Álgebras estandarmente estratificadas e álgebras quase-hereditárias

Paula Andrea Cadavid Salazar

DISSERTAC¸ ˜AO APRESENTADA AO

INSTITUTO DE MATEM ´ATICA E ESTAT´ISTICA DA

UNIVERSIDADE DE S ˜AO PAULO PARA

OBTENC¸ ˜AO DO T´ITULO DE

MESTRE EM CIˆENCIAS

´

Area de Concentra¸c˜ao: Matem´atica

Orientador: Prof. Dr. Eduardo do Nascimento Marcos

Durante o desenvolvimento deste trabalho o autor recebeu aux´ılio financeiro da CNPq

Ao IME por ter-me concedido ´otimas condi¸c˜oes de trabalho, em especial ao professor Eduardo do Nascimento Marcos pela sua orienta¸c˜ao e `a profes-sora Mar´ıa Izabel Ramalho Martins pela sua valiosa ajuda.

A todos os amigos do IME, especialmente a Natalia, Mary Luz e a Pablo, por estar sempre nos momentos dif´ıcies.

Sejam K um corpo algebricamente fechado, A uma K-´algebra b´asica conexa de dimens˜ao finita sobre K e e = (e₁, e₂, . . . , e_n) um conjunto

com-pleto de idempotentes ortogonais, primitivos e ordenados de A. O conjunto dos m´odulos estandares △={△1, . . . ,△n}, onde △i ´e o quociente maximal

doA-m´odulo projetivoPi com fatores de composi¸c˜ao simplesSj, comj ≤n,

F(△) ´e a subcategoria plena de mod A dos m´odulos tˆem uma △-filtra¸c˜ao. Se AA ∈ F(△) diz-se que A ´e uma ´algebra estandarmente estratificada. Se,

al´em disso, para cada elemento em△vale que EndA(△i)∼=K diz-se queA´e

uma ´algebra ´algebra quase-heredit´aria. Nesta diserta¸c˜ao estudamos as pro-priedades deF(△), especialmente quandoA´e estandarmente estratificada, e algumas condi¸c˜oes necess´arias e suficientes para queAseja quase-heredit´aria.

Let K be an algebraically closed field, A a basic, connected, finite di-mensional K-algebra ande= (e1, e2, . . . , e_n) a complete set of ordered

prim-itive orthogonal idempotents of A. The set of standard modules is the set

△ ={△₁, . . . ,△_n}, where △_i is the maximal factor submodule of Pi whose

composition factors are isomorphic to Sj, for j ≤i. We denote by F(△) the

full subcategory of mod Acontaining the modules which are filtered by mod-ules in △. IfAA∈ F(△) we say that Ais standardly stratified. Moreover, if

EndA(△i)∼=K for each element in △ we say that A is quasi hereditary. In

this work we study the properties of the category F(△), especially when A

is stardadly stratified, and some necessary and sufficient conditions to A be quasi hereditary.

1 Um pouco de Teoria de Representa¸c˜oes 1

1.1 Preliminares . . . 1

1.2 Carcases e ´algebras de caminho . . . 3

1.3 Representa¸c˜oes e m´odulos . . . 6

1.4 Seq¨uˆencias de Auslander-Reiten . . . 10

2 Seq¨uˆencias de Auslander-Reiten relativas 14 3 Algebras estandarmente estratificadas e ´´ algebras quase heredit´arias 28 3.1 Sobre o grupo de Grothendieck . . . 29

3.2 M´odulos estandares e coestandares . . . 32

3.3 As categoriasF(△) e F(▽) . . . 38

3.4 Algebras estandarmente estratificadas . . . 46´

3.5 Algebras estandarmente estratificadas e m´odulos inclinantes . 59´ 3.6 Algebras quase-heredit´arias . . . 80´

As ´algebras quase-heredit´arias foram introduzidas por E. Cline, B. Parshall e L. Scott, em [9] e [10], no contexto da teoria alg´ebrica de grupos e da representa¸c˜ao das ´algebras de Lie complexas semisimples de dimens˜ao finita, mais precisamente no estudo da categoria dos pesos m´aximos. V. Dlab e C. M. Ringel fizeram um extenso estudo desta classe de ´algebras e das suas categorias de m´odulos. Um dos principais resultados obtidos ´e a existencia do m´odulo caracter´ıstico que foi dado por Ringel em [23]. Tal m´odulo, que ´e tanto inclinante como coinclinante, estabelece uma conex˜ao com a teoria de inclina¸c˜ao que tem sido muito desenvolvida nos ultimos anos.

Mais tarde, E. Cline, B. Parshall e L. Scott introduziram em [11] um conceito mais geral: as ´algebras estandarmente estratificadas.

As ´algebras quase-heredit´arias n˜ao s˜ao nada mais do que as ´algebras es-tandarmente estratificadas de dimens˜ao global finita. Elas aparecem, por exemplo, no estudo da categoria O de Berstein, Gelfand e Gelfand associada com a decomposi¸c˜ao triangular de uma ´algebra de Lie complexa, semisimples de dimens˜ao finita.

Varias geraliza¸c˜oes tem sido feitas, uma delas apareceu em [16], onde K. Erdman e C. S´aenz definem os sistemas estratificantes. Posteriormente E. Marcos, O. Mendoza e C. S´aenz em [21], usam tais sistemas para geralizar os resultados obtidos por I. ´Agoston, D. Happel, E. Luk´as e L. Unger em [1] acerca da dimens˜ao finit´ıstica de uma ´algebra estandarmente estratificada.

estandares e coestandares, respectivamente. Nosso principal objetivo nesta disserta¸c˜ao ´e estudar algumas propriedades das categoriasF(△) eF(▽), dos m´odulos filtrados por △ e ▽, respectivamente. Fazendo ˆenfase no caso em que a ´algebra ´e estandarmente estratificada. Para tal esta disserta¸c˜ao esta organizada como segue:

O Cap´ıtulo 1 destina-se a revis˜ao de conceitos, defini¸c˜oes, teoremas e nota¸c˜oes que ser˜ao usadas ao longo deste texto, seu principal objetivo ´e tentar tornar a disserta¸c˜ao autocontida.

No Cap´ıtulo 2, baseados no trabalho de Ringel em [23], demonstramos que a categoria F(θ), ondeθ ={θ(1), θ(2), . . . , θ(n)} ´e um conjunto de m´odulos tal que Ext1_A(θ(i), θ(j)) = 0, para i ≤ j, admite seq¨uˆencias de Auslarder-Reiten relativas.

No Cap´ıtulo 3, na primeira se¸c˜ao definimos o grupo de Grothendieck e enunciamos algumas propriedades a usar durante o restante do cap´ıtulo. Na segunda se¸c˜ao demonstramos as propriedades b´asicas dos m´odulos es-tandares. Na se¸c˜ao 3.3 apresentamos propriedades homologicas das catego-rias F(△) e F(▽), em particular que s˜ao funtorialmente finitas e que ad-mitem seq¨uˆencias de Auslanden-Relativas. Tais resultados foram extra´ıdos de [13],[15], [24] e [23]. Na se¸c˜ao 3.4 introduzimos os conceitos de ´algebra estandarmente estratificada e ´algebra quase-heredit´aria, demonstramos que quando a ´algebra ´e estandarmente estratificada os m´odulos em F(△) tˆem dimens˜ao projetiva finita e que as ´algebras quase-heredit´arias tem dimens˜ao global finita. Os resultados desta se¸c˜ao est˜ao contidos em [15]. Na se¸c˜ao 3.5 demonstramos que seA´e uma ´algebra estandarmente estratificada existe um

add T e que o anel de endomorfismosB = EndA(TA) ´e de novo umaK-´algebra

estandarmente estratificada. Mais ainda, que EndB(T′) ´e Morita equivalente

a A, onde T′ _{´e o B-m´odulo inclinante generalizado associado a B. Os}

Um pouco de Teoria de

Representa¸c˜

oes

Este cap´ıtulo traz uma s´erie de conceitos, defini¸c˜oes, teoremas e nota¸c˜oes que utilizaremos livremente em todo o restante deste texto. Grande parte dos t´opicos aqui apresentados s˜ao bastante familiares, mas ainda assim ser˜ao revisados para fixar nota¸c˜oes e tornar a terminologia do trabalho mais uni-forme.

Por outro lado vale alertar que n˜ao temos nenhuma pretens˜ao de fornecer um tratamento completo dos assuntos aqui abordados. Detalhes de tais con-ceitos podem ser encontrados em v´arios livros, mas todos os aqui menciona-dos podem ser achamenciona-dos em [4].

1.1

Preliminares

Para consultar detalhes citamos o Cap´ıtulo I e o Apˆendice A de [4].

Se A ´e uma K-´algebra de dimens˜ao finita, ent˜ao o m´odulo AA admite

uma decomposi¸c˜ao da forma

A =P1 ⊕P2⊕. . .⊕Pn,

onde cadaPi =eiA´e um A-m´odulo projetivo indecompon´ıvel ee1, e2, . . . , en

s˜ao idempotentes primitivos, dois a dois ortogonais, e tais que 1 =e1+e2+

. . .+en. O conjunto {e1, e2, . . . , en}´e chamado de um conjunto completo

de idempotentes primitivos ortogonais.

Dizemos queA´e uma ´algebra b´asica seeiA≇ejA, quandoi6=j, para

todo i = 1, . . . , n. De outro lado dizemos que A ´e conexa (ou indecom-pon´ıvel) se n˜ao pode ser decomposta como soma direta de duas ´algebras,

ou equivalentemente, se 0 e 1 s˜ao seus ´unicos idempotentes centrais.

Denotamos por M od Aa categoria cujos objetos s˜ao os A-m´odulos `a di-reita e cujos morfismos s˜ao os homomorfismos de A-m´odulos e por mod A

a subcategoria plena de M od A cujos objetos s˜ao os A-m´odulos finitamente gerados.

