Notas Complementares ao Curso de Cálculo II

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Notas Complementares ao Curso de C´ alculo II

Gl´ aucio Terra 4 de outubro de 2009

Sum´ario

1 Avisos aos Navegantes 2

1.1 Nota¸c˜oes . . . 2

2 Fórmulas de Taylor para Fun¸cões R→R 3 2.1 Nota¸cões . . . 3

2.2 Notas Preliminares sobre Fun¸c˜oes Polinomiais R→R . . . 3

2.3 Defini¸c˜ao do Polinˆomio de Taylor . . . 4

2.4 F´ormula de Taylor com Resto de Lagrange . . . 5

2.5 F´ormula de Taylor com Resto Infinitesimal † . . . 7

2.6 F´ormula de Taylor com Resto Integral † . . . 9

3 Cálculo Diferencial de Fun¸cões Rⁿ →R^m 11 3.1 No¸cões Topológicas Elementares . . . 11

3.2 Limites e Continuidade . . . 12

3.2.1 Propriedades Elementares dos Limites . . . 13

3.2.2 Continuidade e Limites de Fun¸c˜oes Compostas . . . 16

3.2.3 Limites Infinitos . . . 20

3.3 Curvas . . . 20

3.4 Derivadas . . . 24

3.4.1 Matriz Jacobiana e Vetor Gradiente . . . 30

3.4.2 Regra da Cadeia . . . 31

3.4.3 Superf´ıcies de N´ıvel e Planos Tangentes . . . 34

3.5 Aplica¸cões Multilineares, Derivadas de Ordem Superior e Fórmulas de Taylor 36 3.5.1 Normas em Espa¸cos Vetoriais, Limites, Continuidade e Derivabilidade 36 3.5.2 Aplica¸cões Multilineares e Regra de Leibnitz . . . 42

3.5.3 Derivada de 2a. Ordem e Matriz Hessiana . . . 45

3.5.4 Derivadas de Ordem Superior . . . 48

3.5.5 Fun¸c˜oes de Classe C^k . . . 50

3.5.6 F´ormulas de Taylor . . . 51

3.6 Máximos e M´ınimos de Fun¸cões Reais de Várias Variáveis . . . 53

(2)

3.6.1 M´aximos e M´ınimos Condicionados . . . 57 3.6.2 Exemplos . . . 57

Sugest˜oes de Leitura 60

§1. AVISOS AOS NAVEGANTES

• Tem-se por objetivo, nestas notas, o estudo de alguns conteúdos do Cálculo Dife- rencial de fun¸cões Rⁿ → R^m complementares ao programa do curso de Cálculo II.

Estas notas n˜ao substituem, portanto, os textos indicados na bibliografia do curso.

• Tentei escrever o texto com um n´ıvel de formalismo e rigor intermediário àquele usualmente adotado num curso de Cálculo e àquele de um curso de Análise Real.

As partes marcadas com † podem ser omitidas numa primeira leitura.

• Agrade¸co corre¸c˜oes, cr´ıticas e sugest˜oes.

• Esta é uma versão preliminar e incompleta, que deve ser revisada e ampliada até o final do semestre. Assim sendo, por motivos ecológicos (e também porque o texto tem muitoslinks, de modo que é mais fácil ler no computador), sugiro não imprimir.

1.1. Nota¸c˜oes

Eis algumas observa¸cões de caráter geral sobre a nota¸cão usada nestas notas:

(.

=) Uso o s´ımbolo “.

=” para fazer defini¸c˜oes: uma senten¸ca da forma “A .

=B” significa que o termo “A” ´e definido pela express˜ao “B”.

(Nota¸cão Funcional) Sejam A e B conjuntos. Uso a nota¸cão “A→ B” para designar uma fun¸cão ou aplica¸cão com dom´ınio A e contra-dom´ınio B (i.e. sempre que encontrar neste texto uma expressão da forma “A → B”, leia “uma fun¸cão de A em B”). Uso os termosfun¸cão eaplica¸cão como sinônimos, mas prefiro usarfun¸cão quando o contra-dom´ınio é Rou C. Se quiser, na nota¸cão funcional, especificar um

“nome” para a fun¸cão — digamos, “f”, escrevo “f : A → B” (i.e. a expressão entre aspas designa uma fun¸cão A → B cujo nome é f). Se quiser, além disso, especificar a “regra” que define a fun¸cão, uso o s´ımbolo “7→” (leia-se: “maps to”);

por exemplo, a nota¸cão “f : R→R, x7→x²” designa a fun¸cão real a valores reais, chamada de f, que leva cada número real em seu quadrado. Dada uma fun¸cão f :A→B, para cadax∈A, denotamos por f(x) a imagem de xpela fun¸cãof, i.e.

o elemento de B ao qual se associa xatravés de f. Assim, usando-se esta nota¸cão, a fun¸cão do exemplo anterior também poderia ser especificada da seguinte forma:

“f : R → R dada por f(x) = x²”. Dado um subconjunto X ⊂ A, denota-se por

“f(X)” a imagem do conjunto X pela fun¸c˜ao f, i.e. o subconjunto de B dado por f(X) .

= {y ∈ B | (∃x ∈ X)y = f(x)}. Em particular, f(A) denota o conjunto imagem da fun¸c˜aof.

(3)

(Nota¸cão Funcional e Transforma¸cões Lineares) SejamVeW espa¸cos vetoriais reais, e T : V → W uma transforma¸cão linear (se você ainda não sabe o que é uma transforma¸cão linear, volte aqui depois que aprender isto no curso de Álgebra Li- near). Dado v ∈V, prefiro usar a nota¸cão “T ·v” em lugar deT(v), para designar a imagem de v por T. Ou seja, usamos um “·” para denotar imagens de vetores por transforma¸cões lineares.

§2. F ÓRMULAS DE TAYLOR PARA FUNÇ ÕES R→R

Dada uma fun¸cão real a valores reaisf, suposta derivável até ordemnnuma vizinhan¸ca de um ponto x₀ pertencente ao seu dom´ınio, o polinômio de Taylor de ordem n de f em x₀ é definido como sendo a (única) fun¸cão polinomial de grau menor ou igual anque tem

“contato até ordemn” com f em x₀, i.e. que coincide com f em x₀ e cujas derivadas de ordens menores ou iguais a n coincidem com as de f em x₀. Nestas notas, mostrar-se-á que um tal polinômio existe e é único, e que, num sentido a ser precisado, é o polinômio de grau menor ou igual a nque melhor aproxima f numa vizinhan¸ca dex₀. Os principais resultados a serem apresentados são os teoremas relativos às fórmulas de Taylor com resto de Lagrange e com resto infinitesimal; como exemplo de aplica¸cão, mostrar-se-á como a fórmula de Taylor com resto de Lagrange pode ser usada em cálculos numéricos aproximados.

2.1. Nota¸c˜oes

Dados n ∈ N e f uma fun¸cão real a valores reais, derivável até ordem n numa vizinhan¸ca de um ponto x₀ ∈ dom f, denotar-se-á por f^(k)(x₀) a derivada de ordem k de f em x₀ (para 16k 6n). Por extensão, f⁽⁰⁾ denotará a própria fun¸cãof.

2.2. Notas Preliminares sobre Fun¸c˜oes Polinomiais R→R

Proposição 2.1. Sejam n ∈ N e P : R→ R uma fun¸cão polinomial de grau menor ou igual a n. Então P tem derivadas de todas as ordens e P^(k) ≡0 para todo k >n+ 1.

Demonstra¸c˜ao. Fa¸ca como exerc´ıcio, usando o princ´ıpio da indu¸c˜ao finita.

Proposição 2.2. Sejam n ∈ N, P : R → R uma fun¸cão polinomial de grau menor ou igual a n, e x₀ ∈R. Então, para todo x∈R, tem-se:

P(x) = P(x₀) +

n

X

k=1

P^(k)(x₀)

k! (x−x₀)^k. (1)

Demonstra¸cão. Será feita por indu¸cão sobren.

