AS FÓRMULAS DE ÁREA DO RETÂNGULO, DO PARALELOGRAMO E

GRANDEZAS GEOMÉTRICAS.

Os tópicos anteriores evidenciam a necessidade de construir o significado das fórmulas de área relacionado às noções de equidecomposição (HARTSHORNE, 1997), conservação de área (KORDAKI, 2003), como também abordar no ensino a evolução da medida da área em relação às medidas lineares quando a fórmula é aplicada (BATURO e NASON, 1996). Estas evidências fortalecem nossas hipóteses sobre a fórmula como conceito

pertencente ao campo conceitual das grandezas geométricas e ao mesmo tempo elemento que articula vários campos conceituais.

i) AQUISIÇÃO DA SIGNIFICAÇÃO DAS FÓRMULAS

Baltar (1996) confirma a hipótese oriunda das pesquisas de Douady e Perrin-Glorian (1989): “O desenvolvimento do ensino do conceito de área enquanto grandeza permite aos alunos estabelecer as relações necessárias entre os dois quadros geométrico e numérico”.

A autora fez seu estudo sob os pontos de vista estático e dinâmico. O primeiro refere- se ao ambiente papel e lápis e o segundo a atividades com o software de geometria dinâmica Cabri-geomètre. O estudo das fórmulas de área e perímetro foi feito do ponto de vista dos invariantes geométricos em jogo nas deformações de paralelogramos e triângulos.

A autora levantou a hipótese que a aquisição da significação das fórmulas de área se relaciona aos vários níveis que correspondem à disponibilização delas nos diferentes tipos de situações problema:

1º nível: consiste em favorecer o tratamento das situações de cálculo de área das figuras geométricas usuais.

2º nível: corresponde a interpretar a fórmula como uma forma de expressar a relação entre comprimentos característicos da figura (invariantes geométricos e a área).

Este nível corresponde à disponibilidade das fórmulas nas situações não numéricas, como a comparação das áreas de paralelogramos e triângulos, a produção de superfícies de mesma área e o estudo das variações da área e do perímetro por conseqüência das deformações do paralelogramo, como ilustradas nas figuras abaixo8.

Figura 1A Figura 1B

Para favorecer a apropriação deste segundo nível, Baltar (1996) usa o ponto de vista dinâmico.

8

Note-se que na figura 1 A, representando o deslizamento de um lado sobre sua reta suporte, a área é conservada e o perímetro varia e na figura 1B, representando a articulação de um lado em torno de um vértice, a área varia e o perímetro é constante.

A utilização mecânica das fórmulas refere-se ao fato dos alunos calcularem áreas aplicando fórmulas, sem saber o que estão fazendo de fato, por não compreenderem o conceito de área, por exemplo, ou não compreenderem o significado das fórmulas. Souza e Neto (2004) desenvolveram uma pesquisa sobre o ensino – aprendizagem das fórmulas de área de polígonos convexos com alunos de 8ª série do Ensino Fundamental de uma escola pública em Natal/RN. Neste estudo, verificaram como o aluno compreende o caráter funcional das variáveis na fórmula para área do retângulo. Conforme os autores, as observações feitas durante a realização de uma intervenção metodológica (seqüência didática) e a análise de dados obtidos num pós-teste, ambas de caráter qualitativo, mostraram, entre outros aspectos, o uso incorreto, por parte dos alunos, da sintaxe da álgebra como, por exemplo, manipulações algébricas incorretas das fórmulas de área e a falta de parênteses e desconhecimento da utilização das propriedades da igualdade nas fórmulas.

Uma outra fonte de dificuldade aparece em conseqüência da prática cultural formal para o cálculo de área ser baseada na noção da disposição da multiplicação. Infelizmente, muitos estudantes têm somente uma compreensão da representação linear de uma dimensão da multiplicação como a adição repetida. Assim, são incapazes de perceber o sentido das medidas da área calculadas pelas fórmulas (BATURO e NASON, 1996).

As análises do teste aplicado por Baturo e Nason (1996) destacam que as respostas indicaram claramente: (a) o conhecimento substancialmente inadequado em termos computacionais e principalmente o conhecimento conceitual, (b) conhecimento inadequado do discurso nos termos da consciência dos métodos para verificar a compreensão de seus cálculos da área, e (c) falta do conhecimento sobre como as fórmulas de área são construídas (isto é, conhecimento cultural matemático).

ii) PRINCÍPIOS RELACIONADOS À COMPREENSÃO DA FÓRMULA DA ÁREA DO RETÂNGULO.

Em Perrin-Glorian (2001), a análise de pesquisas australianas sobre o conceito e cálculo de área mostra que mesmo no caso da superfície conter um número inteiro de unidades a área demanda uma relação entre os quadros geométricos e numéricos e demanda a conexão e conhecimentos espaciais concernentes ao ladrilhamento, e também conhecimentos numéricos, em particular concernentes à numeração.

A medida da área do retângulo coloca em jogo alguns princípios. Perrin-Glorian (2001), citando pesquisas australianas:

1) o retângulo deve ser inteiramente recoberto e não deve haver sobras; 2) os quadrados unitários precisam ser congruentes e alinhados;

3) o número de unidades de cada linha e cada coluna pode ser determinado a partir das dimensões do retângulo.

Um quarto princípio necessário para compreensão da fórmula do retângulo:

4) o número de unidades de uma representação retangular é o produto do número de unidades de cada linha pelas unidades de cada coluna.