Dado umA-m´odulo M, oA-m´odulo M/rad M ´e denotado por top M. SeM ´e um A-m´odulo, ent˜ao existem seq¨uˆencias exatas do tipo

· · · −→Pm hm

−→Pm−1−→ · · · −→P1

h1

−→P0

h0

−→M−→0,

onde osPj s˜aoA-m´odulos projetivos. Uma tal seq¨uˆencia ´e chamada uma

resolu¸c˜ao projetivadeM. SeM admite uma resolu¸c˜ao projetiva da forma 0 −→Pm

hm

−→Pm−1−→ · · · −→P1

h1

−→P0 h0

com Pm 6= 0, dizemos que o comprimento de tal resolu¸c˜ao ´em.

Se toda resolu¸c˜ao projetiva deM ´e infinita dizemos que M tem dimens˜ao projetiva infinita , caso contr´ario a dimens˜ao projetiva de M, denotada por

pd M, ´e o menor natural ℓ tal que existe uma resolu¸c˜ao projetiva de M de comprimento ℓ.

A dimens˜ao global `a direita da K-´algebra A, que ´e denotada por

gldim A, ´e definida por

gldimA=sup{pd M : M ´e um A−modulo´ `a direita}.

Para o caso em que A´e uma K-´algebra de dimens˜ao finita, ´e conhecido que que sua dimens˜ao global ´e para calcular sua dimens˜ao global ´e

gldim A =sup{pd S : S ´e um A−m´odulo simples `a direita}.

1.2

Carcases e ´

algebras de caminho

Seja A uma ´algebra de dimens˜ao finita e b´asica sobre um corpo algebrica-mente fechado. Nesta se¸c˜ao daremos uma caracteriza¸c˜ao de Aem termos de estruturas chamadas carcases. Para isto, come¸caremos definindo carcases, veremos como se podem construir ´algebras a partir deles e para finalizar enunciaremos o Teorema de Gabriel, que proporciona a caracteriza¸c˜ao men-cionada acima. A prova de tal teorema pode ser vista no Cap´ıtulo II de [4].

Dada uma flechaα∈Q1, sec(α) =aef(α) =bdizemos que ocome¸code α´eae que ofinaldeα´eb. Denotamos esta situa¸c˜ao porα:a→b. O carc´as

Q= (Q0, Q1, c, f) pode ser denotado por Q= (Q0, Q1) ou simplesmente por

Q.

Dizemos que Q = (Q0, Q1) ´e finito se os conjuntos Q0 e Q1 s˜ao finitos. Todos os carcases que consideraremos aqui ser˜ao finitos, exceto o carc´as de Auslander-Reiten que definiremos na se¸c˜ao 1.4.

Ografo subjacenteQ¯ do carc´asQ´e um grafo obtido deQsem consid-erar a orienta¸c˜ao das flechas, isto ´e, ¯Q ´e um grafo com os mesmos v´ertices de Q e tal que existe uma aresta entre os v´erticesa e b em ¯Q se existe uma flecha α :a →b ou uma flecha β :b →a. Dizemos que o carc´as Q´econexo se o grafo subjacente ¯Q´e conexo.

Sejam Q = (Q0, Q1, c, f) e a, b ∈ Q0. Um caminho de comprimento

ℓ ≥ 1 com come¸co em a e final em b (ou simplesmente de a para b) ´e uma seq¨uˆencia

(a|α1, α2, . . . , αℓ|b)

onde αk ∈ Q1, para 1 ≤ k ≤ ℓ, c(α1) = a, f(αk) = c(αk+1), para cada

1 ≤ k ≤ ℓ−1, e f(αℓ) = b. Denotamos tal caminho por α1α2. . . αℓ. Al´em

disso, a cada v´ertice a ∈Q0 associamos um caminho de comprimentoℓ = 0 que chamamos caminho trivial e que denotamos por ǫa ou por (a||a).

Dados um carc´as Q e um corpo K a ´algebra de caminhos KQ ´e uma

K-´algebra cujo K-espa¸co vetorial subjacente tem como base o conjunto de todos os caminhos de comprimentoℓ ≥0 emQ. A seguir definimos o produto em KQ nos elementos de sua base. Se γ1 = (a|α1, α2, . . . , αℓ|b) e γ2 =

γ1γ2 =

(a|α1, α2, . . . , αℓ, β1, β2, . . . , βk|d), se b =c

0, caso contr´ario.

Tal produto ´e estendido a qualquer elemento de KQpor linearidade.

Umarela¸c˜aoem Q´e uma combina¸c˜ao K-linear de caminhos de compri-mento maior do que um que tem o mesmo in´ıcio e o mesmo final. Isto ´e, uma rela¸c˜ao ρ´e um elemento de KQ da forma

ρ=

m

X

i=1 λiωi,

onde λi ∈K (n˜ao todos nulos),ℓ(ωi)>1,c(ωi) =c(ωj) e f(ωi) =f(ωj).

Sejam Q um carc´as finito e R o ideal de KQ gerado pelas flechas de Q. Dizemos que um ideal bilateral I de KQ ´eadmiss´ıvel se existe um inteiro

m ≥2, tal que

Rm _{⊆I ⊆R}2_.

Notemos que seQ´e finito e I ´e um ideal admiss´ıvel de KQ, ent˜ao existe um conjunto finito de rela¸c˜oes {ρ1, ρ2, . . . , ρs} tais que I = hρ1, ρ2, . . . , ρsi.

O par (Q, I) ´e chamado carc´as com rela¸c˜oes e a ´algebra quociente KQ/I

associada ao par (Q, I) ´e chamada de ´algebra de caminhos com rela¸c˜oes (Q, I).

At´e aqui dado um carc´asQdefinimos a ´algebraKQa partir deQ. Agora, assumindo queA ´e umaK-´algebra de dimens˜ao finita, b´asica eK um corpo algebricamente fechado vamos construir o carc´asQAa partir deA e veremos

de que forma A eKQA est˜ao relacionadas.

SejaAuma ´algebra b´asica com dimKA <∞,Kalgebricamente fechado e

O carc´as ordin´ario de A, que denotamos por QA, ´e definido da seguinte

forma:

1. Os v´ertices deQAs˜aov1, v2, . . . , vn que est˜ao em correspondˆencia

bije-tora com os idempotentes e1, e2, . . . , en.

2. Dados dois v´ertices vi e vj em (QA)0, fixamos uma base para o K

-espa¸co vetorial ei(rad A/rad2A)ej. As flechas α : vi → vj est˜ao em

correspondˆencia bijetora com os vetores de tal base.

A seguir enunciamos o Teorema de Gabriel que estabelece uma rela¸c˜ao entre ´algebras e seus carcases.

Teorema 1.2.1. (Gabriel) Seja A uma K-´algebra b´asica e conexa de

di-mens˜ao finita, onde K ´e um corpo algebricamente fechado. Ent˜ao existe um

ideal admiss´ıvel I deKQA tal queA ∼=KQA/I. Al´em disso, seψ :KQ→A

´e um epimorfismo com ker ψ admiss´ıvel, ent˜ao Q=QA.

Um epimorfismo como no teorema acima se chama uma apresenta¸c˜ao de A.

1.3

Representa¸c˜

oes e m´

odulos

Ao longo desta se¸c˜ao assumimos que A ´e uma K-´algebra de dimens˜ao finita, b´asica eK um corpo algebricamente fechado e consideraremos em to-dos os casos carcases finitos.

Definimos umarepresenta¸c˜ao K-linear ou, simplesmente, uma repre-senta¸c˜aoM do carc´as Q da seguinte forma:

1. Para cada ponto a∈Q0 associamos umK-espa¸co vetorial Ma.

2. Para cada flecha α : a→b em Q1 associamos uma aplica¸c˜ao K-linear ϕα :Ma→Mb.

Denotamos tal representa¸c˜ao comoM = (Ma, ϕα)a∈Q0,α∈Q1, ou simplesmente

como M = (Ma, ϕα); e diremos que ´e de dimens˜ao finita se cada espa¸co

vetorial Ma ´e de dimens˜ao finita.

Sejam M = (Ma, ϕα) e M′ = (Ma′, ϕ′α) duas representa¸c˜oes de Q. Um

morfismo (de representa¸c˜oes) f :M→M′ _{´e uma fam´ılia f = (f}

a)a∈Q0 deK

-aplica¸c˜oes lineares fa :Ma→Ma′,as quais s˜ao compat´ıveis com as aplica¸c˜oes

ϕα. Isto ´e, para cada flecha α:a→b, vale que

ϕ′

αfa =fbϕα

ou, equivalentemente, cada um dos seguintes quadrados comutam:

Ma ϕα

/

/

fa

Mb

fb

M′

a ϕ′

α

/

Sejamf :M→M′ _{eg :M}′_→M′′_{dois morfismos de representa¸c˜oes deQ,}

onde f = (fa)a∈Q0 e g = (ga)a∈Q0. Definimos a composi¸c˜ao gf : M−→M

′′

como sendo a fam´ılia gf = (gafa)a∈Q0.

Desse modo, temos definido a categoria Rep(Q) de representa¸c˜oes K -lineares de Q. Denotamos por rep(Q) a subcategoria plena de Rep(Q) que consiste das representa¸c˜oes de dimens˜ao finita.

Seja M = (Ma, ϕα) uma representa¸c˜ao de Q. Para um caminho n˜ao

trivial ω = (a|α1, α2, . . . , αℓ|b) em Q, a avalia¸c˜ao de M em ω ´e a fun¸c˜ao

K-linear ϕω : Ma → Mb definida por ϕω =ϕα1ϕα2. . . ϕαℓ. Estendemos esta

defini¸c˜ao para combina¸c˜oes lineares de caminhos. Isto ´e, se ρ =Pm_i=1λiωi ´e

uma rela¸c˜ao, ent˜ao a avalia¸c˜ao de M em ρ ´eϕρ=P m

i=1λiϕωi.

SejaI um ideal admiss´ıvel de KQ. Dizemos que a representa¸c˜ao

M = (Ma, ϕα) de Q satisfaz as rela¸c˜oes em I quando ϕρ = 0, para todo

elemento ρ ∈ I. Notemos que se I ´e gerado pelo conjunto de rela¸c˜oes

{ρ1, ρ2, . . . , ρs}, a representa¸c˜ao M satisfaz as rela¸c˜oes de I se, e somente

se, ϕρi = 0, para todo 1 ≤i≤s.

