Estenderemos, nesta se¸c˜ao, as no¸c˜oes de limite, continuidade e diferenciabilidade para fun¸c˜oes definidas num aberto de um espa¸co vetorial real de dimens˜ao finita, a valores noutro espa¸co vetorial de dimens˜ao finita.
Normas emRnforam definidas na se¸c˜ao 3.1. Abstrairemos esta defini¸c˜ao para espa¸cos vetoriais reais quaisquer:
Definic¸˜ao 3.79 (Norma). Seja V um espa¸co vetorial real. Uma norma em V ´e uma fun¸c˜ao k·k:V→R+ que satisfaz as seguintes propriedades:
N1 kxk= 0 se, e somente se, x=O (onde O denota o vetor nulo de V);
N2 ∀α∈R,∀x∈V, kαxk=|α|kxk;
N3(desigualdade triangular) ∀x, y ∈V, kx+yk6kxk+kyk.
O par (V,k·k) chama-se espa¸co vetorial normado, ou, simplesmente, espa¸co normado.
Para um espa¸co vetorial V munido de uma norma k·k, as defini¸c˜oes 3.2, 3.3 e 3.6 se generalizam de maneira ´obvia. Deste modo, tamb´em podemos, doravante, falar em bolas, abertos,fechados,pontos de acumula¸c˜ao de subconjuntos deV, etc., para o espa¸co vetorial normado (V,k·k).
Eis alguns exemplos de espa¸cos vetoriais normados:
Exemplo 3.80 (Espa¸cos Normados). 1. Seja V um espa¸co vetorial real, munido de um produto interno h·,·i. Definimos, para todo v ∈ V, kvk .
= p
hv, vi. Ent˜ao k·k ´e uma norma em V, chamada norma induzida por h·,·i. Com efeito, as propriedades (N1) e (N2) s˜ao de verifica¸c˜ao imediata, a partir das propriedades que definem o produto interno, e (N3) ´e uma consequˆencia da desigualdade de Cauchy-Schwartz:
∀v, w∈V,kv+wk2 =kvk2+2hv, wi+kwk2 6kvk2+2kvkkwk+kwk2 = (kvk+kwk)2, donde (N3).
Um caso particular deste exemplo ´e a norma euclidiana, induzida pelo produto in-terno usual do Rn, conforme j´a visto na se¸c˜ao 3.1.
Nem toda norma num espa¸co vetorial real V ´e induzida por um produto interno.
Uma condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para que isto ocorra, cuja demonstra¸c˜ao ser´a omitida, ´e que seja satisfeita a identidade do paralelogramo: ∀v, w∈V, kv+wk2+ kv−wk2 = 2kvk2 + 2kwk2. Ser˜ao apresentados, a seguir, exemplos de normas que n˜ao s˜ao induzidas por produtos internos.
2. Em Rn, definimos ∀x= (x1, . . . , xn), kxkS .
=Pn
i|xi|. Ent˜ao k·kS ´e uma norma em Rn (verifique isto, como exerc´ıcio), chamada norma da soma.
3. Em Rn, definimos ∀x = (x1, . . . , xn), kxkM .
= max16i6n|xi|. Ent˜ao k·kM ´e uma norma em Rn (verifique isto, como exerc´ıcio), chamada norma do m´aximo.
A defini¸c˜ao de limite 3.8 se generaliza de forma natural para fun¸c˜oes entre espa¸cos normados:
Definic¸˜ao 3.81 (Limites). Sejam (V,k·k)e (W,|||·|||) espa¸cos normados, X ⊂V, a∈V ponto de acumula¸c˜ao de X, f :X →W e b∈W. Diz-se que o vetor b ´e o limite de f no ponto a, e escreve-se lim
x→a f(x) = b, se a seguinte condi¸c˜ao for satisfeita: ∀ >0,∃δ > 0 tal que, se x∈X\ {a} e kx−ak< δ, ent˜ao |||f(x)−b|||< .
Verificaremos, a seguir, que a no¸c˜ao de limite para fun¸c˜oes entre espa¸cos vetoriais normados de dimens˜ao finita ´e independente das normas, no sentido de que, se substituir-mos as normas dos espa¸cos por outras, obtesubstituir-mos uma defini¸c˜ao equivalente. Isto decorre do fato de que, num espa¸co vetorial normado de dimens˜ao finita, todas as normas s˜ao equivalentes, no sentido da seguinte defini¸c˜ao:
Definic¸˜ao 3.82 (Normas Equivalentes). Diz-se que duas normask·k e |||·||| num espa¸co vetorial real V s˜ao equivalentes se:
1. ∃C1 >0 tal que ∀v ∈V, kvk6C1|||v|||;
2. ∃C2 >0 tal que ∀v ∈V, |||v|||6C2kvk.
Teorema 3.83. Duas normas quaisquer num espa¸co vetorial real de dimens˜ao finita s˜ao equivalentes.
