As categorias F(△) e F(▽) - Álgebras estandarmente estratificadas e álgebras quase-hereditárias

Sejam △ e ▽ as sequˆencias de m´odulos estandares e coestandares, respectivamente, para uma ordem fixada e = (e1, e2, ..., en) de um conjunto completo

Apresentaremos nesta se¸cão algumas propriedades básicas das categorias F(△) e F(▽). Em particular, que elas são funtorialmente finitas, que admitem seqüências de Auslander-Reiten relativas, que F(△) é uma categoria resolvente e que F(▽) é uma categoria corresolvente.

Observamos que os resultados aqui contidos se encontram em [23], [12] e [24].

Com as nota¸cões introduzidas no Cap´ıtulo 2, recordemos que F(△) denota a subcategoria plena de mod A cujos objetos são os módulos que têm uma △-filtra¸cão e que F(▽) denota subcategoria plena de mod A cujos objetos são os módulos que têm uma ▽-filtra¸cão.

Os módulos em F(△) são chamamos de △-bons módulos e os módulos em F(▽) de ▽-bons módulos.

Observa¸cão 3.3.1. As categorias F(△) e F(▽) são fechadas por extensões. De fato, seja 0 −→ M−→ Nµ −→ L −→ 0 uma seq¨ρ uência exata em mod A tal que M, L ∈ F(△). Se 0 = M0 ⊆ M1 ⊆ M2 ⊆ · · · ⊆ Mt = M e 0 = L0 ⊆

L1 ⊆ L2 ⊆ · · · ⊆ Lk = L são △-filtra¸cões de M e L, respectivamente, então

0 ⊆ µ(M1) ⊆ · · · ⊆ µ(Mt) ⊆ ρ−1(L1) ⊆ · · · ⊆ ρ−1(Lk−1) ⊆ ρ−1(Lk) = N

é uma △-filtra¸cão para N . Da mesma maneira é poss´ıvel mostrar que F(▽) é fechada por extensões.

Defini¸c˜ao 3.3.2. Seja M ∈ mod A. A cadeia de subm´odulos de M 0 = τεn+1A(M ) ⊆ τεnA(M ) ⊆ . . . ⊆ τε2A(M ) ⊆ τε1A(M ) = M

A filtra¸cão da defini¸cão anterior, com a conven¸cão adotada na Se¸cão 3.2 em que M(i) _{= τ}

εiA(M ), pode ser reescrita na forma:

0 = M(n+1) _{⊆ M}(n)_{⊆ . . . ⊆ M}(2) _{⊆ M}(1) _{= M.}

A proposi¸cão que segue dá uma caracteriza¸cão dos módulos em F(△), e sua demonstra¸cão pode ser encontrada em [12].

Proposi¸c˜ao 3.3.3. Um A-m´odulo M ∈ F(△) se, e somente se, para todo i = 1, 2, . . . , n, M(i)_/M(i+1) ∼_{= △}ti

i , para algum ti ≥ 0. Onde △0i = 0.

Observa¸cão 3.3.4. Se M ∈ F(△), então os módulos M(t) _{e M/M}(t)_{, para}

1 ≤ t ≤ n, est˜ao em F(△). Mais ainda, M(t) _{est´a filtrado por △}

j, com j ≥ t,

e M/M(t) _{est´a filtrado por △}

j, com j < t.

Isto ´e M(t) _{∈ F({△}

t, . . . , △n}) e M/M(t) ∈ F({△1, . . . , △t−1}).

Antes de enunciar o seguinte corolário lembremos que um módulo nulo sobre qualquer anel A, é sempre um módulo projetivo.

Corol´ario 3.3.5. Seja a K-´algebra Bi = A/Aεi+1A. Ent˜ao

1. M ∈ F(△) se, e somente se, M(i)_/M(i+1) _{´e B}

i-m´odulo projetivo, para

todo i = 1, 2, . . . , n.

2. M ∈ F(▽) se, e somente se, M(i)_/M(i+1) _{´e B}

i-m´odulo injetivo, para

todo i = 1, 2, . . . , n.

Demonstra¸cão. Provaremos a primeira afirma¸cão, pois a prova da segunda é dual. Observemos que Bi se pode escrever da forma

Bi ∼= i

onde o último somando é △i. Assim △i é um Bi-módulo projetivo.

Se M ∈ F(△), ent˜ao pela proposi¸c˜ao anterior o quociente M(i)_/M(i+1) ∼₌

△ti

i , para algum ti ≥ 0, e portanto ´e um Bi-m´odulo projetivo.