Uma representa¸c˜ao de (Q, I) ´e uma representa¸c˜ao de Q que satisfaz as rela¸c˜oes de I. Denotamos por RepK(Q, I) a subcategoria de RepK(Q) cujos

objetos s˜ao as representa¸c˜oes de (Q, I) e por repK(Q, I) a subcategoria de

repK(Q) cujos objetos s˜ao as representa¸c˜oes de dimens˜ao finita de (Q, I).

Com as hip´oteses sobre A sabemos, pelo Teorema de Gabriel, que A ´e isomorfa a uma ´algebra de caminhos dada por um carc´as com rela¸c˜oes (Q, I), isto ´e, A ∼= KQ/I. A seguinte proposi¸c˜ao diz que o estudo da categoria

M od A´e equivalente ao da categoria Rep(Q, I).

um ideal admiss´ıvel de KQ. Ent˜ao existe uma equivalˆencia F de categorias

F :M od A→≃ RepK(Q, I)

cuja restri¸c˜ao ´e uma equivalˆencia entre as categorias

F :modA→≃ repK(Q, I).

Demonstra¸c˜ao. Descreveremos o funtor F : M od A→RepK(Q, I). Para

isto diremos como age nos objetos e nos morfismos de M od A.

Sejam a ∈ Q0 e α ∈ Q1. Denotaremos por ea e por α as classes de ǫa e

de α em KQ/I, respectivamente.

Se M ´e um A-m´odulo, definimos F(M) = (Ma, ϕα), onde Ma = M ea

e para α : a → b, seja ϕα : Ma−→Mb dada por ϕα(x) = xα, para todo

x∈Ma.

Se f : M→M′ _{´e um homomorfismo de A-m´odulos, ent˜ao definimos}

F(f) = (fa)a∈Q0, onde fa ´e a restri¸c˜ao de f a Ma = M ea. ´E f´acil

veri-ficar que F ´e uma equivalˆencia de categorias.

A equivalˆencia do teorema anterior permite a identifica¸c˜ao dosA-m´odulos com as representa¸c˜oes K-lineares de (Q, I) e vice versa. Em vista deste fato abusaremos da linguagem n˜ao distinguindo, muitas vezes, osKQ/I- m´odulos das representa¸c˜oes de (Q, I).

1.4

Seq¨

uˆ

encias de Auslander-Reiten

Neste se¸c˜ao vamos enunciar um resultado que surgiu na d´ecada dos 70 e que influenciou definitivamente o desenvolvimento da Teoria de Representa¸c˜ao de ´algebras. Trabalhando basicamente com ´algebras de Artin (uma general-iza¸c˜ao das ´algebras de dimens˜ao finita) M. Auslander e I. Reiten introduzi-ram a no¸c˜ao de seq¨uˆencias quase-cindidas (tamb´em chamadas seq¨uˆencias de Auslander-Reiten). A importˆancia destas seq¨uˆencias reside nos morfismos que as comp˜oem.

Posteriormente os morfismos que aparecem nas mencionadas seq¨uˆencias foram usados por C. M. Ringel para definir um carc´as, conhecido como o carc´as de Auslander-Reiten, que proporciona muita informa¸c˜ao sobre a cat-egoria mod A.

Detalhes dos conceitos aqui mencionados podem ser achados no Cap´ıtulo IV de [4].

Come¸caremos definindo os conceitos relacionados. Sejam M, N, L A-m´odulos em mod A. Ent˜ao:

1. Seja h : M → N um homomorfismo de A-m´odulos. Dizemos que

h ´e uma se¸c˜ao (ou um monomorfismo que cinde) se existe um homomorfismo de A-m´odulos s :N−→M tal que sh = 1M. De outro

lado, dizemos queh´e umaretra¸c˜ao(ou umepimorfismo que cinde) se existe um homomorfismo deA-m´odulosr:N−→M tal quehr = 1N.

3. Um homomorfismo de A-m´odulos g :M → N ´e chamado minimal `a direita se cadak ∈EndA(M) tal que gk =g ´e um automorfismo.

4. Um homomorfismo deA-m´odulos f :L→M ´e dito quase-cindido `a esquerda se:

(a) f n˜ao ´e se¸c˜ao.

(b) Para cada A-homomorfismo u : L → U, que n˜ao ´e se¸c˜ao, existe

u′ _{:M →U tal que u}′_{f =u.}

5. Um homomorfismo deA-m´odulosg :M →N ´e dito quase-cindido `a direita se:

(a) g n˜ao ´e retra¸c˜ao.

(b) Para cadaA-homomorfismov :V →N, que n˜ao ´e retra¸c˜ao, existe

v′ _{:V →M tal que gv}′ _=v.

6. Um homomorfismo de A-m´odulos f :L→M ´e denominado minimal quase-cindido `a esquerda se ´e minimal `a esquerda e quase-cindido `a esquerda.

7. Um homomorfismo deA-m´odulos g :M →N ´e denominado minimal quase-cindido `a direita se ´e minimal `a direita e quase-cindido `a direita.

8. Um homomorfismo h :M−→N de A-m´odulos ´e irredut´ıvel se h n˜ao ´e se¸c˜ao, nem retra¸c˜ao e se h =h1h2 implica que h1 ´e retra¸c˜ao ou que

Dizemos que uma seq¨uˆencia exata curta

0 −−−→ L −−−→f M −−−→g N −−−→ 0

emmod A´e umaseq¨uˆencia quase-cindidaou umaseq¨uˆencia de Auslander-Reiten se L e N s˜ao A-m´odulos indecompon´ıveis e f e g s˜ao morfismos ir-redut´ıveis (ou equivalentemente, se f ´e minimal quase cindido `a esquerda e

g ´e minimal quase cindido `a direita). Teorema 1.4.1. (Auslander-Reiten)

1. Seja M um A-m´odulo indecompon´ıvel n˜ao projetivo. Ent˜ao existe uma

seq¨uˆencia quase-cindida, ´unica a menos de equivalˆencias de seq¨uˆencias

exatas, da forma

0−→M′−→E−→M−→0, em mod A.

2. Seja L um A-m´odulo indecompon´ıvel n˜ao injetivo. Ent˜ao existe uma

seq¨uˆencia quase-cindida, ´unica a menos de equivalˆencias de seq¨uˆencias

exatas, da forma

0−→L−→F −→L′−→0, em mod A.

Sejam X eY A-m´odulos indecompon´ıveis. O K-espa¸co vetorial

Irr(X, Y) = radA(X, Y)/rad2A(X, Y)

onde radA(X, Y) ´e o K-espa¸co vetorial dos homomorfismos n˜ao invert´ıveis

deX emY erad2

gf com f ∈ radA(X, Z) e g ∈ radA(Z, Y), para algum A-m´odulo Z, ´e

de-nominado espa¸co dos morfismos irredut´ıveis deX em Y.

Como X e Y s˜ao A-m´odulos indecompon´ıveis, ent˜ao ´e poss´ıvel provar que a dimens˜ao de Irr(X, Y) ´e igual ao n´umero m´aximo de homomorfismos irredut´ıveis de X em Y, que s˜ao linearmente independentes.

O carc´as de carc´as de Auslander-Reiten da categoria mod A, deno-tado por Γ(mod A), ´e definido da seguinte forma:

1. Os v´ertices de Γ(mod A) s˜ao as classes de isomorfismos [M] de A -m´odulos indecompon´ıveis M.

Seq¨

uˆ

encias de

Auslander-Reiten relativas

M. Auslander e S. Smalø demonstraram em [7] que uma categoria funtorial-mente finita, fechada por somandos diretos e por extens˜oes tem seq¨uˆencias quase-cindidas relativas. Neste cap´ıtulo definiremos as categoriasF(θ),X(θ),

Y(θ) e W(θ), onde θ={θ(1), . . . , θ(n)} ´e um conjunto fixado de A-m´odulos tais que Ext1A(θ(j), θ(i)) = 0, para todo j ≥ i. Demonstraremos que F(θ) ´e

uma subcategoria funtorialmente finita de mod Ae, como conseq¨uˆencia, que

X(θ) admite seq¨uˆencias quase-cindidas relativas.

Todos os resultados aqui contidos foram apresentados por Ringel em [23].

Seja A uma K-´algebra de dimens˜ao finita. Fixamos o conjunto de A -m´odulosθ={θ(1), . . . , θ(n)}com a propriedade de que Ext1A(θ(j), θ(i)) = 0,

para todo j ≥ i. Denotamos por F(θ) a subcategoria plena de mod A cujos objetos s˜ao osA-m´odulos `a direitaM que admitem umaθ-filtra¸c˜ao , isto ´e, os A-m´odulos M tais que existe uma cadeia de subm´odulos

tais que Mi/Mi−1 ∼=θ(k), para algum k∈ {1,2, . . . , n}, para todo i= 1,2, . . . , t.

Denotamos porX(θ) a subcategoria plena de mod A cujos objetos s˜ao os

A-m´odulos que s˜ao somandos diretos de m´odulos em F(θ).

Defini¸c˜ao 2.1.1. Seja X uma subcategoria plena de mod A. Dizemos que

X ´e fechada por somandos diretos se para cada m´odulo X ∈ X todos os somandos diretos deX est˜ao emX. De outro lado, dizemos queX ´efechada por extens˜oesse para qualquer seq¨uˆencia exata0−→X1−→M−→X2−→0, com X1 ∈X e X2 ∈ X, vale que M ∈ X.

Fixado o conjunto θ nas condi¸c˜oes acima, temos claramente que a cat-egoria F(θ) ´e fechada por extens˜oes e que a categoria X(θ) ´e fechada por somandos diretos e por extens˜oes. Por outro lado F(θ) ⊆ X(θ), mas em geral n˜ao coincidem como mostramos no seguinte exemplo.

Exemplo 2.1.2. Sejam K um corpo algebricamente fechado e K-´algebra

A=



KK K0 00

K 0 K



. A ´algebraA´e isomorfa `a ´algebra de caminhosKQ, onde

Q ´e o carc´as

·3 s sggggggg 1· ·2 k k WWWWWWW

Al´em disso, os A-m´odulos projetivos indecompon´ıveis s˜ao os m´odulos asso-ciados `as representa¸c˜oes:

P1 : P2 : P3 :

e os A-m´odulos injetivos indecompon´ıveis s˜ao os m´odulos associados `as rep-resenta¸c˜oes:

I1 : I2 : I3 :

K IdK s sggggggg K K IdK k k WWWWWWW 0 s sgggggggg 0 K k k WWWWWWW K s sggggggg 0 0 k k

WWWWWW_WW .

