5.1
Ref. [2]: The Structure of Solvmanifolds
Neste artigo Louis Auslander exp˜oe a teoria moderna das solv-variedades, ini- ciando pelas nilvariedades, o objetivo de nossas aplica¸c˜oes.
Teoria Abeliana
No primeiro cap´ıtulo ele comenta a teoria abeliana, olhando seus diversos aspec- tos: geral, racional e compacto. Definindo Ah(Φ) = envolt´orio convexo (alg´ebrico)
gerado por Φ = subgrupo de G ⊂ GL(n; R), como a intersec¸c˜ao de todos os sub- grupos (alg´ebricos) de GL(n; R) que cont´em Φ, ele comenta a estrutura de Rn/H,
onde R ´e visto como um grupo de Lie abeliano, conexo e simplesmente conexo, e identificando Rn com o grupo alg´ebrico da forma
1 0 x1 1 x2 . .. ... 0 1 xn 1
temos como conseq¨uˆencia que os subgrupos alg´ebricos de Rn s˜ao exatamente os subespa¸cos lineares de Rn.
Teoria geral: Seja H0 a componente da identidade de H e Ah(H) o “convex
hull” alg´ebrico de H. Temos que H0 ´e subgrupo normal de Ah(H) e Ah(H)/H
´e grupo abeliano compacto cujo grupo fundamental ´e H/H0. Al´em disso, como
Rn = V ⊕ Ah(H), onde V ´e um subespa¸co vetorial, Rn/H ≈ V × Ah(H)/H ≈
V × T , onde T ´e o toro Ah(H)/H. Portanto Rn/H ´e compacto se e somente se
Rn= Ah(H).
Teoria racional: Seja e1, . . . , en uma base para Rn e seja Qn ⊂ Rn o sub-
grupo das combina¸cˆoes lineares racionais desta base. Chamamos Qn de forma
racional de Rn. Seja G um subgrupo de Qn. Sabemos que G ´e subgrupo discreto
de Rn se e somente se G ´e finitamente gerado. Seja π um subgrupo finitamente gerado de Qn e seja A
h(π, Q) o subespa¸co racional de Qngerado por π, ou equiva-
lentemente o conjunto dos pontos racionais de Ah(π) ⊂ Rn. Seja W um subespa¸co
racional de Qn. Ent˜ao
Ah(π ∩ W, Q) = Ah(π, Q) ∩ W .
Teoria compacta: Seja π ⊂ Rm um subgrupo discreto de Rm (ou equiva-
lentemente, um subgrupo finitamente gerado da forma racional de Rm) tal que
Ah(π) = Rm. Seja π1 ⊂ Rn um subgrupo discreto de Rn tal que Ah(π) = Rn
Se ψ : π → π1 ´e um isomorfismo, ent˜ao ψ pode ser estendido a um isomorfismo
ψ∗: Rm → Rn. Portanto n = m e ψ∗
induz um difeomorfismo entre Rn/π e
Grupos de Lie Nilpotentes e Nilvariedades
No segundo cap´ıtulo, temos a defini¸c˜ao das nilvariedades. Na teoria cl´assica, um grupo de Lie N , conexo e simplesmente conexo ´e nilpotente se a sua ´algebra de Lie ´e nilpotente. Em seguida mostra-se que isso equivale a pedir que N seja nilpotente como um grupo abstrato, ie que sua s´erie central inferior seja finita. (A s´erie central inferior ´e uma seq¨uˆencia de grupos Gk definidos indutivamente por
G1 = G e Gk = [Gk−1, G], onde [H, K] ´e o grupo gerado por todos os elementos
da forma khk−1h−1 onde h ∈ H e k ∈ K. A s´erie central inferior ´e finita se existe k finito tal que Gk = e, onde e ´e o elemento identidade de G.)
Similar ao que vimos no primeiro cap´ıtulo, qualquer grupo de Lie nilpotente, conexo e simplesmente conexo, N , ´e isomorfo ao grupo das matrizes triangulares superiores unipotentes (a matriz A ´e unipotente, se A − I ´e nilpotente), aqui denotadas por U (m) (cuidado para n˜ao confundir com o grupo de Lie das matrizes unit´arias U(m)),
U (m) = 1 ∗ 1 . .. 0 1
´e um subgrupo de GL(m; R) e qualquer subgrupo conexo de U (m) ´e um grupo alg´ebrico. Mas o que, de fato, marca a similaridade ´e que os subgrupos alg´ebricos de N que s˜ao mergulhados em U (m) s˜ao exatamente os subgrupos conexos de N . Assim, se H ´e subgrupo de N , tomamos o envolt´orio convexo (alg´ebrico), Ah(H),
de H em N (o menor subgrupo conexo de N que cont´em H).
