Fernanda S. P. Cardona

(1)

Grupos de Lie e Aplica¸

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oes

Mini Curso – XVI EBT

UFSCar – S˜

ao Carlos, SP

de 28/07 a 1

o

/08/2008

Fernanda S. P. Cardona

Departamento de Matem´

atica, IME-USP

(2)

´

_Indice

1 Introdu¸c˜ao 1

2 Grupos de Lie de Matrizes 2

3 Algebras de Lie e Aplica¸´ c˜ao Exponencial 10

4 A F´ormula de Baker-Campbell-Hausdorff 29

5 Aplica¸c˜oes 31

5.1 Ref. [2]: The Structure of Solvmanifolds . . . 31 5.2 _{Ref. [4]: Nielsen Numbers of Maps of Tori . . . .} 34 5.3 _{Ref. [9]: On a Theorem of Anosov on Nielsen Numbers}

for Nilmanifolds . . . 35 5.4 _{Ref. [8]: Two Vignettes in Fixed Point Theory . . . .} 35 5.5 _{Ref. [5, 6]: On Changing Fixed Points and Coincidences}

(3)

1 Introdu¸

c˜

ao

Assim come¸ca um curso sobre grupos de Lie:

“Assume-se familiaridade com conceitos básicos da Teoria de Variedades. A menos quando explicitamente mencionado, assume-se que as fun¸cões são dife-renciáveis tanto quanto necessário. O mesmo se aplica às variedades.

Defini¸cão 1.1 Um grupo de Lie sobre um corpo K é um grupo G equipado com a estrutura de uma variedade diferenciável sobre K de maneira que a aplica¸cão

µ : G × G −→ G, (x, y) 7→ xy

seja diferenciável. Neste caso, usando o teorema da fun¸cão impl´ıcita vemos que a aplica¸cão

ı : G −→ G, x 7→ x−1

´e diferenci´_{avel. Grupos de Lie sobre C ser˜ao chamados grupos de Lie complexos,} e sobre R, grupos de Lie reais.”

Após recolher mais dados sobre a estrutura algébrica e geométrica dos gru-pos de Lie, o que segue, na maneira usual de apresentar a Teoria dos Grugru-pos e Álgebras de Lie, é a defini¸cão das Álgebras de Lie como campos vetoriais in-variantes à esquerda; e a aplica¸cão exponencial é definida em termos do fluxo de tais campos vetoriais. Em seguida estuda-se suas propriedades. Esta é a maneira correta/completa de estudar a teoria e pode ser encontrada em diversos livros, já clássicos: Chevaley [7], Helgason [11], Varadarajan [17], entre outros. E no caso seria preciso assumir que o aluno tenha conhecimento prévio da teoria das variedades, o que afastaria vários alunos em in´ıcio da pos-gradua¸cão; ou gastar um tempo trabalhando os conceitos necessários, e então demoraria a chegar na teoria de Lie propriamente dita.

No entanto, num minicurso assim curto, optei por seguir um outro caminho, sugerido pela leitura do livro de Brian C. Hall [10]: trabalhar com Grupos de Lie de Matrizes. Isto é uma restri¸cão; mas apesar de nem todo grupo de Lie ser dessa forma, os exemplos mais interessantes o são. Como juntamente com a teoria de Lie caminha a teoria das Representa¸cões, que busca as representa¸cão de um grupo de Lie como subgrupo de GL(V ), vê-se que esse ponto de vista pode ser bem interessante. Nesta abordagem a exponencial de uma matriz X, exp (X), é facilmente definida pela série de potências usual e a álgebra de Lie de um subgrupo fechado G de GL(n; C) é o conjunto das matrizes X para as quais exp (tX) pertence a G para todo número real t. O que para um topólogo algébrico não é nada mau, afinal grupos de matrizes sempre são poss´ıveis fontes de exemplos!

Agrade¸co à Comissão Cient´ıfica a oportunidade de apresentar este trabalho; e à Comissão Organizadora por todo empenho em realizar este XVI EBT.

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2 Grupos de Lie de Matrizes

Defini¸

c˜

ao de Grupos de Lie de Matrizes

Sejam GL(n; C) e GL(n; R) os respectivos grupos lineares das matrizes invert´ı-veis n × n sobre C e R. Seja Mn(C) o espa¸co das matrizes n × n sobre C.

Defini¸cão 2.1 Seja Am uma seqüência de matrizes complexas em Mn(C).

Dize-mos que Am converge para a matriz A, se cada elemento (Am)kl de Am

con-verge (quando m → +∞) ao elemento correspondente Akl em A.

Defini¸c˜_{ao 2.2 Um subgrupo G de GL(n; C) é um grupo de Lie de matrizes se} tem a seguinte propriedade: Se Am é uma seqüência de matrizes em G e Am

converge para a matriz A então ou A ∈ G ou A não é invert´ıvel.

Esta defini¸c˜ao equivale a dizer que um grupo de Lie de matrizes ´e um subgrupo fechado de GL(n; C).

Exemplos de Grupos de Lie de Matrizes

Em alguns dos exemplos abaixo, especialmente nos referentes aos chamados gru-pos cl´_{assicos (GL(n; R) e GL(n; C); SL(n; R) e SL(n; C); O(n) e SO(n); U(n) e} SU(n); Sp(n; R), Sp(n; C) e Sp(n)), usaremos defini¸cões equivalentes às usuais — as quais envolvem formas bilineares — visando facilitar a verifica¸cão dos grupos em questão serem, de fato, grupos de Lie de matrizes.

1. Os grupos lineares GL(n; R) e GL(n; C) (imediato das defini¸c˜oes dos grupos lineares (conjunto das matrizes invert´ıveis) e de grupo de Lie de matrizes).

2. Os grupos lineares especiais SL(n; R) e SL(n; C) (determinante é uma fun¸cão cont´ınua, logo o limite de matrizes com determinante 1 é uma matriz de deter-minante 1).

3. O grupo ortogonal O(n) e o grupo ortogonal especial SO(n):

Uma matriz A ´e ortogonal se At_{A = I ie, se A}t_{= A}−1_{(aqui A}t_´_{e a transposta}

de A, (At)kl= Alk). Logo det AtA = det I = 1. Como det At= det A segue que

(det A)2 = 1, portanto det A = ±1. Logo as matrizes ortogonais s˜ao invert´ıveis. E novamente usamos o fato da fun¸c˜ao determinante ser cont´ınua.

4. O grupo unit´ario U(n) e o grupo unit´ario especial SU(n).

Análogo ao ´ıtem anterior. Uma matriz A é unitária A∗A = I ie, se A∗ = A−1 (aqui A∗ é a adjunta de A, (A∗)jk = Akj). Logo det A∗A = det I = 1. Como

det A∗ = det A segue que | det A|2 = 1, portanto | det A| = 1. Logo as matrizes unitárias são invert´ıveis. E novamente usamos o fato da fun¸cão determinante ser cont´ınua.

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5. O grupo ortogonal complexo O(n; C) e SO(n; C). (Mesmo argumento usado para O(n) e SO(n), lembrando que aqui permitimos que elementos das matrizes sejam números complexos e notando que O(n; C) não é o mesmo que U(n).)

6. O grupo ortogonal generalizado O(n; k) e o grupo de Lorentz O(3; 1).

Seja g a (n + k) × (n + k) matriz diagonal com 1 nos n primeiros elementos da diagonal e −1 nos k últimos. Temos que A ∈ O(n; k) se e somente se AtgA = g. Assim det(AtgA) = (det A)2det g. Logo (det A)2 = 1. Portanto det A = ±1. O grupo de Lorentz O(3; 1) é de particular interesse para os f´ısicos, pois é utilizado na representa¸cão do espa¸co–tempo em algumas modelagens.

7. Os grupos simpl´_{eticos Sp(n; R), Sp(n; C) e Sp(n).}

Estes apresentam maiores dificuldades na sua defini¸cão, pois além de involverem formas bilineares anti-simétricas, eles não têm uma nota¸cão consistente, variando de autor a autor. São grupos que surgem naturalmente no estudo da mecânica clássica. Usando a nota¸cão de Hall [10]: seja J a 2n × 2n matriz de blocos

J = 0 I −I 0 .

O conjunto das 2n × 2n matrizes reais A tais que AtJ A = J formam o grupo simplético real, Sp(n; R), que é um subgrupo de GL(2n; R). Calculando o determinante na equa¸cão acima, temos que (det A)2det J = det J e segue que (det A)2 = 1. Portanto det A = ±1, para A ∈ Sp(n; R). (De fato, temos det A = 1, mas isto não é óbvio.) E usando a continuidade do determinante, obtemos que Sp(n; R) é um grupo de Lie de matrizes.

O conjunto das 2n × 2n matrizes complexas A tais que AtJ A = J (é transposta de A mesmo, não envolve a adjunta de A) formam o grupo simplético com-plexo, Sp(n; C), que é um subgrupo de GL(2n; C). Logo (det A)2det J = det J , segue que (det A)2 = 1. Portanto det A = ±1, para A ∈ Sp(n; C). (De fato, novamente temos det A = 1, mas isto não é óbvio.) E usando a continuidade do determinante, obtemos que Sp(n; C) é um grupo de Lie de matrizes.

O grupo simpl´etico compacto, Sp(n) ´e definido por Sp(n) = Sp(n; C) ∩ U(2n) .

8. O grupo de Heisenberg H.

O conjunto da matrizes reais 3 × 3 da forma

A =   1 a b 0 1 c 0 0 1  

é o grupo de Heisenberg. E é óbvio que o limite de matrizes do tipo descrito acima é uma matriz da mesma forma.

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9. Os grupos R∗, C∗, S1_{, R e R}n_.

Observe que R∗ ≈ GL(1; R); C∗≈ GL(1; C); C ⊃ S1 _{≈ U(1); R ≈ GL(1; R)}+_{, pela}

exponencial; e Rn _´_{e isomorfo ao grupo das matrizes diagonais com elementos}

positivos pela aplica¸c˜ao (x1, . . . , xn) 7→

   ex1 ₀ . .. 0 exn    .