Demonstrac¸˜ao †: (1) Sejam V um espa¸co vetorial real de dimens˜ao finita n e k·k,
|||·||| duas normas em V. Tome uma base ordenada E = (v1, . . . , vn) de V; atrav´es desta base ordenada, definimos f : V → Rn por f(x) = (x1, . . . , xn) se x1, . . . , xn forem as coordenadas de x na base ordenadaE. Ent˜ao f ´e linear e invers´ıvel, i.e. um isomorfismo linear entre VeRn — o isomorfismo que leva a base ordenada E na base canˆonica deRn. Atrav´es deste isomorfismo, definimos normas emRn pork·k1 .
=k·k ◦f−1 e|||·|||1 .
=|||·||| ◦ f−1, e ´e imediato verificar que k·k e |||·||| s˜ao equivalentes se, e somente se, k·k1 e |||·|||1 s˜ao equivalentes. Assim, ´e suficiente verificar que duas normas em Rn s˜ao equivalentes;
suporemos, pois, V=Rn.
(2) Seja k·k uma norma em Rn. Afirmo que k·k : Rn → R ´e cont´ınua. Com efeito, seja a = (a1, . . . , an) ∈ Rn. Denotemos por (e1, . . . , en) a base canˆonica e k·ke a norma euclidiana em Rn. Dado > 0, queremos mostrar que existe δ > 0 tal que, se x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn e kx−ake < δ, ent˜ao |kxk − kak| < . Pela desigualdade triangular, tem-se kx−ak = kPn
i=1(xi −ai)eik 6 Pn
i=1k(xi −ai)eik = Pn
i=1|xi −ai|keik. Tome δ .
= Pn
i=1keik >0; ent˜ao, sekx−ake < δ, tem-sekx−akM .
= max16i6n|xi−ai|6kx−ake <
Pn
i=1keik, dondePn
i=1|xi−ai|keik< , portantokx−ak< . Como |kxk − kak|6kx−ak (isto decorre da desigualdade triangular — vide exerc´ıcio 3.1), segue-se |kxk − kak|< , como afirmado.
(3) Consideremos, emRn, o produto interno usualh·,·ie normask·k,|||·|||. Denotemos por S(1) a esfera unit´aria de Rn, i.e. S(1) = {x ∈ Rn | kxke = 1}. Definamos F : Rn\ {O} →Rpor F(x) .
= |||x|||kxk . Como F ´e cont´ınua (pois ´e o quociente de duas fun¸c˜oes cont´ınuas, conforme a parte (2)) e S(1) ´e compacto (i.e. fechado e limitado, conforme a defini¸c˜ao 3.84, abaixo), segue-se do teorema de Weierstrass (3.85, abaixo) que existem x1, x2 ∈ S(1) tais que ∀x ∈ S(1), F(x1) 6 F(x) 6 F(x2). Pomos C1 .
= F(x1) > 0 (pois, como O 6∈S(1), nenhuma norma pode se anular neste conjunto, logo kx1k > 0 e
|||x1|||>0, i.e. C1 >0) e C2 .
=F(x2)>0; ent˜ao, ∀x∈S(1), C1 6 |||x|||kxk 6C2. Ora, dado v ∈ Rn\ {O}, tem-se x .
= kvkv
e ∈ S(1), portanto C1 6 |||x|||kxk = |||v|||/kvkkvk/kvkee = |||v|||kvk 6 C2, dondeC1|||v|||6kvk6C2|||v|||. Como estas desigualdades tamb´em valem noO, conclui-se que, para todo v ∈ Rn, C1|||v||| 6 kvk 6 C2|||v|||; isto implica, trivialmente, que as
normas k·k e|||·||| s˜ao equivalentes.
Definic¸˜ao 3.84 (Compactos de Rn). Um subconjunto A de Rn diz-se compacto se for fechado e limitado (vide defini¸c˜oes 3.3 e 3.10).
Teorema 3.85 (Weierstrass). Sejam f : X ⊂ Rn → R cont´ınua e A ⊂ X compacto.
Ent˜ao f assume m´ınimo e m´aximo em A, i.e. existem x1, x2 ∈ A tais que, para todo x∈A, f(x1)6f(x)6f(x2).
A demonstra¸c˜ao deste teorema ser´a omitida e pode ser encontrada em qualquer livro de An´alise Real ou de introdu¸c˜ao `a Topologia Geral; vide, por exemplo, [4] ou [2].
Proposic¸˜ao 3.86. Sejam(V,k·k)e (W,|||·|||)espa¸cos normados, X ⊂V, a∈V ponto de acumula¸c˜ao de X, f : X →W e b∈ W. Ent˜ao lim
x→af(x) =b se, e somente se, para toda vizinhan¸caU deb em W, existir uma vizinhan¸ca V dea em Vtal que f(V ∩X\ {a})⊂ U. Demonstra¸c˜ao. E uma consequˆ´ encia imediata das defini¸c˜oes 3.81 e 3.3 (mais precisamente, da generaliza¸c˜ao natural da ´ultima defini¸c˜ao para espa¸cos normados).