Nossa habilidade de representar fielmente N em U (m) nos permite encontrar um sistema de coordenadas X = (x1, . . . , xn) global (v´alido em todo N ) de forma
que a multiplica¸c˜ao em N seja dada por
X.Y = (x1, . . . , xn)(y1, . . . , yn) = (p1(X, Y ), . . . , pn(X, Y )) (∗)
onde pi s˜ao polinˆomios em 2n vari´aveis. A rec´ıproca tamb´em ´e verdadeira: Se N
´e um grupo com coordenadas X = (x1, . . . , xn) cuja lei de composi¸c˜ao satisfaz a
equa¸c˜ao (∗), ent˜ao N ´e um grupo de Lie nilpotente. Assim, vamos adotar que, ao trabalhar com grupos de Lie nilpotentes, ou N ´e alg´ebrico ou sua multiplica¸c˜ao ´e polinomial.
Diremos que um corpo F ´e um corpo de defini¸c˜ao para o grupo de Lie nilpotente N , se existe uma lei de composi¸c˜ao polinomial em N com coeficientes em F ou se N pode ser representado como um grupo alg´ebrico tendo F como corpo de defini¸c˜ao. Um grupo de Lie nilpotente definido sobre o corpo dos racionais ´e um grupo de Lie nilpotente racional.
Teoria nilpotente geral: Seja H um subgrupo fechado do grupo de Lie nilpotente N e seja H0 a componente da identidade de H. Denotando por Ah(H)
o envolt´orio convexo (alg´ebrico) de H em N e se Ah(H) 6= N ve-se que N/Ah(H)
´e topologicamente um espa¸co vetorial V e que N/H ≈ V × Ah(H)/H, onde ≈
Se H ⊂ N e Ah(H) = N , ent˜ao H0´e um subgrupo normal de N , pois H0´e normal
em H e N ´e o envolt´orio convexo (alg´ebrico) de H. Assim, podemos formar o grupo de Lie nilpotente M = N/H0 e considerar H/H0 como um subgrupo
discreto π de M . Temos que Ah(π) = M . Da teoria dos grupos alg´ebricos temos
que
Ah([π, π]) = [Ah(π), Ah(π)] = [M, M ] .
Um argumento de indu¸c˜ao nos permite concluir que M/π ≈ N/H ´e compacto. Temos que: Se H ´e um subgrupo fechado do grupo de Lie nilpotente N ent˜ao N/H ´e compacto se e somente se Ah(H) = N .
Chamamos o espa¸co homogˆeneo de um grupo de Lie nilpotente uma nilvar- iedade. E os resultados desta sec¸c˜ao podem ser resumidos como: Uma nilvar- iedade ´e o produto cartesiano de um espa¸co vetorial e de uma variedade compacta. Grupos de Lie nilpotentes racionais: Seja N um grupo de Lie nilpotente e X = (x1, . . . , xn) um sistema de coordenadas em N tal que a multiplica¸c˜ao ´e
definida por polinˆomios com coeficientes no corpo dos racionais Q. Seja NQ(X) os pontos racionais de N relativos ao sistema X. Seja Y = (y1, . . . , yn) um
outro sistema de coordenadas em N tal que a multiplica¸c˜ao em N ´e definida por polinˆomios com coeficientes no corpo dos racionais Q. Seja NQ(Y ) os pontos racionais de N relativos ao sistema Y . Temos que NQ(X) e NQ(Y ) n˜ao ser˜ao necessariamente isomorfos. Chamamos NQ(X) uma forma racional de N . No que segue, trabalharemos com uma forma racional fixada e denotada simplesmente por NQ. (Nem todo grupo de Lie nilpotente tem uma forma racional veja [14]) Um resultado interessante da teoria ´e: Seja N um grupo de Lie nilpotente e NQ uma forma racional de N . Seja π um subgrupo de NQ. Ent˜ao π ´e discreto se e somente se for finitamente gerado. O que nos leva a um dos resultados fundamentais de existˆencia: Seja N um grupo de Lie nilpotente e NQ uma forma racional de N . Ent˜ao existe π ⊂ NQ tal que π ´e subgrupo discreto de N e N/π ´e compacto.