(i) Se n = 0, P ´e uma fun¸c˜ao constante, logo ∀x∈R

P(x) =P(x₀) e a igualdade (1) est´a verificada.

(ii) Seja n₀ >0, e suponha que (1) seja verdadeira para toda fun¸c˜ao polinomial com grau menor ou igual a n0−1. Seja P uma fun¸c˜ao polinomial com grau menor ou igual a n₀; queremos verificar que (1) vale para P.

(4)

Como P⁰ é uma fun¸cão polinomial de grau menor ou igual a n₀−1, pela hipótese de indu¸cão a igualdade (1) vale paraP⁰, i.e. para todo x∈R:

P⁰(x) =P⁰(x₀) +

n0−1

X

k=1

(P⁰)^(k)(x₀)

k! (x−x₀)^k

=P⁰(x₀) +

n0−1

X

k=1

P^(k+1)(x0)

k! (x−x₀)^k.

(2)

Tome F :R→R definida por:

F(x) =

n0−1

X

k=0

P^(k+1)(x₀) k!

(x−x₀)^k+1

k+ 1 =

=

n0−1

X

k=0

P^(k+1)(x₀)

(k+ 1)! (x−x₀)^k+1 =

n0

X

k=1

P^(k)(x₀)

k! (x−x₀)^k.

(3)

Ent˜ao F⁰ = P⁰; portanto, pelo teorema do valor m´edio, existe c ∈ R tal que P = F+c. ComoF(x₀) = 0, segue-sec=P(x₀), donde ∀x∈R

P(x) =P(x₀) +F(x), o que ´e equivalente a (1).

Corolário 2.3. Dados n ∈ N, x₀ ∈ R e a₀, a₁, . . . , a_n ∈ R, existe uma única fun¸cão polinomial P :R→R de grau menor ou igual an tal que P^(k)(x₀) =a_k, para 06k 6n.

Demonstra¸c˜ao. Tome P :R→R definida por ∀x∈R

P(x) =Pn k=0

ak

k! (x−x₀)^k. 2.3. Defini¸c˜ao do Polinˆomio de Taylor

Com base no corol´ario anterior, faz sentido a seguinte defini¸c˜ao:

Definição 2.4. Sejamn ∈N, f :A ⊂R→R e x₀ ∈R tais que f é derivável até ordem (n −1) numa vizinhan¸ca de x0 e f⁽ⁿ⁻¹⁾ é derivável em x0. Definimos o polinômio de Taylor de ordem n de f em x₀ como sendo a (única) fun¸cão polinomial de grau menor ou igual a n tal que P^(k)(x₀) =f^(k)(x₀), para 06k 6n. Ou seja, P :R→ R é definida por, para todo x∈R:

P(x) =

n

X

k=0

f^(k)(x₀)

k! (x−x₀)^k. (4)

Conforme será demonstrado em 2.5, o polinômio de Taylor de ordem n def em x₀ é, num certo sentido, o polinômio de grau menor ou igual an que melhor aproximaf numa vizinhan¸ca de x0. Por exemplo, para n = 1, o polinômio de Taylor de ordem 1 de f em x₀ é a fun¸cão afim cujo gráfico é a reta tangente ao gráfico def em x₀, portanto esta reta

´

e a que melhor aproxima (no referido sentido) o gráfico de f numa vizinhan¸ca de x₀. À medida que se tomam valores denmaiores, é intuitivo esperar que a referida aproxima¸cão seja cada vez melhor.

(5)

Exemplo 2.5. (1) Seja f = exp : R → R. Esta fun¸c˜ao tem derivadas de todas as ordens e ∀n∈N,∀x₀ ∈R

exp⁽ⁿ⁾(x₀) = exp(x₀). Portanto, dadosn∈Nex₀ ∈R, o polinˆomio de Taylor de ordem n de exp em x₀ ´e dado por:

P(x) =

n

X

k=0

exp(x₀)

k! (x−x₀)^k. Em particular, para x0 = 0:

P(x) =

n

X

k=0

1 k!x^k

´

e o polinômio de Taylor de ordem n de exp em x0 = 0. Os gráficos dos polinômios de Taylor de ordens 1,2,3 de exp em x₀ = 0 encontram-se esbo¸cados na figura 1.

(2) Seja f = sin : R → R. Esta fun¸c˜ao tem derivadas de todas as ordens e

∀n ∈ N,∀x₀ ∈ R

sin⁽⁴ⁿ⁾(x₀) = sin(x₀),sin⁽⁴ⁿ⁺¹⁾(x₀) = cos(x₀),sin⁽⁴ⁿ⁺²⁾(x₀) =

−sin(x₀),sin⁽⁴ⁿ⁺³⁾(x₀) =−cos(x₀) (verifique, por indu¸c˜ao sobre n). Em particular, para x₀ = 0, tem-se ∀n ∈ N

sin⁽²ⁿ⁾(0) = 0,sin⁽²ⁿ⁺¹⁾(0) = (−1)ⁿ. Portanto, dado n ∈N, o polinˆomio de Taylor de ordem (2n+ 1) de sin em x₀ = 0 ´e dado por:

P(x) =

2n+1

X

k=0

sin^(k)(0) k! x^k =

n

X

k=0

(−1)^k

(2k+ 1)!x^2k+1.

Os gr´aficos dos polinˆomios de Taylor de ordens 1,3,5 de sin emx₀ = 0 encontram-se esbo¸cados na figura 2.

(3) Seja f = cos : R → R. Esta fun¸c˜ao tem derivadas de todas as ordens e

∀n ∈ N,∀x₀ ∈ R

cos⁽⁴ⁿ⁾(x₀) = cos(x₀),cos⁽⁴ⁿ⁺¹⁾(x₀) = −sin(x₀),cos⁽⁴ⁿ⁺²⁾(x₀) =

−cos(x₀),cos⁽⁴ⁿ⁺³⁾(x₀) = sin(x₀) (verifique, por indu¸c˜ao sobre n). Em particular, para x0 = 0, tem-se ∀n ∈N

cos⁽²ⁿ⁺¹⁾(0) = 0,cos⁽²ⁿ⁾(0) = (−1)ⁿ. Portanto, dado n ∈N, o polinˆomio de Taylor de ordem (2n) de cos em x₀ = 0 ´e dado por:

P(x) =

2n

X

k=0

cos^(k)(0) k! x^k =

n

X

k=0

(−1)^k (2k)! x^2k. 2.4. F´ormula de Taylor com Resto de Lagrange

Dada uma fun¸cãof definida num intervalo I, derivável até ordem (n+ 1), o teorema a seguir fornece uma fórmula para o resto da aproxima¸cão de f pelo seu polinômio de Taylor de ordem n, em termos da derivada (n+ 1)-ésima de f. Assim, se for poss´ıvel estimar superiormente o módulo de tal derivada em I, o teorema pode ser aplicado para se obter uma estimativa superior do módulo do referido resto, o que é freqüentemente útil em cálculos aproximados.

(6)

Figura 1: Gr´afico de f(x) = e^x e seus polinˆomios de Taylor de ordens 1(vermelho), 2(verde), 3(azul) em x0 = 0.

