CONTRIBUIÇÃO DO CAMPO CONCEITUAL ALGÉBRICO

Algumas visões coerentes e complementares têm sido formuladas em torno do Campo Conceitual Algébrico.

Para Lins e Gimenez (1997), a álgebra consiste em um conjunto de afirmações para as quais é possível produzir significado em termos de números e operações aritméticas, possivelmente envolvendo igualdades e desigualdades. Segundo Garcia (1997), a álgebra revoluciona por ser uma ferramenta a serviço da resolução de problemas e ser um objeto matemático em si, um ramo autônomo das Matemáticas, de que todas as disciplinas científicas se nutrem para estabelecer melhores e mais cômodas vias de comunicação entre elas e com o exterior.

Segundo Souza e Diniz (1996), a álgebra é a linguagem da Matemática utilizada para expressar fatos genéricos. Como toda linguagem, a álgebra possui seus símbolos e suas regras. Estes símbolos são as letras e os sinais da aritmética, enquanto as regras são as mesmas regras da aritmética que nos permitem manipular os símbolos assegurando o que é permitido e o que não é.

Há também no campo algébrico assim como no funcional uma discussão subjacente aos conceitos de incógnita x variável. Não há consenso sobre o tema, mas a idéia que predomina é que INCÓGNITA está relacionada ao estudo das equações e VARIÁVEL relaciona-se ao conceito de função.

No trabalho com a álgebra são fundamentais: a compreensão de conceitos como o de variável e de função; a representação de fenômenos na forma algébrica e na forma gráfica; a formulação e a resolução de problemas por meio de equações (ao identificar parâmetros, incógnitas, variáveis); e o conhecimento da “sintaxe” (regras para manipulação dos símbolos algébricos).

A álgebra, segundo diversos estudos em Educação Matemática, apresenta várias dimensões, entre elas a dimensão funcional, que se relaciona à nossa problemática, onde as letras são utilizadas para expressar relações entre grandezas ou quantidades, assumindo o papel de variáveis. O aspecto funcional é citado nos PCNs (BRASIL, 1998) no desenvolvimento de conteúdos referentes à geometria e a grandezas e medidas, onde os alunos terão oportunidades de identificar regularidades, fazer generalizações, aperfeiçoar a linguagem algébrica e obter fórmulas, como para áreas.

Há também a dimensão interpretativa e procedimental, onde as letras assumem o papel de representar simbolicamente, através de uma equação, situações envolvendo um ou mais

valores desconhecidos para, em seguida, simplificá-las e resolvê-las, neste caso são incógnitas.

O aspecto procedimental foi abordado na pesquisa de Teles (2002) que trata dos erros cometidos por alunos de Ensino Fundamental e Médio na resolução de equações polinomiais do 1º grau. Da mesma maneira, a interpretação dos erros dos alunos na etapa de cálculo algébrico é focada no estudo desenvolvido por Bittar e Chaachoua (2004). Esses autores desenvolvem experimentos com o software APLUSIX17 visando a modelização das concepções dos alunos no tratamento de problemas algébricos e defendem que ambientes informatizados podem constituir, sob certas condições, um meio para a aprendizagem dos aspectos sintáticos da álgebra.

Sabe-se que a questão do uso de representações simbólicas é central na álgebra. Pois seguindo a trajetória do desenvolvimento de um pensamento algébrico pode-se verificar que da representação algébrica retórica (apenas palavras), à sincopada (alguma notação especial, em particular palavras abreviadas) e à simbólica (apenas os símbolos e sua manipulação) haveria um correspondente desenvolvimento intelectual.

Em Matemática, segundo Garcia (1997), o simbolismo formal constitui uma verdadeira linguagem, principalmente em forma escrita, necessária para a comunicação do pensamento matemático que opera em dois níveis. O primeiro é o nível semântico: os símbolos e as notações carregam um significado em paralelo com a linguagem natural. O segundo nível é puramente sintático, em que se podem aplicar regras manipulativas, sem referência direta ao significado.

O nível sintático, elemento essencial na álgebra, ainda segundo Garcia (ibid), é a principal causa de dificuldades associadas ao uso das notações formais.

Para Da Rocha Falcão (1997), a apropriação da álgebra constitui-se numa tarefa cognitiva árdua, que abrange quatro aspectos:

1 – Reconhecimento de determinadas funções da álgebra: Gerar modelos, resolver determinados problemas insolúveis aritmeticamente, demonstrar;

2 – Formalização do problema (colocação do problema em equação): Extrair os parâmetros, variáveis e relações pertinentes do problema, e dispor dos significantes necessários a tal recodificação;

3 – Conhecimento dos objetos algébricos: Funções, fórmulas e equações, variáveis e incógnitas;

17

4 – Conhecimento do que fazer a partir de uma equação: Mobilização de um determinado

script-algoritmo18, com respeito a uma determinada sintaxe.