Nilvariedades compactas: Seja π um subgrupo discreto de um grupo de Lie nilpotente N tal que π ´e cocompacto em N , ou equivalentemente, N/π ´e compacto. Ent˜ao π determina N de maneira ´unica. De maneira mais precisa: Sejam πi ⊂ Ni, i = 1, 2, subgrupos discretos cocompactos dos grupos de Lie
nilpotentes Ni, i = 1, 2. Seja
α : π1 −→ π2
um isomorfismo. Ent˜ao α se estende de maneira ´unica a um isomorfismo
α∗: N1 −→ N2 .
A demonstra¸c˜ao deste fato ´e feita por indu¸c˜ao na dimens˜ao de N1.
O argumento de indu¸c˜ao na dimens˜ao ´e novamente utilizado para demonstrar que: Seja N um grupo nilpotente e π ⊂ N um subgrupo discreto e cocompacto. Ent˜ao existe uma forma racional NQ tal que π ⊂ NQ.
Novamento usamos um argumento de indu¸c˜ao para provar que: Se π ´e um grupo nilpotente, livre de tor¸c˜ao, finitamente gerado ent˜ao existe um grupo de Lie nilpo- tente N tal que π ⊂ N e N/π e compacto. A base desta demonstra¸c˜ao ´e um fato
da teoria dos grupos: um tal grupo π tem uma representa¸c˜ao como produto semidireto da forma π = Z n π∗, onde π∗ ´e novamente um grupo nilpotente, livre de tor¸c˜ao, finitamente gerado.
Esses resultados s˜ao finalmente utilizados para demonstrar o resultado principal: Sejam N1 e N2 nilvariedades compactas com grupo fundamental π1, respectiva-
mente π2. Se π1 ´e isomorfo a π2 ent˜ao N1 e N2 s˜ao difeomorfas.
Nos limitaremos a comentar esses cap´ıtulos do artigo; mas quem se interes- sar pela teoria das solv-variedades, tem neste e na sua seq¨uˆencia [3] uma fonte importante de informa¸c˜oes.
Observa¸c˜ao:
O livro da Encyclopaedia of Mathematical Sciences devotado `a teoria dos grupos de Lie (ver [16]) d´a uma vis˜ao mais moderna dessa aplica¸c˜ao, com linguagem mais atual; afinal, 20 anos separam esses dois trabalhos. No entanto, o trabalho de Auslander ´e um cl´assico na teoria, e tem o m´erito de examinar completa- mente a estrutura das nilvariedades, e das solv-variedades, focalizando inclusive nos seus aspectos dinˆamicos. Do nosso ponto de vista, ´e costumeiro tratar as nilvariedades (respectivamente, as solv-variedades) como espa¸cos homogˆeneos de grupos de Lie nilpotentes (respectivamente, sol´uveis). Numa linguagem mais simples, teorema 1.1 de [16, p.161], descreve as nilvariedades: Uma nilvariedade arbitr´aria M ´e difeomorfa ao produto M∗ × Rn, onde n ≥ 0 e M∗ ´e uma nilvar-
iedade compacta. Prossegue comentando a estrutura das nilvariedades compactas, primeiro de forma alg´ebrica; e depois, com a estrutura de fibrado principal, tendo o toro como fibra (esse ´e o ponto de vista utilizado nos trabalhos que se seguem).
5.2
Ref. [4]: Nielsen Numbers of Maps of Tori
Neste artigo os autores provam que a rela¸c˜ao entre os n´umeros de Nielsen e de Lefschetz para as auto-aplica¸c˜oes dos toros ´e significativa: o n´umero de Lefschetz n˜ao somente informa a existˆencia de pontos fixos, mas como ele ´e igual ao n´umero de Nielsen, informa tamb´em a quantidade de tais pontos. Isto ´e, N(f ) = |L(f )|. Nenhum outro grupo de Lie compacto, conexo tem essa propriedade. O fato de termos uma nilvariedade compacta ´e fator determinante para esse resultado. Isto fica claro quando os autores provam que: Se G ´e um grupo de Lie compacto e conexo tal que N(f ) = |L(f )| para todas as auto-aplica¸c˜oes f : G → G ent˜ao G ´e um toro. Um outro resultado interessante para uma auto-aplica¸c˜ao de um grupo de Lie compacto que preserva fibras, usando a decomposi¸c˜ao pelo subgrupo toroidal, ´e o corol´ario que vem em seguida, pois faz uso da estrutura de fibrado principal das nilvariedades.