Teorema 2.6 (Fórmula de Taylor de ordem n, com resto de Lagrange). Sejam n ∈ N, I ⊂ R um intervalo, f : I → R derivável até ordem n+ 1¹ e x0, x ∈ I. Então existe c entre x₀ e x (i.e. x₀ < c < x ou x < c < x₀) tal que:

f(x) =

n

X

k=0

f^(k)(x₀)

k! (x−x0)^k+ f⁽ⁿ⁺¹⁾(c)

(n+ 1)! (x−x0)ⁿ⁺¹. (5) Demonstra¸cão. Suponha x₀ < x (sex < x₀, o argumento é análogo). Tome F : [x₀, x]→ Rdefinida por ∀y∈[x₀, x]

F(y) = f(x)−f(y)−Pn k=1

f^(k)(y)

k! (x−y)^k−A(x−y)ⁿ⁺¹, onde A∈Ré escolhido de forma queF(x0) = 0. Tem-se: F é cont´ınua em [x0, x] (pois todas as derivadas de ordem menor ou igual a n def são cont´ınuas em I, por hipótese), derivável em ]x₀, x[ (pois todas as derivadas de ordem menor ou igual a n de f são deriváveis no interior de I, por hipótese), e F(x) = F(x0) = 0. Então, pelo teorema de Rolle, existe c∈]x₀, x[ tal queF⁰(c) = 0. Mas, ∀y∈]x₀, x[

F⁰(y) =−f⁰(y)−Pn k=1

f^(k+1)(y)

k! (x−y)^k−

f^(k)(y)

(k−1)! (x−y)^k−1

+ (n+ 1)A(x−y)ⁿ =−^f⁽ⁿ⁺¹⁾_n!^(y)(x−y)ⁿ+ (n+ 1)A(x−y)ⁿ; comoc6=x (poisc∈]x₀, x[), da ´ultima igualdade segue-se queF⁰(c) = 0 ´e equivalente aA = ^f⁽ⁿ⁺¹⁾_(n+1)!^(c), portanto (5) segue-se de F(x0) = 0.

Exemplo 2.7. (i) Aplicando o teorema anterior ao exemplo 2.5.1, comx₀ = 0, segue-

se que ∀n ∈N,∀x∈R,∃c∈R,0<|c|<|x| tal que:

exp(x) =

n

X

k=0

x^k

k! + exp(c)

(n+ 1)!xⁿ⁺¹. (6)

1na verdade, basta suporf derivável até ordemn,f⁽ⁿ⁾cont´ınua emI e derivável no interior de I.

(7)

Figura 2: Gr´afico de f(x) = sinx e seus polinˆomios de Taylor de ordens 1(vermelho), 3(verde), 5(azul) em x0 = 0.

Vamos usar esta última igualdade para calcular o número “e” até a décima casa decimal (mais precisamente, isto significa encontrar um racional r tal que |e−r|<

5×10⁻¹¹). Pondo P_n(x) .

= Pn k=0

1

k!x^k e R_n .

= exp−P_n, segue-se de (6) que, para x= 1, existe c∈(0,1) tal que exp(1) = P_n(1) +R_n(1). Assim, queremos encontrar n tal que |Rn(1)| < 5×10⁻¹¹. Como |Rn(1)| = |^exp(c)_n! | 6 _n!³ , basta tomarmos n tal que _n!³ < 5×10⁻¹¹, i.e. n!> ^3×10₅ ¹¹ ⇔ n > 14. Portanto, para n = 14, P₁₄(1)

´

e um n´umero racional e |exp(1)−P₁₄(1)| < 5×10⁻¹¹. Com dez casas decimais, P₁₄(1) = 2,7182818284.

(ii) Aplicando o teorema anterior ao exemplo 2.5.2, com x₀ = 0, segue-se que ∀n ∈ N,∀x∈R,∃c∈R,0<|c|<|x| tal que:

sin(x) =

n

X

k=0

(−1)^k

(2k+ 1)!x^2k+1+sin⁽²ⁿ⁺²⁾(c)

(2n+ 2)! x²ⁿ⁺². (7) Vamos usar esta última igualdade para calcular sin(1) até a décima casa decimal (mais precisamente, isto significa encontrar um racional r tal que |sin(1) −r| <

5×10⁻¹¹). Pondo P_2n+1(x) .

=Pn k=0

(−1)^k

(2k+1)!x^2k+1 eR_2n+1 .

= sin−P_2n+1, segue-se de (7) que, para x = 1, existe c∈ (0,1) tal que sin(1) =P_2n+1(1) +R_2n+1(1). Assim, queremos encontrar n tal que |Rn(1)| < 5×10⁻¹¹. Como |Rn(1)| =|^sin_(2n+2)!⁽²ⁿ⁺²⁾^(c)| 6

1

(2n+2)!, basta tomarmosntal que _(2n+2)!¹ <5×10⁻¹¹, i.e. (2n+2)! > ¹⁰₅¹¹ ⇔2n+2>

14⇔n>6. Portanto,P₁₄(1) é um número racional e|sin(1)−P₁₄(1)|<5×10⁻¹¹. 2.5. Fórmula de Taylor com Resto Infinitesimal †

Nos teoremas abaixo, será mostrado que, dada uma fun¸cão real a valores reais f derivável até ordem n numa vizinhan¸ca de um ponto x₀ pertencente ao seu dom´ınio, o

(8)

polinômio de Taylor de ordem n de f em x₀ é a única fun¸cão polinomial P, de grau menor ou igual a n, tal que o resto R .

=f−P tem a propriedade de “tender a zero mais rapidamente do que (x−x₀)ⁿ quando x tende a x₀” (ou seja, tal que lim

x→x₀ R(x)

(x−x0)ⁿ = 0).

E neste sentido que dissemos, na introdu¸c˜´ ao, que o polinômio de Taylor de ordemn def em x₀ é o polinômio de grau menor ou igual an que melhor aproxima f numa vizinhan¸ca de x₀.

Proposição 2.8 (Fórmula de Taylor de ordem 1, com resto infinitesimal). SejamA⊂R, x₀ ∈A e f :A →R cont´ınua em x₀.

(i) Sef for derivável emx₀ e R₁ for a diferen¸ca entre f e o seu polinômio de Taylor de ordem 1 em x₀, então lim

x→x0

R1(x) x−x₀ = 0;

(ii) Reciprocamente, se P for uma fun¸c˜ao polinomial de grau menor ou igual a 1 e R .

= f −P satisfizer lim

x→x₀ R(x)

x−x0 = 0, então f é derivável em x₀ e P é o polinômio de Taylor de ordem 1 de f em x₀.

Demonstra¸c˜ao. (i) Com efeito, suponha que f seja deriv´avel em x0, i.e. existe f⁰(x₀) = lim

x→x₀

f(x)−f(x0)

x−x0 . Ent˜ao, como ∀x ∈A\ {x₀}_R₁_(x)

x−x0 = ^f(x)−f_x−x^(x⁰⁾

0 −f⁰(x₀), segue-se lim

x→x0

R1(x) x−x0 = 0.

(ii) Reciprocamente, seja:

P : R −→ R

x 7−→ a(x−x₀) +b ,

a, b∈ R, uma fun¸c˜ao polinomial tal que, se R =f −P, ent˜ao lim

x→x0

R(x)

x−x₀ = 0. Em particular, isto implica lim

x→x0

R(x) = 0; comof ´e cont´ınua, segue-seb=f(x₀). Logo,

∀x ∈ A\ {x₀} _R(x)

x−x0 = ^f(x)−f_x−x^(x⁰⁾

0 −a. Como lim

x→x₀ R(x)

x−x0 = 0, conclui-se que f é derivável emx₀ e f⁰(x₀) =a, portanto P é o polinômio de Taylor de ordem 1 de f em x₀.

Teorema 2.9 (Fórmula de Taylor de ordem n, com resto infinitesimal). Sejam n ∈ N, A⊂R, x₀ ∈A e f :A →R. Suponha que f seja derivável até ordem (n−1)e que f⁽ⁿ⁻¹⁾ seja derivável em x₀. Então:

(i) SeR_n é a diferen¸ca entref e o seu polinômio de Taylor de ordem n em x₀, então

x→xlim0

Rn(x) (x−x₀)ⁿ = 0;

(ii) Reciprocamente, se P for uma fun¸c˜ao polinomial de grau menor ou igual a n e R .

= f −P satisfizer lim

x→x₀ R(x)

(x−x0)ⁿ = 0, então P é o polinômio de Taylor de ordem n de f em x₀.

(9)

Demonstra¸cão. Será feita por indu¸cão sobren.