10. Os grupos Euclidiano E(n) e de Poincar´e P(n; 1).

O grupo Euclidiano ´e o grupo das isometrias de Rn _{(ie, aplica¸}_c˜_{oes f : R}n_{−→ R}n

tais que d(f x, f y) = d(x, y), para quaisquer x e y em Rn), considerando d(x, y) = kx − yk a distˆ_{ancia usual em R}n_{. O grupo O(n) ´}_{e um subgrupo de E(n), pois ´}_e

formado pelas isometrias lineares. Vamos denotar por Txa transla¸c˜ao por x ∈ Rn;

ie, a aplica¸cão Tx(y) = x + y. O conjunto das transla¸cões é também um subgrupo

de E(n). De fato, qualquer elemento T de E(n) pode ser descrito como T = Tx◦R

onde x ∈ Rn _{e R ∈ O(n). Denotando um elemento T = T}

x+ R de E(n) como

um par {x, R}, podemos calcular T (y) = {x, R}(y) = Ry + x. Observe que E(n) não é um subgrupo de GL(n; R), mas é isomorfo a um subgrupo de GL(n + 1; R) através da aplica¸cão {x, R} ∈ E(n)|−→      x1 R ... xn 0 . . . 0 1      ∈ GL(n + 1; R) .

Portanto E(n) ´e um grupo de Lie de matrizes.

Quanto ao grupo de Poincaré, P(n; 1), ele é o grupo das transforma¸cões afins de Rn+1 que preservam a distância de Lorentz, dL(x, y) = (x1 − y1)2 + · · · +

(xn− yn)2− (xn+1− yn+1)2. Um elemento T de P(n; 1) pode ser descrito como

T (y) = Tx◦ A(y), onde x ∈ Rn+1 e A ∈ O(n; 1). Similar ao grupo Euclidiano,

temos que P(n; 1) ´e isomorfo ao grupo de Lie das matrizes (n + 2) × (n + 2) da forma      x1 A ... xn+1 0 . . . 0 1      , com A ∈ O(n; 1).

Compacidade

Defini¸cão 2.3 Um grupo de Lie de matrizes G é compacto se as duas condi¸cões a seguir são satisfeitas:

1. Se Am é uma seqüência qualquer de matrizes em G que converge para uma

matriz A, ent˜ao A est´a em G.

2. Existe uma constante C tal que para toda A ∈ G, |Aij| ≤ C para todo

(7)

Não é a defini¸cão usual de compacidade, mas é equivalente, lembrando que Mn(C)

pode ser visto como Cn2.

Exemplos de grupos compactos

Os grupos O(n) e SO(n) são compactos. Se A é uma matriz ortogonal, então seus vetores coluna têm norma 1 e assim para cada elemento de A, |Akl| ≤ 1,

para todo 0 ≤ k ≤ n e 0 ≤ l ≤ n, a propriedade 2 está satisfeita. Como limite de ortogonais é uma ortogonal, a propriedade 1 está satisfeita e O(n) é compacto. Como limite de matrizes com determinante 1 é uma matriz com determinante 1, a propriedade 1 está satisfeita e SO(n) é compacto. Argumento similar mostra que os grupos U(n) e SU(n), incluindo S1 _{' U(1) e o grupo Sp(n) s˜}_{ao compactos.}

Exemplos de grupos n˜ao compactos

• Os grupos GL(n; R) e GL(n; C) n˜ao satisfazem a condi¸c˜ao 1.

• Os grupos SL(n; R) e SL(n; C) n˜ao satisfazem a condi¸c˜ao 2 (exceto caso

n = 1), pois por exemplo a matriz diagonal A =        m 1 m 0 . .. 0 1 1        tem determinante igual a 1, mas m pode ser tão grande quanto quisermos. • Também por não satisfazer a condi¸cão 2, temos os grupos O(n; k) e SO(n; k); O(n; C) e SO(n; C); H; Sp(n; R) e Sp(n; C); R e Rn; R∗ e C∗; E(n) e P(n; 1).

Conexidade

Defini¸c˜ao 2.4 Um grupo de Lie de matrizes, G ´e conexo se dadas quaisquer duas matrizes A e B em G, existe um caminho cont´ınuo C(t), a ≤ t ≤ b, inteira-mente em G, com C(a) = A e C(b) = B.

Estamos cometendo um abuso nessa defini¸cão ao chamar de conexidade o que de fato é conexidade por caminhos; isto só é desculpável pois nos grupos de Lie de matrizes conexidade é, de fato, equivalente a conexidade por caminhos.

Um grupo de Lie de matrizes n˜ao conexo pode ser decomposto (de forma ´unica) em suas componentes conexas por caminhos.

Proposi¸cão 2.5 Se G é um grupo de Lie de matrizes então a componente de G que contém a identidade é um subgrupo de G.

Demonstra¸cão: Sejam A e B duas matrizes na componente que contém a iden-tidade; então existem caminhos A(t), com A(0) = I e A(1) = A; e B(t), com B(0) = I e B(1) = B. Se tomarmos A(t)B(t), ele é um caminho cont´ınuo, come¸cando na identidade e terminando em AB. O caminho (A(t))−1 é um cami-nho cont´ınuo, come¸cando na identidade e terminando em A−1.

(8)

Proposi¸c˜_{ao 2.6 O grupo GL(n; C) ´e conexo, para todo n ≥ 1.}

Demonstra¸c˜_{ao: Sejam A e B duas matrizes em GL(n; C). Existe um número} finito de λ ∈ C tais que det(λA + (1 − λ)B) = 0, pois fixados A e B o que temos na igualdade anterior é um polinômio na variável λ, de grau no máximo n2_{. Vamos cham´}_{a-lo de `(λ). Seja λ(t) um caminho cont´ınuo no plano, com}

λ(0) = 0 e λ(1) = 1, tal que λ(t) não é raiz para o polinômio `(λ), qualquer que seja t ∈]0, 1[. (Observe que, no nosso caso, λ = 0 e λ = 1 nunca podem ser ra´ızes para `(λ).) O caminho A(t) = λ(t)A + (1 − λ(t))B é cont´ınuo (lembrando que GL(n; C) pode ser identificado com Cn2, basta olhar em cada elemento de A(t), (A(t))jk = λ(t)Ajk + (1 − λ(t))Bjk e ver que é cont´ınuo); come¸ca em B, termina

em A.

Proposi¸c˜_{ao 2.7 O grupo SL(n; C) ´e conexo, para todo n ≥ 1.}

Demonstra¸cão: (A primeira parte desta é uma outra maneira de provar que GL(n; C) é conexo.) Sabemos da álgebra linear que dada qualquer matriz com-plexa quadrada A, existe uma matriz comcom-plexa invert´ıvel C tal que A = CBC−1, onde B é uma matriz triangular superior (ie, sabemos que A é semelhante à uma matriz triangular superior):

B =    λ1 ∗ . .. 0 λn    .

Seja A ∈ SL(n; C); como A é invert´ıvel, devemos ter todos os λ’s diferentes de zero pois o det A = det B = λ1. . . λn (por isso a demonstra¸cão é a mesma para

A ∈ GL(n; C)). Seja B(t) obtido de B ao multiplicarmos os elementos de B que estão acima da diagonal por (1 − t), para 0 ≤ t ≤ 1. Então A(t) = CB(t)C−1 é um caminho cont´ınuo com imagem em GL(n; C) (no nosso caso, em SL(n; C) pois det A(t) = λ1. . . λn = det A = 1), come¸cando em A e terminando em CDC−1,

onde D ´e a matriz diagonal

D =    λ1 0 . .. 0 λn    .

Podemos definir, para cada i, um caminho λi(t) que conecta λi a 1 em C∗

para 1 ≤ t ≤ 2. Ent˜ao podemos definir A(t) no intervalo 1 ≤ t ≤ 2 por

A(t) = C    λ1(t) 0 . .. 0 λn(t)   C −1 .

Este ´_{e um caminho cont´ınuo com imagem em GL(n; C) (pois os λ}i(t) s˜ao sempre

diferentes de zero), ligando CDC−1 (quando t = 1) à I(= CIC−1) (quando t = 2). (Isto prova que GL(n; C) é conexo.) Para garantir que a imagem do caminho esteja em SL(n; C), modificamos ligeiramente a defini¸cão dos λi(t): para

1 ≤ i ≤ n − 1 fazemos como acima; e definimos λn(t) = [λ1(t) . . . λn−1(t)]−1.

(9)

Proposi¸c˜ao 2.8 Os grupos U(n) e SU(n) s˜ao conexos, para todo n ≥ 1.

Demonstra¸cão: Da álgebra linear sabemos que toda matriz unitária tem uma base ortonormal formada por autovetores, com autovalores da forma eθ_{. Segue}

que toda matriz unit´aria U pode ser escrita como

U = U1    eiθ1 ₀ . .. 0 eiθn   U −1 1 ,

onde U1 ´e uma matriz unit´aria e θi ∈ R. Reciprocamente, toda matriz da forma

acima é uma matriz unitária. Definindo a fun¸cão

U (t) = U1    ei(1−t)θ1 ₀ . .. 0 ei(1−t)θn   U −1 1 ,

obtemos um caminho cont´ınuo para t variando de 0 a 1, definido em U(n) ligando U a I. Assim, como podemos ligar quaisquer duas matrizes unitárias à matriz identidade por um caminho cont´ınuo contido em U(n), temos que U(n) é conexo. Similar ao que fizemos para SL(n; C) na proposi¸cão 2.7, podemos provar que SU(n) é conexo.

Proposi¸c˜_{ao 2.9 O grupo GL(n; R) n˜ao ´e conexo, apresentando duas} compo-nentes: GL(n; R)+_{, o conjunto das matrizes reais n×n com determinante positivo}

e GL(n; R)−, o conjunto das matrizes reais n × n com determinante negativo. Demonstra¸c˜_{ao: Suponha, por absurdo, que o grupo GL(n; R) fosse conexo.} Ent˜_{ao para quaisquer matrizes A e B de GL(n; R), com det A > 0 e det B < 0,} existiria um caminho cont´ınuo em GL(n; R), ligando A à B. Como a fun¸cão determinante ´_{e cont´ınua exitiria uma matriz C em GL(n; R) com det C = 0.} Contradi¸cão.

O grupo GL(n; R)+ _´_{e conexo; no entanto, a demonstra¸c˜}_{ao desse fato fica fora do}

escopo deste trabalho.

Sabendo que GL(n; R)+ _´_{e conexo, ´}_{e f´}_{acil ver que o grupo GL(n; R)}− _´_{e conexo:}

Sejam A e B ∈ GL(n; R)− e seja C uma matriz arbitr´_{aria em GL(n; R)}−. Ent˜ao, C−1A e C−1_{B ∈ GL(n; R)}+ _{e existe um caminho cont´ınuo em GL(n; R)}+, D(t), ligando as duas. Assim C.D(t) ´_{e um caminho em GL(n; R)}− ligando A `a B.

(10)

A tabela a seguir lista alguns grupos de Lie de matrizes e indica se é, ou não, conexo e qual o número de componentes que apresenta.

