi-cado em (Gon¸calves, Palhares, Takahashi & Mesquita 2006b, Gon¸calves et al. 2007b), com o aumento da ordem do sistema e do número de vértices do politopo, as formula¸cões LMIs podem falhar na verifica¸cão de estabilidade robusta. Em trabalhos anteriores(Gon¸calves, Pa-lhares, Takahashi & Mesquita 2006b, Gon¸calves et al. 2007b) foi proposto um método que combina as formula¸cões LMIs com uma técnica de divisão de politopos orientada pela arestas (Gon¸calves, Palhares, Takahashi & Mesquita 2006a). Caso a formula¸cão LMI não seja fact´ıvel para o politopo, o simplex no espa¸co d-dimensional, d = η − 1, é dividido em d2 _{simplexos e a}

formula¸cão LMI é aplicada para cada um deles. Enquanto existir simplexos cuja formula¸cão LMI é infact´ıvel, eles devem ser subdividos até uma das duas seguintes situa¸cões ser atingida: 1) é verificado que todos os simplexos que compõem o politopo sejam robustamente estáveis,

(35)

ou seja, o sistema é robustamente estável, ou 2) é localizado uma matriz A(χ), χ ∈ Ω, que re-sulte em um sistema instável comprovando que o sistema não é robustamente estável. Através de testes exaustivos, foi verificado que o método que combina formula¸cão LMI com divisão de politopo é mais eficaz que as formula¸cões LMIs isoladamente e ainda pode apresentar menor custo computacional que formula¸cões LMIs mais complexas (Gon¸calves, Palhares, Takahashi & Mesquita 2006b, Gon¸calves et al. 2007b). Esta metodologia está dispon´ıvel para download no MATLABr Central, File ID: #46647. Um bom compromisso entre eficiência e complexi-dade, para ser utilizado nessa metodologia, é a formula¸cão LMI apresentada em (Peaucelle et al. 2000) (Teorema 4): o sistema (3.1) é robustamente estável se existe Pi = PiT ∈ Rn×n,

F ∈ Rn×n _{e G ∈ R}n×n _{tal que P} i 0 e   AT_i FT + F Ai Pi − F + ATi G Pi− FT + GTAi −(G + GT)  ≺ 0, (3.5) para i = 1, . . . , η.

A única desvantagem do método de análise baseado na divisão do politopo é o rápido crescimento do custo computacional com o número de vertices do politopo, η, que define a dimensão do simplex. Desse modo, é interessante desenvolver uma nova metodologia para os casos em que o custo computacional passe a ser proibitivo.

O problema de análise de estabilidade robusta do sistema politópico pode ser formulado como um problema de otimiza¸cão em que é desejado determinar a maior parte real dos n autovalores das infinitas matrizes A(χ) ∈ A:

χ∗ = arg min

χ∈Ωf (χ), f (χ) , − maxi R(λi(A(χ))) (3.6)

sendo R(λ) a parte real de λ ∈ C e λi(A) o i-´esimo autovalor de A ∈ Rn×n. Se f (χ) ≤ 0, isso

significa que existe uma instância de A(χ) com autovalores no semi-plano direito do plano-S e o sistema não é robustamente estável. Caso contrário, existe uma grande probabilidade do sistema ser robustamente estável, mas não pode-se afirmar com absoluta certeza uma vez que trata-se de um problema de otimiza¸cão não convexo, com m´ınimos em diferentes regiões de Ω, isto é, multimodal.

(36)

locali-CAPÍTULO 3. AN ÁLISE DE ESTABILIDADE ROBUSTA 19 zar o m´ınimo global de fun¸cões multimodais. A op¸cão nesse trabalho foi adotar o algoritmo de evolu¸cão diferencial com base em nossa experiência prévia. O método evolu¸cão diferen-cial, descrito no cap´ıtulo anterior, é fácil de ser implementado e existem implementa¸cões dispon´ıveis gratuitamente.

