Associa¸c˜ ao dos Passeios Aleat´ orios com o Processo de Ramifica¸c˜ ao

Nessa subse¸c˜ao ser´a descrito detalhadamente de que forma podemos reescrever um PAE na forma de um processo de ramifica¸c˜ao com migra¸c˜ao.

Primeiramente vamos considerar um passeio aleat´orio qualquer (n˜ao precisa ser ho- mogˆeneo no tempo, mas ainda entre vizinhos pr´oximos), iniciando no estado 0 e com T0 < ∞, ou seja, a part´ıcula retorna ao zero em tempo finito. Vamos supor ainda, sem

perda de generalidade, que a part´ıcula come¸ca saltando para a direita, ou seja, X1 = 1

(o caso de X1 = −1 funcionar´a de modo an´alogo, por simetria).

Temos que (Xn)0≤n≤T0 representa a trajet´oria dessa part´ıcula ao deixar o estado zero

e retornar at´e ele pela primeira vez. Dada uma trajet´oria espec´ıfica, ser´a poss´ıvel associar a ela uma realiza¸c˜ao ´unica de um processo de ramifica¸c˜ao com tempo de extin¸c˜ao igual ao max{Xn|n < T0} ou ent˜ao, dado uma realiza¸c˜ao de um processo de ramifica¸c˜ao que

tenha se extinguido em tempo finito, ser´a poss´ıvel reconstruir uma trajet´oria do passeio aleat´orio entre 2 tempos consecutivos de visitas ao estado zero. A seguir temos a ex- plica¸c˜ao de como isso ´e feito e na figura 5.1 temos a ilustra¸c˜ao de um exemplo.

Figura 5.1: Exemplo de associa¸c˜ao entre passeio aleat´orio e processo de ramifica¸c˜ao. Considere a ilustra¸c˜ao usual na forma de grafo de um processo de ramifica¸c˜ao com tempo de extin¸c˜ao finito e gera¸c˜ao inicial com apenas um indiv´ıduo (como na figura 5.1

(B)). Com base nesse grafo, a trajet´oria do passeio pode ser reconstruida do seguinte modo: Pense em uma part´ıcula partindo do ´unico v´ertice (indiv´ıduo) da gera¸c˜ao 0 e passeando pelo grafo seguindo a seguinte regra: Sempre que ela chegar a uma bifurca¸c˜ao, escolher´a seguir pela aresta ligando na gera¸c˜ao seguinte (para cima) e mais `a esquerda poss´ıvel, mas de modo a nunca repetir uma aresta que j´a tenha atravessado em ambos os sentidos anteriormente. Ent˜ao, quando a part´ıcula chegar a v´ertices que n˜ao tenham arestas para cima (indiv´ıduos sem descendentes) ou que tenham todas as arestas para cima j´a atravessadas, ela ter´a que retornar pela aresta ligando na gera¸c˜ao anterior (para baixo). Note que, como o tempo de extin¸c˜ao ´e finito, a part´ıcula necessariamente retor- nar´a ao v´ertice de origem ap´os ter visitado todas as arestas em ambos os sentidos. Agora, em paralelo ao passeio da part´ıcula no grafo, sempre que ela seguir por uma aresta para cima, ligando a gera¸c˜ao k com a k + 1, a part´ıcula no passeio aleat´orio ir´a saltar do estado

k para o k + 1, assim como quando ela descer uma aresta, a part´ıcula do passeio aleat´orio ir´a saltar para esquerda nos estados correspondentes. Com isso teremos a reconstru¸c˜ao da trajet´oria do passeio aleat´orio at´e retornar a origem (como na figura 5.1 (A)).

Na Figura 5.1 temos na imagem (A) um exemplo para trajet´oria de um passeio aleat´orio at´e retornar ao zero e na imagem (B) o grafo do processo de ramifica¸c˜ao as- sociado a essa trajet´oria. Repare que no grafo ´e poss´ıvel inicialmente subir duas vezes, escolhendo sempre o caminho `a esquerda, at´e n˜ao ser mais poss´ıvel, ent˜ao o passeio aleat´orio come¸ca com dois saltos para direita. Depois disso, ´e preciso descer uma aresta at´e chegar a uma nova op¸c˜ao de caminho para cima, logo o passeio ir´a para esquerda e depois voltar´a a seguir para direita. Seguindo essa l´ogica, pode-se reproduzir a trajet´oria ilustrada na figura (A).