5.3
Ref. [9]: On a Theorem of Anosov on Nielsen Num-
bers for Nilmanifolds
Anosov, em seu artigo [1] que d´a nome a esta subsec¸c˜ao, prova que as auto- aplica¸c˜oes de nilvariedades tˆem o n´umero de Nielsen igual, a menos de sinal, ao n´umero de Lefschetz. Como j´a vimos, na sec¸c˜ao anterior, esse resultado ´e v´alido para os toros. Na verdade, a propriedade utilizada era o fato de eles serem nilvariedades e n˜ao somente grupos de Lie compactos. (O teorema n˜ao se estende para infra-nilvariedades, como por exemplo a garrafa de Klein, ver [1]). Enquanto Anosov prova este fato usando fortemente a teoria de sistemas dinˆamicos (da teoria de Nielsen ele apenas faz uso da defini¸c˜ao de n´umero de Nielsen e sua invariˆancia homot´opica), Fadell e Husseini fazem uso massivo da Teoria de Nilsen para conseguir tal resultado. Simplificando um pouco o enunciado, o resultado provado por Fadell-Husseini ´e: Qualquer auto-aplica¸c˜ao g : M → M , onde M ´e uma nilvariedade satisfaz N(g) = |L(g)|.
5.4
Ref. [8]: Two Vignettes in Fixed Point Theory
1. Espa¸cos com a propriedade do ponto fixo e os teoremas de Borsuk- Ulam
As similaridades entre esses dois assuntos n˜ao s˜ao apenas o uso de t´ecnicas e estrat´egias semelhantes. Neste artigo vemos que eles est˜ao intimamente ligados no contexto dos espa¸cos homogˆeneos.
Seja M = G/K um espa¸co homogˆeneo, onde G ´e um grupo de Lie compacto e conexo, e K ⊂ G um subgrupo fechado. As t´ecnicas utilizadas envolvem o uso de fibrado principal com fibra K. O autor trabalha com as seguintes defini¸c˜oes: Propriedade Borsuk-Ulam: Se ϕ : G −→ M ´e qualquer K-aplica¸c˜ao, ent˜ao Z = ϕ−1(x0) ´e n˜ao vazio. (Observe que Z ´e o conjunto das ra´ızes de ϕ.)
e
Propriedade do Ponto Fixo: Se f : M −→ M ´e uma aplica¸c˜ao qualquer, ent˜ao Fix f = {x | f (x) = x} ´e n˜ao vazio.
O teorema principal nesta sec¸c˜ao, teorema 1.1, mostra que ´e poss´ıvel relacionar um problema de ponto fixo a um de ra´ızes, e vice-versa: M tem a propriedade Borsuk-Ulam se, e somente se, M tem a propriedade do Ponto Fixo. Como conseq¨uˆencia, obtemos uma condi¸c˜ao para que M admita uma aplica¸c˜ao livre de pontos fixos: o grupo N (K)/K deve ser n˜ao-trivial.
2. F´ormula universal para n´umeros de Lefschetz relativos
Dada uma auto-aplica¸c˜ao f : M −→ M , Fadell prova que o n´umero de Lefschetz da auto-aplica¸c˜ao (fn, fn
∆) do par (M
n, ∆), onde Mn ´e o produto cartesiano de
n c´opias de M e ∆ ´e a diagonal “gorda”, ´e um polinˆomio de grau n com ra´ızes 0, 1, 2, . . . , n − 1, calculado em L(f ).
Teorema 2.1: Para qualquer M (como acima) e qualquer f : M −→ M o n´umero de Lefschetz relativo do par (fn, fn
∆) ´e dado por
L(fn, fn
∆) = L(f )(L(f ) − 1)(L(f ) − 2) . . . (L(f ) − n + 1)
onde L(f ) ´e o n´umero de Lefschetz de f .