3.3 M´

etodo Evolu¸

c˜

ao Diferencial na An´

alise de

Esta-bilidade Robusta

Seja U(a,b) um número inteiro pseudo-aleatório com distribui¸cão uniforme no intervalo

(a, b); I(m) um número inteiro pseudo-aleatório com distribui¸cão uniforme no intervalo [1, m];

χ ∈ Rη _{o vetor de vari´}_{aveis de otimiza¸c˜}_{ao e N o n´}_{umero de indiv´ıduos (solu¸c˜}_{oes candidatas)}

da popula¸cão. Supondo a popula¸cão na k-ésima itera¸cão, Xk = {χk,i; i = 1, . . . , N }, a

i-ésima solu¸cão é definida como:

χk,i =      χk,i,1 .. . χk,i,η      . (3.7)

As caracter´ısticas espec´ıficas para o uso de método DE com o problema de análise de estabilidade robusta são descritas nas se¸cões a seguir.

3.3.1 Popula¸

c˜

ao Inicial

Para encontrar de forma mais eficiente a solu¸cão do problema (3.6), após diferentes testes, foi adotada uma popula¸cão inicial composta pelos vértices, três pontos determin´ısticos sobre cada aresta e η solu¸cões distribu´ıdas de forma aleatória também sobre as arestas do politopo Ω. Seja Ii ∈ Rη a i-ésima coluna da matriz identidade, a popula¸cão inicial é criada pelo

seguinte algoritmo: para i ← 1 até η χ1,i← Ii fim para i ← η para p ← 1 até η − 1 para q ← p + 1 até η

(37)

χ1,i+1← 0,25χ1,p+ 0,75χ1,q χ1,i+2← 0,5χ1,p+ 0,5χ1,q χ1,i+3← 0,75χ1,p+ 0,25χ1,q i ← i + 3 fim para fim para para j ← 1 at´e η r1← I(η) repita r2← I(η) at´e r1 6= r2 α ← U_(0,1) i ← i + 1 χ1,i← αχ1,r1 + (1 − α)χ1,r2 fim para

O tamanho total da popula¸c˜ao ´e dado por N = η + 3η(η − 1)/2 + η.

NOTA 3.1: Baseado nos testes realizados, incluir os vértices e pontos nas arestas aceleram a convergência do algoritmo e aumentam a probabilidade de se localizar sistemas instáveis no politopo quando os mesmos existem. Esta op¸cão foi adotada considerando que a técnica ba-seada em divisão de politopos, combinada com formula¸cão LMI, geralmente localiza sistemas instáveis sobre as arestas.

3.3.2 Muta¸

c˜

ao diferencial

Sejam os ´ındices r1 6= r2 6= r3 6= i gerados como rj = I(N ), j = 1, ..., 3. Com base

em testes anteriores, testando as várias formas de implementa¸cão do operador de muta¸cão, para resolver o problema (3.6) foi adotado o operador no seu formato tradicional. A i-ésima solu¸cão mutante é obtida como sendo:

(38)

CAPÍTULO 3. AN ÁLISE DE ESTABILIDADE ROBUSTA 21 i = 1, . . . , N . Para este problema adotamos o fator de escala aleatório para cada muta¸cão, sendo Fi = U(0,1,1). Outras possibilidade testadas foram valor constante, F = 0,5, ou valor

aleat´orio em faixa menor de varia¸c˜ao, F = U(0,5,1).

3.3.3 Cruzamento

O cruzamento é realizado entre a i-ésima solu¸cão da popula¸cão atual, χk,i, e da popula¸cão

mutante, vk,i, para gerar a i-ésima solu¸cão da popula¸cão teste, uk,i, descrita na se¸cão (2.2.2).

Foi adotado Cr = 0,5, pois obteve melhores resultados que o outro valor testado Cr = 0,9 no

problema. O ´ındice δi = I(η) garante que uk,i 6= χk,i.