Al´em disso, ´e poss´ıvel ver no exemplo que o n´umero de arestas no grafo do processo de ramifica¸c˜ao (n´umero total de indiv´ıduos nascidos) ´e igual ao n´umero de vezes que a part´ıcula no passeio aleat´orio escolhe saltar para direita, que consequentemente ´e igual ao n´umero de saltos para esquerda tamb´em, j´a que ela retorna a origem. Esse fato ter´a que ocorrer sempre ao fazer essa rela¸c˜ao. Tamb´em pode-se perceber que esse processo de ramifica¸c˜ao se extinguiu na gera¸c˜ao 5, que foi justamente o m´aximo que o passeio atingiu nessa trajet´oria.

Pode-se notar que na rela¸c˜ao descrita anteriormente, bem como no exemplo, n˜ao houve necessidade de conhecer qual a regra de probabilidade associada ao passeio aleat´orio, j´a que tinhamos T0 < ∞. Por´em, se pensarmos no caso em que possamos ter T0 = ∞, ser´a

necess´ario conhecer a regra com que o passeio aleat´orio realiza suas transi¸c˜oes e tamb´em que ele seja transiente, para ser poss´ıvel realizar a associa¸c˜ao com o processo de rami- fica¸c˜ao. Por exemplo, se o comportamento limite do passeio for ficar alternando entre dois estados (como pode ocorrer nos passeios aleat´orios de arestas refor¸cadas, apresen- tado na subse¸c˜ao 2.2.2), n˜ao ser´a poss´ıvel associ´a-lo a um processo de ramifica¸c˜ao, pois se tentassemos, iriamos acabar com um processo ”preso”em um indiv´ıduo que geraria descendentes infinitamente.

Ent˜ao precisamos encontrar a distribui¸c˜ao de probabilidade associada ao processo de ramifica¸c˜ao relacionado ao Passeio aleat´orio excitado com M cookies por s´ıtio. Por´em,

vamos come¸car pensando no caso mais simples, do passeio aleat´orio simples sim´etrico. Vamos novamente supor, sem perda de generalidade, que a part´ıcula inicia no estado 0 e salta para o estado 1. Note que no PASS, ao se chegar repetidas vezes em um de- terminado s´ıtio k, o n´umero de vezes que a part´ıcula escolhe saltar para k + 1, antes que ela salte para k − 1 pela primeira vez, possuir´a distribui¸c˜ao geom´etrica de parˆametro

1

2. Ent˜ao, comparando com o processo de ramifica¸c˜ao associado, temos que, a partir do

momento em que a part´ıcula salta de k para k − 1, a pr´oxima vez em que ela chegar a k (se ocorrer) j´a ser´a representada por um novo indiv´ıduo na gera¸c˜ao k do processo de ramifica¸c˜ao. Com isso, o n´umero de descendentes do primeiro indiv´ıduo na gera¸c˜ao k ser´a igual ao n´umero de fracassos (saltos de k para k + 1) at´e ocorrer o primeiro sucesso (salto de k para k − 1). Portanto, o processo de ramifica¸c˜ao associado ao PASS ser´a o usual (sem migra¸c˜ao) e com distribui¸c˜ao de descendentes por indiv´ıduos igual a geom(1₂). Al´em disso, como os processos de ramifica¸c˜ao se extinguem q.c quando a esperan¸ca do n´umero de descendentes por indiv´ıduo ´e menor ou igual a 1 (conforme pode ser visto na se¸c˜ao 5.3.4 de [4]), podemos perceber que esse nosso processo de ramifica¸c˜ao vai se extinguir quase certamente, uma vez que E[geom(1

2)] = 1 (considerando a distribui¸c˜ao

geom´etrica que modela n´umero de fracassos at´e o primeiro sucesso). Isso equivale a ter- mos P (T0 < ∞) = 1, estando de acordo com o que realmente ocorre no PASS, por ser

recorrente.

