Diferentemente das outras atividades, nessa não houve questões de generalização próxima. Havia somente o padrão representado em uma figura. Para construí-lo no software, os alunos deveriam observá-lo no “mundo geral”, para perceberem sua movimentação na tela do computador, reproduzindo-o no “meu mundo”.
A primeira questão (Figura 38) já pedia para que os alunos descobrissem a regra que resultava no total de quadrados do padrão para qualquer nível dele. O intuito dessa mudança foi descobrir se os alunos eram capazes de generalizar uma regra somente utilizando o MiGen, sem questões que pudessem contribuir para uma análise e generalização do padrão.
Nessa atividade também era pedido o número total de quadrados de um padrão cujo número de elementos fosse sempre par. Nesse caso, o objetivo era estudar se os alunos entenderiam que para o número de elementos ser sempre par ele deve ser múltiplo de dois, ou seja, no caso desse padrão, que era composto de flores, sempre deveriam aparecer na tela do computador um número par de flores. Assim, o que se repetiria de um nível para o outro seria duas flores e não uma.
Figura 38 - Atividade 5 ATIVIDADE 5 - FLORES
Um exemplo de uma flor é mostrado abaixo. Ela contém 5 quadrados amarelos, que representam as pétalas, e 5 quadrados verdes, que representam o caule.
Figura 3: Flor com 5 quadrados amarelos (pétalas) e 5 quadrados verdes (caule)
1. Encontre a regra que relacione o número de quadrados de pétalas amarelas (quadrados amarelos) com o número de folhas verdes (quadrados verdes) quando uma flor como a da figura acima se repete na tela do computador um número n de vezes (n finito).
2. Encontre a regra que relacione o número de quadrados de pétalas amarelas (quadrados amarelos) com o número de folhas verdes (quadrados verdes) quando flores como a da figura acima se repetem na tela do computador um número n de vezes (n finito), de modo que se tenha um número par de flores
Fonte: Próprio autor
Após determinarem essas duas expressões, na terceira questão o objetivo era que os alunos relacionassem-nas. Para isso, deveriam comparar as respostas visando perceber o que se alterou de uma para outra.
Todos os alunos usaram a estratégia explícita para responder a primeira e a segunda questão. O fato de a generalização exigida ser distante contribuiu para o uso dessa estratégia (BARBOSA, 2010). Na terceira questão não se fazia necessário o uso de uma estratégia de generalização, visto que ela não pedia aos alunos para generalizarem algo, mas apenas para comparar as respostas das duas questões anteriores.
Ao utilizar o MiGen para construir o padrão, as três duplas cometeram um mesmo erro. A seguir, descreverei os passos de como Leandro e Laura construíram o padrão no software, visando exemplificar o erro cometido por todos.
Quem manipulou o mouse nessa atividade foi Laura. Inicialmente, ela construiu o padrão de uma flor no MiGen, começando pelas pétalas (quadrados amarelos). No momento de colocar os quadrados verdes, que representavam o caule da flor, Laura fica em dúvida e questiona Leandro:
Laura: Onde coloco esse [arrastando o quadrado verde com o mouse]? No segundo, não é?
Leandro: É, no segundo e depois no primeiro.
No diálogo dos dois, as palavras “primeiro” e “segundo” representam as linhas dos quadrados do caule de cima para baixo, como mostra a Figura 39.
Figura 39 - Representação da figura construída por Laura e Leandro.
Fonte: Próprio autor
Após construir a figura, Laura não quis mais manusear o mouse, e Leandro a incentivou, dizendo que a ajudaria na atividade. Mesmo Laura revezando com Leandro no manuseio do computador, ela ainda não se sentia a vontade em utilizar o mouse na frente de Leandro pela pouca habilidade que tinha com computadores. Após o incentivo de Leandro, Laura decidiu manipular o software.
Leandro: Vai Laura, eu te ajudo. Primeiro, selecione todos os amarelos.
Laura: Só os amarelos?
Leandro: É. Clica em cada um.
[Laura clicou em cada um dos quadrados amarelos. Leandro estava segurando o botão SHIFT do teclado, o que permitiu selecionar todos os quadrados um por um]
Laura: E agora?
Leandro: Agora forma um bloco. [Laura forma um bloco de construção com os quadrados amarelos selecionados, dá ok e a janela de preencher quantos quadrados o bloco se locomoverá para a direita e para baixo se abre] E agora, quantos para o lado?
Laura: Quatro.
Leandro: Não tem que ser mais? Olhe, um, dois, três, quatro. [contando o número de quadrados na horizontal que formam a largura de uma flor]
Laura: Quatro? Para o lado? Zero para baixo? Leandro: É.