3.3.4 Tratamento das restri¸

c˜

oes

No problema (3.6), uma solu¸cão é fact´ıvel se χk,i ∈ Ω, isto é, χk,i,j ≥ 0, ∀ j, e

Pη

j=1χk,i,j =

1. Nesta disserta¸cão, optamos por for¸car que toda solu¸cão atenda as restri¸cões para evitar o uso de tratamento de restri¸cão pelo método de penalidades. Para isso aplicamos as seguintes opera¸cões sobre as solu¸cões obtidas pelas opera¸cões de muta¸cão e cruzamento:

uk,i,j = |uk,i,j|, j = 1, . . . , η;

uk,i = uk,i/kuk,ik1, i = 1, . . . , N.

(3.9)

A primeira opera¸c˜ao garante que uk,i,j > 0 e a segunda que Pη_j=1uk,i,j = 1. A Fig. 3.1

ilustra as opera¸cões de muta¸cão, cruzamento e tratamento de restri¸cão para η = 2, sendo que o ´ındice relativo à itera¸cão foi omitido para simplificar à anota¸cão. A região fact´ıvel é a reta interligando os vértices [1 0]T _{e [0 1]}T_{. O operador de muta¸c˜}_{ao gera a solu¸c˜}_{ao mutante,}

vi, somando a diferen¸ca entre xr2 e xr3 sobre a solu¸c˜ao base xr1. Os quadrados brancos

mostram as poss´ıveis solu¸cões testes geradas a partir da recombina¸cão entre a solu¸cão alvo, xi, e a solu¸cão mutante, vi. Considerando que foi obtida a solu¸cão teste ui, após as opera¸cões

para tornar os elementos positivos e for¸car a soma dos elementos igual a 1, é obtido a solu¸cão teste, ui, representada pelo quadrado preto, que participará da sele¸cão com a solu¸cão alvo,

(39)

χ

2 1

1

1 x

v

u

x

r3 r1 r2 i i i

u

_i

-a

a

Figura 3.1: Exemplo de opera¸cões de muta¸cão, cruzamento e tratamento de restri¸cão para η = 2.

3.3.5 Sele¸

c˜

ao

A sele¸cão adotada para o problema foi a padrão descrita no cap´ıtulo anterior na se¸cão 2.2.3

3.3.6 Crit´

erio de parada

Foi escolhido como critérios de parada o número máximo de gera¸cões, Ng, ou a

conver-gência da popula¸cão comparando os valores máximo e m´ınimo de f (χ) da k-ésima popula¸cão, maxif (χk,i) − minjf (χk,j) ≤ , χ ∈ Xk. Nessa disserta¸cão foi adotado Ng = 200η e = 10−8.

3.4 Testes exaustivos

Para avalia¸cão do método de análise de estabilidade robusta baseado no método DE, foram realizados dois testes exaustivos. No primeiro teste, foram gerados 100 sistemas aleatórios para valores combinados de n ∈ {2, 4, 8} e η ∈ {2, 4, 8}. As matrizes Ai ∈ Rn×n, i = 1, . . . , η,

foram criadas com elementos aleatórios, com distribui¸cão Gaussiana, com média zero e desvio padrão unitário. Para garantir uma distribui¸cão aproximada entre sistemas robustamente estáveis ou não, foram calculados os autovalores para cada vértice do politopo, sendo cada

(40)

CAP´ITULO 3. AN ´ALISE DE ESTABILIDADE ROBUSTA 23 Tabela 3.1: Resultados do teste 1

n, η Ps(%) TDE(s) TBB(s) Ne 2,2 100 2,0454 1,0670 56 2,4 100 8,1663 1,9870 51 2,8 100 66,8466 20,8050 53 4,2 100 2,5055 1,9790 57 4,4 100 9,1573 5,8400 48 4,8 100 84,0276 103,4540 54 8,2 100 3,9225 18,2340 73 8,4 100 11,5950 33,4600 54 8,8 100 89,6515 746,4330 54 matriz recalculadas como:

Ai = Ai− (σm,i+ U(0,d))I, i = 1, . . . , η, (3.10)

sendo σm,i o valor m´aximo da parte real dos autovalores, I a matriz identidade de ordem

compat´ıvel e d um parâmetro ajustado de acordo com η: d = 10−3 para η = 2, d = 0,5 para η = 4 e d = 1 para η = 8. O método de análise baseado no DE foi executado 10 vezes para cada sistema politópico. Os resultados obtidos são apresentados na Tabela 3.1, sendo Ps o

percentual de sucesso, TDE o tempo computacional total médio das 10 análises pelo método

DE, TBB o tempo computacional total da análise pelo método LMI/divisão e Ne o número

de sistemas est´aveis em 100. Foi utilizado um computador com processador Intelr _CoreT M

i7-3630QM 2,40GHz. Para essa amostra de 9.000 sistemas politópicos, o método DE chegou ao mesmo resultado de análise que o método LMI/divisão em todos os casos. Para valores menores de n e η, o método DE apresenta maior custo computacional, mas essa situa¸cão muda com o aumento de n ou de η. O método DE apresenta maior custo computacional ao analisar sistemas robustamente estáveis. Isso se deve ao fato de que, não se encontrando um sistema instável, o critério de parada permanece sempre no valor de 10−8, o que requer maior número de itera¸cões para convergência. Quando o sistema não é robustamente estável, o número de itera¸cões para convergência é muito menor. No teste realizado para n = 8 e η = 8, o número de itera¸cões para convergir variou entre 22 e 232 no caso de sistemas instáveis. No caso de sistemas estáveis, em alguns casos a parada do algoritmo ocorreu por atingir o número máximo de itera¸cões, Ng = 200η, sendo Ng = 1.600 no caso de η = 8.

(41)

No segundo teste, foram gerados 100 sistemas aleatórios, instáveis, para os valores com-binados de n ∈ {2, 4, 8} e η ∈ {2, 4, 8}. Para um teste ainda mais rigoroso da eficiência do método DE, foram calculados os autovalores nos vértices e nos três pontos sobre cada aresta do politopo (mesmos pontos inclu´ıdos na popula¸cão inicial do algoritmo DE). Seja σm o valor

m´aximo da parte real de todos os autovalores calculados. Todas as matrizes dos v´ertices do politopo foram recalculadas como:

Ai = Ai− (σm+ 0,01U(0,1))I, i = 1, . . . , η, (3.11)

Desse modo, é garantido que todos os vértices e os três pontos sobre cada aresta do politopo são sistemas estáveis. O sistema politópico resultante é analisado com o método LMI/divisão. Se é verificado que o sistema é robustamente estável, o mesmo é descartado. O objetivo dessa metodologia de gera¸cão dos sistemas, que não são robustamente estáveis, é evitar que o método DE não tenha sucesso apenas pela forma que foi gerada a popula¸cão inicial, mas sim pelo seu mecanismo de otimiza¸cão.

O método DE foi executado 10 vezes para cada sistema. A versão apresentada da im-plementa¸cão e a configura¸cão dos parâmetros resultaram em uma alta taxa de sucesso com apenas 19 falhas em 9.000 testes. A Tabela 3.2 lista o percentual de sucesso, Ps, o tempo

computacional total médio das 10 análises pelo método DE e o tempo computacional total da análise pelo método LMI/divisão, para cada par n e η. Pode ser observado que o método DE requer tempo computacional muito menor que o método LMI/divisão em todos os casos. Como comentado anteriormente, o método DE finaliza mais rápido quando lidando com sis-temas instáveis. Porém, diferente do LMI/divisão, determin´ıstico, o método DE, estocástico, não tem garantia de localiza¸cão de uma instância de sistema instável no politopo. Desse modo, para qualquer caso de n e η, quando f (χ) > 0, significa apenas que existe uma alta probabilidade do sistema ser robustamente estável.