Por argumentos similares aos anteriores, temos que, no caso do passeio aleat´orio sim- ples assim´etrico com probabilidade p 6= 1₂ da part´ıcula saltar de k para k + 1, o processo de ramifica¸c˜ao associado ser´a novamente o usual, mas com distribui¸c˜ao de descendentes por indiv´ıduo dada por geom(p). Por´em, para o caso em que p < 1₂, temos um passeio com tendˆencia a seguir para os s´ıtios negativos, ent˜ao para realizar essa associa¸c˜ao ser´a preciso pensar nas excurs˜oes pelos s´ıtios negativos at´e retornar ao zero, dessa forma, por simetria, temos que esse passeio estar´a associado ao mesmo processo de ramifica¸c˜ao que o passeio com probabilidade 1 − p.

Formalizando essa rela¸c˜ao para o PASS, vamos denotar por (Uk)k≥0 o n´umero de vezes

que a part´ıcula salta do estado k para k + 1, antes de retornar ao estado 0. Com isso U0 = 1 e:

Ent˜ao (Uk)k≥0 ter´a a mesma distribui¸c˜ao do processo de ramifica¸c˜ao com distribui¸c˜ao

de descendentes igual a geom(1₂). Logo, podemos gerar uma sequˆencia (Uk)k≥0simulando

desse processo de ramifica¸c˜ao: Come¸camos com 1 indiv´ıduo na gera¸c˜ao inicial e a partir da´ı cada gera¸c˜ao k + 1 ser´a gerada a partir da k-´esima, amostrando Uk valores para a

geom´etrica de parˆametro 1

2 e somando eles. Para essa simula¸c˜ao das geom´etricas podemos

pensar que cada indiv´ıduo da gera¸c˜ao k lan¸ca moedas honestas de forma independente at´e que ocorra a primeira coroa com cada um deles e o valor simulado de cada geom´etrica ser´a igual ao n´umero de caras obtida por cada indiv´ıduo. Evidentemente se n˜ao houverem indiv´ıduos na gera¸c˜ao k (processo de ramifica¸c˜ao se extinguiu antes), tamb´em n˜ao ser´a gerado nenhum indiv´ıduo para k + 1. Com isso podemos escrever:

Uk+1 = Uk

X

j=1

ξ_j(k+1),

lembrando que ξ_j(k+1) representa o n´umero de descendentes, que viver˜ao na gera¸c˜ao k + 1, do j-´esimo indiv´ıduo, que nesse caso tem distribui¸c˜ao geom(1₂) e que estas vari´aveis aleat´orias constituem uma fam´ılia de v.a’s independentes.

Agora vamos para o caso dos passeios aleat´orios excitados em ambiente determin´ıstico. Aqui a diferen¸ca com rela¸c˜ao ao PASS ser´a que os M primeiros indiv´ıduos em cada gera¸c˜ao (ou todos, caso o n´umero de indiv´ıduos seja inferior a M) foram gerados atrav´es de vari´aveis com maior chance de ocorrˆencia de descendentes que a geom(1₂) e justamente para contemplar essa mudan¸ca na distribui¸c˜ao dos descendentes por indiv´ıduo que ser´a necess´ario introduzir migra¸c˜ao ao processo de ramifica¸c˜ao.