Grupo Conexo? Componentes GL(n; C) sim 1 SL(n; C) sim 1 GL(n; R) não 2 SL(n; R) sim 1 O(n) não 2 SO(n) sim 1 U(n) sim 1 SU(n) sim 1 O(n; 1) não 4 SO(n; 1) não 2 Heisenberg sim 1 E(n) não 2 P(n; 1) não 4

Grupos Simplesmente Conexos

Defini¸cão 2.10 Um grupo de Lie de matrizes G é simplesmente conexo se é conexo e se todo la¸co em G pode ser deformado continuamente a um ponto em G. Mais precisamente: assuma que G é conexo. Então G é simplesmente conexo se dado qualquer caminho cont´ınuo A(t) em G, 0 ≤ t ≤ 1, com A(0) = A(1), existe uma fun¸cão cont´ınua F (s, t) a valores em G com as seguintes propriedades: (1) F (s, 0) = F (s, 1), para todo s; (2) F (0, t) = A(t), para todo t e (3) F (1, t) = F (1, 0), para todo t.

Proposi¸c˜ao 2.11 O grupo SU(2) ´e simplesmente conexo.

Demonstra¸c˜ao: Sabemos que S3 _´_{e um espa¸co simplesmente conexo (S}n _´_e

sim-plesmente conexo para n ≥ 2). Se α e β s˜ao n´umeros complexos tais que |α|2 _{+ |β|}2 _{= 1, a matriz A =} α −β

β α

∈ SU(2). Reciprocamente, toda A ∈ SU(2) pode ser descrita na forma acima para um ´_{unico par (α, β) ∈ C}2 _que

satisfaz |α|2+ |β|2 = 1. Esta última é a descri¸cão da esfera S3 _{em C}2.

Ser simplesmente conexo é uma das propriedades mais importantes, pois um dos teoremas estabelece que, se G é simplesmente conexo então existe uma correspon-dência natural entre as representa¸cões de G e as representa¸cões de sua álgebra de Lie.

(11)

Para qualquer espa¸co topol´ogico conexo por caminhos definimos seu grupo fun-damental (para maiores detalhes, ver, por exemplo, [13]). A seguir apresentamos uma tabela onde listamos os grupos fundamentais para os grupos compactos e em seguida para os n˜ao compactos. Mais sobre esse assunto pode ser encontrado no livro de Sufian Husseini [12]. Aqui SOe(n; 1) denota a componente da identidade

de SO(n; 1), para n ≥ 1.

Grupo Simplesmente conexo? Grupo Fundamental

SO(2) n˜ao _Z

SO(n) (n ≥ 3) n˜ao _Z/2

U(n) n˜ao _Z

SU(n) sim {1}

Sp(n) sim {1}

Grupo Simplesmente conexo? Grupo Fundamental GL(n; R)+ (n ≥ 2) n˜ao o mesmo de SO(n)

GL(n; C) n˜ao _Z

SL(n; R) (n ≥ 2) n˜ao o mesmo de SO(n)

SL(n; C) sim {1}

SO(n; C) n˜ao o mesmo de SO(n)

SOe(1; 1) sim {1}

SOe(n; 1) (n ≥ 2) n˜ao o mesmo de SO(n)

Sp(n; R) n˜ao _Z

Sp(n; C) sim {1}

Homomorfismos e Isomorfismos

Defini¸cão 2.12 Sejam G e H dois grupos de Lie de matrizes. Uma aplica¸cão Φ de G em H é um homomorfismo de grupos de Lie se (1) Φ é um homomor-fismo de grupos e (2) Φ é cont´ınua. Se, além disso, Φ é bijetora com aplica¸cão inversa Φ−1 cont´ınua, então Φ é um isomorfismo de grupos de Lie.

Exemplos

1. O determinante, que ´_{e um homomorfismo de GL(n; C) em C}∗; 2. A aplica¸c˜_{ao Φ : R −→ SO(2) definida por Φ(θ) =}

cos θ −sen θ sen θ cos θ

;

3. SU(2) e SO(3): o homomorfismo que discutiremos a seguir, apesar de n˜ao ser um isomorfismo, permite que relacionemos problemas no espa¸co n˜ao simplesmente conexo SO(3) a problemas no espa¸co simplesmente conexo SU(2).

(12)

3 Algebras de Lie e Aplica¸

´

c˜

ao Exponencial

A Exponencial de Matrizes

A exponencial de uma matriz tem um papel important´ıssimo na teoria dos grupos de Lie: definir a álgebra de Lie de uma matriz. Além disso é o meio através do qual passamos informa¸cões da álgebra de Lie (onde os cálculos são mais facilmente feitos) para o grupo de Lie correspondente.

Lembrando que a norma de um vetor x = (x1, x2, . . . , xn) em Cn ´e definida por

kxk =phx, xi = n X k=1 |xk|2 !1/2 ,

e pensando no espa¸co Mn(C) das matrizes complexas como Cn

2

, definimos a norma de uma matriz X como

kXk = n X k,l=1 |Xkl|2 !1/2 .

(Essa norma é conhecida como norma de Hilbert-Schmidt.) Vale o seguinte re-sultado: uma seqüência de matrizes Xm converge para uma matriz X segundo

nossa defini¸c˜ao 2.2, se e somente se, kXm− Xk → 0 quando m → +∞.

Essa norma satisfaz as desigualdades

kX + Y k ≤ kXk + kY k, (desigualdade triangular)

kXY k ≤ kXk kY k (conseq. desigualdade Schwarz)

Defini¸cão 3.1 Se kXm− Xlk → 0 quando m, l → 0 dizemos que a seqüência de

matrizes Xm é uma seqüência de Cauchy.

Olhando o espa¸co Mn(C) das matrizes complexas como Cn

2

e usando um resultado b´asico de an´alise, obtemos

Proposi¸cão 3.2 Se Xm é uma seqüência de Cauchy em Mn(C) então existe uma

´

unica matriz X tal que Xm converge para X.

Defini¸c˜ao 3.3 Dizemos que a s´erie de matrizes X0 + X1 + X2+ . . . converge

absolutamente, se

∞

P

m=0

kXmk < ∞.

Proposi¸cão 3.4 Dada uma matriz quadrada, real ou complexa, X, a série de potências ∞ X m=0 Xm m!

denotada por eX_{, ou exp (X), converge. Al´}_{em disso, a exponencial de uma matriz,}

(13)

Demonstra¸c˜ao: Temos que kXm_{k ≤ kXk}m _{pelas propriedades da norma; e} assim, ∞ X m=0 Xm m! ≤ ∞ X m=0 kXkm m! = exp (kXk) < ∞ .

Como a série converge absolutamente, ela converge. A continuidade segue do fato de cada soma parcial ser cont´ınua, uma vez que Xm é uma fun¸cão cont´ınua de X.

Proposi¸c˜ao 3.5 Sejam X e Y matrizes n × n arbitr´arias. Valem as seguintes propriedades:

1. exp (0) = I, onde 0 denota a matriz nula; 2. ( exp (X))∗ = exp (X∗);

3. exp (X) ´e invert´ıvel e ( exp (X))−1 = exp (−X);

4. exp ((α + β)X) = exp (αX) exp (βX) para quaisquer α, β ∈ C;

5. Se XY = Y X ent˜ao exp (X + Y ) = exp (X) exp (Y ) = exp (Y ) exp (X);

6. Se C ´e invert´ıvel ent˜ao exp (CXC−1) = C exp (X) C−1; 7. k exp (X) k ≤ exp (kXk).

Proposi¸cão 3.6 Seja X uma matriz complexa n × n. Então exp (tX) é uma curva lisa (C∞) em Mn(C) e

d

dtexp (tX) = X exp (tX) = exp (tX) X . Em particular, d dtexp (tX) t=0 = X .

Demonstra¸cão: Para cada i e j, o elemento ( exp (tX))ij é a soma de uma série

convergente de potências de t, e portanto podemos diferenciá-la termo a termo. O resultado desejado segue da diferencia¸cão termo a termo de série de potências para exp (tX).

(14)

Calculando a Exponencial de uma Matriz

Agora vamos considerar m´etodos para calcular a exponencial de uma matriz em geral.

Caso 1: X é diagonalizável Suponha que X é uma matriz quadrada di-agonaliz´_{avel sobre C; isto é, existe uma matriz complexa C invert´ıvel tal que} X = CDC−1, onde D =    λ1 0 . .. 0 λn    . ´

E f´acil ver que exp (D) ´e uma matriz diagonal com autovalores eλ1_{, . . . , e}λn _{e pela}

proposi¸c˜ao 3.5 temos exp (X) = C    eλ1 ₀ . .. 0 eλn   C −1 .

Observe que se podemos diagonalizar X então podemos calcular a exponencial de X explicitamente. Lembre também que, mesmo quando X é real, podemos ter C complexa e os λk também; no entanto exp (X) será real, pois cada termo

da s´erie ´e real.

Caso 2: X é nilpotente Uma matriz X quadrada, é nilpotente se Xm = 0 para algum m, inteiro positivo. Sem dúvida, se Xm _{= 0 ent˜}_{ao X}l _{= 0 para}

l > m. Neste caso, a s´erie exponencial ´e na verdade uma soma finita, e pode ser computada explicitamente.

Caso 3: X arbitrária Em geral, uma matriz X não é diagonalizável, nem nilpotente, mas pode ser escrita (de maneira única) na forma X = S + N , onde S é diagonalizável, N é nilpotente e SN = N S. Então, vale que

exp (X) = exp (S + N ) = exp (S) exp (N )

onde exp (S) e exp (N ) podem ser calculadas como nos casos anteriores.

O Logaritmo de Matrizes

Na medida do poss´ıvel gostar´ıamos de definir uma inversa para a exponencial de uma matriz. Por similaridade com a fun¸cão exponencial a candidata seria uma fun¸cão logaritmica. Mas não podemos ter grandes expectativas: para qualquer X ∈ Mn(C) temos que exp (X) é invert´ıvel, logo somente matrizes invert´ıveis

poderão ter um logaritmo. Entretanto, X não é única, e não existe uma maneira de definir o logaritmo continuamente no conjunto das matrizes invert´ıveis. Como no caso dos números complexos a defini¸cão se dá por meio de uma série.

(15)

Lema 3.7 A fun¸c˜ao log z = ∞ X m=1 (−1)m+1(z − 1) m m (?)

est´a definida, e ´e anal´ıtica, num c´ırculo de raio r = 1, centrado em z = 1. Para todo z satisfazendo |z − 1| < 1, temos

elog z = z .

Para todo u satisfazendo |u| < log 2 temos |eu_{− 1| < 1 e}

log eu = u .

