Atividade VII: Estudo do gráfico da função afim

Na Atividade VII, os professores deveriam fazer o estudo do gráfico de uma função afim aproveitando o dinamismo oferecido pelo GeoGebra, principalmente no que diz respeito a manipular os coeficientes, tanto angular como linear. Para tanto, inicialmente, os professores deveriam configurar a caixa de ferramentas de tal forma que apenas as ferramentas Mover, Seletor e Transladar janela de visualização ficassem visíveis, conforme a Figura 35.

Figura 35: caixa de ferramentas do GeoGebra configurada com as ferramentas Mover, Seletor e Transladar janela de visualização.

Após isso, os professores deveriam configurar a ferramenta Seletor, de tal forma que o intervalo de variação ficasse entre -50 e +50. A Figura 36 mostra a janela de configuração da ferramenta Seletor.

Figura 36: janela de configuração da ferramenta Seletor.

Os professores deveriam, então, explorar a ferramenta Seletor, identificando que ela fornece a possibilidade de mudança nos valores dados a uma variável.

Após isso, os professores tiveram que criar dois seletores, denominados “a” e “b”, e, na sequência, digitar, no campo de entrada do GeoGebra (Figura 31), o seguinte: “f(x) = a*x+b”. Com isso feito, os professores deveriam responder alguns questionamentos, que sofreram alterações entre as oficinas.

Na oficina piloto, os questionamentos foram:

• Observe na janela algébrica quais são os objetos livres e quais são os objetos dependentes. Explique essa diferença de caracterização.

• Mova os seletores. O que você observa na janela algébrica? E na janela geométrica?

• O que a mudança no valor do seletor “a” causa na representação gráfica da função? Exemplifique.

• O que a mudança no valor do seletor “b” causa na representação gráfica da função? Exemplifique.

• Em qual situação o gráfico da função f(x) = ax + b é paralelo ao eixo das abscissas? Como você justifica isso matematicamente?

• Em qual situação o gráfico da função f(x) = ax + b é perpendicular ao eixo das abscissas? Como você justifica isso matematicamente.

Nas oficinas 2 e 3, em consequência dos resultados que serão apresentados na análise desta atividade, as duas últimas questões foram modificadas para:

• Quando duas retas são paralelas? Em qual situação o gráfico da função f(x) = ax + b é paralelo ao eixo das abscissas? Como você justifica isso matematicamente?

• Quando duas retas são perpendiculares? Em qual situação o gráfico da função f(x) = ax + b é perpendicular ao eixo das abscissas? Como você justifica isso matematicamente?

4.7.1 Análise da Atividade VII

Na Atividade VII, no que diz respeito a configurar a caixa de ferramentas e utilizar a ferramenta Seletor, os professores não apresentaram dificuldades. Ao fazer a interpretação da mudança nos valores dos seletores, os professores conseguiram perceber que a variação nos valores do seletor “a” causava uma mudança na inclinação da representação gráfica da função dada por “f(x) = ax + b”, enquanto a variação nos valores do seletor “b” causava uma translação na representação gráfica da função dada por “f(x) = ax + b”. Verifica-se, assim, que os seletores “a” e “b”

representavam, respectivamente, o coeficiente angular e o coeficiente linear da função dada por “f(x) = ax + b”.

Porém, alguns professores não responderam corretamente em quais condições o gráfico da função “f(x) = ax + b” é perpendicular ao eixo das abscissas. Esperava-se que os professores identificassem, por meio da manipulação dos valores dos coeficientes, que a representação gráfica da função não poderia ser perpendicular ao eixo das abscissas, pois, se isso ocorresse, não haveria mais uma “f(x)”, porque, para um mesmo elemento do domínio da função, existiriam infinitas imagens.

O Quadro 8 mostra a evolução nos acertos dos professores na identificação das condições de paralelismo entre a representação gráfica e o eixo das abscissas e na identificação da não possibilidade da representação gráfica da função afim ser perpendicular ao eixo das abscissas.

