Atividade Física e Funcionamento Cognitivo

CAPÍTULO II REVISÃO DA LITERATURA

.400 (a) 0 min (MPa) 400 400 max (MPa) 0 -400 -400 (b) 0 min (MPa) 400 400 max (MPa) -400 -400

0 min (MPa) 400 400 max (MPa) ° -400 -400 (d) 0 min (MPa) 400

Atividade Física e Funcionamento Cognitivo

CAPÍTULO II REVISÃO DA LITERATURA

3. Atividade Física

3.2. Atividade Física e Funcionamento Cognitivo

Le problème du passage direct de la PSD du processus s{t) au comptage des cycles rainflow

a ensuite été résolu par une théorie rigomreuse basée, d’une part, sur la définition d’un cycle

rainflow proposée en 1987 par Rychlik [30] et d’autre part, sur la théorie des chaînes de Markov.

En effet, un cycle rainflow, tel qu’il est illustré Fig. 2.15, peut être mathématiquement caractérisé

de la façon smvante :

Considérons la contrainte s{t) où t G [0,T] et le maximiun de la contrainte M, de niveau k se

produisant au temps U. Nous pouvons définir les étendues (m[". Mi) et {Mi, ml) où :

- m~ est le minimum de s{t) qui se trouve entre le dernier passage à pente négative de s{t) par

le niveau k et le maximum Mi. Ce minimum se trouve à gauche de Mi et se produit au temps

^r-- mf est le minimum de s{t) qui se trouve entre Mi et le premier passage à pente positive de

s{t) par le niveau k. Ce minimum se trouve à droite de Mi et se produit au temps tf.

S’il n’existe pas de passage de s{t) par le niveau k avant ou après le temps U, alors respectivement

t~ — 0 ou tl = T. Le cycle rainflow extrait au temps U est alors déflni, soit comme l’étendue

{mH'/'^,Mi), soit {Mi,ml^^). Ce minimum est déterminé en apphquant la condition :

= 7 = 1 “ax(m“,mt) si t~ > 0

F

. 2.15 - Caractérisation mathématique d’un cycle rainflow

L’implémentation de cette définition donne des résultats identiques à ceux obtenus en appüquant

la procédure décrite au § 2.1.4 (voir Rychlik [30]).

Ensuite, nous supposons que le processus des extrema peut être modélisé par une chaîne de

Markov. La contrainte est alors discrétisée en un nombre M de niveaux, le processus des extrema

devient alors un processus discret. Si rijk représente le nombre de transitions arrivant à un

extremum de niveau k partant d’un extremum de niveau j, la probabihté conditionnelle tjk

d’observer une transition vers un niveau k sachant que l’extremum précédent est de niveau j

peut s’écrire :

tjk — f^jkf ^ ^ (2.39)

Le nombre de transitions peut être observé sirr une réaüsation du processus s{t), mais également

être déterminé théoriquement à partir d’une PSD, comme nous le verrons par la suite. La matrice

T = tjk peut être divisée en deux matrices triangulaires, la matrice triangulaire supérieure

U = Ujk et la matrice triangulaire inférieure D = djk définies par :

U = Ujk = P{Mn = k\m,n-i = j) D = djk — P{mn = k\Mn-i = j) (2.40)

où l’indice n est le rang de l’extrema.

Selon la théorie des chaînes de Markov à un pas de mémoire, que suit le processus des extrema

de s{t), la probabhhté conditionnelle de transition vers un extremum de niveau k sachant que

le précédent est au niveau j est indépendante des niveaux des extrema précédents. Il est alors

possible de déterminer par manipulations matricielles sur U et D, la probabilité d’observer

un cycle rainflow (k,j) d’un maximum de niveau k vers un minimum de niveau j. Selon la

définition illustrée Fig. 2.15, elle est égale à la probabilité d’observer une transition, à droite,

d’un maximum de niveau k au x-ième maximum de niveau supérieur à k tel que le plus petit

minimum intermédiaire est au niveau j, alors qu’à gauche le plus petit minimum situé entre le

précédent maximum de niveau supérieur à fc et le maximum considéré est inférieur k j. Il est

également possible de calculer la configuration inverse à savoir le cas où rrfP = j est à gauche

du maximum considéré, la somme des deux donnant une matrice de probabilité rainflow. Cette

démarche et les calculs matriciels correspondants sont par exemple développés par Olagnon [23].

2 Calcul des cycles rainHow à partir d’une PSD 29

La validité de cette méthode de Markov à partir d’une matrice de transition observée sur des

historiques de la contrainte a été établie par Rychlik [31] en 1989.

F

. 2.16 - Méthode de Markov apphquée au processus rmimodal pour e = 0.03 : (a) matrice

de transition observée, (b) matrice rainflow observée, (c) matrice de transition théorique, (d)

matrice rainflow théorique.

Mais comme nous l’avons mentionné ci-dessus, le problème se situe dans l’étape intermédiaire

qui est le calcul de la matrice de transition rijk à partir d’un spectre donné. Dans l’une des

premières études montrant un calcul complet des cycles rainflow à partir d’une PSD à l’aide de

la méthode de Markov, Bishop & Sherratt [4] utilisent, pour calculer la matrice de transition,

la formule de Kowalewski [16] basée sur les moments spectraux :

Tijk = 2 T E[M

] ^-3 ^ ^-ü^+fc"+2jfc(27^-i))/(8ah^(i-7^))

(2<T

7)2 (Ja^2-K{\ - 7^) (2.41)

où T est la durée de la séquence de chargement et E[M

] le nombre de maxima par unité de

temps du processus s{t). Toutefois cette approximation n’est pas très performante, sintout dans

le cas des processus large bande (Pitoiset et al. [26]).

Une méthode alternative, dite méthode de régression, donnant la matrice de transition exacte

à partir d’une PSD a ensuite été développée par Lindgren & Rychlik [19]. L’utilisation de cette

méthode de régression et son apphcation à l’analyse rainflow sont illustrés dans Prendhal &

Rychlik [14], Rychhk et al. [34].

Notons enfin que la méthode de Markov peut être appliquée dans le sens inverse, c’est-à-dire pour

reconstruire des séquences de chargement à partir d’une matrice rainflow donnée. Un comptage

rainflow sur l’une des séquences reconstruites donne alors la matrice rainflow initiale (Rychlik

[33], Dressler et al. [11]).

Afin de montrer les résultats qui peuvent être obtenus en appliquant la méthode de Markov,

nous avons traité le cas d’un processus bande étroite et d’un processus large bande. A titre

d’exemple, il s’agit respectivement du processus unimodal avec un amortissement Ç = 0.03 et du

processus bimodal avec un amortissement modal ^ = 0.03 et une distance entre les fréquences

] ^{^-3} ^{^} ^{^-ü^+fc"+2jfc(27^-i))/(8ah^(i-7^))}

7)2 (Ja^2-K{\ - 7^) ^(2.41)

spécifiques à la résolution des problèmes statistiques fiés aux processus aléatoires et plus par