Proposic¸˜ao3.87.SejamVum espa¸co vetorial real de dimens˜ao finita,k·ke|||·|||normas em V e a ∈ V. Ent˜ao um subconjunto U de V ´e uma vizinhan¸ca de a segundo a norma k·k se, e somente se, for uma vizinhan¸ca de a segundo a norma|||·|||; ou seja, o conjunto das vizinhan¸cas de a em V ´e independente da norma que se tome em V.
Demonstra¸c˜ao. Em vista da defini¸c˜ao 3.3, ´e suficiente verificar que toda k·k-bola aberta de Vcentrada em a cont´em uma |||·|||-bola aberta deV centrada em a, e vice-versa. Isto
´
e uma consequˆencia imediata do teorema 3.83: como V ´e de dimens˜ao finita, o referido teorema pode ser aplicado e garante a existˆencia de constantes C1, C2 >0 tais que, para todo v ∈ V, |||v||| 6 C1kvk e kvk 6 C2|||v|||. Assim, seja B a k·k-bola aberta de raio r >0 centrada em a, i.e. B ={x∈V| kx−ak< r}. Se x∈V e|||x−a|||< Cr
2 , tem-se
kx−ak 6 C2|||x−a||| < r, logo x ∈ B; ou seja, a |||·|||-bola aberta de V de raio Cr
2 e
centrada em a est´a contida emB. Portanto, como ak·k-bola aberta B centrada em a foi tomada de forma arbitr´aria, conclui-se que toda k·k-bola aberta centrada em a cont´em uma |||·|||-bola aberta centrada em a. Analogamente, usando-se a desigualdade (∀v ∈V)
|||v|||6C1kvk, conclui-se que toda|||·|||-bola aberta centrada em a cont´em umak·k-bola
aberta centrada em a.
Corol´ario3.88. SejamVum espa¸co vetorial real de dimens˜ao finita, X ⊂V, k·ke |||·|||
normas em V e a ∈V. Ent˜ao a ´e um k·k-ponto de acumula¸c˜ao de X se, e somente se, a
´
e um |||·|||-ponto de acumula¸c˜ao de X.
Demonstra¸c˜ao. Com efeito, decorre da defini¸c˜ao 3.6 que a ´e ponto de acumula¸c˜ao de X se, e somente se, toda vizinhan¸ca dea emVcontiver pontos deX distintos dea; ora, pela proposi¸c˜ao anterior, o conjunto das vizinhan¸cas de a em V´e independente da norma que
se tome em V.
Corol´ario 3.89. Para fun¸c˜oes entre espa¸cos normados de dimens˜ao finita, a no¸c˜ao de limite ´e independente das normas tomadas no dom´ınio e contradom´ınio da fun¸c˜ao. Ou seja, se na defini¸c˜ao 3.81 substituirmos as normas k·k em V e |||·||| em W por normas k·k1 e |||·|||1, respectivamente, obtemos uma defini¸c˜ao equivalente.
Demonstra¸c˜ao. Decorre imediatamente das proposi¸c˜oes 3.86 e 3.87.
Definic¸˜ao 3.90 (Componentes de uma Fun¸c˜ao). Sejam X um conjunto, V um espa¸co vetorial real de dimens˜ao finita n, f : X → V uma fun¸c˜ao e E = (v1, . . . , vn) uma base ordenada de V. Existem (e s˜ao ´unicas) fun¸c˜oes fi : X → R, 1 6 i 6 n, tais que (∀x∈X)f(x) = Pn
i=1fi(x)vi; tais fun¸c˜oes s˜ao chamadas de componentes def em rela¸c˜ao
`
a base ordenada E.
Todas as demais defini¸c˜oes e propriedades relativas a limites enunciadas na se¸c˜ao 3.2 se generalizam, de forma natural, para fun¸c˜oes entre espa¸cos vetoriais normados de dimens˜ao finita; para se generalizar a proposi¸c˜ao 3.14 (e todas as outras proposi¸c˜oes em que for necess´ario tomar componentes de uma fun¸c˜ao), escolhemos uma base ordenada no contradom´ınio da fun¸c˜ao e tomamos as componentes da fun¸c˜ao em rela¸c˜ao a esta base ordenada, no sentido da defini¸c˜ao 3.90. Em vista do teorema 3.83 e dos corol´arios 3.88 e 3.89, as defini¸c˜oes e propriedades em quest˜ao s˜ao independentes da escolha de normas nestes espa¸cos; fica a cargo leitor, como exerc´ıcio, a verifica¸c˜ao dos detalhes.
Finalmente, todas as defini¸c˜oes e propriedades enunciadas nas se¸c˜oes 3.2, 3.3 e 3.4, que dependem da no¸c˜ao de limite, podem ser generalizadas, de forma natural, para fun¸c˜oes entre espa¸cos vetoriais normados de dimens˜ao finita: continuidade, derivabilidade, integral de Riemann de curvas, etc. Novamente, aplicando-se o teorema 3.83 e os corol´arios 3.88 e 3.89, as defini¸c˜oes e propriedades em quest˜ao s˜ao independentes da escolha de normas nestes espa¸cos. A verifica¸c˜ao dos detalhes fica como exerc´ıcio; por exemplo, no caso da no¸c˜ao de diferenciabilidade 3.50 e 3.54, a generaliza¸c˜ao ´e como segue:
Definic¸˜ao 3.91 (Derivabilidade de Fun¸c˜oes entre Espa¸cos Normados). Sejam (V,k·k) e (W,|||·|||) espa¸cos normados, X ⊂ V aberto, x0 ∈ V e f : X → W. Diz-se que f ´e deriv´avel ou diferenci´avel em x0 se existir uma transforma¸c˜ao linear A :V→W tal que, pondo-se (∀x∈X)R(x) .