Demonstra¸cão: O logaritmo usual para números reais positivos tem a expansão em série de potências

d

dxlog(1 − x) = −1

1 − x = − 1 + x + x

2 _{+ . . .}

para |x| < 1. Integrando termo a termo, e lembrando que log 1 = 0 obtemos

log(1 − x) = − x + x 2 2 + x3 3 + . . . . Tomando z = 1 − x obtemos log z = − (1 − z) + (1 − z) 2 2 + (1 − z)3 3 + . . . = ∞ X m=1 (−1)m+1(1 − z) m m .

Esta série tem raio de convergência 1, define uma fun¸cão anal´ıtica complexa no conjunto {|z − 1| < 1} e coincide com o fun¸cão logaritmica usual para z real no intervalo ]0, 2[. Temos que exp (log z) = z para z ∈]0, 2]; por ser anal´ıtica, esta igualdade continua válida em todo o conjunto {|z − 1| < 1}.

Por outro lado, se |u| < log 2, ent˜ao

|eu_{− 1| =} u +u 2 2 + . . . ≤ |u| + |u| 2 2 + · · · = e |u|_{− 1 < 1} .

Assim, a expressão log( exp (u)) está definida para todo u nestas condi¸cões. Como log( exp (u)) = u para todo u real satisfazendo |u| < log 2, segue que, por ser anal´ıtica, log( exp (u)) = u para todo u complexo satisfazendo |u| < log 2.

Defini¸c˜ao 3.8 Dada uma matriz A, n × n, definimos log A, por

log A = ∞ X m=1 (−1)m+1(A − I) m m ,

(16)

Como conseq¨uˆencia do lema 3.7 e do fato k(A − I)m_{k ≤ kA − Ik}m_{, temos que a}

s´erie acima converge se kA − Ik < 1. Por´em, mesmo se kA − Ik > 1 poderemos ter que k(A − I)m_{k < kA − Ik}m_{; por exemplo, se A − I ´}_{e nilpotente.}

Teorema 3.9 A fun¸c˜ao log A = ∞ X m=1 (−1)m+1(A − I) m m ,

est´a definida, e ´e cont´ınua, no conjunto de todas as matrizes quadradas complexas tais que kA − Ik < 1.

Para todo A satisfazendo kA − Ik < 1,

exp (log A) = A .

Para todo X satisfazendo kXk < log 2 temos k exp (X) − Ik < 1 e

log exp (X) = X .

Demonstra¸c˜ao: Como k(A − I)mk ≤ k(A − I)km _{e a s´}_{erie (?) de 3.7 tem raio}

de convergência 1, a série do logaritmo converge absolutamente para todo A tal que k(A − I)k < 1. A demonstra¸cão da continuidade é basicamente a mesma que fizemos para a exponencial. Provaremos que exp (log A) = A, para todo A tal que k(A − I)k < 1. Temos 2 casos:

Caso 1: A é diagonalizável Suponha que A = CDC−1, com D diagonal. Então, A − I = CDC−1− I = C(D − I)C−1_{. Segue que (A − I)}m _´_{e da forma}

(A − I)m = C    (z1− 1)m 0 . .. (zn− 1)m   C −1 ,

onde z1, . . . , zn s˜ao autovalores de A. Se k(A − I)k < 1 ent˜ao |zi − 1| < 1, para

cada autovalor zi de A. Assim,

∞ X m=1 (−1)m+1(A − I) m m = C    log z1 0 . .. log zn   C −1 , e pelo lema 3.7, exp (log A) = C    elog z1 ₀ . .. elog zn   C −1 = A .

(17)

Caso 2: A não é diagonalizável Se A não é diagonalizável, construimos uma seqüência Am de matrizes diagonalizáveis tal que Am → A (Usamos para isso o

resultado da álgebra linear: Toda matriz é semelhante à uma matriz triangular superior. Toda matriz nilpotente é semelhante à uma matriz triangular superior com zeros na diagonal.) Se k(A − I)k < 1 então k(Am− I)k < 1 para m suficientemente grande.

Pelo caso 1, exp (log Am) = Ame pela continuidade de exp e log, exp (log A) = A.

Provamos que exp (log A) = A para todo A tal que k(A − I)k < 1. O mesmo argumento usado no caso complexo prova que, se kXk < log 2 ent˜ao k exp (X)−1k < 1. O mesmo argumento dos dois casos, prova que log( exp (X)) = X para todo X da forma acima.

Uma proposi¸cão que nos será útil:

Proposi¸c˜ao 3.10 Para todas as matrizes quadradas B, satisfazendo kBk < 1₂ existe uma constante c tal que

k log(I + B) − Bk ≤ ckBk2 _.

(Em outras palavras, log(I + B) = B + O(kBk2).)

Demonstra¸c˜ao: Observe que

log(I + B) − B = ∞ X m=2 (−1)m+1B m m = B 2 ∞ X m=2 (−1)m+1B m−2 m logo k log(I + B) − Bk ≤ kBk2 ∞ X m=2 1 2 m−2 m e a soma nesta última expressão é convergente.

Um resultado interessante ´e o seguinte

Teorema 3.11 Qualquer matriz n × n invert´ıvel pode ser expressa como exp (X) para algum X ∈ Mn(C).

cuja demonstra¸c˜ao est´a delineada nos exerc´ıcios 8 e 9 do cap´ıtulo 2 de [10].

Outras Propriedades da Exponencial de Matrizes

Teorema 3.12 (F´ormula do Produto de Lie) Sejam X e Y matrizes n × n complexas. Ent˜ao,

exp (X + Y ) = lim m→∞ exp X m exp Y m m .

(18)

Demonstra¸cão: Se multiplicarmos as séries de potências de exp X_m e exp _mY, todos os termos, com exce¸cão dos 3 primeiros, envolvem _m12 ou potências de ordem

maior de _m1. Assim, temos

exp X m exp Y m = I + X m + Y m + O 1 m2 .

Como exp X_m exp Y_m → I, quando m → ∞, temos que exp X_m exp Y_m est´a no dom´ınio do logaritmo para m suficientemente grande. Pela proposi¸c˜ao 3.10

log exp X m exp Y m = log I +X m + Y m + O 1 m2 = X m + Y m + O X m + Y m + O 1 m2 2! = X m + Y m + O 1 m2 .

Calculando a exponencial do logaritmo temos

exp X m exp Y m = exp X m + Y m + O 1 m2 e portanto, exp X m exp Y m m = exp X + Y + O 1 m .

Assim, pela continuidade da exponencial, conclu´ımos que

lim m→∞ exp X m exp Y m m = exp (X + Y ) .

Lembrando que o tra¸co de uma matriz ´e a soma dos elementos de sua diagonal e que matrizes semelhantes tem o mesmo tra¸co, o teorema a seguir relaciona a exponencial, o tra¸co e o determinante de uma matriz.

Teorema 3.13 Qualquer que seja X ∈ Mn(C) temos

det( exp (X)) = etr(X) ,

(19)

Demonstra¸c˜ao: Temos 3 casos como anteriormente

Caso 1: X ´e diagonaliz´avel Existe uma matriz complexa C invert´ıvel tal que

X = C    λ1 0 . .. 0 λn   C −1 . Ent˜ao exp (X) = C    eλ1 ₀ . .. 0 eλn   C −1 .

Assim, tr(X) =P λi e det( exp (X)) =Q eλi = eP λi.

Caso 2: X é nilpotente Se X é nilpotente então ela é semelhante à uma matriz triangular superior com zeros na diagonal. Ou seja, existe C matriz invert´ıvel tal que X = C    0 ∗ . .. 0 0   C −1 .

Neste caso, exp (X) ser´a triangular superior com 1’s na diagonal

exp (X) = C    1 ∗ . .. 0 1   C −1 .

Assim, se X ´e nilpotente, tr(X) = 0 e det( exp (X)) = 1.

Caso 3: X arbitrária X pode ser escrita (de maneira única) na forma X = S+ N , onde S é diagonalizável, N é nilpotente e SN = N S. Como S e N comutam, temos exp (X) = exp (S + N ) = exp (S) exp (N ). Pelos casos anteriores,

det( exp (X)) = det( exp (S)) det( exp (N )) = etr(S)etr(N ) = etr(X) .

(Observe que tr(N ) = 0 e tr(S) = tr(X).)

Defini¸c˜ao 3.14 Uma fun¸c˜_{ao A : R −→ GL(n; C) ´e um subgrupo a um parˆ} a-metro de GL(n; C) se

1. A ´e cont´ınua;

2. A(0) = I;

(20)

Teorema 3.15 (Subgrupos a um Parâmetro) Se A é um subgrupo a um parˆ_{ametro de GL(n; C) então existe uma única matriz quadrada complexa X tal} que

A(t) = exp (tX) .

Demonstra¸cão: A unicidade é imediata: se existe tal X então X = d dtA(t) t=0 . Só precisamos nos ocupar da existência.

Seja Bε a bola aberta em Mn(C) de raio ε, centrada em 0; ie, Bε = {X ∈

Mn(C) | kXk < ε}. Seja ε < log 2. Mostramos que “exp” leva Bε em Mn(C) de

maneira injetora, com inversa cont´ınua “log”. Seja U = exp Bε/2, um aberto

em GL(n; C). A continuidade de A garante que existe t0 > 0 tal que A(t) ∈ U

para t tal que |t| < t0. Tome X = _t1

0 log(A(t0)); assim, t0X = log(A(t0)). Logo,

t0X ∈ Bε/2 e A(t0) = exp (t0X). Ent˜ao A(t0/2) ∈ U e A(t0/2)2 = A(t0).

Fato: (Lema 2.14 de [10]) Todo g ∈ U tem uma ´unica raiz quadrada, h ∈ U , definida como h = exp 1₂log g.

Portanto, A(t0) tem uma ´unica raiz quadrada em U que ´e exp (t0X/2). Logo

A(t0/2) = exp (t0X/2). Aplicando o argumento acima repetidamente, obtemos

A(t0/2k) = exp t0X/2k

para qualquer k inteiro positivo. Ent˜ao, para quaquer inteiro positivo m, temos A(mt0/2k) = A(t0/2k)m = exp mt0X/2k. Isto significa que A(t) = exp (tX)

para todo t ∈ R da forma t = mt0/2k, e que o conjunto desses t’s ´e denso em

R. Como tanto A(t) quanto exp (tX) s˜ao cont´ınuas, segue que A(t) = exp (tX) para todo t ∈ R.

A ´

Algebra de Lie de um Grupo de Lie de Matrizes

A Álgebra de Lie é um instrumento de muita utilidade no estudo de um grupo de Lie de matrizes. Primeiro, porque as álgebras de Lie são mais simples que os grupos de Lie de matrizes, pois como veremos a seguir são espa¸cos vetoriais. Segundo, porque elas contém muita informa¸cão sobre o grupo associado.

