Na discretização de uma equação de conservação é necessário também aproximar valores de uma variável em locais diferentes aos dos nós. Uma vez que a forma fechada das equações discretizadas apenas pode conter valores nodais das variáveis, torna-se necessário o emprego de esquemas de interpolação, para relacionar valores em pontos específicos dos elemen- tos, geralmente localizados sobre as faces, com os valores nodais.
O caso mais importante surge na aproximação do fluxo advectivo em uma equação de conservação. O fluxo advectivo na superfície de um vo- lume de controle é representado matematicamente por uma integral de superfície como a considerada na seção 3.4.2. Nessa integral, a densidade de fluxo é usualmente dada por ϑ = ρvΘ, onde ρ e v são a densidade do fluido e a velocidade do escoamento que transporta a grandeza intensiva
Θ, respectivamente. Quando a essa integral é aplicada a aproximação dada pela equação (3.22), torna-se evidente a necessidade de aproximar valores de variável nos baricentros das faces, isto é, valores deΘf.
Em um método de volumes baseado em elementos, um esquema de interpolação é geralmente restrito aos valores nodais associados a um ele- mento. Assim, a expressão mais geral para um esquema de interpolação para o valor de uma variável no baricentro de uma face é
Θf ≈ X
`∈Ne αe
f,`Θˇe`, (3.35)
em queαf,e`são coeficientes escalares que ponderam a influência de cada valor nodal sobre o valor interpolado na face. O número de coeficientes necessários para esta interpolação é igual ao número de nós associados ao elemento e onde a face se encontra. Por exemplo, em um esquema de interpolação equivalente à aproximação empregada para o cômputo do gradiente, os valores dos coeficientes de interpolação seriam iguais aos valores das funções de forma nos baricentros das faces, isto é,
αe
f,`
forma=
N
`(ξf,ηf,ζf) , (3.36) em queξf,ηf eζfsão as coordenadas locais do baricentro da face f .Embora seja possível empregar este tipo de interpolação na aproxi- mação do termo advectivo, sua utilização não é aconselhável. Essa prática é equivalente ao uso de esquemas de diferenças centrais em formulações convencionais de volumes finitos, portanto, usualmente dá origem a coefi- cientes negativos na forma final das equações discretizadas[67]. Conforme é relatado extensamente na literatura[42, 44, 45, 59, 60], problemas de monotonicidade e de oscilações espúrias são comumente consequência direta da presença desses coeficientes.
O esquema de interpolação mais empregado para os termos advec- tivos, na simulação de reservatórios, é o esquema upwind de um ponto [3] ou esquema donor cell [44]. Nesse esquema, o valor nodal localizado a montante de uma interface, levando em conta o sentido do escoamento que a atravessa, é atribuído integralmente como valor interpolado nessa interface. Essa aproximação possui precisão de primeira ordem e preserva a monotonicidade de soluções discretas inicialmente monotônicas[78]. Portanto, produz soluções fisicamente coerentes, embora apresentando forte difusão numérica[45].
No contexto de um método de volumes finitos baseado em elementos, o esquema upwind de um ponto, denotado daqui em diante com a sigla SPU,8pode ser definido matematicamente pela expressão
Θf SPU= ¨ ˇ ΘnB(f ) se (ρv)f · ∆Sf > 0, ˇ ΘnF(f ) se (ρv)f · ∆Sf < 0, (3.37)
na qual, igual que na equação (3.21),nB(f )enF(f )é uma notação para os nós localizados detrás e a frente da face f , de acordo com a orientação absoluta da face. Além disso,(ρv)f· ∆Sf é a vazão que atravessa a face, da qual somente é considerado seu sinal. Os dois casos considerados na equação (3.37) encontram-se ilustrados esquematicamente na figura 3.11. Todos os coeficientesαf,e`associados ao esquema SPU são nulos, exceto aquele associado ao nó a montante, o qual adquire um valor unitário.
Aresta Nó a montante Nó a montante (a) (b) Face f
Figura 3.11 – Os dois casos na interpolação upwind de um ponto (SPU).
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Discretização de uma equação
de conservação
4.1 Equação de conservação genérica
A fim de mostrar de forma objetiva a aplicação das aproximações numéri- cas apresentadas no capítulo anterior, neste capítulo será descrita, passo a passo, a discretização de uma equação de conservação genérica. A equa- ção de conservação de uma grandeza escalar é considerada aqui um pro- tótipo das equações que formam parte dos diferentes modelos de escoa- mento em reservatórios de petróleo. Após ser descrita a obtenção da forma discretizada dessa equação, será abordado o procedimento de montagem do sistema linear de equações resultante da discretização em todos os vo- lumes de controle de uma malha. A descrição detalhada desses procedi- mentos, aplicados a uma equação simples como a equação de conserva- ção de uma grandeza escalar, servirá como fundamento para a posterior aplicação a um modelo de escoamento multifásico em reservatórios de petróleo.
A forma diferencial da equação de conservação de uma grandeza es- calarΘ, associada ao escoamento de um fluido e expressa por unidade de massa, pode ser escrita de forma genérica como[20]
∂ (ρΘ)
∂t + ∇ · (ρΘv) = ∇ · (K∇Θ) + ψ . (4.1)
Nesta equação,ρ é a densidade do fluido, v é a sua velocidade e K o coeficiente de difusividade da grandeza Θ, expressa como um tensor de segunda ordem.1 A equação 4.1 representa um balanço da grandeza Θ em um volume de controle infinitesimal. O primeiro termo do lado esquerdo representa a variação temporal da grandeza genérica no volume. O segundo termo representa o transporte advectivo através da superfície do volume infinitesimal. O primeiro termo no lado direito representa o transporte difusivo através da mesma superfície. Por fim, o termo ψ é o termo fonte da equação, o qual leva em conta qualquer mecanismo de geração, conversão ou transporte da grandezaΘ não considerado explici- tamente nos outros termos da equação.
O ponto de partida para a aplicação de um método de volumes finitos é geralmente a forma integral de uma equação de conservação. Para a equação (4.1), a forma integral equivalente é[20]
∂ ∂t Z V ρΘ dV + Z S ρΘv · dS = Z S K∇Θ · dS + Z V ψ dV . (4.2) Esta equação corresponde ao balanço em um volume de controleV, limitado por uma superfície fechadaS, fixo em uma região do espaço pela qual escoa um fluido[8]. Tal como ilustra a figura 4.1, dS é um vetor diferencial de área sobre a superfícieS, dirigido na direção normal a ela e apontando para o exterior do volume.
Existe uma correspondência termo a termo entre as equações (4.1) e (4.2). Entretanto, a forma diferencial é mais restritiva no sentido de não admitir soluções apresentando descontinuidades, tais como ondas de cho- que ou interfaces entre fluidos imiscíveis[8, 44]. Uma vez que a forma in- tegral não possui restrições em relação a descontinuidades, ela é preferida como base da maioria das formulações numéricas[8].
1Em uma equação de conservação associada à descrição de um escoamento em um reservatório, K representaria a permeabilidade do meio.
Figura 4.1 – Volume de controle em um escoamento.