Quadro 8: evolução nos acertos dos professores na atividade sobre o estudo do gráfico da função afim.

Oficina Quantidade de professores Identificaram corretamente a condição de paralelismo entre a representação gráfica da função afim e o eixo das

abscissas

Identificaram a não possibilidade da representação gráfica da

função afim ser perpendicular ao eixo das

abscissas

1 26 25 18

2 13 13 10

3 15 15 14

Na Figura 37 são ilustradas algumas explicações dos professores sobre as condições nas quais a representação gráfica da função afim é perpendicular ao eixo das abscissas.

Figura 37: alguns registros explicando as condições nas quais a representação gráfica da função afim é perpendicular ao eixo das abscissas.

Com os resultados da oficina piloto e buscando-se uma maior reflexão dos professores sobre as condições necessárias para que a representação gráfica de uma função afim seja perpendicular ao eixo das abscissas, procurou-se, na face reflexiva do Design Experiments, que permite que conjecturas sejam testadas no experimento, uma mudança no modelo da oficina. Neste caso, da oficina piloto para a oficina 2, incrementou-se um questionamento de reflexão aos professores. Assim, as questões que na oficina piloto eram apresentadas como:

• Em qual situação o gráfico da função f(x) = ax + b é paralelo ao eixo das abscissas? Como você justifica isso matematicamente?

• Em qual situação o gráfico da função f(x) = ax + b é perpendicular ao eixo das abscissas? Como você justifica isso matematicamente?

foram alteradas para:

• Quando duas retas são paralelas? Em qual situação o gráfico da função f(x) = ax + b é paralelo ao eixo das abscissas? Como você justifica isso matematicamente?

• Quando duas retas são perpendiculares? Em qual situação o gráfico da função f(x) = ax + b é perpendicular ao eixo das abscissas? Como você justifica isso matematicamente?

Ainda com um resultado não satisfatório na oficina 2 e levando-se em conta os erros conceituais nas respostas dos professores, tentou-se minimizar a ocorrência das “Variáveis de aprendizagem” do Design Experiments, que trata do conhecimento dos sujeitos participantes da pesquisa, inserindo-se no início da atividade a conceituação de função.

Levando-se em consideração a evolução apresentada entre uma oficina e outra, verificou-se que as mudanças propostas apresentaram efeitos positivos. A Atividade VII permitiu a ocorrência das várias interações instrumentais. São elas:

• a relação sujeito-objeto apresenta indícios de que se estabeleceu com êxito, uma vez que os sujeitos conseguiram fazer a análise dos significados dos coeficientes da função afim;

• a relação sujeito-instrumento apresenta indícios de que se estabeleceu com sucesso, uma vez que os professores conseguiram configurar corretamente a caixa de ferramentas, fazendo seu uso de forma satisfatória;

• a relação instrumento-objeto apresenta indícios de que se estabeleceu com sucesso, uma vez que o software GeoGebra atendeu às necessidades de representação gráfica da função afim;

• a relação sujeito-objeto mediada pelo instrumento, como consequência da boa realização das demais interações, apresenta indícios de que se estabeleceu com êxito.

Essa relação sujeito-objeto mediada pelo instrumento fica evidente no registro de um dos professores participantes ao fazer o estudo das condições nas quais a representação gráfica da função afim é perpendicular ao eixo das abscissas. A Figura 38 mostra que o sujeito alterou as características do instrumento, formulou hipóteses e chegou à conclusão da impossibilidade.

Figura 38: relato que evidencia a relação sujeito-objeto mediada pelo instrumento.

Por meio dos avanços dos resultados obtidos nas três oficinas realizadas, pode-se dizer que a Atividade VII foi desenvolvida de forma satisfatória no ambiente do modelo SAI de Rabardel (1995), caracterizando, então, a ocorrência dos processos de instrumentalização e instrumentação da Gênese Instrumental. Ressalta-se que a atividade trabalha de forma bem interligada as relações entre dois tipos de representações de uma função afim: a algébrica e a geométrica.