(1) Para n = 1, vide proposi¸c˜ao anterior.

(2) Seja k >2, e suponha que (i) e (ii) sejam verdadeiras paran 6k−1. Provemos que tamb´em ser˜ao verdadeiras para n =k. Com efeito:

(i) Se ∀x∈A

R_k(x) = f(x)−Pk j=0

f^(j)(x0)

j! (x−x₀)^j, entãoR_k :A →Ré derivável e ∀x∈A

R⁰_k(x) =f⁰(x)−Pk j=1

f^(j)(x0)

(j−1)! (x−x0)^j−1 =f⁰(x)−Pk−1 m=0

(f⁰)^(m)(x0)

m! (x−

x₀)^m. Portanto, pela hip´otese de indu¸c˜ao, lim

x→x₀

R⁰_k(x)

(x−x0)^k−1 = 0. Assim, como

x→xlim0

R_k(x) = 0 e lim

x→x0

(x−x₀)^k= 0, a regra de l’Hˆopital implica lim

x→x0

Rk(x) (x−x₀)^k = 0.

(ii) Suponha ∀x ∈ A

f(x) = P(x) +R_k(x), com grau P 6 k e lim

x→x₀ Rk(x) (x−x0)^k = 0.

Isto implica lim

x→x0

Rk(x)

(x−x0)^m = 0, para 06m6k. Sejama₀, . . . , a_k∈Rtais que ∀x∈ R

P(x) = Pk−1

n=0an(x−x0)ⁿ+ak(x−x0)^k. Definamos Pe(x) = Pk−1

n=0an(x−x0)ⁿ, de forma que, para todo x∈R:

f(x) =Pe(x) +a_k(x−x₀)^k+R(x). (8) Como lim

x→x0

ak(x−x0)^k+R(x)

(x−x₀)^k−1 = 0 e grau Pe6k−1, pela hipótese de indu¸cão conclui-se que Pe é o polinômio de Taylor de ordem (k−1) def em x₀, i.e. a_n = ^f⁽ⁿ⁾_n!^(x⁰⁾ para 0 6 n 6 k−1. Resta mostrar a_k = ^f^(k)_k!^(x⁰⁾. Afirmo que lim

x→x0

f(x)−Pe(x)

(x−x₀)^k = ^f^(k)(x_k!⁰⁾. Com efeito, para cadaj ∈ {0, . . . , k−2}, lim

x→x₀ [f^(j)(x)−Pe^(j)(x)] = 0 e lim

x→x₀ d^j dx^j [(x− x₀)^k] = lim

x→x₀ k(k−1)· · ·(k−j+1)(x−x₀)^k−j = 0. Comof^(k−1)é derivável emx₀(por hipótese) e Pe^(k−1)(x) = cte. = f^(k−1)(x₀), temos lim

x→x₀

f^(k−1)(x)−Pe^(k−1)(x)

k!(x−x0) = ^f^(k)(x_k!⁰⁾; logo, aplicando-se (k −1) vezes a regra de l’Hˆopital, prova-se a afirma¸c˜ao. Por outro lado, de (8) segue-se lim

x→x0

f(x)−Pe(x)

(x−x0)^k = lim

x→x0

[a_k + _(x−x^R^k^(x)

0)^k ] = a_k; portanto, pela unicidade do limite, conclui-sea_k= ^f^(k)(x_k! ⁰⁾, logoP ´e o polinˆomio de Taylor de ordem k de f em x0.

2.6. F´ormula de Taylor com Resto Integral †

Deduziremos, nesta se¸cão, uma fórmula integral para o resto da fórmula de Taylor de ordem n de uma fun¸cão derivável até ordem n+ 1, cuja derivada de ordem n+ 1 seja Riemann-integrável.

(10)

Seja φ : [0,1]→ R derivável até 2a. ordem, com φ⁰⁰ : [0,1] →R Riemann-integrável.

Pelo Teorema Fundamental do C´alculo:

φ(1)−φ(0) = Z 1

0

φ⁰(t)dt

Faremos uma integra¸c˜ao por partes da seguinte maneira: pomos f =φ⁰, g(t) .

= 1−t, de modo que f g⁰ = −φ; assim, R1

0 φ⁰(t)dt = −R1

0 f(t)g⁰(t)dt = −f(t)g(t)]¹₀+R1

0 f⁰(t)g(t)dt, ou seja:

φ(1)−φ(0) =φ⁰(0) + Z 1

0

(1−t)φ⁰⁰(t)dt

Se φ⁰⁰ tiver derivada Riemann-integrável, continuamos a integrar por partes... suponha, assim, queφ : [0,1]→Rderivável até ordemn+ 1 (dadon∈N), e queφ⁽ⁿ⁺¹⁾ : [0,1]→R seja Riemann-integrável. Mostraremos, por indu¸cão em n, que:

φ(1) =

n

X

k=0

φ^(k)(0)

k! +

Z 1 0

(1−t)ⁿ

n! φ⁽ⁿ⁺¹⁾(t)dt (9)

Com efeito:

1. Para n= 0, (9) ´e o Teorema Fundamental do C´alculo.

2. Admita que (9) seja válida para n = p ∈ N. Seja φ : [0,1] → R derivável até ordem p+ 2 e suponha que φ^(p+2) : [0,1]→ R seja Riemann-integrável. Em particular, φ^(p+1) é cont´ınua, portanto Riemann-integrável; pela hipótese de indu¸cão, tem-se: φ(1) = Pp

k=0 φ^(k)(0)

k! + R1 0

(1−t)^p

p! φ^(p+1)(t)dt. Tome f .

= φ^(p+1) e g(t) .

=

(1−t)^p+1

(p+1)! . Ent˜aof(t)g⁰(t) =−^(1−t)_p! ^pφ^(p+1)(t). Logo, integrando por partes, obtemos:

R1 0

(1−t)^p

p! φ^(p+1)(t)dt=−f(t)g(t)]¹₀+R1

0 f⁰(t)g(t)dt = ^φ^(p+1)_(p+1)!⁽⁰⁾ +R1 0

(1−t)^p+1

(p+1)! φ^(p+2)(t)dt, donde se conclui que (9) vale para n=p+ 1.

Como consequˆencia imediata de (9), obt´em-se o seguinte teorema:

Teorema 2.10 (Fórmula de Taylor de Ordem n, com Resto Integral). Sejam a, h ∈ R, h >0,n ∈Nef : [a, a+h]→Rderivável até ordemn+1, comf⁽ⁿ⁺¹⁾ Riemann-integrável no intervalo [a, a+h]. Então:

f(a+h) =

n

X

k=0

f^(k)(a)

k! h^k+hZ 1 0

(1−t)ⁿ

n! f⁽ⁿ⁺¹⁾(a+th)dti

hⁿ⁺¹ (10)

Demonstra¸c˜ao. Definamos φ : [0,1] → R por φ(t) .

= f(a+th). Então, aplicando-se a regra da cadeia sucessivas vezes, conclui-se que φ é derivável até ordem n + 1 e, para 0 6 k 6 n, φ^(k)(t) = f^(k)(a+th)h^k. Em particular, φ⁽ⁿ⁺¹⁾(t) = f⁽ⁿ⁺¹⁾(a+th)hⁿ⁺¹ é Riemman-integrável. Assim, por (9), demonstrada acima, obtém-se (10).

(11)

§3. C ÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNÇ ÕES R^N →R^M 3.1. No¸cões Topológicas Elementares

Dadon∈N, considerar-se-´a, nestas notas, oR-espa¸co vetorialRⁿmunido do produto interno usual h·,·i, i.e. dado por hx, yi=Pn

i=1x_iy_i sex= (x₁, . . . , x_n), y = (y₁, . . . , y_n)∈ Rⁿ. Atrav´es deste produto interno, define-se a norma euclidiana k·k : Rⁿ → R+ por (∀x∈Rⁿ)kxk .