Defini¸cão 3.16 Seja G um grupo de Lie. A Álgebra de Lie de G, denotada por g, ´_{e o conjunto das matrizes X tais que exp (tX) ∈ G, para todo t ∈ R.} Isto significa que X está em g se e só se o subgrupo a um parâmetro gerado por X está em G.

Existe uma no¸cão abstrata de álgebra de Lie e, como não podia deixar de ser, a ´

(21)

Exemplos

1. A ´_{algebra de Lie dos grupos lineares GL(n; R) e GL(n; C).}

Se X é uma matriz complexa quadrada, pela proposi¸cão 3.5, exp (tX) é invert´ıvel, logo a álgebra de Lie de GL(n; C) é o espa¸co das matrizes complexas n × n, denotada por gl(n; C).

Se X é uma matriz real quadrada, exp (tX) é invert´ıvel e real. Por outro lado, se exp (tX) é real para todo t ∈ R, então X = d

dtexp (tX) t=0

também será real. Logo a álgebra de Lie de GL(n; R) é o espa¸co das matrizes reais n × n, denotada por gl(n; R).

Observe que o argumento apresentado prova que se G é um subgrupo de GL(n; R) então a álgebra de Lie de G só contem matrizes reais.

2. A ´_{algebra de Lie dos grupos lineares especiais SL(n; R) e SL(n; C).}

Pelo teorema 3.13, det( exp (X)) = etr(X). Assim, se tr(X) = 0 então, para todo t ∈ R, temos det( exp (tX)) = 1. Por outro lado se X é uma matriz real quadrada satisfazendo det( exp (tX)) = 1, para todo t ∈ R então etr(X)t= 1, para todo t ∈ R. Isto significa que tr(X)t é um múltiplo inteiro de 2πi, para todo t ∈ R, o que só é poss´ıvel se tr(X) = 0. Portanto a álgebra de Lie de SL(n; C) é o espa¸co das n × n matrizes complexas com tra¸co zero, denotada por sl(n; C). De maneira similar, a álgebra de Lie de SL(n; R) é o espa¸co das n × n matrizes reais com tra¸co zero, denotada por sl(n; R).

3. A álgebra de Lie do grupo unitário U(n) e do grupo unitário especial SU(n).

U’a matriz U é unitária se e só se U∗= U−1. Portanto, exp (tX) é unitária se e só se

( exp (tX))∗ = ( exp (tX))−1= ( exp (−tX)) .

Pelo ´ıtem 2 da proposi¸c˜ao 3.5 temos ( exp (tX))∗ = exp (tX∗), e a igualdade acima se torna

exp (tX∗) = ( exp (−tX)) (∗).

Claramente vemos que uma condi¸cão suficiente para termos a igualdade (∗) é que X∗= −X. Por outro lado se (∗) vale para todo t, então tomando a derivada em t = 0 vemos que a condi¸cão X∗ = −X é suficiente.

Assim a ´algebra de Lie de U(n) ´e o espa¸co de todas as matrizes X complexas, n × n, tais que X∗= −X, denotada por u(n).

Combinando os dois cálculos feitos anteriormente temos que a álgebra de Lie de SU(n) é o espa¸co de todas as matrizes X complexas, n × n, tais que X∗ = −X e tr(X) = 0, denotadas por su(n).

(22)

4. A ´_{algebra de Lie dos grupos ortogonais O(n) e O(n; C); e dos grupos} ortog-onais especiais SO(n) e SO(n; C).

A componente da identidade de O(n) ´e SO(n); como a exponencial de matrizes na ´

algebra de Lie pertence à componente da identidade (proposi¸cão 3.17, a seguir), a álgebra de Lie de O(n) é a mesma de SO(n).

U’a matriz real R é ortogonal se e só se Rt= R−1. Portanto, dada X matriz real, n × x, temos que exp (tX) é ortogonal se e só se ( exp (tX))t= ( exp (tX))−1, ou

exp tXt = exp (−tX) (∗∗).

Claramente vemos que uma condi¸cão suficiente para termos a igualdade (∗∗) é que Xt= −X. Por outro lado se (∗∗) vale para todo t, então tomando a derivada em t = 0 vemos que a condi¸cão Xt= −X é suficiente.

Assim a ´algebra de Lie de O(n), bem como a de SO(n), ´e o espa¸co de todas as matrizes X reais, n × n, tais que Xt= −X, denotada por so(n). Observe que a condi¸c ao Xt= −X obriga a diagonal de X ser nula e, necessariamente, o tra¸co de X ser zero.

O mesmo argumento prova que a álgebra de Lie de SO(n; C) é o espa¸co das matrizes n × n complexas que satisfazem Xt= −X, denotada por so(n; C). Este espa¸co não é o mesmo que su(n).

5. A ´algebra de Lie do grupo ortogonal generalizado.

Temos que A ∈ O(n; k) se e somente se AtgA = g, onde g é a (n + k) × (n + k) matriz diagonal com 1 nos n primeiros elementos da diagonal e −1 nos k últimos. Esta condi¸cão equivale a g−1Atg = A−1; como g−1 = g, segue que gAtg = A−1. Se X é u’a (n + k) × (n + k) matriz real, então exp (tx) está em O(n; k) se e só se

g exp tXt g = exp gtXtg = exp (−tX) .

Esta condi¸cão vale para qualquer t ∈ R se e só se gXtg = −X. Assim a álgebra de Lie de O(n; k), que é a mesma de SO(n; k), é o espa¸co das matrizes X reais, (n + k) × (n + k), tais que gXtg = −X, e é denotada por so(n; k).

(Em geral, o grupo SO(n; k) não é conexo, em contraste com SO(n). A compo-nente da identidade de SO(n; k), que também é a componente da identidade de O(n; k) é denotada por SOe(n; k). A álgebra de Lie de SOe(n; k) é a mesma de

SO(n; k).)

6. As ´algebras de Lie dos grupos simpl´_{eticos Sp(n; R), Sp(n; C) e Sp(n).}

São denotadas, respectivamente, por sp(n; R), sp(n; C) e sp(n). O cálculo destas é similar ao da álgebra de Lie do grupo ortogonal generalizado. Para registro, apenas listaremos os resultados. Seja J a 2n × 2n matriz de blocos

J =

0 I −I 0

da defini¸cão dos grupos simpléticos. Então, sp(n; R) é o espa¸co das 2n × 2n matrizes reais X tais que J XtJ = X; sp(n; C) é o espa¸co das 2n × 2n matrizes complexas X tais que J XtJ = X; e sp(n) = sp(n; C) ∩ u(2n).

(23)

7. A ´algebra de Lie do grupo de Heisenberg H.

O grupo de Heisenberg ´e formado pelas matrizes reais 3 × 3 da forma

A =   1 a b 0 1 c 0 0 1   (?),

com a, b e c ∈ R. Lembrando que j´a calculamos a exponencial da matriz

X =   0 α β 0 0 γ 0 0 0   (??),

e vimos que exp (X) ∈ H. Por outro lado, se a matriz X ´e tal que exp (tX) ´e da forma (?), os elementos de X = d dtexp (tX) t=0

que est˜ao na diagonal ou abaixo dela devem ser nulos, e portanto X ´e da forma (??) acima.

Assim a ´algebra de Lie do grupo de Heisenberg ´e o espa¸co das matrizes reais 3 × 3 estritamente triangulares superiores.

8. A ´algebra de Lie dos grupos Euclidiano E(n) e de Poincar´e P(n).

O grupos Euclidiano, E(n), pode ser visto como o grupo das (n + 1) × (n + 1) matrizes reais da forma

     x1 R ... xn 0 . . . 0 1     

com R ∈ O(n). Se X ´e u’a matriz real (n + 1) × (n + 1) tal que exp (tX) pertence a E(n), para todo t, ent˜ao X = d

dtexp (tX) t=0

deve ter sua ´ultima linha nula:

X =      y1 Y ... yn 0 . . . 0      (?).

Nosso objetivo é deteminar quais matrizes da forma (?) pertencem à álgebra de Lie de E. Um cálculo simples mostra que, para n ≥ 1,

     y1 Y ... yn 0 . . . 0      n =     Yn Yn−1y 0 . . . 0     ,

onde y ´e o vetor coluna com elementos y1, . . . , yn. Segue que se X ´e da forma

(?), ent˜ao exp (tX) ´e da forma

exp (tX) =      ∗ exp (tY ) ... ∗ 0 . . . 0 1      .

(24)

Já sabemos que exp (tY ) ∈ O(n) para qualquer t se e somente se Yt = −Y . Assim temos que a álgebra de Lie de E(n) é o espa¸co das (n + 1) × (n + 1) matrizes reais da forma (?), com Y satisfazendo Yt= −Y .

Um argumento similar mostra que ´algebra de Lie de P(n) ´e o espa¸co das (n + 2) × (n + 2) matrizes reais da forma

     y1 Y ... yn+1 0 . . . 0      com Y ∈ so(n; 1).

Propriedades da ´

Algebra de Lie

Veremos agora algumas propriedades das ´algebras de Lie de grupos de Lie de matrizes. Ao leitor cabe verificar essas propriedades para os exemplos calculados.

Proposi¸cão 3.17 Seja G um grupo de Lie de matrizes com álgebra de Lie g e X um elemento de sua álgebra de Lie. Então exp (X) é um elemento da componente da identidade de G.

Demonstra¸cão: Pela defini¸cão de álgebra de Lie, exp (tX) é elemento de G para todo t ∈ R. Entretanto, quando t varia de 0 a 1, temos que exp (tX) é um caminho cont´ınuo ligando a identidade a exp (X).

Proposi¸cão 3.18 Seja G um grupo de Lie de matrizes com álgebra de Lie g. Seja X um elemento de g e A um elemento de G. Então AXA−1 é um elemento de g.

Demonstra¸c˜ao: Imediato, pois pela proposi¸c˜ao 3.5,

exp t(AXA−1) = A exp (tX) A−1 , e assim A exp (tX) A−1∈ G, para todo t.

Teorema 3.19 Seja G um grupo de Lie de matrizes e g, sua ´algebra de Lie. Sejam X e Y elementos de g. Ent˜ao

1. sX ∈ g, para todo s ∈ R; 2. X + Y ∈ g;

3. XY − Y X ∈ g.

(25)

Defini¸c˜ao 3.20 Dadas duas matrizes quadradas A e B o colchete (de Lie) de A e B, denotado por [A, B], ´e definido por

[A, B] = AB − BA .

