3.4 Integração numérica
3.4.2 Aproximação de integrais de superfície
As integrais de superfície em uma equação de conservação representam os fluxos advectivos e/ou difusivos atravessando a superfície de controle. O fluxo total através de uma superfície de controle pode ser expresso por uma integral da formaR
Spϑ · dS, onde ϑ é a densidade de fluxo e dS um elemento diferencial de área, sendo ambas as grandezas vetoriais. O vetor dS é normal à superfície de controle em qualquer ponto, com orientação apontando para o exterior do volume de controle.
Uma vez que uma superfície de controle encontra-se formada, em geral, por um conjunto de faces internas à malha e um conjunto de faces de contorno, pode-se então escrever
Z Sp ϑ · dS = Z Fp ϑ · dS + Z bF p ϑ · dS . (3.17) Considerando inicialmente a integral sobreFp, ela será igual à soma das integrais definidas sobre as faces individuais f que pertençam aFp.
Ou seja, Z Fp ϑ · dS = X f∈Fp Z f ϑ · dS . (3.18)
Ainda, dado que essas faces encontram-se distribuídas nos elementos que contribuem na formação do volume de controle, a última equação pode ser reescrita de forma equivalente como
Z Fp ϑ · dS = X e∈Ep X f∈Fe p Z f ϑ · dS . (3.19) Cada face f é um quadrilátero o um triângulo localizado no interior de um elemento e . A integral em uma dessas faces pode ser aproximada pela regra do ponto médio[20], isto é, pelo produto escalar do integrando, avaliado no baricentro da face, e o vetor área da face em questão.3 Intro- duzindo essa aproximação na equação (3.19), obtém-se, finalmente,
Z Fp ϑ · dS ≈ X e∈Ep X f∈Fe p ϑf · ∆Sf,p. (3.20)
Nesta expressão,ϑf é o valor da densidade de fluxo no baricentro da face f , enquanto que∆Sf,pé o vetor área da referida face, com orientação positiva relativa ao volume de controleVp.
O vetor área é o produto da área de uma face pelo vetor unitário na sua direção normal.4Quanto à orientação desse vetor, pode-se definir uma orientação absoluta e uma orientação relativa aos volumes de controle que a face separa.
Definição 3.1. A orientação absoluta do vetor área de uma face é idêntica à orientação da aresta associada à face.
Na seção 2.3, quando foi descrita a topologia dos elementos, definiu- se a orientação das arestas em função da ordenação em que são especi- ficados os vértices.5 Convencionalmente, a definição 3.1 estabelece que uma face e uma aresta, que são entidades duais em nível de elemento, possuem a mesma orientação. Isso é mostrado esquematicamente na fi- gura 3.9. Nessa figura é indicada também uma notação para os dois nós nas extremidades de uma aresta, a qual esta relacionada com a orientação da face.
3Essa aproximação é equivalente ao emprego de uma quadratura de Gauss[35, 84] com um único ponto de integração sobre a face.
4O cômputo do vetor àrea é descrito no apêndice A, considerando inclusive o caso da face ser um quadrilátero não plano.
5Conforme se definiu na seção 2.3, a orientação positiva de uma aresta é aquela que vai do primeiro ao segundo vértice especificado.
Face f
Aresta
(1° nó)
(2° nó) Figura 3.9 – Orientação absoluta do vetor área de face.
Entretanto, as expressões aproximadas para os fluxos nas faces, como a da equação (3.20), devem ser escritas considerando a orientação das faces relativa aos volumes de controle adjacentes.
Definição 3.2. O vetor área de uma face possui orientação positiva em relação a um volume de controle adjacente se aponta para o exterior do volume.
Neste trabalho, o vetor área associado à face f , quando considerado com orientação absoluta, é denotado como∆Sf. No entanto, quando for necessário especificar a orientação relativa a um volume de controle adja- cente, o vetor será denotado como∆Sf,p, sendo p o nó interior ao volume referido. Conforme ilustra a figura 3.10(a),∆Sf,pcoincide com∆Sfquando p é o nó localizado no lado oposto ao apontado por∆Sf. No caso contrário, o mostrado na figura 3.10(b), tem-se que∆Sf,p= −∆Sf.
Do ponto de vista da implementação computacional é mais vantajoso expressar os fluxos nas faces considerando a orientação absoluta do vetor área. Dessa forma, um fluxo é calculado uma única vez em uma dada face. Quando tal fluxo deva ser adicionado nas equações de conservação dos volumes de controle adjacentes, ele terá sinal positivo para um volume e negativo para o outro.6 A diferença no sinal é originada pela diferente orientação relativa do vetor área da face em relação aos dois volumes.
6Isto é, o fluxo que abandona um volume de controle por uma dada face é o mesmo fluxo que ingressa no volume vizinho, por essa face. Essa é uma das características fundamentais de um método de volumes finitos, a consistência dos fluxos nas interfaces entre volumes de controle[45, 59].
,nB= Face f Volume de controle ,nF= (a) (b)
Figura 3.10 – Orientação do vetor área de face, relativa aos volumes de controle.
Uma forma prática de expressar a aproximação de uma integral de superfície em função de∆Sf é mediante a definição do parâmetro
σf,p = ¨
1 se p= nB(f ),
−1 se p= nF(f ), (3.21)
ondenB(f )enF(f )são os nós localizados atrás e a frente da face f , respec- tivamente, segundo a notação indicada nas figuras 3.9 e 3.10. Com esse parâmetro, tem-se que∆Sf,p= σf,p∆Sf, com o qual a equação (3.20) pode ser reescrita na forma final
Z Fp ϑ · dS ≈ X e∈Ep X f∈Fe p σf,pϑf · ∆Sf . (3.22) Voltando novamente à aproximação das integrais em uma superfície de controle, na equação (3.17) resta aproximar a integral definida sobre bF
p, para os volumes adjacentes a contornos. A aproximação dessa integral pode ser escrita de forma análoga à aproximação da integral sobre Fp. Tem-se então,
Z bF p ϑ · dS ≈ X be∈bEp X bf∈bFbe p ϑbf· ∆Sbf, (3.23) ondeϑbf é o valor da densidade de fluxo no baricentro da face de contorno, enquanto que∆Sbf é o vetor área correspondente a essa face. Os vetores ∆Sbf são construídos de modo que sempre apontem para o exterior do domínio. Em consequência, neste caso não há necessidade de distinguir entre orientação absoluta e relativa aos volumes de controle, como no caso das faces internas, porque ambas as orientações sempre coincidem.