=p

hx, xi. Esta ´e uma fun¸c˜ao que goza das seguintes propriedades:

N1 kxk= 0 se, e somente se, x=O (onde O denota o vetor nulo doRⁿ);

N2 ∀α∈R,∀x∈Rⁿ, kαxk=|α|kxk;

N3(desigualdade triangular) ∀x, y ∈Rⁿ, kx+yk6kxk+kyk.

Uma fun¸cão Rⁿ → R+ que satisfaz as propriedades N1 a N3 acima chama-se uma norma. Uma tal fun¸cão define uma distância oumétrica d:Rⁿ×Rⁿ →R⁺ noRⁿ, dada por d(x, y) = kx−yk. Ou seja, da mesma forma que definimos no Cálculo I a distância entre dois pontos da reta real como sendo o módulo da diferen¸ca entre eles, usamos uma norma para definir a distância entre dois vetores doRⁿ como sendo a norma da diferen¸ca entre eles. Sempre que não houver men¸cão expl´ıcita em contrário, consideraremos a distânciaeuclidiana, i.e. a fun¸cão d:Rⁿ×Rⁿ→R induzida pela norma euclidiana.

Exerc´ıcio 3.1. Use a desigualdade triangular para provar que ∀x, y ∈ Rⁿ, kx−yk >

|kxk − kyk|.

Definição 3.2 (Bolas). Dados a ∈ Rⁿ e r > 0, definimos a bola aberta de raio r, centrada em a como sendo o conjunto dos pontos do Rⁿ cuja distância até a é menor que r. Tal conjunto será denotado por B_a(r); assim, B_a(r) = {x ∈ Rⁿ | kx−ak < r}.

Analogamente, definimos a bola fechada de raio r, centrada em a, denotada por B_a[r], como sendo o conjunto dos pontos do Rⁿ cuja distância até a é menor ou igual a r, i.e.

B_a(r) ={x∈Rⁿ| kx−ak6r}.

Para n = 1, B_a(r) é o intervalo aberto (a −r, a+r) e B_a[r] é o intervalo fechado [a−r, a+r]. Para n = 2, as bolas também são chamadas de discos, por uma motiva¸cão geométrica óbvia. Finalmente, o “aspecto´´ geométrico destes conjuntos no R³ é o que justifica a escolha do nome bolas.

Definiremos, a seguir, os subconjuntos abertos do Rⁿ. Tais subconjuntos são os dom´ınios adequados para se definir fun¸cões deriváveis no Rⁿ, conforme será feito nas próximas se¸cões deste texto.

Definição 3.3 (Abertos e Fechados deRⁿ). Dados X ⊂Rⁿea ∈X, diz-se queX é uma vizinhan¸ca de a, ou que a é um ponto interior de X, se existir uma bola aberta centrada em a e contida em X, i.e. se existir r >0 tal que B_a(r)⊂X.

Dado X ⊂Rⁿ, diz-se que X é aberto se todos os seus pontos forem interiores — ou, equivalentemente, se X for uma vizinhan¸ca de cada um de seus pontos. Ou seja, X é aberto se a seguinte condi¸cão for satisfeita: ∀a∈X,∃r >0| B_a(r)⊂X.

Um subconjunto X ⊂ Rⁿ diz-se fechado se o seu complementar em Rⁿ, Rⁿ\X, for aberto.

(12)

Exemplo 3.4. 1. Rⁿ e ∅ são abertos; também são fechados, pois um é o complementar do outro.

2. Bolas abertas são conjuntos abertos. Com efeito, sejam B =B_a(r) uma bola aberta e x ∈ B; tomando-se δ = r − kx − ak, decorre da desigualdade triangular que B_x(δ) ⊂ B_a(r), portanto x é ponto interior de B e, pela arbitrariedade da escolha de x, todo ponto de B é ponto interior de B.

3. Bolas fechadas s˜ao conjuntos fechados. Verifique isto como exerc´ıcio (i.e. demonstre que o complementar de uma bola fechada ´e aberto).

4. {(x, y)∈R² |y >0} ´e aberto.

5. Retas e planos no R³ s˜ao fechados.

6. Subespa¸cos vetoriais do Rⁿ (e, mais geralmente, subespa¸cos afins) s˜ao fechados.

Observa¸cão 3.5. Cuidado! Negar que um conjunto é aberto não equivale a afirmar que o mesmo é fechado, ou vice-versa. Um subconjunto de Rⁿ pode ser aberto e fechado (Rⁿ e ∅ o são — e são os únicos subconjuntos de Rⁿ com esta propriedade) e pode não ser aberto, nem fechado (por exemplo, [0,1) não é aberto, nem fechado em R).

Na próxima subse¸cão, definiremos limites de fun¸cões X ⊂ Rⁿ → R^m. Para que fa¸ca sentido tomar o limite de uma tal fun¸cão em um ponto a∈Rⁿ (tendo em mente a no¸cão intuitiva de limite estudada no Cálculo I), é necessário que existam pontos de X \ {a}

arbitrariamente próximos de a. Assim, a deve ser um ponto de acumula¸cão de X, no sentido da seguinte defini¸cão:

Definição 3.6 (Pontos de Acumula¸cão). Sejam X ⊂ R e a ∈ Rⁿ. Diz-se que a é um ponto de acumula¸cãode X se toda bola aberta centrada em a tiver pontos de X distintos de a. Ou seja, se ∀r >0,B_r(a)∩X\ {a} 6=∅.

Exemplo 3.7. 1. a ∈ R ´e ponto de acumula¸c˜ao do intervalo (0,1) se, e somente se, a∈[0,1].

2. Dados x ∈ Rⁿ e r > 0, a ∈ Rⁿ ´e ponto de acumula¸c˜ao de B_x(r) se, e somente se, ka−xk=r, i.e. se a estiver na esfera de raio r centrada em x.

3. O conjunto dos pontos de acumula¸c˜ao do subconjunto de R² dado por {(x, y)∈R² | y >0} ´e a reta y= 0.

3.2. Limites e Continuidade

Definição 3.8 (Limites de Fun¸cões X ⊂Rⁿ →R^m). Sejam X ⊂ Rⁿ, a ∈ Rⁿ ponto de acumula¸cão de X, f :X →R^m e b∈ R^m. Diz-se que o vetor b é o limite de f no ponto a, e escreve-se lim

x→af(x) =b, se a seguinte condi¸c˜ao for satisfeita: ∀ >0,∃δ >0 tal que, se x∈X\ {a} e kx−ak< δ, ent˜ao kf(x)−bk< .

(13)

Note que: (i) x ∈ X\ {a} e kx−ak < δ equivale a dizer que x está na interseçcão do dom´ınio de f com a bola aberta de raio δ centrada em a e x6=a; (ii) kf(x)−bk<

equivale a dizer que f(x) está na bola aberta de R^m de raio centrada em b. Assim, geometricamente, a defini¸cão acima significa que, para todo > 0 (não importa o quão pequeno ele seja), existe δ >0 (que eventualmente pode depender de , e também de a) tal que a imagem porf do subconjunto dos pontos do seu dom´ınio que são distintos deae que estão emB_a(δ) está contida emB_b(), i.e. f(B_a(δ)∩X\ {a})⊂ B_b(). Intuitivamente, isto corresponde à no¸cão de limite estudada no Cálculo I, i.e. pode-se tornar a distância de f(x) até b arbitrariamente pequena (i.e. menor que > 0 arbitrariamente escolhido), desde que se tome x ∈ X \ {a} suficientemente próximo de a (i.e. menor que um certo δ >0 correspondente ao escolhido).

3.2.1. Propriedades Elementares dos Limites

Proposição 3.9 (unicidade do limite). SejamX ⊂Rⁿ, a∈Rⁿ ponto de acumula¸cão de X, f :X →R^m e b₁, b₂ ∈R^m. Se lim

x→af(x) = b₁ e lim

x→af(x) =b₂, ent˜ao b₁ =b₂.