De acordo com o Teorema 3.19 a álgebra de Lie é fechada para opera¸cão do colchete.

Defini¸cão 3.21 Um grupo de Lie de matrizes G é dito complexo se sua álgebra de Lie, g, é um subespa¸co complexo de Mn(C) (ie, se iX ∈ g, para todo X ∈ g).

Por exemplo, GL(n; C), SL(n; C), SO(n; C) e Sp(n; C) são grupos complexos. Teorema 3.22 Sejam G e H grupos de Lie de matrizes, com respectivas álgebras de Lie g e h. Seja Φ : G −→ H um homomorfismo de grupos de Lie. Então existe uma única aplica¸cão linear real φ : g −→ h tal que

Φ( exp (X)) = exp (φ(X))

para todo X ∈ g. A aplica¸c˜ao φ tem as seguintes propriedades:

1. φ(AXA−1) = Φ(A)φ(X)Φ(A)−1, para todo X ∈ g, todo A ∈ G; 2. φ([X, Y ]) = [φ(X), φ(Y )], para todo X, Y ∈ g;

3. φ(X) = d dtΦ( exp (tX)) t=0 , para todo X ∈ g.

Suponha que G, H e K sejam grupos de Lie de matrizes. Sejam Φ : H −→ K e Ψ : G −→ H homomorfismos de grupos de Lie. Seja Λ : G −→ K a composi¸cão de Φ e Ψ, Λ(A) = Φ(Ψ(A)). Sejam φ, ψ e λ as aplica¸cões de álgebras de Lie correspondentes. Então

λ(X) = φ(ψ(X)) .

Na prática usamos a propriedade 3 para obter φ a partir de Φ; como φ é linear, basta computá-la numa base de g. Na linguagem das variedades diferenciáveis, φ é a derivada de Φ na identidade (que é a defini¸cão usual de φ). Uma aplica¸cão linear satisfazendo a propriedade 2 é um homomorfismo de álgebras de Lie.

Vamos `a demonstra¸c˜ao de 3.22:

Demonstra¸cão: Similar à demonstra¸cão do teorema 3.19. Como Φ é um homo-morfismo de grupos cont´ınuo, Φ( exp (tX)) é um subgrupo a um parâmetro de H. Assim, pelo teorema 3.15, existe uma única matriz Z tal que

Φ( exp (tX)) = exp (tZ)

para todo t ∈ R. Esta matriz Z deve pertencer a h uma vez que exp (tZ) = Φ( exp (tX)) ∈ H. Definimos φ(X) = Z e verificamos que φ satisfaz as pro-priedades requeridas. A demonstra¸cão é feita em vários passos e aqui somente os enumeraremos (para maiores detalhes ver [10, p.46-47]).

(26)

Passo 1 Φ( exp (X)) = exp (φ(X)).

Passo 2 φ(sX) = sφ(X), para todo s ∈ R. Passo 3 φ(X + Y ) = φ(X) + φ(Y ).

Passo 4 φ(AXA−1) = Φ(A)φ(X)Φ(A)−1. Passo 5 φ([X, Y ]) = [φ(X), φ(Y )]. Passo 6 φ(X) = d dtΦ( exp (tX)) t=0 .

Passo 7 φ é a única aplica¸cão linear real tal que Φ( exp (X)) = exp (φ(X)).

Passo 8 λ = φ ◦ ψ.

Defini¸cão 3.23 (A Aplica¸cão Adjunta) Seja G um grupo de Lie de ma-trizes e g sua álgebra de Lie. Para cada A ∈ G, definimos um aplica¸cão linear AdA: g −→ g pela fórmula

AdA(X) = AXA−1 .

Proposi¸cão 3.24 Seja G um grupo de Lie de matrizes e g sua álgebra de Lie. Seja GL(g) o grupo das transforma¸cões lineares invert´ıveis de g. Então, para cada A ∈ G, temos que AdA é uma transforma¸cão linear invert´ıvel de g, com inversa

Ad_A−1, e a aplica¸c˜ao A 7→ Ad_A ´e um homomorfismo de grupo de G em GL(g).

Al´em disso, para cada A ∈ G, AdA satisfaz

AdA([X, Y ]) = [AdA(X), AdA(Y )]

para todo X, Y ∈ g.

Demonstra¸cão: A proposi¸cão 3.18 garante que AdA(X) é elemento de g, para

todo X ∈ g.

Como g é um espa¸co vetorial real com dimensão k, para algum k inteiro positivo, o grupo GL(g) ´_{e essencialmente o mesmo que GL(k; R). Assim vamos olhar para} GL(g) como um grupo de Lie de matrizes. É fácil ver que Ad : G −→ GL(g) é cont´ınua e portanto é um homomorfismo de grupos de Lie. Pelo teorema 3.22, existe uma aplica¸cão linear associada X 7→ adX da álgebra de Lie de G a álgebra

de Lie de GL(g) (ie, de g em gl(g)), com a propriedade

exp (adX) = Adexp(X) .

Observe que gl(g) é a álgebra de Lie de GL(g), ou seja, o espa¸co de todas as aplica¸cões lineares de g em g.

(27)

Proposi¸cão 3.25 Seja G um grupo de Lie de matrizes, g sua álgebra de Lie e seja Ad : G −→ GL(g) o homomorfismo de grupos de Lie definido acima. Seja ad : g −→ gl(g) aplica¸cão da álgebra de Lie associada. Então para todo X, Y ∈ g temos

adX(Y ) = [X, Y ] .

Demonstra¸c˜ao: Pelo 3o_{´ıtem do teorema 3.22,}

adX = d dtAdexp(tX) t=0 . Portanto, adX(Y ) = d dtAdexp(tX)(Y ) t=0 = d dt exp (tX) Y exp (−tX) t=0 = [X, Y ] .

A Aplica¸

c˜

ao Exponencial

Defini¸cão 3.26 Se G é um grupo de Lie de matrizes com álgebra de Lie g, então a aplica¸cão exponencial de G é

exp : g −→ G .

Ou seja, a aplica¸cão exponencial de G é a exponencial de matrizes restrita à ´

algebra de Lie g de G.

Teorema 3.27 Dado 0 < ε < ln 2, seja Uε = {X ∈ Mn(C) | kXk < ε} e seja

Vε = exp (U ε). Seja G ⊂ GL(n; C) um grupo de Lie de matrizes com ´algebra de

Lie g. Ent˜ao existe ε ∈]0, ln 2[ tal que para todo A ∈ Vε, temos que A ∈ G se e

s´o se log A ∈ g.

Demonstra¸c˜ao: Ver [10, p.49-50].

Corolário 3.28 Se G é um grupo de Lie de matrizes com álgebra de Lie g, existe uma vizinhan¸ca U de 0 em g e uma vizinhan¸ca V de I em G tal que a aplica¸cão exponencial leva U homeomorficamente sobre V .

Demonstra¸cão: Seja ε para o qual as condi¸cões do teorema 3.27 estão satisfeitas. Tome U = Uε∩ g e V = Vε∩ U . O teorema garante que exp leva U sobre V .

Além disso, exp é um homeomorfismo de U sobre V , uma vez que existe uma aplica¸cão inversa cont´ınua, a restri¸cão do logaritmo de matrizes à V .

(28)

Defini¸cão 3.29 Se U e V são como no corolário 3.28, então a aplica¸cão inversa exp−1: V −→ g é chamada de logaritmo de G.

Corolário 3.30 Se G é um grupo de Lie de matrizes conexo, então todo elemento A de G pode ser escrito na forma

A = exp (X1) exp (X2) . . . exp (Xm) ,

onde X1, X2, . . . , Xm ∈ g.

Demonstra¸cão: Como G é conexo, existe um caminho cont´ınuo A(t) em G com A(0) = I e A(1) = A. Seja V uma vizinhan¸ca de I em G como no corolário 3.28, de forma que todo elemento de V é a exponencial de um elemento de g. Um argumento comum usando a compacidade do intervalo [0, 1] prova que existe uma seqüência de números t0, . . . , tm com 0 = t0 < t1 < · · · < tm = 1 tal que

A−1_t

k−1Atk ∈ V

para todo k = 1, . . . , m. Ent˜ao,

A = (A−1_t 0 At1)(A −1 t1 At2) . . . (A −1 tm−1Atm) .

Se escolhermos Xk ∈ g tal que exp (Xk) = A−1tk−1Atk para k = 1, . . . , m, temos

que

A = exp (X1) exp (X2) . . . exp (Xm) .

Corolário 3.31 Suponha que G e H são grupos de Lie de matrizes, com G conexo, e que Φ1 e Φ2 são homomorfismos de grupos de Lie de G em H.

Se-jam φ1 e φ2 os respectivos homomorfismos das ´algebras de Lie associadas. Se

φ1 = φ2 ent˜ao Φ1 = Φ2.

Demonstra¸cão: Seja g um elemento qualquer de G. Como G é conexo, pelo corolário 3.30 podemos escrever g como g = exp (X1) exp (X2) . . . exp (Xn), com

Xi ∈ g. Ent˜ao,

Φ1(g) = Φ1( exp (X1))Φ1( exp (X2)) . . . Φ1( exp (Xn))

= exp (φ1(X1)) exp (φ1(X2)) . . . exp (φ1(Xn))

= exp (φ2(X1)) exp (φ2(X2)) . . . exp (φ2(Xn))

= Φ2( exp (X1))Φ2( exp (X2)) . . . Φ2( exp (Xn))

= Φ2(g)

.

Como uma conseq¨uˆencia do teorema 3.27 obtemos os resultados a seguir.

Corol´ario 3.32 Todo grupo de Lie de matrizes G ´e uma subvariedade lisa mer-gulhada de Mn(C); e portanto, um grupo de Lie.

(29)

Demonstra¸cão: Seja ε ∈]0, ln 2[ tal que as condi¸cões do teorema 3.27 estão satisfeitas. Então, para qualquer A0 ∈ G, tome a vizinhan¸ca A0Vε de A0 em

Mn(C). Observe que A ∈ A0Vεse e somente se A−10 A ∈ Vε. Definimos um sistema

local de coordenadas em A0Vε escrevendo cada A ∈ A0Vε como A = A0exp (X),

para X ∈ Uε ⊂ Mn(C). Segue do teorema 3.27 que (para A ∈ A0Vε) A ∈ G

se e somente se X ∈ g. Isto quer dizer que, neste sistema local de coordenadas definido numa vizinhan¸ca de A0, G se parece com o subespa¸co g de Mn(C). Uma

vez que ´e poss´ıvel achar um tal sistema local de coordenadas para qualquer ponto A0 de G, temos que G ´e uma subvariedade mergulhada de Mn(C). Portanto, G

´e um grupo de Lie na defini¸c˜ao usual.