Para adaptar ao caso do PAE, na parte onde ger´avamos valores atrav´es do lan¸camento de moedas honestas, vamos passar a utilizar tamb´em moedas viesadas com probabilidade p de sair cara, igual a do PAE saltar de k para k + 1 ap´os consumir um cookie. Como todos os indiv´ıduos da gera¸c˜ao k ir˜ao lan¸car moedas ao menos uma vez para simular a gera¸c˜ao k + 1, com isso no m´aximo os M primeiros indiv´ıduos da gera¸c˜ao k ter˜ao possibilidade de tentar gerar descendentes atrav´es das moedas viesadas. Ent˜ao para des- crever o processo (Uk)k≥0 como um processo de ramifica¸c˜ao com migra¸c˜ao, considere o

seguinte procedimento: Antes da gera¸c˜ao k come¸car a se reproduzir, os primeiros Uk∧ M

indiv´ıduos emigram e fora da popula¸c˜ao eles se reproduzem utilizando as M moedas viesadas. A partir da´ı, eles continuam a reprodu¸c˜ao com moedas honestas at´e que todos

os indiv´ıduos que emigraram terminem de gerar descendentes. Esses novos indiv´ıduos gerados fora da popula¸c˜ao retornar˜ao na gera¸c˜ao k + 1 como imigrantes. Enquanto isso, no caso de Uk > M , os indiv´ıduos da gera¸c˜ao k que restaram se reproduzem normalmente

com distribui¸c˜ao geom(1₂) e os descendentes desses completam a gera¸c˜ao k + 1. Denotando por η_Uk+1

k∧M os indiv´ıduos gerados fora da popula¸c˜ao durante a gera¸c˜ao k,

temos que o n´umero de indiv´ıduos na gera¸c˜ao k + 1 ser´a dado por: Uk+1 = Uk−(M ∧Uk) X j=1 ξ_j(k+1)+ ηk+1_U k∧M, onde (ξ_j(k))i,k≥1 e (η (k)

i )0≤i≥M,k≥1 s˜ao vari´aveis aleat´orias independentes, com cada uma

das sequˆencias η(k)₀ , . . . , η(k)_M sendo identicamente distribuidas e cada um dos ξ_j(k) tendo distribui¸c˜ao geom(1

2).

Por´em, essa forma de escrever o processo de ramifica¸c˜ao com migra¸c˜ao, utilizada em Uk, n˜ao est´a no mesmo formato de como foram definidos os processos (µ, ν)-PRM na

subse¸c˜ao 5.2.1 (ver Express˜ao 5.1) e portanto n˜ao ´e poss´ıvel fazer uso da Proposi¸c˜ao

5.1 para eles. Ent˜ao o pr´oximo passo ser´a reescrever Uk na forma (µ, ν)-PRM com a

utiliza¸c˜ao de alguns processos auxiliares.

Vamos denotar por Y_i(k) a sequˆencia de vari´aveis aleat´orias independentes que as- sumem valor 1 se na i-´esima visita ao s´ıtio k a part´ıcula do passeio aleat´orio excitado escolhe saltar para k + 1, evento que chamaremos de sucesso, ou valor −1 se ela saltar para k − 1, que chamaremos de fracasso. Ent˜ao P (Y_i(k)= 1) ser´a igual a p para qualquer k ∈ Z e i ≤ M , ou igual a 1

2 para i > M . Note que podemos definir o PAE (Xn)n≥0

atrav´es das vari´aveis Y_i(k) da seguinte forma: Xn+1= Xn+ Y

(Xn)

#{j≤n|Xj=Xn}, para n ≥ 0.

Vamos denotar por Sm(k) o n´umero de sucessos na sequˆencia (Y_i(k))i≥1 at´e a ocorrˆencia

do m-´esimo fracasso, convencionando Sk

0 = 0. Com isso, podemos escrever:

Zk+1 = Zk+  S(k)_M −M X i=1 ξ_i(k+1),

onde cada ξ(k)_i tem distribui¸c˜ao geom´etrica de parˆametro 1₂

Pode-se perceber que Zk+1 escrito dessa forma est´a fornecendo o n´umero de de in-

div´ıduos na gera¸c˜ao k + 1 que foram gerados ap´os as moedas viesadas serem esgotadas, que equivale ao n´umero de vezes que o PAE salta de k para k + 1 ap´os esgotarem os cookies do s´ıtio k.

De forma similar a Sm(k), vamos denotar por Fm(k) o n´umero de fracassos na sequˆencia

(Y_i(k))i≥1 at´e a ocorrˆencia do m-´esimo sucesso, convencionando F (k) 0 = 0.

