Apresentação Geral do Trabalho

Nesta tese, estudaremos as propriedades magnéticas e térmicas, de um modelo conhe- cido como tubo triangular de spin-1

2 frustrados, e as correlações quânticas e as transições de

fase, nas formas clássica e quântica. O modelo é dividido em dois casos: Ising-Heisenberg, quando as interações entre spins de células triangulares diferentes são consideradas de Ising; e o modelo de Heisenberg, quando as interações são consideradas de Heisenberg. A análise do emaranhamento quântico no modelo exatamente solúvel não se restringe uni- camente ao ponto de vista teórico. Existe uma variedade de componentes químicos que retém estruturas magnéticas semelhante a uma escada de spin tipo três pernas. Isso pode ser visto na análise experimental de polímeros de coordenação unidimensionais, como o [(CuCl2tancH)3Cl]Cl2 (tach = 1,3,5-triamina ciclohexano)[45].

A tese irá contemplar a análise das diversas correlações quânticas e clássicas, por meio da frustração geométrica da rede e da aplicação de um campo externo no modelo spin quântico frustrado, representado por escada de spin-1

2 Ising-Heisenberg e de Heisenberg

com três pernas. Para tal m, estendemos o alcance da análise das correlações quânticas em novos sistemas de spins quânticos que possam explicar comportamentos experimen- talmente observados em alguns materiais magnéticos e/ou possam teoricamente prever novos fenômenos quânticos e cooperativos de fundamental importância em sistemas reais. Para um melhor entendimento deste trabalho, no próximo capítulo serão abordadas as principais descrições de modelos de spins em redes e ordenamentos magnéticos. Será feita uma contextualização histórica, explicado a relação entre as interações de troca e o mag- netismo na matéria, bem como uma revisão teórica dos principais métodos matemáticos para solução dos modelos de Ising e de Heisenberg. Também serão discutidos alguns efei- tos que a frustação geométrica e emaranhamento causam nos processos de magnétização como: efeito magnétocalórico e platôs de magnetização.

No capítulo 3, será introduzido o conceito de emaranhamento quântico. Abordaremos os processos de decomposição e formação de estados. Introduziremos o conceito de não- localidade causal, e como este conceito pode ser medido através da desigualdade de Bell. Abordaremos os principais quanticadores do emaranhamento de formação dos estados, em especial o conceito de concorrência.

No capítulo 4, será apresentado o método do grupo de renormalização clásssico, que introduziu os conceitos de renormalização: escalonamento, formação de blocos e trunca-

gem de estados. Conceitos que puderam ser extendidos para uma abordagem mais geral, que descreve sistema de spins quanticamente correlacionados. Essa expansão cou co- nhecida como grupo de renormalização da matriz de densidade (DMRG, do inglês). Será apresentado o formalismo das teorias de bandas de energia que modelam as teorias de impurezas magnéticas diluidas.

No capítulo 5, é voltado para o estudo da técnica do grupo de renormalização da ma- triz de densidade: seu surgimento e subdivisão em duas sub-técnicas: algoritmo innito e algoritmo nito. Será mostrado uma aplicação da técnica de DMRG para o modelo 1D antiferromagnético de Heisenberg. Mostraremos também como é feito o cálculo dos obser- váveis no DMRG, especicamente apresentando um método alternativo para se calcular a magnetização local.

N capítulo 6 iremos introduzir o primeiro modelo de estudo desta tese: o tubo trian- gular de spin de Ising-Heisenberg , bem como a análise de suas propriedades termodinâ- micas e de emaranhamento quântico. As contribuições associadas à magnetização total do sistema e sua propriedades termodinâmicas, onde iremos analisar sua entropia, calor especíco e taxa magnetocalórica, para diversos valores de parâmetros que caracterizam o modelo do tubo triangular de spin-1

2. A conexão entre as funções termodinâmicas e as

propriedades do estado fundamental serão analisadas.

Em nosso capítulo 7, será apresentado o segundo modelo de estudo desta tese: o tubo triangular de spin de Heisenberg puro, junto às motivações teóricas que levaram a sua realização. A partir da aplicação da técnica do DMRG nessa cadeia puramente quântica, foi possível se obter os espectros de energia, magnetização local, correlações quânticas entre os spins e fazer uma análise de emaranhamento quântico e não localidade neste modelo. Por m, serão mostradas as principais conclusões do trabalho, assim como as perspectivas de realizações de novos trabalhos.

Os principais resultados produzidos por este trabalho de tese foram publicados recen- temente em [36, 51, 52].

Cap´ıtulo

2

MODELOS MAGNÉTICOS EM REDES DE

SPIN

2.1 Contextualização Histórica

Como referido no capítulo anterior, modelos magnéticos de spin-1

2 evoluíram junta-

mente com o desenvolvimento da mecânica quântica, por meio de duas conquistas teó- ricas inovadoras: Primeiro, a introdução do modelo de Ising em uma dimensão em 1929 [7], e segundo, o cálculo exato do estado fundamental do modelo de Heisenberg em uma dimensão através do ansatz de Bethe 1931 [15] .

A descrição quântica de materiais que apresentam propriedades magnéticas, proposta no modelo de Heisenberg [11], assume que a principal contribuição para o forte magnetismo da matéria tem sua origem nas interações quânticas e na termodinâmica dos agrupamentos de spin, dos elétrons pertencentes aos átomos que formam o material.

Uma das explicações vindas de Heisenberg [11] dizia que: o alinhamento dos spins decorria de seus vizinhos mais próximos. Interações eletrostáticas entre elétrons desem- parelhados dos orbitais mais externos de íons adjacentes, quando vista pela teoria da pertubação, produz uma separação dos níveis energéticos eletrônicos, que pode ser enten- dida como a quantidade de energia necessária para trocar os elétrons dos átomos vizinhos. Os modelos com impuzeras magnéticas diluidas foram os primeiros modelos em redes de spin ao qual foram aplicadas as técnicas de grupo de renormalização, que culminaram no completo entendimento das transições de fase em modelos magnéticos em redes de spins [53, 54]

Com base nessas ideias, a presente seção irá se debruçar sobre uma revisão dos con- ceitos básicos para o tratamento exato e/ou aproximado de modelos teóricos de redes de spin-1

2 , dando ênfase aos casos unidimensionais dos modelos de Ising e Heisenberg, com

interação de primeiros vizinhos. Introduziremos os conceitos de grupos de renormalização analisando os modelos com impurezas magnéticas diluidas, mostrando a relação destas descrição de impurezas com os modelos de Ising e Heisenberg. Além disso, faremos uma revisão nos métodos de solução exata, solução aproximada via campo molecular aplicados ao modelo de spin-1

2. Mostraremos também a solução exata para o modelo de Heisenberg

unidimensional de spin-1

2. Por m, iremos apresentar uma discussão sobre alguns modelos

de spin frustrados, que podem apresentar platôs de magnetização e efeito magnétocalórico intensicado.