O corolário 3.32 mostra que um grupo de Lie de matrizes G é necessariamente um espa¸co localmente conexo por caminhos; o que implica que G é conexo se e somente se G é conexo por caminhos. Assim, a defini¸cão de conexidade adotada é equivalente à usual.

Corolário 3.33 Sejam G e H dois grupos de Lie de matrizes e seja Φ um ho-momorfismo de grupos de G em H. Se Φ é cont´ınuo, ele é liso (C∞).

Demonstra¸cão: Dada A ∈ G, escrevemos B ∈ G os elementos próximos de A (demonstra¸cão do corolário 3.32) como B = A exp (X), para X ∈ g. Então,

Φ(B) = Φ(A)Φ( exp (X)) = Φ(A) exp (φ(X)) .

Isto quer dizer que, em coordenadas exponenciais numa vizinhan¸ca de A, o ho-momorfismo Φ é a composi¸cão da aplica¸cão linear φ, da aplica¸cão exponencial e da multiplica¸cão (à esquerda) por Φ(A), todas aplica¸cões lisas.

O que segue é prova de que a nossa defini¸cão satisfaz a descri¸cão usual da álgebra de Lie associada à um grupo de Lie.

Corol´_{ario 3.34 Suponha que G ⊂ GL(n; C) ´e um grupo de Lie de matrizes com} ´

algebra de Lie g. Ent˜ao uma matriz X ∈ g se e somente se existe uma curva lisa γ em Mn(C) tal que

1. γ(t) ∈ G, para todo t (ie, a imagem de γ est´a contida em G);

2. γ(0) = I; 3. dγ dt _t=0 = X.

(30)

´

Algebras de Lie

Proposi¸cão 3.35 A álgebra de Lie g de um grupo de Lie de matrizes G é uma ´

algebra de Lie sobre R.

Demonstra¸cão: Pelo teorema 3.19, g é uma subálgebra real do espa¸co das ma-trizes quadradas complexas Mn(C) e é, portanto, uma álgebra de Lie sobre R.

(31)

4 A F´

ormula de Baker-Campbell-Hausdorff

A F´

ormula de Baker-Campbell-Hausdorff para o Grupo de

Heisenberg

Teorema 4.1 Sejam X e Y matrizes quadradas complexas e que X e Y comutam com seu comutador. Isto ´e,

[X, [X, Y ]] = [Y, [X, Y ]] .

Ent˜ao,

exp (X) exp (Y ) = exp

X + Y + 1 2[X, Y ]

Teorema 4.2 Seja H o grupo de Heisenberg e h sua álgebra de Lie. Seja G um grupo de Lie de matrizes com álgebra de Lie g e seja φ : h −→ g um homomor-fismo de álgebras de Lie. Então existe um único homomorfismo de grupos de Lie Φ : G −→ H tal que

Φ( exp (X)) = exp (φ(X)) para todo X ∈ h.

A F´

ormula de Baker-Campbell-Hausdorff Geral

Considere a fun¸c˜ao

g(z) = log z 1 − 1_z .

Ela est´a definida e ´e anal´ıtica no disco {|z − 1| < 1} e portanto para z neste conjunto, g(z) pode ser descrito como

g(z) =

∞

X

m=0

am(z − 1)m ,

para o conjunto de coeficientes {am} adequado. Esta s´erie tem raio de

con-vergˆencia 1.

Seja V um espa¸co vetorial complexo de dimens˜ao finita. Escolhemos uma base arbitr´_{aria para V , de forma que possa ser identificado com C}n, e assim podemos definir a norma de um operador linear em V . Ent˜ao, para qualquer operador A em V com kA − Ik < 1 definimos g(A) = ∞ X m=0 am(A − I)m .

(32)

Teorema 4.3 Para matrizes quadradas complexas X e Y , com kXk e kY k sufi-cientemente pequena temos

X + Z 1

0

g( exp (adX) exp (tadY))(Y ) dt .

Corolário 4.4 Seja G um grupo de Lie e g sua álgebra de Lie. Seja φ : g −→ gl(n; C) um homomorfismo de álgebras de Lie. Então, para X e Y em g, sufi-cientemente pequenos, temos que log( exp (X) exp (Y )) pertence a g e

φ(log( exp (X) exp (Y ))) = log( exp (φ(X)) exp (φ(Y ))) .

A Derivada da Aplica¸

c˜

ao Exponencial

Teorema 4.5 (A Derivada da Exponencial) Sejam X e Y matrizes com-plexas quadradas. Ent˜ao

d dtexp (X + tY ) _t=0

= exp (X) I − exp (−adX) adX (Y ) = exp (X) Y − [X, Y ] 2! + [X, [X, Y ]] 3! − . . . .

Homomorfismos de Grupos de Lie e de ´

Algebras de Lie

Teorema 4.6 Sejam G e H grupos de Lie de matrizes com respectivas álgebras de Lie g e h. Seja Φ : g −→ h um homomorfismo de álgebras de Lie. Se G é simplesmente conexo, então existe um único homomorfismo de grupos de Lie Φ : G −→ H tal que Φ( exp (X)) = exp (φ(X)), para todo X ∈ g.

Corolário 4.7 Sejam G e H grupos de Lie de matrizes, simplesmente conexos, com respectivas álgebras de Lie g e h. Se g é isomorfo a h então G é isomorfo a H.

Subgrupos e Sub´

algebras

Teorema 4.8 Seja G um grupo de Lie de matrizes com álgebra de Lie g. Seja h uma subálgebra de Lie de g. Então existe um único subgrupo de Lie conexo, H, de G tal que a álgebra de Lie de H é h. O subgrupo H é formado por elementos da forma

exp (X1) exp (X2) . . . exp (Xm)

(33)

5 Aplica¸

c˜

oes

5.1 Ref. [2]: The Structure of Solvmanifolds

Neste artigo Louis Auslander exp˜oe a teoria moderna das solv-variedades, ini-ciando pelas nilvariedades, o objetivo de nossas aplica¸c˜oes.

Teoria Abeliana

No primeiro cap´ıtulo ele comenta a teoria abeliana, olhando seus diversos aspec-tos: geral, racional e compacto. Definindo Ah(Φ) = envolt´orio convexo (alg´ebrico)

gerado por Φ = subgrupo de G ⊂ GL(n; R), como a interseçcão de todos os sub-grupos (alg´_{ebricos) de GL(n; R) que contém Φ, ele comenta a estrutura de R}n_/H,

onde R ´e visto como um grupo de Lie abeliano, conexo e simplesmente conexo, e identificando Rn _{com o grupo alg´}_{ebrico da forma}

       1 0 x1 1 x2 . .. .._. 0 1 xn 1       

temos como conseqüência que os subgrupos alg´_{ebricos de R}n são exatamente os subespa¸cos lineares de Rn_.

Teoria geral: Seja H0 a componente da identidade de H e Ah(H) o “convex

hull” alg´ebrico de H. Temos que H0 ´e subgrupo normal de Ah(H) e Ah(H)/H

é grupo abeliano compacto cujo grupo fundamental é H/H0. Além disso, como

Rn = V ⊕ Ah(H), onde V ´e um subespa¸co vetorial, Rn/H ≈ V × Ah(H)/H ≈

V × T , onde T ´e o toro Ah(H)/H. Portanto Rn/H ´e compacto se e somente se

Rn= Ah(H).

Teoria racional: Seja e1, . . . , en uma base para Rn e seja Qn ⊂ Rn o

sub-grupo das combina¸cˆ_{oes lineares racionais desta base. Chamamos Q}n _{de forma}

racional de Rn_{. Seja G um subgrupo de Q}n_{. Sabemos que G ´}_{e subgrupo discreto}

de Rn se e somente se G ´e finitamente gerado. Seja π um subgrupo finitamente gerado de Qn _{e seja A}

h(π, Q) o subespa¸co racional de Qngerado por π, ou

equiva-lentemente o conjunto dos pontos racionais de Ah(π) ⊂ Rn. Seja W um subespa¸co

racional de Qn. Ent˜ao

Ah(π ∩ W, Q) = Ah(π, Q) ∩ W .

Teoria compacta: Seja π ⊂ Rm _{um subgrupo discreto de R}m _(ou

equiva-lentemente, um subgrupo finitamente gerado da forma racional de Rm_{) tal que}

Ah(π) = Rm. Seja π1 ⊂ Rn um subgrupo discreto de Rn tal que Ah(π) = Rn

Se ψ : π → π1 ´e um isomorfismo, ent˜ao ψ pode ser estendido a um isomorfismo

ψ∗_{: R}m _{→ R}n_{. Portanto n = m e ψ}∗

induz um difeomorfismo entre Rn_{/π e}

(34)

Grupos de Lie Nilpotentes e Nilvariedades

No segundo cap´ıtulo, temos a defini¸cão das nilvariedades. Na teoria clássica, um grupo de Lie N , conexo e simplesmente conexo é nilpotente se a sua álgebra de Lie é nilpotente. Em seguida mostra-se que isso equivale a pedir que N seja nilpotente como um grupo abstrato, ie que sua série central inferior seja finita. (A série central inferior é uma seqüência de grupos Gk definidos indutivamente por

G1 = G e Gk = [Gk−1, G], onde [H, K] ´e o grupo gerado por todos os elementos

da forma khk−1h−1 onde h ∈ H e k ∈ K. A série central inferior é finita se existe k finito tal que Gk = e, onde e é o elemento identidade de G.)

Similar ao que vimos no primeiro cap´ıtulo, qualquer grupo de Lie nilpotente, conexo e simplesmente conexo, N , é isomorfo ao grupo das matrizes triangulares superiores unipotentes (a matriz A é unipotente, se A − I é nilpotente), aqui denotadas por U (m) (cuidado para não confundir com o grupo de Lie das matrizes unitárias U(m)),

U (m) =      1 ∗ 1 . .. 0 1     

´_{e um subgrupo de GL(m; R) e qualquer subgrupo conexo de U (m) é um grupo} algébrico. Mas o que, de fato, marca a similaridade é que os subgrupos algébricos de N que são mergulhados em U (m) são exatamente os subgrupos conexos de N . Assim, se H é subgrupo de N , tomamos o envoltório convexo (algébrico), Ah(H),

de H em N (o menor subgrupo conexo de N que cont´em H).