Para demonstrar a dificuldade de se localizar um sistema instável no politopo, foi seleci-onado um sistema com n = 8 e η = 8 com uma região de sistemas instáveis bastante dif´ıcil de ser localizada. Mesmo obtendo a nuvem de polos para 100.000 sistemas aleatórios perten-centes ao politopo, não é observado nenhum polo com parte real maior que −0.5. A Fig. 3.2 mostra a superf´ıcie de maxiR(λi(A(χ))), isto é −f (χ), em fun¸cão de χ2 e χ6, para 100 × 100

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CAP´ITULO 3. AN ´ALISE DE ESTABILIDADE ROBUSTA 25 Tabela 3.2: Resultados do teste 2

n, η Ps(%) TDE(s) TBB(s) 2,2 100 0,37 3,99 2,4 100 2,83 18,32 2,8 99,6 24,390 521,6360 4,2 100 0,45 7,01 4,4 99,8 3,39 25,97 4,8 99,7 27,1422 630,7640 8,2 100 0,5647 74,1740 8,4 100 4,53 170,16 8,8 99 34,4639 3.050,4

Fig. 3.2. É observado que existe uma região muito pequena próxima a uma aresta de Ω em que os sistemas são instáveis. Nota-se que f (χ) = − maxiR(λi(A(χ))) é não diferenciável,

não convexa e multimodal, o que dificulta o uso de técnicas de otimiza¸cão determin´ıstico. A razão para o aumento do custo computacional do método LMI/divisão é que para cada politopo cuja formula¸cão LMI não é fact´ıvel e tenha todos os vértices estáveis, é necessário dividir o politopo em 2d novos politopos, d = η − 1, sendo que todos devem ser analisados pela formula¸cão LMI. Por exemplo, para η = 8, cada divisão resulta em 27 _{= 128 novos}

politopos.

NOTA 3.1: Para se tentar chegar a 100% de sucesso, foi experimentado aplicar um método de busca local sobre a solu¸cão final do algoritmo DE. Entretanto, foi observado que, em muitos casos de falha do algoritmo DE, a solu¸cão final estava em uma região de m´ınimo diferente dá região de m´ınimo global onde se localizava a pequena região de sistemas instáveis. Desse modo, tal estratégia foi descartada. Foi observado que os sistemas que resultam em falhas podem mudar de acordo com a configura¸cão dos parâmetros do DE devido às diferentes formas das superf´ıcies de f (χ).

NOTA 3.2: Diferente do método LMI/divisão que determina a coordenada χ do primeiro sistema instável localizado sobre o ponto médio de uma aresta, o método de análise baseado no algoritmo DE tenta localizar a coordenada χ correspondente ao sistema com maior parte real dos autovalores de A(χ). É claro que poderia ser utilizado como critério de parada a localiza¸cão do primeiro valor de f (χ) ≤ 0, mas para aplica¸cão no procedimento de s´ıntese de sistemas de controle robusto diretamente no espa¸co de parâmetros do controlador, é mais interessante localizar a coordenada correspondente ao m´ınimo de f (χ). Para reduzir o custo

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0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 χ₂ χ₆ −f( χ )

Figura 3.2: Superf´ıcie de maxiR(λi(A(χ))), em fun¸c˜ao de χ2 e χ6, para um modelo com

η = 8.

computacional, se f (χ) ≤ 0 então o critério de parada é modificado de = 10−8 para = 0,1, uma vez que já foi identificado que o sistema não é robustamente estável.

3.5 An´

alise de Diferentes Op¸

c˜

oes

A configura¸cão final do método DE para análise de estabilidade robusta, descrita nas se¸cões anteriores, foi adotada após a avalia¸cão de diferentes possibilidades de tratamento do problema, escolhas da popula¸cão inicial, operadores de muta¸cão e parâmetros dos operadores de muta¸cão e recombina¸cão. A seguir é descrito e comparado algumas das possibilidades avaliadas.