Mais ainda, rad P2 =rad P3 =P1 =S1.

Seja θ = {θ1, θ2}, onde θ1 = I1 e θ2 = P1. Como θ2 ´e projetivo, ent˜ao Ext1_A(θ2, θ1) = 0. As cadeias 0 ⊂ S1 ⊂ P2 e 0 ⊂ S1 ⊂ P3 s˜ao s´eries de composi¸c˜ao paraP2 eP3, respectivamente. PortantoP2 ∈ F/ (θ) eP3 ∈ F/ (θ). Mas 0 ⊂S1 ⊂P2⊕P3 ´e uma θ-filtra¸c˜ao deP2⊕P3, pois (P2⊕P3)/S1 ∼=I1. Logo P2⊕P3 ∈ F(θ) e, em conseq¨uˆencia, P2 ∈ X(θ) e P3 ∈ X(θ).

Defini¸c˜ao 2.1.3. SejamX uma subcategoria plena demod A e M ∈mod A. 1. UmaX-aproxima¸c˜ao `a direita deM ´e um homomorfismoγ :X→M,

com X ∈ X, tal que para todo homomorfismo γ′ _{: X}′_{→M, com}

X′ _{∈ X, existe um homomorfismo ε : X}′_{→X que torna comutativo}

o seguinte diagrama

X γ //_M

X′_,

ε ` ` BB BB BB BB γ′

O

O

isto ´e, existe um ǫ tal que γ′ _{= γǫ. Dualmente, definimos uma X}

-aproxima¸c˜ao `a esquerda deM como um homomorfismoγ :M→X,

com X ∈ X, tal que para todo homomorfismo γ′ _{: M→X}′_{, com}

o seguinte diagrama

M γ //

γ′

X

ε

~

~|||| ||||

X′_,

isto ´e, existe um ǫ tal que γ′ _=ǫγ.

2. Dizemos que a categoria X ´econtravariantemente finita em mod A

se todoM emmod Aadmite umaX-aproxima¸c˜ao `a direita. Dualmente,

dizemos que X ´e covariantemente finita em mod A se todo M em

mod A admite uma X-aproxima¸c˜ao `a esquerda. Finalmente, dizemos

que X ´e uma categoria funtorialmente finita em mod A quando ´e

covariantemente finita e contravariantemente finita em mod A.

Defini¸c˜ao 2.1.4. Seja X uma subcategoria plena demod A. Denotamos por

YX a subcategoria dos m´odulos Y ∈ mod A tais que Ext1A(X, Y) = 0, para

todo X ∈ X.

Lema 2.1.5. SejaM ∈mod Ae suponhamos que existe uma seq¨uˆencia exata

0−→Y −→X−→γ M−→0,

com X ∈ X e Y ∈ YX. Ent˜ao γ ´e umaX-aproxima¸c˜ao `a direita de M.

Demonstra¸c˜ao. Seja γ′ _{: X}′_{−→M um homomorfismo com X}′ _{∈ X.}

Constru´ımos o diagrama de pull-back

0 −−−→ Y −−−→ E −−−→r X′ _{−−−→ 0}

r′

 

y yγ′

Como Ext1_A(X′_{, Y) = 0, pois X}′ _{∈ X e Y ∈ Y}

X, ent˜ao r ´e um epimorfismo

que cinde e, portanto, existe t:X′ _{→E tal que o seguinte diagrama comuta}

X′

t

~

~}}}}

}}}} id_X′

E r //_X′ _//0.

Seja ǫ=r′_t:X′_{−→X. Pela comutatividade do diagrama acima, temos que,}

γǫ=γ′_{. Logo γ ´e uma X-aproxima¸c˜ao `a direita de M.}

Lema 2.1.6. Seja X uma subcategoria de mod A fechada por extens˜oes e tal que para todo N ∈mod A existe uma seq¨uˆencia exata

0−→N−→Y(N)−→X(N)−→0,

com X(N) _{∈ X e Y}(N) _{∈ Y}

X. Ent˜ao todo m´odulo M em mod A admite uma

X-aproxima¸c˜ao `a direita.

Demonstra¸c˜ao. Seja M ∈ mod A. Consideramos primeiramente o caso em existe um epimorfismo π : X−→M com X ∈ X. Seja P = Ker π. Por hip´otese, existe uma seq¨uˆencia exata 0−→P −→Y(P)_−→X(P)_{−→0, com} Y(P) _{∈ Y}

X e X(P)∈ X. Se

P −−−→ Y(P)

  y

  y

X −−−→ Z

0 0

  y

  y

0 −−−→ P −−−→ Y(P) _{−−−→ X}(P) _{−−−→ 0}

 

y y

0 −−−→ X −−−→ Z −−−→ X(P) _{−−−→ 0}

  yπ

  yγ

M M

  y

  y

0 0.

Como X e X(P) _{est˜ao em X e X ´e fechada por extens˜oes, ent˜ao Z ∈ X.}

De outro lado, aplicando o lema anterior `a seq¨uˆencia da segunda coluna do diagrama, temos que γ :Z−→M ´e uma X-aproxima¸c˜ao `a direita de M.

Para o caso geral consideramos o A-m´odulo M′ _{gerado pelas imagens}

Im φ, onde φ : W−→M, para todo W ∈ X. O m´odulo M′ _{´e conhecido}

como o tra¸co de X em M. Sob as nossas hip´oteses, existe um n´umero finito

m de morfismos πi : Wi→M, com Wi ∈ X, tais que as imagens de πi

geram M′_{. Como X ´e uma categoria fechada por somas diretas (pois ´e}

fechada por extens˜oes), ent˜ao temos queX =⊕m

i=1Wi ∈ X e o homomorfismo

ψ : X−→M′ _{definido por ψ(x1 +. . .+x}

n) = π1(x1) +. . .+πm(xm) ´e um

epimorfismo. Portanto, pela primeira parte, existe uma X-aproxima¸c˜ao `a direita de M′_{, γ}′ _{: Z−→M}′_{. Se i : M}′_{−→M ´e a inclus˜ao, ent˜ao iγ}′ _:

Z−→M ´e uma X-aproxima¸c˜ao `a direita de M.

θ = {θ(1), . . . , θ(n)} de A-m´odulos `a direita, com a propriedade de que Ext1_A(θ(j), θ(i)) = 0, para todo j ≥i.

Observemos que seX =F(θ), ent˜ao podemos caracterizarYX da Defini¸c˜ao

2.1.4, que denotamos porY(θ), como a subcategoria plena demod Aformada pelos m´odulos Y tais que Ext1A(θ(j), Y) = 0, para todo 1 ≤ j ≤ n. Para o

conjunto θ fixado temos o seguintes lemas ´uteis para o objetivo do cap´ıtulo. Lema 2.1.7. Dado um t∈ {1,2, . . . , n}, seja N um A-m´odulo tal que, para todo j > t, Ext1A(θ(j), N) = 0. Ent˜ao existe uma seq¨uˆencia exata

0−→N−→Nt−→Qt−→0,

onde Qt´e uma soma de c´opias de θ(t) eExt1A(θ(j), Nt) = 0, para todo j ≥t.

Demonstra¸c˜ao. Para cada t sejam

ǫs= (0 −−−→ N fs

−−−→ Ts gs

−−−→ θ(t) −−−→ 0),

para 1 ≤ s ≤ m, as seq¨uˆencias exatas tais que as correspondentes classes de equivalˆencias [ǫ1], . . . ,[ǫm] geram o espa¸co Ext1A(θ(t), N). Consideremos o

seguinte diagrama comutativo:

0 −−−→ Nm _{−−−→ ⊕}f m s=1Ts

g

−−−→ θ(t)m _{−−−→ 0} k   y u   y

(∗) 0 −−−→ N −−−→v Nt

w

−−−→ θ(t)m _{−−−→ 0,}

onde

f =

  

f1 0

. ..

0 f

  , g =

  

g1 0

. ..

0 g

 

e o quadrado

Nm _{−−−→ ⊕}f m s=1Ts k   y u   y

N −−−→v Nt

´e o push-out deN ←k Nm f_{→ ⊕}m s=1Ts.

Vamos mostrar que a seq¨uˆencia (∗) ´e a seq¨uˆencia desejada. Primeira-mente, mostraremos que para cadas, 1≤s≤m, vale queǫs = Ext1A(us, A)ǫ,

onde us : θ(t) → θ(t)m ´e a inclus˜ao natural na s-´esima coordenada e ǫ ´e o

elemento de Ext1A(θ(t)m, N) representado pela seq¨uˆencia (∗). Para isto,

con-sideramos o diagrama abaixo, que ´e comutativo 0 −−−→ N fs

−−−→ Ts

gs

−−−→ θ(t) −−−→ 0

u′′

s

 

y u′

s

 

y us

  y

0 −−−→ Nm _{−−−→ ⊕}f m s=1Ts

g

−−−→ θ(t)m _{−−−→ 0} k   y u   y

(∗) 0 −−−→ N −−−→v Nt

w

−−−→ θ(t)m _{−−−→ 0,}

onde u′

s e u′′s indicam as respectivas inclus˜oes na s-´esima coordenada. Desde

que ku′′

s = 1N, resulta que ´e comutativo o seguinte diagrama:

0 −−−→ N fs

−−−→ Ts gs

−−−→ θ(t) −−−→ 0

uu′ s  

y us

  y

(∗) 0 −−−→ N −−−→v Nt w

−−−→ θ(t)m _{−−−→ 0.}

E a afirma¸c˜ao sobre cada ǫs est´a verificada.

Vamos mostrar agora que Ext1A(θ(j), Nt) = 0, para cada j ≥ t. Para

tanto, apliquemos o funtor HomA(θ(j), ) para j ≥ t `a seq¨uˆencia (∗).