Demonstração †: Dado > 0, tem-se, pela defini¸cão de limite: (i) ∃δ₁ > 0 tal que, se x ∈ X e 0 < kx− ak < δ₁, então kf(x)−b₁k < /2; (ii) ∃δ₂ > 0 tal que, se x ∈ X e 0 < kx − ak < δ2, então kf(x) −b2k < /2. Tome δ .

= min{δ1, δ2};

como a ´e ponto de acumula¸c˜ao de X, existe x₀ ∈ B_a(δ)\ {a} e, de (i) e (ii) temos kf(x₀)−b₁k< /2 ekf(x₀)−b₂k< /2. Portanto, pela desigualdade triangular,kb₁−b₂k= k b1−f(x0)

+ (b2−f(x0)

k6kf(x0)−b1k+kf(x0)−b2k< /2 +/2 =. Assim, como foi tomado de maneira arbitr´aria, conclui-se que, para todo >0,kb₁−b₂k< , donde

b₁ =b₂.

Definição 3.10 (conjunto limitado). Diz-se que um conjunto X ⊂ Rⁿ é limitado se existir M > 0 tal que, para todo x ∈ X, kxk 6 M. Ou seja, X é limitado se estiver contido em alguma bola centrada no zero do Rⁿ.

Definição 3.11 (fun¸cão limitada). Uma aplica¸cão f : X ⊂ Rⁿ → R^m diz-se limitada se a sua imagem f(X) for um subconjunto limitado de R^m, i.e. se ∃M > 0 | ∀x ∈ X,kf(x)k6M. Dado Y ⊂X, diz-se quef é limitada emY se a restri¸cãof|_Y :Y →R^m for limitada, i.e. se f(Y) for um subconjunto limitado de R^m.

Definição 3.12 (componentes de uma aplica¸cão Rⁿ → R^m). Para 16 i 6 m, denota- remos por π_i : R^m → R a proje¸cão no i-ésimo fator, i.e. π_i : (x₁, . . . , x_m) 7→ x_i. Dada f :X ⊂Rⁿ→R^m, definimos a fun¸cãof_i .

=π_i◦f :X →R, chamada i-´esima componente de f. Assim, para todo vetor x ∈ X, tem-se f(x) = f₁(x), . . . , f_m(x)

, i.e. f(x) é o vetor cujas coordenadas na base canônica do R^m são f₁(x), . . . , f_m(x).

Notac¸˜ao: f = (f₁, . . . , f_m).

Proposição 3.13. Sejam X ⊂ Rⁿ, a ∈ Rⁿ ponto de acumula¸cão de X e f : X → R^m. Se f tem limite ema, então existe uma vizinhan¸caY de atal que f é limitada em Y ∩X.

(14)

Demonstrac¸˜ao †: Sea∈X, tome M .

= max{1, f(a)}; se a6∈X, tomeM .

= 1. Sendo b ∈ R^m o limite de f em a, segue da defini¸c˜ao de limite (escolhendo = M) que ∃δ > 0 tal que, sex∈ B_a(δ)∩X\ {a}, tem-se kf(x)−bk6M. Assim, para todo x∈ B_a(δ)∩X, tem-se kf(x)k= k f(x)−b

+f(b)k6 kf(x)−bk+kbk 6 M +kbk, onde a penúltima desigualdade é a triangular. Assim, f é limitada em B_a(δ)∩X por M+kbk.

Proposição 3.14. SejamX ⊂Rⁿ,a ∈Rⁿ ponto de acumula¸cão deX, f = (f₁, . . . , f_m) : X →R^m, b= (b₁, . . . , b_m)∈R^m. Tem-se:

(i) lim

x→af(x) =b se, e somente se, lim

x→akf(x)−bk= 0.

(ii) lim

x→af(x) =b se, e somente se, lim

x→af_i(x) =b_i para 16i6m.

Demonstração †: A primeira afirma¸cão é imediata a partir da defini¸cão de limite. A prova da segunda afirma¸cão é como segue:

(1) Suponha que lim

x→af(x) =b. Dado >0, ∃δ >0 tal que, se x∈X e 0<kx−ak< δ, tem-se kf(x)−bk< . Ora, para 16 i6m, tem-se |f_i(x)−b_i|6 kf(x)−bk, portanto, se x∈X e 0<kx−ak< δ, tem-se|fi(x)−bi|< , donde lim

x→afi(x) = bi. (2) Reciprocamente, suponha lim

x→a f_i(x) = b_i para 1 6 i 6 m. Dado > 0, podemos escolher, para 1 6 i 6 m, δi > 0 tal que, se x ∈ X e 0 < kx − ak < δi, tem-se

|f_i(x)−b_i|< /√

m. Assim, tomando-seδ .

= min{δ₁, . . . , δ_m}, sex∈X e 0<kx−ak< δ, tem-se: kf(x)−bk=pPm

i=1[f_i(x)−b_i]² <pPm i=1[/√

m]² =.

Proposição 3.15 (confronto). Sejam X ⊂ Rⁿ, a ∈ Rⁿ ponto de acumula¸cão de X, f, g, h : X → R e b ∈ R. Suponha que exista uma vizinhan¸ca Y de a tal que, para todo x em Y ∩X \ {a}, f(x) 6 g(x) 6 h(x). Então, se lim

x→a f(x) = b = lim

x→a h(x), tem-se

x→alim g(x) =b.

Demonstração †: Com efeito, tem-se, para todo x em Y ∩X \ {a}, |g(x)−b| 6 max{|f(x)−b|,|h(x)−b|}. Dado > 0, pela defini¸cão de limite: (i) existe δ₁ > 0 tal que |f(x)−b| < se x∈ X e 0 <kx−ak< δ₁, (ii) existe δ₂ >0 tal que |h(x)−b|<

se x ∈ X e 0 < kx−ak < δ₂. Tome 0 < δ < min{δ₁, δ₂} tal que B_a(δ) ⊂ Y (existe tal δ pelo fato de ser Y uma vizinhan¸ca de a - vide defini¸cão 3.3).Então, se x ∈ X e 0<kx−ak< δ, tem-se|g(x)−b|6max{|f(x)−b|,|h(x)−b|}< . Como foi tomado de forma arbitrária, segue-se que lim

x→ag(x) = b.

Proposição 3.16. Sejam X ⊂ Rⁿ, a ∈Rⁿ ponto de acumula¸cão de X e f, g : X →R. Se lim

x→af(x) = 0 e g ´e limitada, ent˜ao lim

x→a[f(x)g(x)] = 0.

Proposição 3.17 (conserva¸cão do sinal). Sejam X ⊂Rⁿ, a ∈Rⁿ ponto de acumula¸cão de X e f :X →R. Se lim

x→af(x) =b 6= 0, ent˜ao existe Y ⊂Rⁿ vizinhan¸ca de a tal que f tem o mesmo sinal de b em X∩Y \ {a}.

(15)

Demonstração †: Pela defini¸cão de limite (escolhendo=|b|/2), existeδ >0 tal que, se x∈X e 0<kx−ak< δ,|f(x)−b|<|b|/2, logo f(x) tem o mesmo sinal de b. Assim,

basta tomar Y =B_a(δ).

Demonstração †: Com efeito, existe M > 0 tal que, para todo x ∈ X, |g(x)| 6 M. Dado > 0, existe δ > 0 tal que, se x ∈ X e 0 < kx−ak < δ, tem-se |f(x)| < /M. Assim, se x∈X e 0<kx−ak< δ, tem-se|f(x)g(x)|=|f(x)||g(x)|< . Proposição 3.18. Sejam X ⊂ Rⁿ, a ∈ Rⁿ ponto de acumula¸cão de X, α ∈ R e f, g : X →R^m tais que lim

x→af(x) =v ∈R^m e lim

x→ag(x) = w∈R^m. Tem-se:

(i) lim

x→a[f(x) +g(x)] =v+w (ii) lim

x→a[αf(x)] =αv (iii) lim

x→ahf(x), g(x)i=hv, wi

(iv) se m = 3 e ∧ denota o produto vetorial em R³, lim

x→a[f(x)∧g(x)] =v∧w Demonstrac¸˜ao †:

(i) Dado > 0, por hip´otese: (1) ∃δ₁ > 0 tal que, se x ∈ X e 0 < kx −ak < δ₁, kf(x)−vk < /2; (2) ∃δ₂ >0 tal que, se x ∈X e 0< kx−ak < δ₂, kg(x)−wk < /2.