Op¸cão 1: Trabalhar no espa¸co de dimensão η − 1 em que a região de factibilidade é um simplex unitário. Defina o vetor de otimiza¸c˜_{ao como sendo x , [χ}1. . . χη−1]T. Além

de reduzir a dimensão do espa¸co de busca, a restri¸cão de igualdade é transformada em uma restri¸cão de desigualdade que é mais fácil de ser tratada por métodos de otimiza¸cão não

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CAP´ITULO 3. AN ´ALISE DE ESTABILIDADE ROBUSTA 27 χ₂ χ 6 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 região instável

Figura 3.3: Regi˜oes de n´ıvel de maxiR(λi(A(χ))), em fun¸c˜ao de χ2 e χ6, para um modelo

com η = 8. lineares: η−1 X i=1 χi ≤ 1. (3.12)

Se a restri¸cão (3.12) é atendida então χη = 1−

Pη−1

i=1 χi.A dificuldade de tratar o problema

dessa forma é que não descobrimos uma forma eficiente de impor uma solu¸cão fact´ıvel como foi feito para o espa¸co de dimensão η. Neste caso é necessário utilizar um método de penalidades para tratar as solu¸cões não fact´ıveis. Definindo as restri¸cões como sendo:

                   g1(χ) , −χ1 ≤ 0 .. . gη−1(χ) , −χη−1≤ 0 gη(χ) , −1 + η−1 X i=1 χi ≤ 0 , (3.13)

(45)

e a composi¸c˜ao pelo m´aximo

r(χ) = max

i gi(χ), (3.14)

a fun¸c˜ao objetivo a ser minimizada ´e definida como:

f (χ) =    − maxiR(λi(A(χ))) se r(χ) ≤ 0 108_{+ r(χ)} _{se r(χ) > 0} . (3.15)

Esta op¸cão foi implementada com as mesmas configura¸cões descritas nas se¸cões anteriores, incluindo a configura¸cão da popula¸cão inicial.

Op¸cão 2: Mesma configura¸cão descrita nas se¸cões anteriores, adotando a popula¸cão com mesma dimensão mas sendo distribu´ıda inicialmente sobre os vértices do politopo e aleatoriamente no interior do politopo.

Op¸cão 3: Mesma configura¸cão descrita nas se¸cões anteriores, mas adotando o seguinte operador muta¸cão:

vk,i = χk,r1 + F1,i(χk,r2 − χk,r3) + F2,i(χk,r4− χk,r5), (3.16)

sendo r1 6= r2 6= r3 6= r4 6= r5 6= i gerados como rj = I(N ), j = 1, ..., 5 e Fj,i = U(0,1,1), j = 1, 2.

Op¸cão 4: Mesma configura¸cão descrita nas se¸cões anteriores, mas adotando o seguinte operador muta¸cão:

vk,i = χk,i+ F1,i(χk,best− χk,i) + F2,i(χk,r1 − χk,r2), (3.17)

sendo χk,best a melhor solu¸c˜ao da popula¸c˜ao Xk, r1 6= r2 6= i gerados como rj = I(N ), j = 1, 2

e Fj,i = U(0,1,1), j = 1, 2.