Reciprocamente suponhamos, para um i fixo, que o quociente M(i)_/M(i+1)

é Bi-módulo projetivo. Pelo Lema 3.2.3 existe um epimorfismo de A-módulos

ψ = (ψ1, . . . , ψn) : (Ln_j=iP tj

j ) → M(i). Compondo ψ com a proje¸c˜ao canˆonica

π : M(i)_{−→ M}(i)_/M(i+1) _{obtemos o epimorfismo πψ = (πψ}

1, . . . , πψn) :

(Ln_j=iPtj

j ) −→ M(i)/M(i+1). Em virtude do Lema 3.2.3 (2) resulta que os

morfismos πψj : P tj

j −→ M(i)/M(i+1), para j > i, s˜ao nulos e, portanto, que

πψi ´e um epimorfismo. Usando de novo o Lema 3.2.3 (2), obtemos que

τεi+1A(Pi) = eiAεi+1A ⊂ ker πψi. A anterior inclus˜ao induz um epimorfismo

de A-m´odulos

ψ : (Pi/eiAεi+1A)ti−→ M(i)/M(i+1).

Desde que eiAεi+1A ⊂ Aεi+1A ⊂ AnnA(M(i)/M(i+1)), ent˜ao o homomor-

fismo ψ é também um epimorfismo de Bi-módulos. Como M(i)/M(i+1) é

Bi-projetivo, temos que M(i)/M(i+1) ∼= (Pi/eiAεi+1A)t0 = △ti0, para algum

0 < t0 ≤ ti.

Corol´ario 3.3.6. As subcategorias F(△) e F(▽) s˜ao fechadas por somandos

diretos.

Demonstra¸c˜ao. Seja Bi = A/Aεi+1A. Se M1 ⊕ M2 ∈ F(△), ent˜ao, pelo

corolário anterior, temos que (M1⊕ M2)(i)/(M1⊕ M2)(i+1) é um Bi-módulo

projetivo, para cada i = 1, 2, . . . , n. Mas tamb´em temos que (M1⊕ M2)(i)/(M1⊕ M2)(i+1) ∼= M1(i)/M

(i+1) 1 ⊕ M (i) 2 /M (i+1) 2 .

Assim M₁(i)/M₁(i+1) e M₂(i)/M₂(i+1) são Bi-módulos projetivos, pois são so-

mando diretos de um projetivo, e portanto, pelo Corol´ario 3.3.5, M1, M2

est˜ao em F(△).

A proposi¸cão abaixo, apresentada por Ringel em [23], é uma conseqüência importante de alguns resultados do Cap´ıtulo 2 e da Se¸cão 3.2.

Proposi¸c˜ao 3.3.7. As categorias F(△) e F(▽) s˜ao funtorialmente finitas

e, portanto, admitem seq¨uˆencias de Auslander-Reiten relativas.

Demonstra¸c˜ao. Como Ext1A(△i, △j) = 0, para j ≤ i, pela Proposi¸c˜ao

3.2.8, ent˜ao Ext1A(▽i, ▽j) = Ext1A(D(△oi), D(△oj)) ∼= D Ext1Aop(△o_j, △o_i) = 0,

para i ≤ j. Assim, pelo Teorema 2.1.10, tanto F(△) quanto F(▽) são funtorialmente finitas em mod A. Mas como também são fechadas por somandos diretos (Corolário 3.3.6), temos que F(△) = X (△) e que F(▽) = X (▽). Logo, pela Proposi¸cão 2.1.14, resulta que elas admitem seqüências de Auslander-Reiten relativas.

Antes de apresentar mais algumas propriedades das categorias F(△) e F(▽), fixaremos algumas nota¸cões e faremos algumas observa¸cões para usá- las nas demonstra¸cões que seguem.

Seja M ∈ F(△). Denotamos por [M : △i] a multiplicidade de △i em

uma △-filtra¸cão de M . De forma análoga, se M ∈ F(▽), denotamos por [M : ▽_i] a multiplicidade de ▽_i em uma ▽-filtra¸cão de M . É importante notar que tais multiplicidades não dependem da escolha da filtra¸cão.

Defini¸c˜ao 3.3.8. Seja M ∈ mod A. O △-suporte de M , que denotaremos

por Supp△(M ), ´e o conjunto Supp△(M ) = {i ∈ {1, 2, . . . , n} : [M : △i] 6= 0}.

Observa¸c˜ao 3.3.9. Sejam M, N ∈ mod A e f ∈ HomA(M, N ). Ent˜ao:

1. Para cada i, f (M(i)_{) ⊆ N}(i)_{. Mais ainda, se f ´e um epimorfismo,}

ent˜aof (M(i)_{) = N}(i)_.