Dada a complexidade deste campo conceitual, para Da Rocha Falcão (1997), a tarefa global de resolução de um problema algébrico pode ser decomposta, para fins de análise, em quatro etapas:

1 – Mapeamento do problema;

2 – Escrita algébrica (colocação do problema em equação);

3 – Procedimento de resolução (cálculo algébrico no senso estrito); 4 – Retomada do sentido (formulação da resposta final).

Ainda segundo Da Rocha Falcão (1997), o trabalho em quatro etapas não reproduz necessariamente a abordagem proposta para a introdução à álgebra na maioria dos currículos escolares. Para ele, a abordagem da álgebra num contexto que respeite as etapas acima descritas favorece a exploração integrada das várias vertentes deste complexo campo conceitual, como por exemplo: conceitos de variável e parâmetro, fórmula e equação; aritmética e álgebra.

Em nosso trabalho nas situações que envolvem fórmulas de área, tendo subjacente manipulações simbólicas, analisaremos cada uma destas etapas citadas por Da Rocha Falcão (1997).

Conforme Meira (2003), é preciso também, diversificar as situações de uso da álgebra como ferramenta de modelagem e resolução de problemas. Neste contexto, o estudo das fórmulas cria situações para aprendizagem da álgebra, tais como grandezas e medidas gerando expressões algébricas, identidades e operações com expressões algébricas; ou vice - versa a álgebra cria situações para aprendizagem da geometria, por exemplo, o cálculo do perímetro do retângulo em função dos comprimentos dos lados; ou da área do retângulo em função dos comprimentos dos lados.

Outro trabalho que explora relações funcionais é o de Nakamura (2003). Pela abstração de padrões geométricos, busca-se a formulação de relações gerais de dependência entre as variáveis envolvidas no processo de generalização de padrões. A idéia de função constitui um vínculo conceitual entre cálculos numéricos e manipulações algébricas formais.

A autora, de certa forma, trabalha o cálculo de área numa interface com a álgebra, não na perspectiva da área como produto de grandezas19_{. Por um lado há ênfase no aspecto}

18 _{Na acepção dada ao termo por Vergnaud (1991), para quem um algoritmo, cujo traço escrito constitui seu}

script, é uma regra ou conjunto de regras que permitem, diante de qualquer problema de uma determinada classe de problemas homomorfos, achar uma solução (se existir uma) em um número finito de passos, ou demonstrar que tal solução não existe.

geométrico – observação e interpretação da figura, mas por outro a pesquisadora propõe um procedimento numérico – por exemplo, contagem de quadradinhos. Estes dois procedimentos – geométrico e numérico - geram uma expressão algébrica significativa do ponto de vista das relações funcionais.

Nakamura (2003) afirma que “diferentes padrões de formação podem levar à percepção das várias formas de decompor as figuras, mantendo a mesma área”. Outros estudos, no entanto, mostram que a noção de conservação de área é algo complexo, estudado, por exemplo, por Baltar (1996).

O campo algébrico, entre outros aspectos, contribui para o estudo das fórmulas de área possibilitando a formulação e a resolução de problemas, por meio de equações e de regras para manipulação de símbolos algébricos. Assim, podemos situar a contribuição da álgebra, no papel de ferramenta a serviço da resolução de problemas e, ao mesmo tempo, objeto matemático em si (GARCIA, 1997). A álgebra fornece também a linguagem da Matemática utilizada para expressar fatos genéricos (SOUZA e DINIZ, 1996). Há muitos estudos sobre dificuldades relacionadas ao uso destas notações formais (GARCIA, 1997). Uma das nossas questões de pesquisa diz respeito às quatro etapas para resolução de um problema algébrico propostas por Da Rocha Falcão (1997): numa situação envolvendo fórmulas de área, que aspectos relacionam-se ao mapeamento da situação? Que tipo de dificuldade o aluno enfrenta? Que dificuldades relacionadas à manipulação simbólica? Como o aluno interpreta os resultados obtidos?

Uma atividade algébrica pressupõe a representação de um problema algebricamente (LINS e GIMENEZ, 1997). Para isto é necessário utilizar ferramentas matemáticas do campo conceitual algébrico, como noção de igualdade, equivalência, variável, incógnita e também estabelecer um sistema de relações. Como o aluno mobiliza estes conhecimentos em situações que envolvem fórmulas de área?

Os conceitos de incógnita e variável também desempenham papel importante para o estudo das fórmulas. A letra como variável permite a obtenção de fórmulas, como para áreas (BRASIL, 1998). Nas situações que mobilizam o papel da letra como variável ou como incógnita, que dificuldades o aluno enfrenta?

19 _{Grandezas: comprimento do lado tomado como base e altura relativa a este lado no caso das regiões}