Aproximação de Campo Médio para o Modelo de Ising

Além dos vínculos de temperatura e campo externo, digamos que o sistema tenha um vínculo interno suplementar que fixa o valor da magnetização por spin. Isso nos levará a utilizar a aproximação de campo médio usual, também chamada de aproximação de Bragg-Williams.

Sendo, para um modelo de spin 1/2 (S = ±1), N+ o número de spins para cima e N−

o número de spins para baixo, temos

N = N+ + N− (1.56)

e

N m = N+ − N− (1.57)

onde m é a magnetização adimensional. Conhecendo N+ e N−, podemos calcular a

entropia total

S = kBln Ω, (1.58)

sendo que Ω é o número de estados, o que pode ser rescrito com sendo S = kBln N ! N+!N−! (1.59) ou ainda S = kBln N ! ¡_{N +N m} 2 ¢! ¡ N −N m 2 ¢! (1.60) Levando em conta a simetria translacional do problema, a energia interna numa rede hipercúbica d-dimensional será dada por

U = hHi = −J d N hSiSji − H N m. (1.61)

Portanto, a energia livre magnética por spin, com o vínculo interno representado pela magnetização fixa, é dada pela expressão

g hT, H; mi = 1 N(U − T S) (1.62) = −Jd hSiSji − Hm − kBT N ln N ! ¡_{N +N m} 2 ¢! ¡ N −N m 2 ¢!

Até esse ponto não há nenhuma aproximação. O problema reside na dificuldade para calcular as correlações de dois pontos em termos de T , H e m.

A aproximação de Bragg-Williams consiste em desprezar as flutuações nas funções de correlação, fazendo a aproximação

hSiSji ≈ hSiihSji = m2. (1.63)

Escrevendo uma expansão de Stirling para os fatoriais e utilizando essa aproximação para as correlações, obtemos no limite termodinâmico a energia livre de Bragg-Williams por spin,

g_{BW(T, H; m) = − Jdm}2

− Hm −_β1ln2 (1.64) + 1

2β [(1 + m)ln(1 + m) + (1 − m)ln(1 − m)]

Para remover o vínculo interno a fim de obter a energia livre termodinâmica, basta minimizar g_BW em relação a m. Assim, temos

∂g_BW ∂m = −2Jdm − H + 1 2β ln 1 + m 1 − m = 0 (1.65) de onde vem a equação de Curie-Weiss,

m = tanh(β2Jdm + βH), (1.66) onde o parâmetro fenomenológico λ é identificado como o produto 2dJ, prevendo-se uma transição mesmo no caso unidimensional. Embora esse resultado esteja completamente errado, esperam-se melhores previsões à medida que a dimensionalidade do sistema au- mente.

A energia livre de Bragg-Williams, dada pela Equação (1.65) também pode ser escrita na forma g_{BW(T, H; m) = −Jdm}2 − Hm − _β1 ln 2 + 1 β Z ¡tanh−1_{m¢ dm (1.67)}

que permite uma identificação imediata com a função g_BW(T, H; m), obtida a partir da equação fenomenológica de Curie-Weiss. Podemos, com isso, recuperar todos os resulta- dos clássicos para o comportamento crítico.

Capítulo 2

Metamagneto em Campo Uniforme e

Aleatório

2.1

Introdução

Em 1932, L. Néel, propôs a primeira teoria do antiferromagnetismo [16] para explicar as anomalias nas medidas da susceptibilidade em Mn e Cr. Estas medidas implicavam em uma temperatura de Curie negativa para a susceptibilidade χ ∼ 1

T −Tc no modelo

de Curie-Weiss para explicar este comportamento anômalo, Néel foi obrigado a con- siderar que cada um dos momentos magnéticos se localizavam em pontos de uma rede composta por duas sub-redes equivalentes, onde cada uma delas experimentavam cam- pos internos proporcionais, porém opostos. Assim, na então teoria do campo molecular Weiss-Néel, a temperatura negativa de Curie indicava um alinhamento antiparalelo dos momentos magnéticos dessas substâncias. Esta teoria (Weiss-Néel) previa uma transição, da fase paramagnética para uma fase antiferromagnética, em uma temperatura crítica (−Tc= TN), posteriormente chamada de temperatura de Néel. Quase duas décadas mais

tarde, em 1949, foi verificado experimentalmente, através da difração de nêutrons [17], que o alinhamento dos momentos magnéticos que ocorre nesses materiais realmente é o antiparalelo. A transição paramagnética-antiferromagnética é de segunda ordem.

Foi verificado posteriormente [18] que esta transição de segunda ordem persiste quando um campo magnético externo (H) é aplicado. Agora a temperatura de Néel (TN) é uma

função decrescente do campo magnético, assim o ponto de Néel torna-se uma linha de Néel no plano T − H.