=f(x)−f(x0)−A·(x−x0), tem-se lim
x→x0
R(x) kx−x0k = 0.
Diz-se que f ´e deriv´avel se for deriv´avel em todo x0 ∈X.
Definic¸˜ao 3.92 (Derivada de Fr´echet). Sejam (V,k·k) e (W,|||·|||) espa¸cos normados, X ⊂ V aberto, x0 ∈ X e f : X →W. Se f for deriv´avel em x0, ent˜ao a transforma¸c˜ao linear A:Rn→Rm tal que lim
x→x0
f(x)−f(x0)−A·(x−x0)
kx−x0k = 0 chama-se derivada de Fr´echet ou derivada total ou, simplesmente derivada def em x0. Usa-se uma das seguintes nota¸c˜oes para denotar tal derivada: f0(x0) ou Df(x0).
A seguinte proposi¸c˜ao ´e frequentemente ´util para se estudar a continuidade ou dife-renciabilidade de fun¸c˜oes entre espa¸cos vetoriais reais de dimens˜ao finita:
Proposic¸˜ao 3.93. Sejam (V,k·k) e (W,|||·|||) espa¸cos vetoriais normados de dimens˜ao finita n e m, respectivamente. Fixemos bases ordenadas E = (v1, . . . , vn) em V e F = (w1, . . . , wm)emW; atrav´es destas bases ordenadas, podemos identificarVcomRn(atrav´es do isomorfismo linear que leva vi no i-´esimo vetor da base canˆonica de Rn, i.e. que leva um vetor na n-upla das suas coordenadas na base E) e W com Rm (de forma an´aloga).
Atrav´es destas identifica¸c˜oes, uma fun¸c˜ao f definida num aberto X de V e a valores em W se identifica com uma fun¸c˜ao f definida num abertoX deRn e a valores noRm. Dado x0 ∈X, denotemos por x0 ∈Rn o ponto que se identifica com x0 atrav´es do isomorfismo V∼=Rn acima. Tem-se:
1. f :X ⊂V→W ´e cont´ınua em x0 se, e somente se,f :X ⊂Rn→Rm for cont´ınua em x0.
2. f :X ⊂V→W ´e deriv´avel emx0 se, e somente se,f :X⊂Rn →Rm for deriv´avel em x0. Em caso afirmativo, a matriz de Df(x0) : V →W em rela¸c˜ao `as bases E e F coincide com Jf(x0), i.e. com a matriz jacobiana de f em x0.
A demonstra¸c˜ao desta proposi¸c˜ao ser´a deixada como exerc´ıcio.
A generaliza¸c˜ao da no¸c˜ao dederivada direcional 3.57 para uma fun¸c˜aof definida num aberto X de um espa¸co normado de dimens˜ao finita (V,k·k) e a valores noutro espa¸co normado de dimens˜ao finita (W,|||·|||) ´e natural: dadoh ∈V, a derivada direcional de f em x0 na dire¸c˜ao h, Dhf(x0), ´e o vetor velocidade emt = 0 da curva t7→f(x0+th). Se f for deriv´avel emx0, tal vetor velocidade coincide comDf(x0)·h∈W.