Como Ext1A(θ(j), θ(t)m) = 0, para cada j ≥t, obtemos a seq¨uˆencia exata:

(∗∗) HomA(θ(t), θ(t)m) δt

para j ≥ t. Desde que, por hip´otese, Ext1_A(θ(t), N) = 0, para cada j > t, segue imediatamente da seq¨uˆencia (∗∗) que Ext1_A(θ(t), Nt) = 0, para cada

j > t.

Vejamos ent˜ao paraj =t. Como visto acima ǫs = Ext1A(us, A)ǫ=δt(us),

ou seja que os elementos geradores do espa¸co Ext1A(θ(t), N) est˜ao na imagem

do homomorfismo de conex˜aoδt, o que implica queδt´e sobrejetor. Logo, pela

seq¨uˆencia (∗∗), temos que Ext1A(θ(t), Nt) = 0. Portanto, Ext1A(θ(j), Nt) = 0,

para cada j ≥t.

Lema 2.1.8. Dado um t∈ {1,2, . . . , n}, seja N um A-m´odulo tal que, para todo j > t, Ext1_A(θ(j), N) = 0. Ent˜ao existe uma seq¨uˆencia

0−→N−→Y −→X−→0,

com X ∈ F(θ(1), . . . , θ(t)) e Y ∈ Y(θ).

Demonstra¸c˜ao. Seja N um A-m´odulo tal que Ext1A(θ(j), N) = 0, para

todo j > t. Ent˜ao, pelo lema anterior, existem um A-m´odulo Qt ∼= θ(t)αt,

para algum inteiro αt ≥0, e uma seq¨uˆencia exata

0 −−−→ N =Nt+1

µt

−−−→ Nt −−−→ Qt −−−→ 0,

ondeNt´e tal que Ext1A(θ(j), Nt) = 0, paraj ≥t+ 1. Da mesma forma existe

uma seq¨uˆencia exata

0 −−−→ Nt µt−1

−−−→ Nt−1 −−−→ Qt−1 −−−→ 0,

Dessa forma constru´ımos indutivamente uma fam´ılia de seq¨uˆencias:

0 −−−→ Ni µi−1

−−−→ Ni−1 −−−→ Qi−1 −−−→ 0,

com Ext1A(θ(j), Ni) = 0, para todo j ≥ i, e Qi ∼= θ(i)αi. Assim obtemos a

cadeia de monomorfismos

Nt+1

µt

−−−→ Nt µt−1

−−−→ · · · µ1

−−−→ N1.

Sejam µ = µt. . . µ1 : N→N1, Y = N1 e X = coker(µ). Ent˜ao obtemos

seq¨uˆencia exata

0 −−−→ N −−−→µ Y −−−→ X −−−→ 0

que satisfaz as propriedades requeridas. De fato, pois Y = N1 ∈ Y(θ) e como na cadeia de inclus˜oes Nt+1/N ⊆ Nt/N ⊆ . . . N2/N ⊆ N1/N = Y

vale que (Ni/N)/(Ni+1/N) ∼= Ni/Ni+1 ∼= Qi, para todo 1 ≤ i ≤ t, ent˜ao

X ∈ F(θ(1), . . . , θ(t)).

No lema anterior, o casot =n ´e de particular interesse e o formulamos a seguir.

Lema 2.1.9. Seja N ∈mod A. Ent˜ao existe uma seq¨uˆencia exata

0−→N−→Y −→X−→0,

com X ∈ F(θ) e Y ∈ Y(θ).

Teorema 2.1.10. A subcategoria F(θ)´e funtorialmente finita em mod A.

Demonstra¸c˜ao. O Lema 2.1.9 garante a existˆencia de seq¨uˆencias do tipo

0−→N−→Y −→X−→0,

com X ∈ F(θ) e Y ∈ Y(θ), para cada A-m´odulo N em mod A. Por outro lado, podemos concluir pelo Lema 2.1.6 que todoA-m´odulo emmod Aadmite uma F(θ)-aproxima¸c˜ao `a direita, isto ´e, que F(θ) ´e contravariantemente finita em mod A. De outro lado, como as vers˜oes duais dos lemas anteriores s˜ao v´alidas, conclu´ımos que F(θ) ´e tamb´em uma categoria covariantemente finita em mod A.

SeX ´e uma categoria plena demod Aarbitr´aria denotamos porWX a

sub-categoria plena de mod A formada pelos m´odulosW tais que Ext1_A(W, X) = 0, para todoX ∈ X. Em particular, se X =F(θ) podemos caracterizarWX,

que neste caso denotamos por W(θ), como a subcategoria plena de mod A

dos m´odulos W tais que Ext1A(W, θ(j)) = 0, para todo 1≤j ≤n.

Proposi¸c˜ao 2.1.11. As categorias Y(θ) e W(θ) s˜ao contravariantemente finita e covariantemente finita em mod A, respectivamente.

Demonstra¸c˜ao. S´o mostraremos a primeira afirma¸c˜ao, pois a segunda tem demonstra¸c˜ao dual. Em virtude do Lema 2.1.9, temos que para cada

A-m´odulo N existe uma seq¨uˆencia exata 0−→N−→β Y −→X−→0, com

Como foi comentado antes, uma conseq¨uˆencia importante deste teorema ´e que X(θ) tem seq¨uˆencias quase-cindidas relativas. Descrevemos o que isto significa de forma precisa nas defini¸c˜oes que seguem, e que podem ser encon-tradas em [7].

Defini¸c˜ao 2.1.12. Sejam C uma subcategoria de mod A e X um A-m´odulo

em C. Dizemos que X ´e Ext-projetivo ou relativamente projetivo em

C se Ext1_A(X, Y) = 0, para todo Y em C. De forma dual, dizemos que X

´e Ext-injetivo ou relativamente injetivo em C se Ext1_A(Y, X) = 0, para todo Y em C.

Defini¸c˜ao 2.1.13. Seja C uma subcategoria de mod A. Dizemos que:

1. Um homomorfismo de A-m´odulos f : L →M em C ´e quase-cindido

`

a esquerda em C se:

(a) f n˜ao ´e um monomorfismo que cinde.

(b) Para cada A-homomorfismo u : L → U em C, que n˜ao ´e um

monomorfismo que cinde, existeu′ _{:M →U emC tal queu}′_{f =u;}

isto ´e, existe um u′ _{que torna comutativo o seguinte diagrama:}

L

u

f

/

/_M

u′

~

~|||| ||||

U.

2. Um homomorfismo de A-m´odulos g :M →N em C ´e quase-cindido

`

a direita em C se:

(b) Para cada A-homomorfismo v : V → N em C, que n˜ao ´e um epimorfismo que cinde, existe v′ _{: V → M em C tal que gv}′ _{= g;}

isto ´e, existe um v′ _{que torna comutativo o seguinte diagrama:}

V

v′

}

}{{{{ {{{{ v

M g //_N.

3. C admite homomorfismos quase-cindidos `a direita se para cada m´odulo indecompon´ıveil C em C existe um m´odulo B em C e um

ho-momorfismo f : B → C que ´e quase-cindido `a direita em C. De

forma dual, dizemos queC admite homomorfismos quase-cindidos

`

a esquerda quando para todo m´odulo indecompon´ıvel C em C existe

um m´odulo D em C e um homomorfismo g : C → D que ´e

quase-cindido `a esquerda. Finalmente dizemos que C admite

homomorfis-mos quase-cindidos se admite tanto homomorfismos quase-cindidos

`a esquerda quanto homomorfismos quase-cindidos `a direita.

4. C admite seq¨uˆencias quase-cindidas ou que admite seq¨uˆencias de Auslander-Reiten relativas se:

(a) C admite homomorfismos quase-cindidos.

(b) Para todo m´odulo indecompon´ıvelCemC, que n˜ao ´e Ext-projetivo, existe uma seq¨uˆencia exata

0−→A−→f B−→g C−→0,

(c) Para todo m´odulo indecompon´ıvelAem C, que n˜ao ´e Ext-injetivo, existe uma seq¨uˆencia exata

0−→A−→f B−→g C−→0,

com f quase-cindida `a esquerda em C e g quase-cindida `a direita em C.

Como conseq¨uˆencia dos resultados anteriores temos a seguinte proposi¸c˜ao. Proposi¸c˜ao 2.1.14.A categoriaX(θ)admite seq¨uˆencias de Auslander-Reiten relativas.

Demonstra¸c˜ao. Seja M ∈ mod A. Como F(θ) ´e funtorialmente finita, pelo Teorema 2.1.10, consideremos γ : X−→M uma F(θ)-aproxima¸c˜ao `a direita de M. Vamos mostrar que γ ´e na verdade uma X(θ)-aproxima¸c˜ao `a direita de M. Claramente X ∈ X(θ). Seja δ : Y −→M um homomorfismo qualquer em mod A, comY ∈ X(θ). Da defini¸c˜ao de X(θ), temos que existe um m´odulo Y′ _{tal que Y ⊕Y}′ _{∈ X(θ). Seja o homomorfismo δπ : Y ⊕}

Y′_{−→M, onde π denota a proje¸c˜ao canˆonica de Y ⊕Y}′ _{sobre Y. Como γ}

´e uma F(θ)-aproxima¸c˜ao `a direita de M, existe ǫ1 : Y ⊕Y′_{−→X tal que}

γǫ1 =δπ. Seja ǫ=ǫ1i, onde i´e a inclus˜ao natural de Y em Y ⊕Y′_{. Temos}

pois que γǫ = δ. Logo γ ´e uma X(θ)-aproxima¸c˜ao `a direita de M. Al´em disso, como X(θ) ´e fechada por extens˜oes e por somandos diretos, por [7] (Teorema 2.4), resulta que X(θ) admite seq¨uˆencias quase-cindidas relativas.

´

Algebras estandarmente

estratificadas e ´

algebras quase

heredit´

arias

As ´algebras quase-heredit´arias foram introduzidas por E. Cline, B. Parshall e L. Scott, em [9] e [10], no contexto da teoria alg´ebrica de grupos e da representa¸c˜ao das ´algebras de Lie complexas, semisimples de dimens˜ao finita, mais precisamente no estudo da categoria dos pesos m´aximos. Mais tarde em [11] os mesmos autores introduziram um conceito mais geral: as ´algebras estandarmente estratificadas.