Assim, tomando δ .

= min{δ1, δ2}, se x ∈ X e 0 < kx−ak < δ, tem-se k[f(x) +g(x)]− (v+w)k=k[f(x)−v] + [g(x)−2]k6kf(x)−vk+kg(x)−wk< /2 +/2 =, onde a pen´ultima desigualdade ´e a triangular.

(ii) Dado >0, por hip´otese ∃δ >0 tal que, se x ∈X e 0<kx−ak< δ, kf(x)−vk <

1+|α|. Portanto, se x ∈ X e 0 < kx−ak < δ, tem-se kαf(x)−αvk = |α|kf(x)−vk <

|α|

1+|α| < .

(iii) Para todo x∈X:

|hf(x), g(x)i − hv, wi|=|hf(x), g(x)i − hf(x), wi+hf(x), wi − hv, wi|=

=|hf(x), g(x)−wi+hf(x)−v, wi|6

des.triang.

6 |hf(x), g(x)−wi|+|hf(x)−v, wi|6

Cauchy−Schwartz

6 kf(x)kkg(x)−wk+kf(x)−vkkwk

(11)

Como f tem limite em a, segue-se de 3.13 que f ´e limitada numa vizinhan¸ca de a. Ora, f limitada numa vizinhan¸ca de a e lim

x→a kg(x)− wk = 0 implicam, por 3.16,

x→alim [kf(x)kkg(x)−wk] = 0. Como tamb´em temos lim

x→akf(x)−vkkwk= 0, segue-se que

x→alim [kf(x)kkg(x)−wk+kf(x)−vkkwk] = 0, donde, por (11) e pelo teorema do confronto,

x→alim |hf(x), g(x)i − hv, wi|= 0.

(iv) A prova é idêntica à do item anterior, substituindo-se o produto escalar pelo vetorial e usando-se a desigualdade ∀x, y ∈R³,kx∧yk6kxkkyk.

(16)

Proposição 3.19. Sejam X ⊂ Rⁿ, a ∈ Rⁿ ponto de acumula¸cão de X, α ∈ R e f, g : X →R tais que lim

x→af(x) =v ∈R e lim

x→ag(x) = w∈R. Tem-se:

(i) lim

x→a[f(x) +g(x)] =v+w (ii) lim

x→a[αf(x)] =αv (iii) lim

x→a[f(x)g(x)] =vw (iv) lim

x→a f(x)

g(x) = _w^v se w6= 0.

Demonstração †: Os três primeiros ´ıtens são corolários da proposi¸cão anterior. O item (iv) se demonstra como segue: pela proposi¸cão 3.17, existe Y vizinhan¸ca de a tal que, para todo x ∈ X ∩ Y \ {a}, g(x) tem o mesmo sinal de w, portanto é diferente de zero. Para todo x ∈ X∩Y \ {a}, tem-se: |^f(x)_g(x) − _w^v | = |f(x)w−g(x)v

g(x)w | = |f(x)w−g(x)v|

|g(x)w| . Podemos supor queY é tomada como na demonstra¸cão da proposi¸cão 3.17, i.e. tal que, se x∈X∩Y \ {a},|g(x)−w|<|w|/2. A última desigualdade implica |g(x)|>|w|/2, donde

|_g(x)w¹ |< _w²2 , i.e. _g(x)w¹ ´e limitada em Y ∩X. Como lim

x→a|f(x)w−g(x)v|=vw−wv= 0, conclui-se que lim

x→a

|f(x)w−g(x)v|

|g(x)w| = 0, i.e. lim

x→a|^f(x)_g(x) − _w^v |= 0.

3.2.2. Continuidade e Limites de Fun¸c˜oes Compostas

Definição 3.20 (fun¸cões cont´ınuas). Sejam X ⊂Rⁿ, f :X → R^m e a∈X. Diz-se que f é cont´ınua ema se uma das seguintes condi¸cões for satisfeita:

(i) a´e ponto de acumula¸c˜ao de X e f tem limite em a igual a f(a), i.e. lim

x→af(x) = f(a);

(ii) anão é ponto de acumula¸cão deX (diz-se, neste caso, que aé um ponto isolado de X; assim, por defini¸cão, uma fun¸cão é cont´ınua em todos os pontos isolados do seu dom´ınio).

Diz-se que f ´e cont´ınua se for cont´ınua em todos os pontos do seu dom´ınio.

Equivalentemente, f : X ⊂ Rⁿ → R^m ´e cont´ınua em a ∈ X se, e somente se, para todo > 0, existe δ > 0 tal que, se x ∈ X e kx− ak < δ, ent˜ao kf(x)− f(a)k <

. Geometricamente, isto significa que é poss´ıvel tornar a distância de f(x) até f(a) arbitrariamente pequena (i.e. menor que um >0 arbitrariamente escolhido), desde que se tome a distância de x até a suficientemente pequena (i.e. menor que um certo δ > 0 escolhido em fun¸cão doe dea) — o que corresponde à no¸cão intuitiva de limite estudada no Cálculo I.

As proposi¸cões seguintes contêm algumas propriedades elementares das fun¸cões cont´ınuas:

(17)

Proposição 3.21. Seja f = (f₁, . . . , f_m) : X ⊂ Rⁿ → R^m. Então f é cont´ınua se, e somente se, (∀i ∈ {1, . . . , m}) f_i : X → R é cont´ınua. Ou seja, f é cont´ınua se, e somente se, suas componentes são cont´ınuas.

Demonstra¸cão. A prova é imediata a partir da defini¸cão de continuidade e da proposi¸cão

3.14.

Proposição 3.22. Sejam X ⊂ Rⁿ, a ∈ X, f, g : X → R^m cont´ınuas em a e α ∈ R. Então:

(i) f+g e αf s˜ao cont´ınuas em a;

(ii) hf, gi:X →R dada por x7→ hf(x), g(x)i ´e cont´ınua em a;

(iii) se m= 3, f ∧g :X →R³ dada por x7→f(x)∧g(x)´e cont´ınua em a.

3.18.

Corol´ario 3.23. SejamX ⊂Rⁿ, f, g :X →R^m cont´ınuas e α∈R. Ent˜ao:

(i) f+g e αf s˜ao cont´ınuas;

(ii) hf, gi:X →R ´e cont´ınua;

(iii) se m= 3, f ∧g :X →R³ ´e cont´ınua.

O primeiro item do corolário acima significa que o conjunto formado pelas fun¸cões cont´ınuas X → R^m é um subespa¸co vetorial do espa¸co vetorial real de todas as fun¸cões X →R^m.

Proposição 3.24. SejamX ⊂Rⁿ, a∈X, f, g :X →Rcont´ınuas em aeα ∈R. Então:

(i) f+g e αf s˜ao cont´ınuas em a;

(ii) f g:X →R dada por x7→f(x)g(x) ´e cont´ınua em a;

(iii) se g(a)6= 0, ^f_g :{x∈X |g(x)6= 0} →R dada por x7→ ^f_g(x)^(x) ´e cont´ınua em a.

3.19.

Corol´ario 3.25. SejamX ⊂Rⁿ, f, g :X →R cont´ınuas e α∈R. Ent˜ao:

(i) f+g e αf s˜ao cont´ınuas;

(ii) f g:X →R ´e cont´ınua;

(iii) ^f_g :{x∈X |g(x)6= 0} →R³ ´e cont´ınua.