Pode-se perceber que as sequˆencias aleat´orias Sm(k) e Fm(k) se comportam da mesma

forma ap´os as M primeiras visitas a k (pois n˜ao havendo cookies, temos igual chance de sucesso ou fracasso). Com base nisso, vamos escrever um novo processo Zk, que ser´a

mais conveniente que Zk, do ponto de vista t´ecnico, da seguinte forma:

Zk+1 = Zk+  F_M(k)−M +1 X i=1 ξ(k+1)_i . (5.2)

Essa forma de definir o processo Zk que ser´a utilizada nos lemas da pr´oxima se¸c˜ao

que envolverem esse processo. Al´em disso, vamos continuar denotando por ( ˜Zk)k≥0 o

processo Zk interrompido ao chegar no zero.

Agora vamos definir recursivamente um processo que ser´a denotado por (Wk)k≥0 da

seguinte forma:

W0 = 0 e Wk+1 = F (k)

(Wk+1)∨M, para k ≥ 0

.

Com isso, podemos apresentar o Lema 5.2, que pode ser encontrado em [9] e nos permite, atrav´es desse processo auxiliar, relacionar o passeio aleat´orio excitado com o (µ, ν)-PRM, na forma apresentada na subse¸c˜ao 5.2.1 (express˜ao5.1).

Lema 5.2. Seja Zk = Wk+1− F (k)

M , ent˜ao temos que o processo (Zk)k≥0 ser´a um (µ, ν)-

PRM em que µ ter´a distribui¸c˜ao geom(1₂) e ν ter´a a distribui¸c˜ao de ηk = F (k)

M − M + 1

(todo ηk tem a mesma distribui¸c˜ao, independente do k), sob a hip´otese de que o PAE

Demonstra¸c˜ao. Pela defini¸c˜ao do processo Zk, temos que: Z0 = F (0) 1∨M − F (0) M = 0 e Zk+1 = Wk+2− F (k+1) M = F (k+1) (Wk+1+1)∨M − F (k+1) M

Note que esse ´ultimo termo equivale ao n´umero de fracassos no s´ıtio k + 1 entre o M −´esimo e o ((Wk+1+ 1) ∨ M )−´esimo sucesso. Logo, denotando por ξ

(k+1)

i o n´umero

de fracassos na sequˆencia Y_j(k+1) entre o (M + i − 1)−´esimo e o (M + i)−´esimo sucesso, temos: F_(W(k+1) k+1+1)∨M − F (k+1) M = Wk+1+1−M X i=1 ξ(k+1)_i Pela defini¸c˜ao dos Z_k0s, podemos escrever Wk+1= Zk+ F

(k) M , logo: Wk+1+1−M X i=1 ξ_i(k+1) = Zk+FMk+1−M X i=1 ξ_i(k+1) = Zk+ηk X i=1 ξ_i(k+1)

Note que, para todo j > M , temos que as vari´aveis Y_j(k) possuem igual probabilidade de assumir sucesso ou fracasso (pois j´a n˜ao haver´a mais cookies em k), Com isso, segue que as vari´aveis ξ_i(k) s˜ao i.i.d. geom(1₂).

Por fim, resta apenas verificar a independˆencia entre (ξ_i(k))i≥1 e ηk. Para isso, basta

perceber que ηk = F (k)

M − M + 1 depende apenas das vari´aveis Y (k)

m com ´ındices de 1 at´e

F_M(k)+ M (n´umero total de tentativas at´e M sucessos, inclusive), enquanto que ξ_i(k) conta o n´umero de fracassos de Ym(k) entre o (M + i − 1)−´esimo e o (M + i)−´esimo sucesso.

Portanto, n˜ao h´a sobreposi¸c˜ao dos ´ındices utilizados em ηk com os de ξ (k)

i . Agora note

que at´e F_M(k)+ M saltos, certamente ser˜ao esgotados todos os cookies do s´ıtio k e com isso, segue a independˆencia.