Com a mesma nota¸c˜ao do par´agrafo anterior, sejam n = dimV, m = dimW e con-sideremos bases ordenadas E = (v1, . . . , vn) em V e F = (w1, . . . , wm) em W. Se f for deriv´avel em x0 ∈ X, a matriz da transforma¸c˜ao linear Df(x0) : V → W em rela¸c˜ao `as bases E e F chama-se matriz jacobiana de f em x0 em rela¸c˜ao a E e F, e denota-se por Jf(x0)E,F (ou, simplesmente, Jf(x0), ficando subentendida a dependˆencia em rela¸c˜ao `as bases tomadas). Assim, denotando-se por f1, . . . , fm as componentes de f em rela¸c˜ao `a F, no sentido da defini¸c˜ao 3.90, tem-se:
Jf(x0)E,F = Dvifj(x0)
i,j =
Dv1f1(x0) Dv2f1(x0) · · · Dvnf1(x0) Dv1f2(x0) Dv2f2(x0) · · · Dvnf2(x0)
· · · · Dv1fm(x0) Dv2fm(x0) · · · Dvnfm(x0)
(24)
A no¸c˜ao de fun¸c˜ao de classeC1 tamb´em se generaliza de forma natural. Consideremos espa¸cos normados (V,k·k) e (W,|||·|||) de dimens˜oes n e m, respectivamente, X ⊂ V aberto, f :X →W, x0 ∈X e bases ordenadasE = (v1, . . . , vn) em V eF = (w1, . . . , wm) em W. Inicialmente, note que, se f tiver derivadas direcionais em x0 na dire¸c˜ao dos vetores da base E, faz sentido considerar a matriz Jf(x0)E,F dada por (24). Suponha que isto ocorra em todo x ∈ X. Assim, denotando por M(m×n,R) o espa¸co vetorial real das matrizes m×n com entradas reais (que tem dimens˜ao finita mn), fica bem definida uma aplica¸c˜ao Jf : X → M(m×n,R) dada por x 7→ Jf(x)E,F. Dizemos que f ´e de classe C1 se a aplica¸c˜ao Jf for cont´ınua. Isto generaliza a defini¸c˜ao 3.61 e implica, por uma generaliza¸c˜ao do teorema 3.63, que f ´e deriv´avel em X. O fato de esta defini¸c˜ao ser independente das bases ordenadas escolhidas, E e F, ´e uma consequˆencia da seguinte proposi¸c˜ao:
Proposic¸˜ao 3.94. Sejam (V,k·k) e (W,|||·|||) espa¸cos normados de dimens˜oes n e m, respectivamente, X ⊂ V aberto, f : X → W deriv´avel. Denotemos por L(V,W) o espa¸co vetorial real (de dimens˜ao finita mn) das transforma¸c˜oes lineares V→ W. Ent˜ao f ´e de classe C1 (no sentido estabelecido no par´agrafo acima, tomando bases ordenadas E e F quaisquer) se, e somente se, a aplica¸c˜ao derivada de f, Df :X →L(V,W), for cont´ınua.
Noutras palavras, dizer que f : X ⊂V → W ´e de classe C1 ´e equivalente a dizer que f ´e deriv´avel e que sua derivada Df :X →L(V,W) ´e cont´ınua. Claramente, esta ´e uma condi¸c˜ao que n˜ao depende da escolha de bases ordenadas emE e F, da´ı a afirma¸c˜ao que antecede a proposi¸c˜ao acima.
Demonstra¸c˜ao. Com efeito, sejam E = (v1, . . . , vn) e F = (w1, . . . , wm) bases ordenadas emVeW, respectivamente. Para cada 16i6me 16j 6n, definamos a transforma¸c˜ao linear Ej,i : V → W como sendo a transforma¸c˜ao que leva vj em wi e que leva todos os demais vetores da base E no O; ou seja, ´e a transforma¸c˜ao linear cuja matriz em rela¸c˜ao `as bases E e F tem 1 na linha i e coluna j, e 0 nas demais entradas. Ent˜ao E ⊗ F .
= {Ej,i | 1 6 i 6 m,1 6 j 6 n} ´e uma base ordenada para o espa¸co vetorial real L(V,W). Ora, as componentes de Df : X → L(V,W) em rela¸c˜ao `a base ordenada E ⊗ F, no sentido da defini¸c˜ao 3.90, s˜ao justamente as fun¸c˜oes definidas pelas entradas da matriz (3.66), i.e. Dvifj :X →R, x 7→Dvifj(x), onde f1, . . . , fm s˜ao as componentes de f em rela¸c˜ao a F. Por uma generaliza¸c˜ao da proposi¸c˜ao 3.21, Df : X → L(V,W) ´e cont´ınua se, e somente se, suas componentes em rela¸c˜ao a E ⊗ F forem cont´ınuas, i.e. se
Jf :X →M(m×n,R) for cont´ınua.
3.5.2. Aplica¸c˜oes Multilineares e Regra de Leibnitz
Definic¸˜ao 3.95 (Aplica¸c˜oes Bilineares). Sejam V1,V2 e W espa¸cos vetoriais reais de dimens˜ao finita. Uma aplica¸c˜ao B : V1 × V2 → W diz-se bilinear se: (1) ∀v ∈ V1, B(v,·) : V2 → W dada por x 7→ B(v, x) for uma transforma¸c˜ao linear e (2) ∀v ∈ V2, B(·, v) : V1 →W dada por x 7→B(x, v) for uma transforma¸c˜ao linear. No caso W =R, uma aplica¸c˜ao bilinear tamb´em ´e chamada de forma bilinear.
Se V1 = V2 = V e B for bilinear, diz-se que B ´e sim´etrica se (∀v, w ∈ V)B(v, w) = B(w, v) e que B ´e anti-sim´etrica se (∀v, w∈V)B(v, w) = −B(w, v).
Ou seja, B : V1 ×V2 → W ´e bilinear se for, separadamente, linear em cada um dos fatores.
Exemplo 3.96. 1. Seja V um espa¸co vetorial real e h·,·i um produto interno emV. Por defini¸c˜ao de produto interno, h·,·i:V×V→R ´e bilinear sim´etrica.