A Tabela 3.3 apresenta os resultados exaustivos para o segundo teste, descrito na se¸cão anterior, para estas op¸cões de implementa¸cão do método DE, sendo a op¸cão 5 a adotada e descrita nas se¸cões anteriores. Pode ser observado que a op¸cão 1 de trabalhar no espa¸co de dimensão η − 1 apresenta menor sucesso na identifica¸cão de sistemas não robustamente estáveis. O problema com a op¸cão 1 é que várias solu¸cões testes resultam em solu¸cões não fact´ıveis prejudicando o desempenho do método DE. Comparando os resultados da op¸cão 5 e op¸cão 2, também pode ser observado que localizar a popula¸cão inicial sobre as arestas do

(46)

CAPÍTULO 3. AN ÁLISE DE ESTABILIDADE ROBUSTA 29 Tabela 3.3: Compara¸cão entre diferentes op¸cões de análise de estabilidade robusta pelo DE

Op¸cão 1 Op¸cão 2 Op¸cão 3 Op¸cão 4 Op¸cão 5 n, η Ps(%) T (s) Ps(%) T (s) Ps(%) T (s) Ps(%) T (s) Ps(%) T (s) 2,2 99,3 0,24 99,8 0,24 100 0,30 99,9 0,26 100 0,37 2,4 99,7 6,61 99,8 3,170 100 3,94 100 3,57 100 2,83 2,8 96,9 150,44 96,3 36,23 99,9 43,11 99,7 36,32 99,6 24,39 4,2 99,8 0,27 99,8 0,30 100 0,36 99,7 0,34 100 0,45 4,4 99,6 7,03 99,3 3,80 100 4,83 99,8 6,48 99,8 3,39 4,8 96,5 127,90 96,0 41,58 99,6 52,33 100 61,84 99,7 27,14 8,2 99,1 0,34 99,9 0,37 99,8 0,44 99,5 0,48 100 0,56 8,4 97,2 8,60 99,7 4,90 100 6,84 100 10,14 100 4,53 8,8 92,0 122,56 95,8 49,47 98,4 69,16 99,7 109,83 99,0 34,46 politopo aprimora o desempenho do DE. Com rela¸cão as op¸cões 3 e 4 de utilizar o operador muta¸cão com duas diferen¸cas, pode ser observado que para alguns casos de (n, η) foi obtido maior sucesso do que a op¸cão 5 mas a convergência do algoritmo é mais lenta resultando em maior tempo computacional. Como a melhoria não ocorre em todos os casos, a op¸cão 5 foi a escolhida.

Uma vez definido pela op¸cão 5, ainda existe a possibilidade de diferentes valores do parâmetro Cr, na opera¸cão de recombina¸cão, do parâmetro F , no operador de muta¸cão, e

também do tamanho da popula¸cão, N . A Tabela 3.4 apresenta os resultados para dois valores diferentes de Cr sendo que Cr = 0,5 foi o adotado. A Tabela 3.5 apresenta a compara¸cão

entre formas de cálculo do parâmetro F , sendo um fixo e dois aleatórios para cada muta¸cão. Neste caso, a op¸cão utilizada resultou em maior acerto para todos os casos apesar do custo computacional um pouco maior. A Tabela 3.6 compara os resultados para quatro números diferentes de solu¸cões iniciais aleatórias sobre as arestas além das η solu¸cões nos vértices mais as 3η(η −1)/2 solu¸cões fixas sobre as arestas. Verifica-se que é poss´ıvel aumentar o percentual de sucesso com o aumento do tamanho da popula¸cão mas com custo computacional maior. Considerando que o percentual de sucesso da menor popula¸cão é bastante alto, optamos pelo menor custo computacional. Em todas as tabelas analisadas nesta se¸cão, a melhor op¸cão foi marcada em negrito considerando inicialmente o maior percentual de sucesso e, em caso de empate, o menor custo computacional.