Nossa habilidade de representar fielmente N em U (m) nos permite encontrar um sistema de coordenadas X = (x1, . . . , xn) global (v´alido em todo N ) de forma

que a multiplica¸c˜ao em N seja dada por

X.Y = (x1, . . . , xn)(y1, . . . , yn) = (p1(X, Y ), . . . , pn(X, Y )) (∗)

onde pi são polinômios em 2n variáveis. A rec´ıproca também é verdadeira: Se N

´e um grupo com coordenadas X = (x1, . . . , xn) cuja lei de composi¸c˜ao satisfaz a

equa¸cão (∗), então N é um grupo de Lie nilpotente. Assim, vamos adotar que, ao trabalhar com grupos de Lie nilpotentes, ou N é algébrico ou sua multiplica¸cão é polinomial.

Diremos que um corpo F é um corpo de defini¸cão para o grupo de Lie nilpotente N , se existe uma lei de composi¸cão polinomial em N com coeficientes em F ou se N pode ser representado como um grupo algébrico tendo F como corpo de defini¸cão. Um grupo de Lie nilpotente definido sobre o corpo dos racionais é um grupo de Lie nilpotente racional.

Teoria nilpotente geral: Seja H um subgrupo fechado do grupo de Lie nilpotente N e seja H0 a componente da identidade de H. Denotando por Ah(H)

o envolt´orio convexo (alg´ebrico) de H em N e se Ah(H) 6= N ve-se que N/Ah(H)

´e topologicamente um espa¸co vetorial V e que N/H ≈ V × Ah(H)/H, onde ≈

(35)

Se H ⊂ N e Ah(H) = N , então H0é um subgrupo normal de N , pois H0é normal

em H e N é o envoltório convexo (algébrico) de H. Assim, podemos formar o grupo de Lie nilpotente M = N/H0 e considerar H/H0 como um subgrupo

discreto π de M . Temos que Ah(π) = M . Da teoria dos grupos alg´ebricos temos

que

Ah([π, π]) = [Ah(π), Ah(π)] = [M, M ] .

Um argumento de indu¸cão nos permite concluir que M/π ≈ N/H é compacto. Temos que: Se H é um subgrupo fechado do grupo de Lie nilpotente N então N/H é compacto se e somente se Ah(H) = N .

Chamamos o espa¸co homogêneo de um grupo de Lie nilpotente uma nilvar-iedade. E os resultados desta seçcão podem ser resumidos como: Uma nilvar-iedade é o produto cartesiano de um espa¸co vetorial e de uma variedade compacta. Grupos de Lie nilpotentes racionais: Seja N um grupo de Lie nilpotente e X = (x1, . . . , xn) um sistema de coordenadas em N tal que a multiplica¸cão é

definida por polinˆ_{omios com coeficientes no corpo dos racionais Q. Seja N}_Q(X) os pontos racionais de N relativos ao sistema X. Seja Y = (y1, . . . , yn) um

outro sistema de coordenadas em N tal que a multiplica¸cão em N é definida por polinˆ_{omios com coeficientes no corpo dos racionais Q. Seja N}_Q(Y ) os pontos racionais de N relativos ao sistema Y . Temos que N_Q(X) e N_Q(Y ) não serão necessariamente isomorfos. Chamamos N_Q(X) uma forma racional de N . No que segue, trabalharemos com uma forma racional fixada e denotada simplesmente por N_Q. (Nem todo grupo de Lie nilpotente tem uma forma racional veja [14]) Um resultado interessante da teoria é: Seja N um grupo de Lie nilpotente e N_Q uma forma racional de N . Seja π um subgrupo de N_Q. Então π é discreto se e somente se for finitamente gerado. O que nos leva a um dos resultados fundamentais de existência: Seja N um grupo de Lie nilpotente e N_Q uma forma racional de N . Então existe π ⊂ N_Q tal que π é subgrupo discreto de N e N/π é compacto.

Nilvariedades compactas: Seja π um subgrupo discreto de um grupo de Lie nilpotente N tal que π é cocompacto em N , ou equivalentemente, N/π é compacto. Então π determina N de maneira única. De maneira mais precisa: Sejam πi ⊂ Ni, i = 1, 2, subgrupos discretos cocompactos dos grupos de Lie

nilpotentes Ni, i = 1, 2. Seja

α : π1 −→ π2

um isomorfismo. Ent˜ao α se estende de maneira ´unica a um isomorfismo

α∗: N1 −→ N2 .

A demonstra¸cão deste fato é feita por indu¸cão na dimensão de N1.

O argumento de indu¸cão na dimensão é novamente utilizado para demonstrar que: Seja N um grupo nilpotente e π ⊂ N um subgrupo discreto e cocompacto. Então existe uma forma racional N_Q tal que π ⊂ N_Q.

Novamento usamos um argumento de indu¸cão para provar que: Se π é um grupo nilpotente, livre de tor¸cão, finitamente gerado então existe um grupo de Lie nilpo-tente N tal que π ⊂ N e N/π e compacto. A base desta demonstra¸cão é um fato

(36)

da teoria dos grupos: um tal grupo π tem uma representa¸cão como produto semidireto da forma π = Z n π∗, onde π∗ é novamente um grupo nilpotente, livre de tor¸cão, finitamente gerado.

Esses resultados s˜ao finalmente utilizados para demonstrar o resultado principal: Sejam N1 e N2 nilvariedades compactas com grupo fundamental π1,

respectiva-mente π2. Se π1 é isomorfo a π2 então N1 e N2 são difeomorfas.

Nos limitaremos a comentar esses cap´ıtulos do artigo; mas quem se interes-sar pela teoria das solv-variedades, tem neste e na sua seqüência [3] uma fonte importante de informa¸cões.

Observa¸c˜ao:

O livro da Encyclopaedia of Mathematical Sciences devotado à teoria dos grupos de Lie (ver [16]) dá uma visão mais moderna dessa aplica¸cão, com linguagem mais atual; afinal, 20 anos separam esses dois trabalhos. No entanto, o trabalho de Auslander é um clássico na teoria, e tem o mérito de examinar completa-mente a estrutura das nilvariedades, e das solv-variedades, focalizando inclusive nos seus aspectos dinâmicos. Do nosso ponto de vista, é costumeiro tratar as nilvariedades (respectivamente, as solv-variedades) como espa¸cos homogêneos de grupos de Lie nilpotentes (respectivamente, solúveis). Numa linguagem mais simples, teorema 1.1 de [16, p.161], descreve as nilvariedades: Uma nilvariedade arbitrária M é difeomorfa ao produto M∗ _{× R}n_{, onde n ≥ 0 e M}∗ _´_{e uma}

nilvar-iedade compacta. Prossegue comentando a estrutura das nilvarnilvar-iedades compactas, primeiro de forma alg´ebrica; e depois, com a estrutura de fibrado principal, tendo o toro como fibra (esse ´e o ponto de vista utilizado nos trabalhos que se seguem).

5.2 _{Ref. [4]: Nielsen Numbers of Maps of Tori}

Neste artigo os autores provam que a rela¸cão entre os números de Nielsen e de Lefschetz para as auto-aplica¸cões dos toros é significativa: o número de Lefschetz não somente informa a existência de pontos fixos, mas como ele é igual ao número de Nielsen, informa também a quantidade de tais pontos. Isto é, N(f ) = |L(f )|. Nenhum outro grupo de Lie compacto, conexo tem essa propriedade. O fato de termos uma nilvariedade compacta é fator determinante para esse resultado. Isto fica claro quando os autores provam que: Se G é um grupo de Lie compacto e conexo tal que N(f ) = |L(f )| para todas as auto-aplica¸cões f : G → G então G é um toro. Um outro resultado interessante para uma auto-aplica¸cão de um grupo de Lie compacto que preserva fibras, usando a decomposi¸cão pelo subgrupo toroidal, é o corolário que vem em seguida, pois faz uso da estrutura de fibrado principal das nilvariedades.

(37)

5.3 _{Ref. [9]: On a Theorem of Anosov on Nielsen}

Num-bers for Nilmanifolds

Anosov, em seu artigo [1] que dá nome a esta subseçcão, prova que as auto-aplica¸cões de nilvariedades têm o número de Nielsen igual, a menos de sinal, ao número de Lefschetz. Como já vimos, na seçcão anterior, esse resultado é válido para os toros. Na verdade, a propriedade utilizada era o fato de eles serem nilvariedades e não somente grupos de Lie compactos. (O teorema não se estende para infra-nilvariedades, como por exemplo a garrafa de Klein, ver [1]). Enquanto Anosov prova este fato usando fortemente a teoria de sistemas dinâmicos (da teoria de Nielsen ele apenas faz uso da defini¸cão de número de Nielsen e sua invariância homotópica), Fadell e Husseini fazem uso massivo da Teoria de Nilsen para conseguir tal resultado. Simplificando um pouco o enunciado, o resultado provado por Fadell-Husseini é: Qualquer auto-aplica¸cão g : M → M , onde M é uma nilvariedade satisfaz N(g) = |L(g)|.

5.4 _{Ref. [8]: Two Vignettes in Fixed Point Theory}

1. Espa¸cos com a propriedade do ponto fixo e os teoremas de Borsuk-Ulam

As similaridades entre esses dois assuntos não são apenas o uso de técnicas e estratégias semelhantes. Neste artigo vemos que eles estão intimamente ligados no contexto dos espa¸cos homogêneos.

Seja M = G/K um espa¸co homogêneo, onde G é um grupo de Lie compacto e conexo, e K ⊂ G um subgrupo fechado. As técnicas utilizadas envolvem o uso de fibrado principal com fibra K. O autor trabalha com as seguintes defini¸cões: Propriedade Borsuk-Ulam: Se ϕ : G −→ M é qualquer K-aplica¸cão, então Z = ϕ−1(x0) é não vazio. (Observe que Z é o conjunto das ra´ızes de ϕ.)

e

Propriedade do Ponto Fixo: Se f : M −→ M é uma aplica¸cão qualquer, então Fix f = {x | f (x) = x} é não vazio.

O teorema principal nesta seçcão, teorema 1.1, mostra que é poss´ıvel relacionar um problema de ponto fixo a um de ra´ızes, e vice-versa: M tem a propriedade Borsuk-Ulam se, e somente se, M tem a propriedade do Ponto Fixo. Como conseqüência, obtemos uma condi¸cão para que M admita uma aplica¸cão livre de pontos fixos: o grupo N (K)/K deve ser não-trivial.

2. F´ormula universal para n´umeros de Lefschetz relativos

Dada uma auto-aplica¸cão f : M −→ M , Fadell prova que o número de Lefschetz da auto-aplica¸cão (fn_{, f}n

∆) do par (M

n_{, ∆), onde M}n _´_{e o produto cartesiano de}

n cópias de M e ∆ é a diagonal “gorda”, é um polinômio de grau n com ra´ızes 0, 1, 2, . . . , n − 1, calculado em L(f ).