2. O produto vetorial ∧:R3×R3 →R3 ´e uma aplica¸c˜ao bilinear anti-sim´etrica.
3. Sejam V e W espa¸cos vetoriais e L(V,W) o espa¸co vetorial real das transforma¸c˜oes linearesV→W. O funcional aplica¸c˜aoδ:L(V,W)×V→W dado porδ(T, v) .
=T·v
´
e bilinear. Se V eW tiverem dimens˜ao finita, fixando-se bases ordenadas em ambos os espa¸cos e tomando-se matrizes de transforma¸c˜oes lineares ou vetores em rela¸c˜ao a estas bases, obtemos o exemplo do item seguinte.
4. Seja δ :M(m×n,R)×M(n×1,R)→M(n×1,R)dada por δ(T, v) .
=T ·v, i.e. a multiplica¸c˜ao da matrizT pelo vetor colunaw. Ent˜aoδ´e bilinear. Mais geralmente, a multiplica¸c˜ao de matrizes M(m×n,R)×M(n×k,R)→M(m×k,R)´e bilinear.
Em particular, identificando-se matrizes 1×1 com n´umeros reais, a multiplica¸c˜ao de n´umeros reals R×R→R ´e bilinear.
Proposic¸˜ao 3.97 (Continuidade de Aplica¸c˜oes Bilineares). Sejam V1, V2 e W espa¸cos vetoriais de dimens˜ao finita e B : V1 ×V2 → W bilinear. Ent˜ao B ´e cont´ınua. Al´em disso, tomando-se normas k·ki em Vi, i ∈ {1,2}, e |||·||| em W, existe, C > 0 tal que,
∀v1 ∈V1,∀v2 ∈V2, |||B(v1, v2)|||6Ckv1k1kv2k2.
Demonstra¸c˜ao. Sejam n1,n2 e m as dimens˜oes deV1, V2 e W, respectivamente. Fixemos bases ordenadas em V1, V2 e W. Identificando-se V1 ∼=Rn1,V2 ∼=Rn2 e W ∼=Rm atrav´es destas bases, B se identifica com uma fun¸c˜ao B : Rn1 ×Rn1 ∼= Rn1+n2 → Rm que ´e polinomial de grau menor ou igual a 2 (vide exemplo 3.26), portanto cont´ınua. Ent˜ao, pela proposi¸c˜ao 3.93,B ´e cont´ınua, o que prova a primeira afirma¸c˜ao.
A segunda afirma¸c˜ao decorre da continuidade de B em (O,O) ∈ V1×V2. Tomemos em V1×V2 a norma do m´aximo, i.e. (∀v1 ∈V1,∀v2 ∈V2)k(v1, v2)k .
= max{kv1k1,kv2k2}.
Como B(O,O) = O ∈ W, existe δ > 0 tal que, se (x, y) ∈ V1 × V2 e k(x, y)k < δ, ent˜ao |||B(x, y)||| < 1. Dados v1 ∈ V1 \ {O}, v2 ∈ V2 \ {O}, definamos x .
= 2kvδv1
1k1 e y .
= 2kvδv2
2k2 , de modo que kxk1 = kyk2 = δ2, donde k(x, y)k = δ2 < δ. Ent˜ao B(x, y) =
δ2
4kv1k1kv2k2 B(v1, v2) < 1, donde B(v1, v2) < δ42 kv1k1kv2k2. Como v1 ∈ V1 \ {O}, v2 ∈
V2\ {O} foram tomados de forma arbitr´aria, isto vale para todos v1, v2 nestes conjuntos;
como os dois membros se anulam sev1 ouv2 se anular, conclui-se que,∀v1 ∈V1,∀v2 ∈V2,
|||B(v1, v2)|||6 δ42 kv1k1kv2k2, e obt´em-se a tese escolhendoC = δ42 >0.
Proposic¸˜ao 3.98 (Derivabilidade de Aplica¸c˜oes Bilineares). Sejam V1, V2 e W espa¸cos vetoriais de dimens˜ao finita e B : V1 × V2 → W bilinear. Ent˜ao B ´e deriv´avel e,
∀(x, y),(h, k)∈V1×V2, DB(x, y)·(h, k) = B(x, k) +B(h, y).
Demonstra¸c˜ao. Tomemos normas k·k1 em V1, k·k2 em V2 e |||·||| em W. Seja C > 0 conforme a proposi¸c˜ao 3.97, i.e. tal que, ∀v1 ∈V1,∀v2 ∈V2,|||B(v1, v2)|||6Ckv1k1kv2k2; em V1×V2 consideramos a norma da soma, i.e. ∀(v1, v2)∈ V1×V2,k(v1, v2)k .
=kv1k1+ kv2k2. Dado (x, y)∈V1×V2, tem-se, para todo (h, k)∈V1×V2\ {(O,O)}:
|||B(x+h, y+k)−B(x, y)−B(x, k)−B(h, y)|||
k(h, k)k = |||B(h, k)|||
khk1 +kkk2 6 6 Ckhk1kkk2
khk1+kkk2
(25)
ComoV1×V2\{(O,O)} →Rdada por (h, k)7→ khkCkhk1
1+kkk2 ´e limitada e lim
(h,k)→(O,O)kkk2 = 0, segue-se de (25) que:
lim
(h,k)→(O,O)
|||B(x+h, y+k)−B(x, y)−B(x, k)−B(h, y)|||
k(h, k)k = 0.