Dessa forma, Leandro e Laura desenvolveram a expressão “1 x 5”, que indicava quantos quadrados amarelos haveriam no padrão para qualquer número de flores, com o número 1 estando desbloqueado para que pudesse variar. Posteriormente, iniciaram a construção do padrão para os quadrados verdes, que representam o caule da flor. Selecionam todos os quadrados, criam um bloco de construção com eles, colocam os números quatro e zero nos espaços que indicam movimentação para a direita e para baixo, respectivamente, e criam também a expressão “1 x 5” para indicar quantos quadrados verdes haveriam no padrão para qualquer número de flores, também com o número 1 estando desbloqueado para que pudesse variar.
Arrastaram as duas expressões para a área de atribuição de cor e formaram a expressão “1 x 5 + 1 x 5”. Porém, ao apertarem play, a variação de ambos os
números 1 foi diferente, fazendo com que hora houvessem mais pétalas, hora houvessem mais caules. Isso aconteceu pelo fato de os alunos utilizarem números 1 diferentes no momento de criar o padrão, isto é, quando criaram o bloco de construção das pétalas, digitaram um número 1 no gerador de números, e quando criaram o bloco de construção dos caules, digitaram novamente um número 1 no gerador de números. Quando desbloqueados, o MiGen entende que, como os números não são os mesmos (no sentido de que novos números foram inseridos repetidas vezes), a variação pode ser diferente para cada um deles.
Para que a variação fosse a mesma para os blocos de pétalas e caules, era necessário que os alunos utilizassem o número 1 usado para formular a expressão geral do número de quadrados das pétalas para formular também a expressão geral do número de quadrados do caule. Isso poderia ter sido feito arrastando o número 1 da expressão geral do total de quadrados das pétalas para compor a expressão geral do total de quadrados do caule.
Percebido o erro, os alunos optaram por iniciar a atividade novamente. Dessa vez, Laura criou uma flor, selecionou todos os quadrados dela e formou um bloco de construção, preenchendo com o número quatro o valor de quadrados que o padrão se deslocaria para a direita e com o número zero o valor de quadrados que o padrão se movimentaria para baixo. Essas ações que Laura executou foram feitas sem ela conversar com Leandro. Ao clicar em ok, as janelas mostradas na Figura 40 apareceram.
Figura 40 - Propriedades do padrão de flores construído por Leandro e Laura.
Fonte: Próprio autor
Na figura acima, todos os números 1 estão desbloqueados. Isso garantiu que quando os alunos tornassem o padrão dinâmico clicando no ícone play, a variação do número de quadrados verdes e amarelos que compõem o padrão fosse a mesma.
A partir desse erro, tomarei como exemplo a resolução da primeira questão de Leandro e Laura para explicar o significado desses números 1 na expressão geral do padrão. Devido à má qualidade de visualização, transcreverei as respostas dos alunos.
Transcrição da resposta de Leandro:
“n x 10 : 2 = 5 verdes e 5 amarelos.” – puxa uma seta de n e do número 10 e escreve, respectivamente, “número de flores” e “número de quadrados da flor”. [continua a resolução]
“5 x n = número de quadrados amarelos +
5 x n = número de quadrados verdes 5 x n + 5 x n.”
Transcrição da resposta de Laura: “n x 10” – puxa uma seta de n e do número 10 e escreve, respectivamente, “número de flores x número de quadrados da flor” [ continua a resolução]
“Amarelo = 5 Verde = 5
5 x n + 5 x n” – puxa uma seta de cada número 5 e escreve, respectivamente, “amarelo” e “verde”.
Como é possível verificar, a expressão que ambos os alunos encontraram para o total de quadrados do padrão é 5 x n + 5 x n, onde n é o total de flores do padrão. O número 1 faz, portanto, o papel de n, que é o número que pode variar. Se ele variasse de modo distinto, então seria o mesmo que considerarmos variáveis distintas na expressão geral.
A segunda questão foi respondida de modo mais direto por todas as duplas. Eles compreenderam que para obter um número par de flores deveriam considerar o padrão que se repete como sendo composto por duas flores. Como exemplo de respostas obtidas, transcrevo a de Joana e a de Naiara, alunas de duas duplas diferentes.
Transcrição da resposta de Joana:
“Em vez de nós colocarmos 1 figura que é ímpar, nós colocamos 2 figuras para variar só números par.
n x 10 + n x 10 = v
Transcrição da resposta de Naiara: “2 flores
(n . 10) + (n . 10) = v V = número de flores n = número qualquer
Para um número dar sempre par, duplicamos o padrão utilizando 2 flores. Somando as verdes e as amarelas temos o número de flores.”
Na resposta da terceira questão, as duplas conseguiram explicar a relação entre as expressões obtidas na primeira e segunda perguntas. Para exemplificar, apresento na Figura 41 a resposta de Helen.
Figura 4135 - Resposta de Helen para a terceira questão
Fonte: Próprio autor
É possível ver que Helen, assim como os outros alunos, conseguiu perceber que a expressão da segunda questão era o dobro da expressão da primeira, e que isso aconteceu pois o número de flores do padrão foi dobrado.