Baturo e Nason (1996) também evidenciam dificuldades relacionadas ao domínio numérico em atividades que envolvem fórmulas de área do retângulo e do quadrado.

Na pesquisa de Baturo e Nason (1996), como eles já previam, todos os estudantes souberam calcular a área de um quadrado de lado 2,8 m, embora, surpreendentemente, muitos usassem a fórmula ‘comprimento vezes largura’, em vez da fórmula usual ‘lado vezes lado’. Entretanto as computações eram mal sucedidas devido a: (a) aplicação defeituosa do algoritmo da multiplicação; (b) a dificuldade em colocar o ponto decimal na resposta.

Assim, embora não sendo o foco destas pesquisas, as constatações evidenciam a necessidade de refletir sobre imbricações entre campos conceituais no estudo das fórmulas.

iii) ÁREA DO PARALELOGRAMO E DO TRIÂNGULO.

A construção do significado e a manipulação eficiente das fórmulas de área. de paralelogramos e triângulos demandam a compreensão de propriedades geométricas, como a invariância da área em relação a um lado tomado como base.

Para caracterizar uma figura “prototípica” do paralelogramo, por exemplo, considera- se a posição relativa dos lados, que podem estar na horizontal, na vertical ou ambos os lados em posição oblíqua. Outros critérios são a inclinação da figura e o comprimento dos lados. Esta discussão torna evidente a imbricação entre o campo da geometria e o campo das grandezas na construção do significado da fórmula da área do paralelogramo.

A figura prototípica do paralelogramo, apresentada numa coleção de livros didáticos analisada por Santos (2005), possui o lado de maior comprimento predominantemente na posição horizontal. Segundo a autora, isto pode influenciar de certaforma na idéia de base e altura que são centrais na aplicação da fórmula de área do paralelogramo. Com relação à inclinação do paralelogramo, prevalece a direita.

Nas questões em torno do tratamento da figura, Baltar (1996) apoiou seu estudo sobre a necessidade, para construir o conceito de área, de estabelecer as relações entre as

fórmulas de área e de perímetro e os invariantes geométricos da figura. A autora destaca a necessidade de um trabalho geométrico sobre o tratamento das figuras em caso não prototípico.

Ainda quanto à independência da área em relação à escolha da base destaca-se a origem de algumas dificuldades, entre elas, a base é para os alunos o lado horizontal ou o de maior comprimento e a dificuldade de identificar altura exterior nos triângulos.

Baltar (1996), a propósito da construção do conceito de área, destaca a importância das variáveis ligadas “à forma e à posição” da figura. A autora chega a propor o prolongamento do seu trabalho com uma maior ênfase em variáveis deste tipo. Um destes trabalhos é o de Santos (2005) que investigou a relação entre a abordagem da área do paralelogramo em uma coleção de livros didáticos para as séries finais do ensino fundamental e os procedimentos utilizados pelos alunos. Em suas questões9, a autora verificou, por exemplo, quanto à idéia de base e altura, que os alunos desenham a figura do paralelogramo com um dos lados na posição horizontal, tomando-o como o de maior comprimento com o intuito de determinar o comprimento da altura relativa ao lado BC. A maioria dos alunos traçou a altura dada no interior do paralelogramo.

Também já foi amplamente discutida, em pesquisas anteriores (DOUADY e PERRIN- GLORIAN, 1989; BALTAR, 1996; SANTOS, 2005; por exemplo), a extensão indevida da fórmula área do retângulo para o cálculo da área do paralelogramo. Os alunos ao mobilizarem a fórmula bxh para calcular a área do paralelogramo tomam como valores para a altura a medida do comprimento de um dos lados.

CONCLUINDO OU COMEÇANDO...

Recentemente vários pesquisadores têm realizado investigações sobre a didática das grandezas geométricas - comprimento, área, volume, dentre eles, Baltar (1996), Lima (1999), Perrota (2001), Barbosa (2002), Lima e Bellemain (2002), Duarte (2002), Barros (2002), Oliveira (2002). Brito (2003), Facco (2003), Kordaki (2003), Silva (2004) e Baturo e Nason (2006). Conforme Bellemain e Lima (2002), a complexidade desse campo conceitual gera uma grande dificuldade na análise dos erros cometidos pelos alunos do Ensino Fundamental e na investigação das origens possíveis destes erros. Ainda conforme os autores, muitas das

9 _{Por exemplo: “Seja um paralelogramo ABCD tal que o lado AB mede 6 dm e o lado BC mede 4 dm. Sabendo}

que a altura relativa ao lado AB mede 3 dm, é possível determinar o comprimento da altura relativa ao lado BC? Justifique sua resposta”.

dificuldades conceituais podem ser relacionadas ao domínio numérico, ao domínio geométrico ou às relações algébricas e funcionais entre grandezas de diferentes dimensões. Outra fonte de erros é a necessidade constante de relacionar conhecimentos oriundos de diversos campos na resolução de situações-problema em torno das grandezas geométricas.

Segundo os autores, há uma profunda imbricação da geometria, dos sistemas numéricos e das operações, incluindo uma forte relação com outros campos conceituais tais como o das estruturas aditivas, o das estruturas multiplicativas e o da álgebra.

Embora este tema seja, como já dissemos, amplamente estudado nas pesquisas em Educação Matemática, não identificamos em nossa revisão de literatura trabalhos específicos focalizando as fórmulas de área de figuras geométricas planas sob a perspectiva das imbricações entre campos conceituais.