Corol´ario 3.99 (Regra de Leibnitz). Sejam Z,V1,V2,W espa¸cos vetoriais reais de di-mens˜ao finita, X ⊂ Z aberto, x0 ∈ X, f : X → V1 e g : X → V2 deriv´aveis em x0, e B : V1 ×V2 → W uma aplica¸c˜ao bilinear. Seja F = B(f, g) : X → W a aplica¸c˜ao dada por x 7→ B f(x), g(x)
. Ent˜ao F ´e deriv´avel em x0 e, ∀h ∈ Z, DF(x0) · h = B Df(x0)·h, g(x0)
+B f(x0),Dg(x0)·h .
Demonstra¸c˜ao. Denotemos por Γ : X →V1×V2 a aplica¸c˜ao dada por x 7→ f(x), g(x) . E imediato verificar que Γ ´´ e deriv´avel em x0 e que, ∀h ∈ Z, DΓ(x0)· h = Df(x0) · h,Dg(x0)·h
. Como F = B◦Γ, segue-se da regra da cadeia que F ´e deriv´avel em x0 e que, (∀h∈Z):
DF(x0)·h=DB Γ(x0)
·DΓ(x0)·h=
=DB f(x0), g(x0)
· Df(x0)·h,Dg(x0)·h
=
3.98= B Df(x0)·h, g(x0)
+B f(x0),Dg(x0)·h
Exemplo 3.100. 1. Como caso particular do corol´ario 3.99, sejam B uma aplica¸c˜ao bilinear no Rn (por exemplo, o produto interno usual ou o produto vetorial sen = 3), I ⊂ R um intervalo e γ, η : I → Rn curvas deriv´aveis. Denotemos por eγ : I → Rn×Rn a curva dada por t7→ γ(t), η(t)
; ´e imediato verificar que eγ ´e deriv´avel e que seu vetor velocidade em t ∈ I ´e γ0(t), η0(t)
. A curva t ∈ I 7→ B γ(t), η(t)
´e a composta B ◦eγ; portanto, pela regra da cadeia, tal curva ´e deriv´avel e seu vetor velocidade ´e dado por:
d
dtB γ(t), η(t)
=DB γ(t), η(t)
· γ0(t), η0(t)
=
3.98= B γ0(t), η(t)
+B γ(t), η0(t)
(26)
2. Sejam k·k e h·,·i a norma e o produto interno euclidianos em Rn. Ent˜ao f = k·k : Rn\ {O} → R ´e deriv´avel e, ∀x ∈ Rn\ {O},∀h ∈ Rn, Df(x)·h = hx,hikxk . Com efeito considere as aplica¸c˜oes deriv´aveis F : (0,+∞) →R dada por x7→√
x, G = h·,·i : Rn ×Rn → R e H : Rn \ {O} → Rn \ {O} × Rn \ {O} dada por x 7→ (x, x); ent˜ao f = F ◦G◦ H, donde, pela regra da cadeia, f ´e deriv´avel e
∀x∈Rn\ {O},∀h∈Rn:
Df(x)·h=DF G(H(x))
·DG H(x)
·DH(x)·h =
= 1
2p
hx, xiDG(x, x)·(h, h) =
3.98= hx, hi+hh, xi 2p
hx, xi =
= hx, hi kxk .
(27)
Tudo o que fizemos para aplica¸c˜oes bilineares generaliza-se, de forma natural, para aplica¸c˜oesk-lineares:
Definic¸˜ao 3.101 (Aplica¸c˜oesk-lineares). Sejamk ∈N, V1, . . . ,Vk e W espa¸cos vetoriais reais de dimens˜ao finita. Uma aplica¸c˜ao f : V1 × · · · ×Vk → W diz-se k-linear se
∀v1 ∈ V1, . . . ,∀vk ∈ Vk, as k aplica¸c˜oes (16 i6 k)fi(v1, . . . , vi−1, vi+1, . . . , vk) :Vi → W dadas por v 7→f(v1, . . . , vi−1, v, vi, . . . , vk)forem lineares. No casoW =R, uma aplica¸c˜ao k-linear tamb´em ´e chamada de forma k-linear.
Se f for k-linear e se V1 = V2 = · · · = Vk = V, diz-se que: (1) f ´e sim´etrica se
∀(v1, . . . , vk)∈V×kfatores. . . ×V, o valor def n˜ao se altera ao permutarmos dois vetores da k-upla (v1, . . . , vk), i.e. se f(v1, . . . , vi, . . . , vj, . . . , vk) = f(v1, . . . , vj, . . . , vi, . . . , vk) para 1 6 i < j 6 k; (2) f ´e anti-sim´etrica ou alternada se ∀(v1, . . . , vk) ∈ V× kfatores. . . ×V, o valor de f ´e multiplicado por −1 ao permutarmos dois vetores da k-upla (v1, . . . , vk), i.e.
se f(v1, . . . , vi, . . . , vj, . . . , vk) =−f(v1, . . . , vj, . . . , vi, . . . , vk) para 16i < j 6k.