(47)

Tabela 3.4: Compara¸c˜ao entre dois valores de Cr na an´alise de estabilidade robusta pelo DE Cr = 0,9 Cr= 0,5 n, η Ps(%) T (s) Ps(%) T (s) 2,2 99,8 0,21 100 0,37 2,4 99,9 2,18 100 2,83 2,8 99,5 22,66 99,6 24,39 4,2 99,6 0,25 100 0,45 4,4 99,7 2,59 99,8 3,39 4,8 99,6 25,60 99,7 27,14 8,2 99,8 0,30 100 0,56 8,4 99,9 3,41 100 4,53 8,8 96,90 33,75 99,0 34,46

Tabela 3.5: Compara¸cão entre três valores de F na análise de estabilidade robusta pelo DE F = 0,5 Fi = U(0,5,1) Fi = U(0,1,1) n, η Ps(%) T (s) Ps(%) T (s) Ps(%) T (s) 2,2 99,8 0,24 99,9 0,24 100 0,37 2,4 99,8 2,62 100 2,51 100 2,83 2,8 99,6 23,09 99,4 24,17 99,6 24,39 4,2 99,70 0,29 99,9 0,28 100 0,45 4,4 99,8 3,12 99,8 3,08 99,8 3,39 4,8 99,6 27,40 99,6 28,44 99,7 27,14 8,2 99,6 0,36 99,7 0,37 100 0,56 8,4 100 4,15 99,9 4,25 100 4,53 8,8 98,6 35,78 98,8 35,10 99,0 34,46

Tabela 3.6: Compara¸cão entre números de solu¸cões aleatórias iniciais na análise de estabili-dade robusta pelo DE

20η 10η 5η η n, η Ps(%) T (s) Ps(%) T (s) Ps(%) T (s) Ps(%) T (s) 2,2 100 1,62 100 0,87 100 0,51 100 0,37 2,4 100 10,78 100 6,35 100 4,20 100 2,83 2,8 100 59,55 100 43,11 99,9 30,64 99,6 24,39 4,2 100 1,96 100 1,08 99,9 0,61 100 0,45 4,4 100 13,35 100 7,80 99,9 5,14 99,8 3,39 4,8 99,9 71,61 99,9 47,85 99,7 35,30 99,7 27,14 8,2 100 2,52 100 1,33 100 0,78 100 0,56 8,4 100 19,02 100 10,43 100 7,00 100 4,53 8,8 99,1 96,12 99,2 62,32 99,1 47,21 99,0 34,46

(48)

CAP´ITULO 3. AN ´ALISE DE ESTABILIDADE ROBUSTA 31

3.6 Conclus˜

oes

Foi proposto um novo método de análise de estabilidade robusta de sistemas lineares inva-riantes no tempo baseado no método de evolu¸cão diferencial. Quando o custo computacional ´

e aceitável, o método que combina formula¸cões LMI com divisão de politopo é o mais indicado para a análise de estabilidade robusta de SLIT com modelo politópico por ser uma técnica que identifica de forma determin´ıstica se o sistema é robustamente estável ou não, sendo capaz de localizar uma instância de sistema instável. No caso do método DE, se não for localizado uma instância de sistema instável, não se pode afirmar com absoluta certeza que o sistema ´

e robustamente estável, como foi observado nos testes exaustivos. Apesar disso, o método DE obteve um percentual de sucesso em mais de 99% dos 18.000 testes realizados. Desse modo, quando o método LMI/divisão se tornar proibitivo computacionalmente, o método DE ´

e uma alternativa a ser considerada. Outra vantagem do método DE é a maior simplicidade de implementa¸cão em rela¸cão ao método LMI/divisão. Além de mostrar a viabilidade do m´ e-todo DE para análise de estabilidade robusta de sistemas politópicos, uma outra contribui¸cão desse estudo é apresentar uma implementa¸cão e configura¸cão de parâmetros eficiente para o algoritmo DE tratar esse problema espec´ıfico. A versão final apresentada foi obtida depois de vários testes com diferentes implementa¸cões e diferentes configura¸cões de parâmetros. O método proposto pode ser facilmente adaptado para análise de estabilidade robusta de SLIT discretos no tempo ou análise de D-estabilidade robusta.

No próximo cap´ıtulo será avaliado o uso do método DE para cálculo de custos garantidos H∞e H2que também será necessário para implementa¸cão do procedimento de s´ıntese descrito