(18)

Exemplo 3.26. Exemplos de fun¸c˜oes cont´ınuas:

1. Fun¸cões constantes são cont´ınuas; a identidade id :Rⁿ →Rⁿ é cont´ınua.

2. Para 16i6n, a proje¸c˜ao π_i :Rⁿ→R (dada por (x₁, . . . , x_n)7→x_i) ´e cont´ınua.

3. Aplica¸cões lineares Rⁿ →R^m são cont´ınuas. Com efeito, uma aplica¸cão linear f = (f₁, . . . , f_m) :Rⁿ →R^m é dada da seguinte maneira: existe uma matriz m×n com entradas em R, A = (A_ij), tal que, para 1 6 i 6 m, f_i(x₁, . . . , x_n) = Pn

j=1A_ijx_j, de modo que cada componente fi de f é cont´ınua, por ser uma soma de produtos de fun¸cões constantes por proje¸cões (item anterior).

4. Fun¸cões polinomiaisRⁿ→Rsão cont´ınuas. Uma fun¸cãoRⁿ →Rdiz-se polinomial de grau n ∈ N se for uma soma de monômios de graus menores ou iguais a n, sendo ao menos uma das parcelas de grau n; um monômio de grau n é uma fun¸cão p : Rⁿ → R da forma p(x₁, . . . , x_n) = ax^k₁¹x^k₂²· · ·x^k_nⁿ, onde a é uma constante real não nula e k1, . . . , kn são naturais cuja soma é n. É claro que tais monômios são fun¸cões cont´ınuas, por serem produtos de fun¸cões cont´ınuas (conforme os dois primeiros ´ıtens, fun¸cões constantes são cont´ınuas e as proje¸cões canônicasRⁿ →R são cont´ınuas); então uma fun¸cão polinomial também é cont´ınua, por ser uma soma de monômios.

5. Fun¸cões racionais X ⊂Rⁿ →R, i.e. quocientes de duas polinomiais Rⁿ → R, são cont´ınuas, pelo fato de serem quocientes de fun¸cões cont´ınuas.

6. Fun¸cões polinomiais Rⁿ →R^m são cont´ınuas; uma fun¸cão f = (f₁, . . . , f_m) :Rⁿ → R^m diz-se polinomial se as suas componentes f_i : Rⁿ → R, 1 6 i 6 m, forem polinomiais. Com efeito, uma fun¸cão Rⁿ →R^m é cont´ınua se, e somente se, suas componentes forem cont´ınuas (vide proposi¸cão (3.21)). Analogamente, fun¸cões racionais Rⁿ →R^m são cont´ınuas.

As proposi¸cões seguintes serão usadas para demonstrar que é cont´ınua a composta de duas aplica¸cões cont´ınuas (e também para demonstrar a regra da cadeia, mais adiante).

Proposição 3.27 (limite de fun¸cão composta I). Sejam X ⊂ Rⁿ, a ∈ R ponto de acumula¸cão de X, g : X → R^m, Y ⊂ R^m, f : Y → R^s, g(X) ⊂ Y, b ∈ R^m ponto de acumula¸cão deY. Se existir uma vizinhan¸caU deatal que g(x)6=b parax∈ U ∩X\{a},

x→alim g(x) =b e existir lim

y→b f(y), ent˜ao f◦g tem limite em a e lim

x→a(f◦g)(x) = lim

y→bf(y).

Demonstrac¸˜ao †: Seja >0.

(1) Seja L ∈ R^s o limite de f em b; pela defini¸c˜ao de limite, existe δ₁ > 0 tal que, se y∈Y e 0 <ky−bk< δ, ent˜aokf(y)−bk< .

(2) Pelo fato de ser lim

x→ag(x) = b, existe δ >0 tal que, se x∈X e 0<kx−ak< δ, então kg(x)−bk < δ1. Como U é uma vizinhan¸ca de a (vide defini¸cão 3.3), podemos supor, diminuindo δ se necessário, que B_a(δ)⊂Y; assim, como g(x) 6=b para x ∈ U ∩X\ {a},

(19)

conclui-se que, se x∈X e 0 <kx−ak< δ, então 0 <kg(x)−bk< δ₁. Portanto, de (1), segue-se que, se x ∈X e 0<kx−ak < δ, entãokf(g(x))−bk < . Pela arbitrariedade da escolha de , está provado que lim

x→a(f ◦g)(x) = L.

Observa¸cão † 3.28. No enunciado da proposi¸cão anterior, a hipótese de ser b ponto de acumula¸cão deY é redundante. Com efeito, as hipóteses de sera ponto de acumula¸cão de X, lim

x→ag(x) =b e de existir uma vizinhan¸caU dea tal que g(x)6=b parax∈ U ∩X\ {a}

implicam b ponto de acumula¸c˜ao de Y (verifique isto, como exerc´ıcio).

Proposição 3.29 (limite de fun¸cão composta II). Sejam X ⊂ Rⁿ, a ∈ R ponto de acumula¸cão de X, g :X → R^m, Y ⊂ R^m, f :Y → R^s, g(X) ⊂Y, lim

x→a g(x) = b ∈ Y, f cont´ınua em b. Ent˜ao lim

x→a(f◦g)(x) = lim

y→bf(y) =f(b).

Demonstração †: Seja > 0. Pela defini¸cão de continuidade, existe δ1 > 0 tal que, se y∈Y e ky−bk< δ₁, então kf(y)−f(b)k< . E, como lim

x→ag(x) =b, existe δ >0 tal que, se x∈X e 0<kx−ak< δ, ent˜aokg(x)−bk< δ₁, logokf(g(x))−f(b)k< . Como foi tomado arbitrariamente, isto prova que lim

x→a(f◦g)(x) = f(b).

Corolário 3.30. Sejam X ⊂ Rⁿ, g : X → R^m, Y ⊂ R^m, f : Y → R^s, g(X) ⊂ Y, g cont´ınua em a∈X, f cont´ınua em g(a). Então f◦g é cont´ınua em a.

Corolário 3.31. A composta de fun¸cões cont´ınuas é cont´ınua.

Exemplo 3.32. 1. ´E cont´ınua a fun¸c˜aof :R³ →Rdada por(x, y, z)7→sinq

x⁶ 1+x²+y²+z² , por ser uma composi¸c˜ao de fun¸c˜oes cont´ınuas.

2. Sejaf :R²\{O} →Rdada por(x, y)7→ _x2^xy+y² . Afirmo que n˜ao existe lim

(x,y)→O

f(x, y).

Com efeito, suponha que f tenha limite no zero. Ent˜ao: (1) tomando γ1 :R→R², γ₁(t) .

= (t, t), uma aplica¸c˜ao da proposi¸c˜ao 3.27 fornece lim

(x,y)→O

f(x, y) = lim

t→0 (f ◦ γ1)(t) = lim

t→0 t²

2t² = ¹₂; (2) tomando γ2 : R →R², γ2(t) .

= (−t, t), uma aplica¸c˜ao da proposi¸c˜ao 3.27 fornece lim

(x,y)→O

f(x, y) = lim

t→0 (f ◦γ2)(t) = lim

t→0

−t²

2t² = −¹₂. Assim, pela unicidade do limite, chega-se a uma contradi¸c˜ao; portanto, @ lim

(x,y)→O

f(x, y), como afirmado.

3. Seja f : R³ \ {O} → R dada por (x, y, z) 7→ sin _x2+y^x³²+z²

. Como a fun¸c˜ao R³ \ {O} → R dada por (x, y, z) 7→ _x2+y^x²²+z² ´e limitada e lim

(x,y,z)→O

x = 0, tem- se lim

(x,y,z)→O x³

x²+y²+z² = 0. Como a fun¸cão sin :R→R é cont´ınua, uma aplica¸cão da proposi¸cão 3.29 fornece lim

(x,y,z)→O

f(x, y, z) = lim

x→0 sinx= sin 0 = 0.