Ou seja, f :V1× · · · ×Vk → W ´e k-linear se for, separadamente, linear em cada um dos fatores.
Exemplo 3.102. Identifiquemos o espa¸co vetorial real das matrizes quadradas de ordem n com entradas reais, M(n×n,R), com o espa¸co vetorial real Rn×nfatores. . . ×Rn, atrav´es do isomorfismo linear A ∈ M(n×n,R) 7→ (A1, . . . , An), onde, para 1 6 i 6 n, Ai denota a i-´esima coluna da matriz A. Por meio desta identifica¸c˜ao, a fun¸c˜ao determinante M(n×n,R) → R corresponde a uma aplica¸c˜ao det : Rn× nfatores. . . ×Rn → R que, por propriedades elementares dos determinantes, ´e k-linear alternada.
Proposic¸˜ao 3.103 (Continuidade de Aplica¸c˜oes k-lineares). Sejam k ∈ N, V1, . . . ,Vk e W espa¸cos vetoriais de dimens˜ao finita e f : V1 × · · · ×Vk → W k-linear. Ent˜ao f ´e cont´ınua. Al´em disso, tomando-se normas k·ki em Vi, 1 6 i 6 k, e |||·||| em W, existe, C > 0 tal que, ∀v1 ∈V1, . . . ,∀vk∈Vk, |||f(v1, . . . , vk)|||6Ckv1k1· · · kvkkk.
Demonstra¸c˜ao. E an´´ aloga `a demonstra¸c˜ao da proposi¸c˜ao 3.97 e deixada como exerc´ıcio.
Proposic¸˜ao 3.104 (Derivabilidade de Aplica¸c˜oes k-lineares). Sejam k ∈ N, V1, . . . ,Vk e W espa¸cos vetoriais de dimens˜ao finita e f : V1 × · · · ×Vk → W k-linear. Ent˜ao f
´
e deriv´avel e, ∀(x1, . . . , xk),(h1, . . . , hk) ∈ V1 × · · · ×Vk, Df(x1, . . . , xk)·(h1, . . . , hk) = Pk
i=1f(v1, . . . , vi−1, hi, vi+1, . . . , vk).
Demonstra¸c˜ao. E an´´ aloga `a demonstra¸c˜ao da proposi¸c˜ao 3.98 e deixada como exerc´ıcio.
3.5.3. Derivada de 2a. Ordem e Matriz Hessiana
Definic¸˜ao 3.105. SejamVe W espa¸cos vetoriais reais. Denotamos porL(V,W)o espa¸co vetorial real das transforma¸c˜oes lineares V → W. Dado k ∈ N, denotamos por Lk(V,W) o espa¸co vetorial real das transforma¸c˜oes k-lineares de V em W (este espa¸co coincide com L(V,W) se k = 1), e por Lsk(V,W) e Lak(V,W) os subespa¸cos vetoriais de Lk(V,W) formados pelas transforma¸c˜oes sim´etricas e anti-sim´etricas, respectivamente.
Sejam X ⊂ Rn aberto e f : X → Rm deriv´avel. Podemos considerar, portanto, a aplica¸c˜ao derivada de f, Df : X → L(Rn,Rm). De acordo com o que vimos na se¸c˜ao 3.5.1, faz sentido indagar se esta fun¸c˜ao ´e deriv´avel, conforme o faremos na seguinte defini¸c˜ao:
Definic¸˜ao 3.106 (Fun¸c˜ao Deriv´avel at´e 2a. Ordem). SejamX ⊂Rnaberto,f :X →Rm deriv´avel e x0 ∈ X. Diz-se que f ´e 2 vezes deriv´avel em x0 ou deriv´avel at´e 2a. ordem em x0 se a aplica¸c˜ao derivada de f, Df : X → L(Rn,Rm), for deriv´avel em x0. Diz-se que f ´e deriv´avel at´e 2a. ordem ou 2 vezes deriv´avel se Df for deriv´avel em todos os pontos de X.
Sef :X ⊂Rn→Rmfor deriv´avel at´e segunda ordem, fica bem definida uma aplica¸c˜ao D(Df) : X → L Rn,L(Rn,Rm)
, i.e. a aplica¸c˜ao derivada da derivada de f, que aplica cada x0 em X na transforma¸c˜ao linear D(Df)(x0) : Rn → L(Rn,Rm). Ora, conforme a proposi¸c˜ao seguinte, existe um isomorfismo canˆonico L Rn,L(Rn,Rm) ∼= L2(Rn,Rm),
, i.e. a aplica¸c˜ao derivada da derivada de f, que aplica cada x0 em X na transforma¸c˜ao linear D(Df)(x0) : Rn → L(Rn,Rm). Ora, conforme a proposi¸c˜ao seguinte, existe um isomorfismo canˆonico L Rn,L(Rn,Rm) ∼= L2(Rn,Rm),