2. Se M, N ∈ F(△) e f ´e um epimorfismo, ent˜ao Supp△(N ) ⊆ Supp△(M ).

De fato, seja i ∈ Supp△(N ). Ent˜ao, pela Proposi¸c˜ao 3.3.3 e pelo ob-

servado em (1), existe um inteiro ti > 0 tal que

△ti

i ∼= N(i)/N(i+1) = f (M(i))/f (M(i+1)).

Isto quer dizer que o quociente f (M(i)_{)/f (M}(i+1)_{) 6= 0 ou equivalente-}

mente que f (M(i)_{) 6= 0 e f (M}(i+1)_{) ( f (M}(i)_{). Segue da´ı que M}(i) _{6= 0}

e M(i+1) ₍_M(i)_{. Assim M}(i)_/M(i+1) _{6= 0 e, portanto, i ∈ Supp} △(M ).

A demonstra¸cão da seguinte proposi¸cão seguinte é feita como em [24]. Proposi¸c˜ao 3.3.10. A categoria F(△) é fechada por núcleos de epimorfis- mos.

Demonstra¸cão. Sejam M, N ∈ F(△) e f : M −→ N um epimorfismo de A-módulos. Vamos provar, por indu¸cão sobre a cardinalidade de Supp△(M ),

que L = ker(f ) ∈ F(△).

Se |Supp△(M )| = 1, ent˜ao pela parte (2) da observa¸c˜ao acima, temos

que |Supp△(N )| = 1. Logo, pela Proposi¸c˜ao 3.3.3, M ∼= △si e N ∼= △ti,

0 −→ Ui−→ Pi−→ △i−→ 0 obtemos a seq¨uˆencia exata

0 −→ HomA(△i, L) −→ HomA(Pi, L) −→ HomA(Ui, L) −→ Ext1A(△i, L) −→ 0.

Afirmamos que com HomA(Ui, L) = 0 . De fato, suponhamos que

HomA(Ui, L) 6= 0. Seja h ∈ HomA(Ui, L), com h 6= 0. Portanto, existem

um x ∈ Ui e um homomorfismo g : Pj → Pi, com j > i, tais que x ∈ Img e

h(x) 6= 0. Assim a composta hg′ _{: P}

j−→ L, onde g′ = g|Im(g), ´e n˜ao nula.

Logo, tanto L quanto M tˆem um fator de composi¸c˜ao isomorfo a Sj,

para um j > i, o que ´e uma contradi¸c˜ao. De HomA(Ui, L) = 0 resulta que

Ext1_A(△i, L) = 0, seguindo da´ı que a seq¨uˆencia 0 −→ L −→ M −→ N −→ 0

cinde e que L ∼= △s−ti . E est´a provada a afirma¸c˜ao quando |Supp△(M )| = 1.

Seja M ∈ mod A tal que |Supp△(M )| = ℓ ≥ 2. Suponhamos que se existe

um epimorfismo f : M′_{−→ N}′ _{com M}′_{, N}′ _{∈ F(△) e |Supp}

△(M′)| < ℓ,

então Ker(f ) ∈ F(△). Mostremos que a conclusão também vale para M . Seja t = max Supp△(M ). Pela Observa¸cão 3.3.4, os módulos M(t) e N(t) são

tais que M/M(t)_{, N/N}(t) _{∈ F({△}

1, △2, . . . △t−1}) e M(t), N(t) ∈ add(△t).

0 0 0 0 //_Ker(f′₎ // M(t) f′ // µ N(t) // ν 0 0 //_{Ker(f )} // M f // p N // π 0 0 //Ker(f′′₎ _// M/M(t) f′′ _// N/N(t) _// 0 0 0 0 onde f′ _{= f |}

M(t) e f′′ : M/M(t)−→ N/N(t) ´e tal que f′′(m + M(t)) = f (m) +

N(t)_{. Tanto f}′ _{quanto f}′′ _{s˜ao epimorfismos, pois f}′_(M(t)_{) = f (M}(t)_{) = N}(t)_.

O diagrama de linhas continuas é comutativo já que µ e ν são inclusões e p e π são as proje¸cões canônicas. Assim o Lema da Serpente garante a existência da seqüencia exata

0 −→ ker(f′_{) −→ ker(f ) −→ Ker(f}′′_{) −→ 0.}

Como |Supp△(M(t))| < |Supp△(M )| e |Supp△(M/M(t))| < |Supp△(M )| a

hipótese de indu¸cão implica que tanto ker(f′_{) quanto ker(f}′′_{) estão em F(△).}

Isto prova que ker f ∈ F(△), pois F(△) é fechada por extensões (Observa¸cão 3.3.1).

Dualmente temos o seguinte resultado para a categoria F(▽).

Proposi¸c˜ao 3.3.11. A categoria F(▽) ´e fechada por con´ucleos de monomor-

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