As ´algebras quase-heredit´arias n˜ao s˜ao nada mais do que as ´algebras es-tandarmente estratificadas de dimens˜ao global finita. O principal exemplo, onde elas aparecem, ´e a categoriaO de Berstein, Gelfand e Gelfand associada com a decomposi¸c˜ao triangular de uma ´algebra de Lie complexa, semisim-ples de dimens˜ao finita. Um outro exemplo s˜ao as chamadas ´algebras de Auslander.

Tais m´odulos dependem de forma essencial da ordem fixada para o conjunto de m´odulos simples.

Os resultados aqui apresentados est˜ao contidos em [13], [15], [24] e [23]. Ao longo deste cap´ıtuloK denotar´a um corpo algebricamente fechado, A

uma K-´algebra b´asica, conexa e com dimens˜ao finita sobre K. Al´em disso,

mod A denotar´a a categoria dos A-m´odulos `a direita finitamente gerados.

3.1

Sobre o grupo de Grothendieck

´

E de nosso interesse o estudo dos fatores de composi¸c˜ao de m´odulos de com-primento finito. Para isto estudaremos o grupo de Grothendieck, que ´e um grupo bastante especial sob este ponto de vista, pois ele cont´em toda in-forma¸c˜ao a respeito dos fatores de composi¸c˜ao da categoria de m´odulos fini-tamente gerados. Os resultados apresentados nesta se¸c˜ao poderam ser en-contrados em [4].

Seja A uma K-´algebra e {e1, e2, ..., en} um conjunto completo de

idem-potentes primitivos ortogonais de A. Se A = ⊕n

i=1eiA, ent˜ao os A-m´odulos

Pi =eiAeIi =D(Aei),i= 1, . . . , n, denotam, respectivamente, a cobertura

projetiva e a envolvente injetiva de do simples Si ∼=top Pi ∼=Soc Ii.

Lembramos que, dado M ∈ mod A e um elemento idempotente e ∈ A, vale que HomA(eA, M)∼=M e. Em particular EndA(Si)∼=ei(top A)ei.

Sejae= (e1, e2, ..., e_n) um conjunto completo e ordenado de idempotentes

primitivos ortogonais de A. A ordem fixada e determina uma ordena¸c˜ao

no conjunto dos A-m´odulos simples Si, bem como no de suas coberturas

Defini¸c˜ao 3.1.1. Seja M ∈ mod A. Definimos o vetor dimens˜ao de M

como vetor de Zn_{, denotado por dimM, dado por}

dimM =

  

dimKM e1

...

dimKM en

  ,

onde {e1, . . . , en}´e um conjunto completo de idempotentes primitivos

ortog-onais de A.

Assim o vetor dimSi, de cada simples Si, ´e o i-´esimo vetor da base

canˆonica de Zn. De outro lado, como temos que HomA(Pi, M) ∼= M ei e

que DHomA(M, Ii)=∼ DHomAop(Ae_i, M) =∼D(e_iDM) ∼=D(DM)e_i ∼=M e_i,

podemos reescrever o vetor dimM das seguintes formas:

dimM =

  

dimK HomA(P1, M)

...

dimK HomA(Pn, M)

  =   

dimK HomA(M, I1)

...

dimK HomA(M, In)

  .

Observa¸c˜ao 3.1.2. Se 0−→L−→M−→N−→0 ´e uma seq¨uˆencia exata em

modA, ent˜ao dimM = dimL+ dimN.

Defini¸c˜ao 3.1.3. Seja A uma K-´algebra, b´asica e de dimens˜ao finita

so-bre K. Chama-se grupo de Grothendieck de mod A o grupo abeliano

K0(A) = F/F′_{, onde F ´e o grupo abeliano livre cuja base ´e o conjunto de}

classes de isomorfismos M˜ dos m´odulos M em modA e F′ _{´e o subgrupo de}

F gerado pelos elementos M˜ −L˜−N˜ correspondentes `as seq¨uˆencias exatas

0−→L−→M−→N−→0 em modA.

Denotaremos por [M] a imagem da classe de isomorfismo ˜M do m´odulo

M pelo epimorfismo canˆonico de grupos F −→ F/F′ _{e por [M : S}

i] ao

A proposi¸c˜ao abaixo fornece uma caracteriza¸c˜ao do grupo K0(A), cuja

demonstra¸c˜ao pode ser encontrada em [4].

Proposi¸c˜ao 3.1.4.SejamAumaK-´algebra, b´asica, de dimens˜ao finita sobre

K e {S1, . . . , Sn} um conjunto completo de classes de isomorfismo de A

-m´odulos simples `a direita. Ent˜ao, o grupo de Grothendieck K0(A) de modA

´e um grupo abeliano livre com uma base dada por{[S1], . . . ,[Sn]} e existe um

´

unico isomorfismo de grupos dado por

dim :K0(A)−→Zn

tal que, dim([M]) = dimM para todoA-m´odulo M.

Corol´ario 3.1.5. Seja X umA-m´odulo. Ent˜ao, para cadaj = 1, . . . , n, vale que

[M :Sj] = dimK HomA(Pj, M) = dimK HomA(M, Ij).

Em particular, usando os vetores dimens˜ao dosA-m´odulos projetivos (ou injetivos) indecompon´ıveis obtemos uma matriz de coeficientes inteiros, que ´e conhecida como matriz de Cartan de A.

Defini¸c˜ao 3.1.6.SejamAumaK-´algebra, b´asica de dimens˜ao finita sobreK

e {e1, . . . , en} um conjunto completo de idempotentes primitivos e ortogonais

de A. A matriz de Cartande A ´e a matriz n×n

CA=

  

c11 · · · c1n

... ... ...

c1n · · · cnn

onde cij = dimK ejAei para i, j = 1, . . . , n.

Observemos que, como ejAei ∼= HomA(Pi, Pj) ∼= HomA(Ii, Ij), cada

en-trada cji deCAcorresponde ao n´umero de homomorfismos linearmente

inde-pendentes de Pi a Pj e ao n´umero de homomorfismos linearmente

indepen-dentes de Ii aIj.

3.2

M´

odulos estandares e coestandares

Introduziremos aqui os conceitos fundamentais dem´odulos estandaresem´odulos coestandares. Caracterizaremos estes m´odulos atrav´es dos seus fatores de composi¸c˜ao e apresentaremos algumas de suas propriedades b´asicas, que po-dem ser consultadas em [15].

Sejam A uma K-´algebra e e = (e1, e2, ..., e_n) um conjunto ordenado e

completo de idempotentes ortogonais e primitivos de A. Para cadai, 1≤i≤n, denotamos por εi o idempotente

εi =ei+ei+1+. . .+en

e definimos εn+1 = 0.

Das observa¸c˜oes da se¸c˜ao anterior, temos que s˜ao v´alidos os isomorfismos

⊕n

j=iPj ∼=εiA e EndA(εiA)∼=εiAεi ∼= EndA(Aεi).

Defini¸c˜ao 3.2.1. Dados os A-m´odulos X e Y, definimos otra¸co de Y em

X , que denotamos por τY(X), como o subm´odulo de X gerado pelas imagens

dos homomorfismos de Y em X, isto ´e, τY(X) = hImϕ:ϕ ∈HomA(Y, X)i.

Observa¸c˜ao 3.2.2. Sejam f ∈A um idempotente e X ∈mod A. Ent˜ao

De fato, sejam f ∈ A um idempotente e ϕ ∈ HomA(f A, X). Ent˜ao

ϕ(f a) = ϕ(f2_{a) = ϕ(f)f a∈Xf A, para todoa∈A. Al´em disso, sex∈X e} ϕx ∈HomA(f A, X) ´e tal queϕx(f a) =xf a, ent˜ao Im ϕx =xf A e portanto

< Imϕx :x∈X >=Xf A.

Em particularτPi(X) = XeiAeτεiA(X),=XεiA,para cadai= 1,2, . . . , n.

Daqui em diante, para facilitar a escrita, denotaremos por Ui o m´odulo

τεi+1A(Pi) e para um m´odulo X ∈ mod A qualquer denotamos por X

(i) _o

m´odulo τεiA(X).

Enunciaremos o seguinte Lema que ´e bem ´util. Lema 3.2.3. Sejam Y, Z em mod A. Ent˜ao

1. τY(Z) ´e o subm´odulo maximal de Z tal que existe um epimorfismo

ξ :Ym_−→τ

Y(Z), com m ≥1.

2. Se HomA(Pj, Z/Z(k))6= 0, ent˜ao j < k.

Demonstra¸c˜ao.

1. Seja{f1, f2, . . . , fm}uma base de HomA(Y, Z) = HomA(Y, τY(Z)) como

K-espa¸co vetorial. Afirmamos que o homomorfismo ξ :Ym_−→τ Y(Z)

definido por ξ(y1,· · · , ym) = f1(y1) +. . .+fm(ym) ´e um epimorfismo.

De fato, se x ∈ τY(Z), ent˜ao existem f ∈ HomA(Y, Z) e y ∈ Y tais

que f(y) = x. Mas f = Pm_i=1λifi, logo x = f(y) = P_im₌₁λifi(y) =

Pm

i=1fi(λiy) = ξ(λ1y1, . . . , λmym). Claramente τY(Z) ´e maximal com

2. Seja j ≥k. Consideremos a seq¨uˆencia exata 0−→Z(k) i

−→Z−→π Z/Z(k)_−→0,

onde i e π s˜ao a inclus˜ao e a proje¸c˜ao canˆonica, respectivamente, e apliquemos o funtor HomA(Pj, ). Como Ext1A(Pj, M) = 0, obtemos

a seguinte seq¨uˆencia exata

0−→ HomA(Pj, Z(k))−→ HomA(Pj, Z)−→ HomA(Pj, Z/Z(k))−→0.

Portanto, se f ∈ HomA(Pj, Z/Z(k)), ent˜ao existe g ∈ HomA(Pj, Z) tal

que πg=f. Mas Im g ⊆ker π=Z(k)_{, logo πg=f = 0.}

Defini¸c˜ao 3.2.4. Seja e= (e1, e2, ..., e_n) uma ordem fixada de um conjunto

ordenado e completo de idempotentes ortogonais e primitivos {e1, e2, ..., en}

de A. A seq¨uˆencia △= (△1,△2, . . . ,△n) de m´odulos estandares `a

dire-ita , com respeito `a ordem e, ´e dada por

△i =Pi/τεi+1A(Pi) =Pi/eiAεi+1A∼=eiA/eiAεi+1A, (Ver a Observa¸c˜ao 3.2.2) .