Na maioria dos materiais antiferromagnéticos, o efeito de um campo magnético ex- terno suficientemente forte é o de levar a uma nova transição de fase, isto é, a fase antiferromagnética (momentos magnéticos antiparalelos entre si, porém perpendiculares ao campo externo) torna-se spin-flop (momentos magnéticos alinhados antiparalelamente entre si, porém perpendiculares ao campo externo) [6, 19, 20, 21, 22, 23]. Mais tarde, uma grande quantidade de trabalhos chegaram a um completo diagrama de fase para os materiais antiferromagnéticos. Uma completa visão histórica do antiferromagnetismo pode ser visto nos trabalhos de Nagamiya et al [24] e de Jacobs et al [25].

Por outro lado, existem duas classes de materiais (sólidos) antiferromagnetos anisotrópi- cos. A primeira, tais como F eCl2 (cloreto ferroso), F eBr2 (brometo ferroso), Ni(NO3)2·

2H2O (nitrato de níquel di-hidratado), DAG(Dysprosium Aluminium Garnet), possuem

uma estrutura de camadas alternadas com uma fraca interação antiferromagnética entre as camadas e uma forte interação ferromagnética intra-camada.

A segunda é composta de substâncias ferromagnéticas ou antiferromagnéticas que apresentam um comportamento não ortodoxo. Estas duas classes de materiais são os hoje conhecidos como “metamagnetos”. A origem da nomenclatura “metamagneto” foi inicialmente utilizada por Kramers [26] para caracterizar alguns sólidos que apresentavam um comportamento não ortodoxo, isto é, sólidos que ora apresentavam comportamento de um ferromagneto, ora de antiferromagneto. Alguns autores [2, 26] utilizam o termo “metamagneto” para especificar sistemas magnéticos do tipo Ising com interação antifer- romagnética entre os spins primeiros vizinhos e interação ferromagnética entre os spins segundos vizinhos, formando um sólido com duas sub-redes entrelaçadas.

Os primeiros estudos teóricos dos metamagnetos tiveram seu início com as teorias fenomenológicas de Landau nos anos de 1930. Sauer [27] e Garret [28] consideraram a teoria de campo médio para o modelo de Ising com uma escolha conveniente dos sinais e dos valores das interações de primeiros e de segundos vizinhos.

Um cristal metamagnético ideal pode ser construído sobrepondo camadas idênticas de spin com acoplamento ferromagnético entre os spins de cada camada e com acoplamento

antiferromagnético entre os spins das camadas adjacentes. Um outro modo de pensar um cristal metamagnético é considerar um cristal cúbico com os acoplamentos entre os primeiros vizinhos como sendo de caráter antiferromagnético e os acoplamentos entre os segundos vizinhos como sendo ferromagnéticos.

Em um campo externo nulo, um metamagneto comporta-se como um antiferromag- neto de Ising. A correspondente transição de fase antiferromagnética é de segunda ordem para um campo magnético suficientemente baixo. No entanto, para campos suficiente- mente grandes, a ordem desta transição muda de segunda para primeira ordem em um ponto tricrítico, cujas propriedades tem sido largamente estudadas nos últimos anos [26]. Neste Capítulo estamos interessados em estudar o comportamento tricrítico de um metamagneto em um campo magnético externo uniforme e em um campo aleatório. Os problemas envolvendo o modelo de Ising em um campo aleatório tem sido uma fonte de pesquisa nesses últimos vinte anos [5, 6, 7, 8, 9]. Sistemas deste tipo têm sido realizados experimentalmente em antiferromagnetos com ligações misturadas ou com diluições de sítios. É de grande interesse investigar a existência de um ponto tricrítico e a exata relação para o antiferromagneto diluído em um campo uniforme. Dependendo da escolha da distribuição do campo aleatório, a aproximação de campo médio origina um ponto tricrítico (que está presente para uma distribuição simétrica bimodal, mas não ocorre no caso da forma gaussiana). Com base no teorema central do limite, alguns argumentos podem ser usados para dar suporte à relevância física da distribuição Gaussiana (o ponto tricrítico produzido com a função bimodal, existe apenas como um mero artifício da aproximação de campo médio).

A prova da equivalência entre o ferromagneto de Ising em um campo aleatório e um antiferromagneto diluído em um campo uniforme é baseada nos argumentos do grupo de renormalização que pode ser aplicado a campos fracos. Na aproximação de campo médio (ou o equivalente e com solução exata do modelo com interações de alcance infinito), isto é possível estabelecendo um mapeamento completo entre os parâmetros do ferromagneto de Ising em um campo aleatório e o antiferromagneto ou metamagneto de Ising diluídos, em um campo uniforme.

tribuição simétrica da função bimodal para a diluição arbitrária, incluindo o caso puro, onde não há diluição. Simulações numéricas e experimentos indicam que a transição de primeira ordem é destruída quando a diluição é acrescentada, de modo que nenhum efeito é previsto pelo cálculo de campo médio.