Similarmente, a seq¨uˆencia △o _{= (△}o

1,△o2, . . . ,△on) de A-m´odulos estandares

`a esquerda est´a dada por△o

i ∼=Aei/Aεi+1Aei e a seq¨uˆencia▽= (▽1,▽2, . . . ,▽n)

dosA-m´odulos coestandares `a direitapor▽i = HomK(△oi, K) = D(△ o i).

Da defini¸c˜ao acima conclu´ımos que, independentemente da ordem fixada,

△n ´e umA-m´odulo projetivo e▽n ´e umA-m´odulo injetivo.

Lema 3.2.5. Para cada i = 1,2, . . . , n, △i ´e o m´odulo quociente maximal

de Pi tal que se [△i : Sj] 6= 0 ent˜ao j ≤ i. Dualmente, ▽i ´e o subm´odulo

maximal de Ii tal que se[▽i :Sj]6= 0 ent˜ao j ≤i.

Demonstra¸c˜ao. Provaremos a primeira afirma¸c˜ao, pois a segunda ´e a sua dual. O fato de que os fatores de composi¸c˜ao de △i s˜aoSj comj ≤idecorre

do Corol´ario 3.1.5 e do Lema 3.2.3.

Suponhamos queN ⊆Pi ´e um A-m´odulo tal que [Pi/N :Sk]6= 0 implica

que k ≤ie que j > i. Desde que a sequˆencia

0−→ HomA(Pj, N)−→ HomA(Pj, Pi)−→ HomA(Pj, P i/N)−→0

´e exata e, pelo Corol´ario 3.1.5, temos que HomA(Pj, Pi/N) = 0, ent˜ao

HomA(Pj, N)∼= HomA(Pj, Pi). Isto ultimo significa que seφ ∈HomA(Pj, Pi),

ent˜ao existe h ∈HomA(Pj, N) tal que φ=ih. Portanto Imφ=Im ih⊆N,

o que nos permite concluir que Ui ⊆N.

Observa¸c˜ao 3.2.6. O Corol´ario 3.1.5 e o Lema 3.2.5 garantem que, para

i= 1,2, . . . , n, HomA(Pi,▽j) = 0 se j < i e que HomA(△j, Ii) = 0 se j < i.

Vejamos o lema abaixo que ser´a ´util para estabelecer algumas rela¸c˜oes entre a seq¨uˆencia dos m´odulos estandares e a seq¨uˆencia dos m´odulos coes-tandares.

Lema 3.2.7. Seja X em mod A. Ent˜ao:

1. Se HomA(△i, X)6= 0, ent˜ao [X :Si]6= 0.

Demonstra¸c˜ao.

1. Seja ψ ∈HomA(△i, X), ψ 6= 0. Se π : Pi → △i ´e a proje¸c˜ao canˆonica,

ent˜ao ψπ ∈ HomA(Pi, X) e ψπ 6= 0, pois π ´e um epimorfismo. Ent˜ao,

de acordo com o Corol´ario 3.1.5, Si ´e um fator de composi¸c˜ao de X.

2. Se aplicamos o funtor HomA( , X) `a seq¨uˆencia exata

0−→Ui−→Pi−→ △i −→0, (3.1)

obtemos a seq¨uˆencia exata longa

· · · −→ HomA(Ui, X)−→ Ext1A(△i, X)−→ Ext1A(Pi, X)−→ · · ·.

Como Ext1A(Pi, X) = 0, para todoi, basta mostrar que HomA(Ui, X) =

0, para i ≥j. Para tal seja φ ∈HomA(Ui, X), com φ 6= 0. Pelo Lema

3.2.3 existe um epimorfismo ξ : (Ln_l=i+1Pl)m→Ui e portanto φξ 6= 0.

Logo existe um homomorfismo ξk : Pk → X, com ξk 6= 0, para algum

i+ 1 ≤ k ≤ n. Portanto Sk ´e fator de composi¸c˜ao de X para algum

k > i.

Como conseq¨uˆencia obtemos as seguintes propriedades.

Proposi¸c˜ao 3.2.8. (Propriedades dos m´odulos estandares e

coes-tandares)

1. HomA(△i,△j) = 0 se j < i .

3. HomA(△i,▽j)6= 0 se, e somente se, j =i .

4. Ext1A(△i,▽j) = 0, para todo 1≤i, j ≤n.

Demonstra¸c˜ao.

1. Decorre do Lema 3.2.7 (1) com X =△j.

2. Suponhamos que Ext1A(△i,△j)6= 0. Pelo Lema 3.2.7 (2) o m´odulo Sk

´e fator de composi¸c˜ao de△j, para algumk > i. Logo, pelo Lema 3.2.5,

resulta que k < i e portanto i < j.

3. Suponhamos que HomA(△i,▽j) 6= 0. Seja ǫ ∈ HomA(△i,▽j), com

ǫ 6= 0. Como Soc Im(ǫ) ⊆ Soc▽j = Sj, segue que Soc Im(ǫ) = Sj.

Assim Sj ´e fator de composi¸c˜ao de ▽j, e portanto, pelo Lema 3.2.5,

j ≤ i. De outro lado Si = top△i ´e um fator de composi¸c˜ao de ▽j e

portanto i ≤ j, pelo Lema 3.2.5. Para a rec´ıproca, suponhamos que

i = j. Aplicamos o funtor HomA( ,▽i) na seq¨uˆencia exata (3.1) e

obtemos

0−→ HomA(△i,▽i)−→ HomA(Pi,▽i)−→ HomA(Ui,▽i)−→ · · · .

Afirmamos que HomA(Ui,▽i) = 0. De fato, suponhamos, ao contr´ario,

que exista η : Ui−→ ▽i, η 6= 0. Como pelo Lema 3.2.3 existe um

epimorfismo ξ : (Ln_l=i+1Pl)m−→Ui, ent˜ao a composta ηξ 6= 0.

Por-tanto existe um homomorfismo ξk : Pk−→ ▽i, com ξk 6= 0 , para

algum i+ 1≤k ≤n, o qual em vista do Lema 3.2.5, ´e absurdo. Con-clu´ımos ent˜ao que HomA(△i,▽i) ∼= HomA(Pi,▽i). Por outro lado,

como ▽i ⊂ Ii, temos pelo Lema 3.1.5 que HomA(Pi,▽i) 6= 0 e logo

4. Para j ≤i, aplicamos HomA( ,▽j) `a (3.1) e obtemos

· · · −→ HomA(Ui,▽j)−→ Ext1A(△i,▽j)−→ Ext1A(Pi,▽j)−→ · · ·.

Como Ext1A(Pi,▽j) = 0, basta provar que HomA(Ui,▽j) = 0, e para

isto se procede da mesma forma que no Lema 3.2.7(2).

Para j > i, aplicando HomA( , K) `a seq¨uˆencia de A-m´odulos `a

di-reita 0−→Aεj+1Aej−→Aej−→ △oj −→0,obtemos a seq¨uˆencia deA

-m´odulos `a esquerda 0−→D(△o

j)−→D(Aej)−→D(Aεj+1Aej)−→0

que pode ser reescrita na forma

0−→ ▽j −→Ij−→Vj−→0, (3.2)

pois D(△o

j) = ▽j e Ij ∼=D(Aej). Para concluir, se procede de forma

an´aloga ao caso anterior aplicando HomA(△i, ) em (3.2).

Observa¸c˜ao 3.2.9. Os m´odulos△i, para 1≤i≤n, s˜ao indecompon´ıveis.

De fato, desde que cada A- m´odulos projetivo indecompon´ıvel Pi = eiA

tem topoSi, que ´e umA-m´odulo simples, segue quetop△i =top(Pi/Ui) =Si

´e simples e, por isso, cada △i ´e indecompon´ıvel.

3.3

As categorias

F

(△)

e

F

(▽)

Sejam △e ▽ as sequˆencias de m´odulos estandares e coestandares, respecti-vamente, para uma ordem fixadae= (e1, e2, ..., e_n) de um conjunto completo

Apresentaremos nesta se¸c˜ao algumas propriedades b´asicas das categorias

F(△) e F(▽). Em particular, que elas s˜ao funtorialmente finitas, que ad-mitem seq¨uˆencias de Auslander-Reiten relativas, que F(△) ´e uma categoria resolvente e que F(▽) ´e uma categoria corresolvente.

Observamos que os resultados aqui contidos se encontram em [23], [12] e [24].

Com as nota¸c˜oes introduzidas no Cap´ıtulo 2, recordemos que F(△) de-nota a subcategoria plena de mod A cujos objetos s˜ao os m´odulos que tˆem uma △-filtra¸c˜ao e que F(▽) denota subcategoria plena de mod A cujos ob-jetos s˜ao os m´odulos que tˆem uma ▽-filtra¸c˜ao.

Os m´odulos emF(△) s˜ao chamamos de△-bons m´odulose os m´odulos em F(▽) de ▽-bons m´odulos.

Observa¸c˜ao 3.3.1. As categoriasF(△) eF(▽) s˜ao fechadas por extens˜oes. De fato, seja 0−→M−→µ N−→ρ L−→0 uma seq¨uˆencia exata em mod A

tal que M, L∈ F(△). Se 0 =M0 ⊆M1 ⊆M2 ⊆ · · · ⊆Mt =M e 0 =L0 ⊆

L1 ⊆L2 ⊆ · · · ⊆Lk =L s˜ao△-filtra¸c˜oes de M eL, respectivamente, ent˜ao

0⊆µ(M1)⊆ · · · ⊆µ(Mt)⊆ρ−1(L1)⊆ · · · ⊆ρ−1(Lk−1)⊆ρ−1(Lk) = N

´e uma△-filtra¸c˜ao para N. Da mesma maneira ´e poss´ıvel mostrar queF(▽) ´e fechada por extens˜oes.

Defini¸c˜ao 3.3.2. Seja M ∈mod A. A cadeia de subm´odulos de M

0 =τεn+1A(M)⊆τεnA(M)⊆. . .⊆τε2A(M)⊆τε1A(M) = M

A filtra¸c˜ao da defini¸c˜ao anterior, com a conven¸c˜ao adotada na Se¸c˜ao 3.2 em que M(i) _=τ

εiA(M), pode ser reescrita na forma:

0 =M(n+1) _⊆M(n) _{⊆. . .⊆M}(2) _⊆M(1) _=M.

A proposi¸c˜ao que segue d´a uma caracteriza¸c˜ao dos m´odulos em F(△), e sua demonstra¸c˜ao pode ser encontrada em [12].

Proposi¸c˜ao 3.3.3. Um A-m´odulo M ∈ F(△) se, e somente se, para todo

i= 1,2, . . . , n, M(i)_/M(i+1)∼_=△ti

i , para algum ti ≥0. Onde △0i = 0.

Observa¸c˜ao 3.3.4. Se M ∈ F(△), ent˜ao os m´odulos M(t) _{e M/M}(t)_{, para}

1≤t≤n, est˜ao emF(△). Mais ainda,M(t)_{est´a filtrado por△}

j, comj ≥t,

e M/M(t) _{est´a filtrado por△}

j, com j < t.

Isto ´eM(t) _{∈ F({△}

t, . . . ,△n}) e M/M(t) ∈ F({△1, . . . ,△t−1}).

Antes de enunciar o seguinte corol´ario lembremos que um m´odulo nulo sobre qualquer anel A, ´e sempre um m´odulo projetivo.

Corol´ario 3.3.5. Seja a K-´algebra Bi =A/Aεi+1A. Ent˜ao

1. M ∈ F(△) se, e somente se, M(i)_/M(i+1) _{´e B}

i-m´odulo projetivo, para

todo i= 1,2, . . . , n.

2. M ∈ F(▽) se, e somente se, M(i)_/M(i+1) _{´e B}

i-m´odulo injetivo, para

todo i= 1,2, . . . , n.

Demonstra¸c˜ao. Provaremos a primeira afirma¸c˜ao, pois a prova da segunda ´e dual. Observemos queBi se pode escrever da forma

Bi ∼= i

M

onde o ´ultimo somando ´e△i. Assim △i ´e umBi-m´odulo projetivo.

SeM ∈ F(△), ent˜ao pela proposi¸c˜ao anterior o quocienteM(i)_/M(i+1) ∼₌

△ti

i , para algum ti ≥0, e portanto ´e um Bi-m´odulo projetivo.

Reciprocamente suponhamos, para umifixo, que o quocienteM(i)_/M(i+1)

´eBi-m´odulo projetivo. Pelo Lema 3.2.3 existe um epimorfismo deA-m´odulos

ψ = (ψ1, . . . , ψn) : (Ln_j=iP tj

j )→M(i). Compondoψ com a proje¸c˜ao canˆonica

π : M(i)_−→M(i)_/M(i+1) _{obtemos o epimorfismo πψ = (πψ1, . . . , πψ}

n) :

(Ln_j=iPtj

j )−→M(i)/M(i+1). Em virtude do Lema 3.2.3 (2) resulta que os

morfismos πψj : P tj

j −→M(i)/M(i+1), para j > i, s˜ao nulos e, portanto, que

πψi ´e um epimorfismo. Usando de novo o Lema 3.2.3 (2), obtemos que

τεi+1A(Pi) =eiAεi+1A⊂ker πψi. A anterior inclus˜ao induz um epimorfismo

de A-m´odulos

ψ : (Pi/eiAεi+1A)ti−→M(i)/M(i+1).

Desde que eiAεi+1A ⊂ Aεi+1A ⊂ AnnA(M(i)/M(i+1)), ent˜ao o

homomor-fismo ψ ´e tamb´em um epimorfismo de Bi-m´odulos. Como M(i)/M(i+1) ´e

Bi-projetivo, temos que M(i)/M(i+1) ∼= (Pi/eiAεi+1A)t0 = △ti0, para algum

0< t0 ≤ti.

Corol´ario 3.3.6. As subcategoriasF(△)eF(▽)s˜ao fechadas por somandos diretos.

Demonstra¸c˜ao. Seja Bi = A/Aεi+1A. Se M1 ⊕M2 ∈ F(△), ent˜ao, pelo

corol´ario anterior, temos que (M1⊕M2)(i)_/(M1⊕M2)(i+1) _{´e um B}

i-m´odulo

projetivo, para cada i= 1,2, . . . , n. Mas tamb´em temos que (M1⊕M2)(i)_/(M1⊕M2)(i+1) _∼

Assim M₁(i)/M₁(i+1) e M₂(i)/M₂(i+1) s˜ao Bi-m´odulos projetivos, pois s˜ao

so-mando diretos de um projetivo, e portanto, pelo Corol´ario 3.3.5, M1, M2

est˜ao em F(△).

A proposi¸c˜ao abaixo, apresentada por Ringel em [23], ´e uma conseq¨uˆencia importante de alguns resultados do Cap´ıtulo 2 e da Se¸c˜ao 3.2.

Proposi¸c˜ao 3.3.7. As categorias F(△) e F(▽) s˜ao funtorialmente finitas e, portanto, admitem seq¨uˆencias de Auslander-Reiten relativas.

Demonstra¸c˜ao. Como Ext1A(△i,△j) = 0, para j ≤ i, pela Proposi¸c˜ao

3.2.8, ent˜ao Ext1A(▽i,▽j) = Ext1A(D(△oi), D(△oj))∼=DExt1Aop(△o_j,△o_i) = 0,

para i ≤ j. Assim, pelo Teorema 2.1.10, tanto F(△) quanto F(▽) s˜ao funtorialmente finitas em mod A. Mas como tamb´em s˜ao fechadas por so-mandos diretos (Corol´ario 3.3.6), temos que F(△) = X(△) e que F(▽) =

X(▽). Logo, pela Proposi¸c˜ao 2.1.14, resulta que elas admitem seq¨uˆencias de Auslander-Reiten relativas.

Antes de apresentar mais algumas propriedades das categorias F(△) e

F(▽), fixaremos algumas nota¸c˜oes e faremos algumas observa¸c˜oes para us´a-las nas demonstra¸c˜oes que seguem.

Seja M ∈ F(△). Denotamos por [M : △i] a multiplicidade de △i em

Defini¸c˜ao 3.3.8. Seja M ∈mod A. O △-suporte de M, que denotaremos porSupp△(M), ´e o conjuntoSupp△(M) = {i∈ {1,2, . . . , n}: [M :△i]6= 0}.

Observa¸c˜ao 3.3.9. Sejam M, N ∈mod A e f ∈HomA(M, N). Ent˜ao:

1. Para cada i, f(M(i)_{) ⊆ N}(i)_{. Mais ainda, se f ´e um epimorfismo,}

ent˜aof(M(i)_{) =N}(i)_.

2. Se M, N ∈ F(△) e f ´e um epimorfismo, ent˜ao

Supp△(N)⊆Supp△(M).

De fato, seja i ∈ Supp△(N). Ent˜ao, pela Proposi¸c˜ao 3.3.3 e pelo

ob-servado em (1), existe um inteiro ti >0 tal que

△ti

i ∼=N(i)/N(i+1) =f(M(i))/f(M(i+1)).

Isto quer dizer que o quociente f(M(i)_)/f(M(i+1)_{)6= 0 ou}

equivalente-mente quef(M(i)_{)6= 0 e f(M}(i+1)_)(f(M(i)_{). Segue da´ı queM}(i) _{6= 0}

e M(i+1) _(M(i)_{. Assim M}(i)_/M(i+1) _{6= 0 e, portanto, i∈Supp}

△(M).

A demonstra¸c˜ao da seguinte proposi¸c˜ao seguinte ´e feita como em [24]. Proposi¸c˜ao 3.3.10. A categoria F(△) ´e fechada por n´ucleos de epimorfis-mos.

Demonstra¸c˜ao. Sejam M, N ∈ F(△) e f : M−→N um epimorfismo de

A-m´odulos. Vamos provar, por indu¸c˜ao sobre a cardinalidade deSupp△(M),

que L=ker(f)∈ F(△).

Se |Supp△(M)| = 1, ent˜ao pela parte (2) da observa¸c˜ao acima, temos

que |Supp△(N)| = 1. Logo, pela Proposi¸c˜ao 3.3.3, M =∼ △si e N ∼= △ti,

0−→Ui−→Pi−→ △i−→0 obtemos a seq¨uˆencia exata

0−→ HomA(△i, L)−→ HomA(Pi, L)−→ HomA(Ui, L)−→ ExtA1(△i, L)−→0.

Afirmamos que com HomA(Ui, L) = 0 . De fato, suponhamos que

HomA(Ui, L) 6= 0. Seja h ∈ HomA(Ui, L), com h 6= 0. Portanto, existem

um x∈ Ui e um homomorfismo g : Pj →Pi, com j > i, tais que x∈ Img e

h(x)6= 0. Assim a composta hg′ _:P

j−→L, ondeg′ =g|Im(g), ´e n˜ao nula.

Logo, tanto L quanto M tˆem um fator de composi¸c˜ao isomorfo a Sj,

para um j > i, o que ´e uma contradi¸c˜ao. De HomA(Ui, L) = 0 resulta que

Ext1_A(△i, L) = 0, seguindo da´ı que a seq¨uˆencia 0−→L−→M−→N−→0

cinde e queL∼=△s−t

i . E est´a provada a afirma¸c˜ao quando |Supp△(M)|= 1.

SejaM ∈mod Atal que |Supp△(M)|=ℓ ≥2. Suponhamos que se existe

um epimorfismo f : M′_−→N′ _{com M}′_{, N}′ _{∈ F(△) e |Supp}

△(M′)| < ℓ,

ent˜ao Ker(f) ∈ F(△). Mostremos que a conclus˜ao tamb´em vale para M. Seja t= maxSupp△(M). Pela Observa¸c˜ao 3.3.4, os m´odulos M(t) e N(t) s˜ao

tais que M/M(t)_{, N/N}(t) _{∈ F({△1,△2, . . .△}

t−1}) e M(t), N(t) ∈ add(△t).