Neste capítulo, aproundamos os conceitos reerente a probabilidades, estudando as Distribuições Estatísticas de Probabilidades. Com os novos conceitos, podemos vericar maiores aplicações das proba- bilidades na resolução de problemas com enoques dierenciados daqueles vistos no capítulo anterior. Devemos destacar as Distribuições Binomial, Normal e de Poisson, mais comuns em situações cotidianas.
1. Uma moeda é lançada 6 vezes. Qual a probabilidade de observarmos exatamente duas caras? 2. Um dado é lançado 5 vezes. Qual a probabilidade de que o “4” apareça exatamente 3 vezes? 3. Uma pessoa tem probabilidade 0,2 de acertar num alvo toda quando atira. Supondo que às
vezes que ela atira são ensaios independentes, qual a probabilidade de ela acertar no alvo exa- tamente 4 vezes, se ela dá 8 tiros?
4. A probabilidade de que um homem de 45 anos sobreviva mais 20 anos é 0,6. De um grupo de 5 homens com 45 anos, qual a probabilidade de que exatamente 4 cheguem aos 65 anos? 5. Uma moeda é lançada 6 vezes. Qual a probabilidade de observarmos ao menos uma cara? 6. Um time de utebol tem probabilidade p = 3/5 de vencer todas as vezes que joga. Se disputar
5 partidas, qual a probabilidade de que vença ao menos uma?
7. Numa estrada há dois acidentes para cada 100 km. Qual a probabilidade de que em: a) 250 km ocorram pelo menos 3 acidentes?
b) 300 km ocorram 5 acidentes?
8. A experiência mostra que de cada 400 lâmpadas, 2 se queimam ao serem ligadas. Qual a pro- babilidade de que numa instalação de:
a) 600 lâmpadas, no mínimo 3 se queimem? b) 900 lâmpadas, exatamente 8 se queimem?
9. Numa linha adutora de água, de 60 km de extensão, ocorrem 30 vazamentos no período de um mês. Qual a probabilidade de ocorrer, durante o mês, pelo menos 3 vazamentos num certo setor de 3 km de extensão?
10. Sabe-se que X tem distribuição Normal com média igual a 60 e variância M. Sabe-se também que P (X≥70) = 0,0475. Qual o valor de M? Resposta arredondada para o inteiro mais próximo.
11. X tem distribuição Normal com os seguintes parâmetros: Média aritmética = 30 Variância = 16 Qual a probabilidade de (X≥40)? 12. X é N(20; 49). Calcular P(X < 30). 13. X é N(10; 100). Calcular P(12≤X≤20). 14. X é N(30; 16). Calcular P(X≤19). 15. X é N(20; 25). Calcular P(X≤30). 16. X é N(50; 81). Calcular P(40≤X≤60). 17. X é N(10; 16). Calcular P(X≥5).
18. Um teste padronizado de escolaridade tem distribuição normal com média 100 e desvio pa- drão 10. Determine a probabilidade de um indivíduo submetido ao teste ter nota:
a) maior que 120; b) maior que 80; c) entre 85 e 115; d) maior que 100.
19. Os pesos de 600 estudantes são normalmente distribuídos com média 65,3 kg e desvio padrão 5,5 kg. Determine o número de estudantes que pesam:
a) entre 60 kg e 70 kg; b) mais que 63,2 kg; c) menos que 68 kg.
20. Os salários dos diretores das empresas de São Paulo distribuem-se normalmente com média de R$ 8.000,00 e desvio padrão de R$ 500,00. Qual a porcentagem de diretores que recebem:
a) menos de R$ 6.470,00?
Este material oi elaborado para você, o(a) aluno(a) da área de Ciências Exatas, atingir os objetivos de aprendizagem propostos para esta disciplina. Com a leitura desta apostila e a realização dos exercícios propostos, espera-se que você consiga desenvolver as habilidades e os conhecimentos que contribuem com a ormação do(a) prossional egresso(a) desta área.
O aproundamento dos assuntos apresentados e a ampliação de outros conhecimentos podem ser adquiridos através dos livros citados nas Reerências e em outras obras relacionadas com esses temas.
Para o aproveitamento completo da disciplina, é undamental que você utilize os recursos disponí- veis no portal (correio,chat e órum), assista às aulas webe às aulas transmitidas via satélite, e realize as atividades avaliativas e a prova presencial de maneira satisatória.
Espera-se que as suas expectativas possam ser atingidas, coloco-me à disposição para as críticas em relação a esta obra.
Um orte abraço.
Prof. Hercules Sarti
CONSIDERAÇÕES FINAIS
CAPÍTULO 1
1. 10 2. 6 3. 12 4. 12 5. 6 6. 6
As questões 1 e 2 reerem-se a combinações. As questões 3 e 4 reerem-se a arranjos simples. Já as questões 5 e 6 reerem-se a permutações.
7. a) 1.320 b) 3.003 8. a) 2 b) 7 c) 5
Na questão 7, desenvolva os atoriais maiores até atingirem os atoriais menores e, simplique as rações. Faça o mesmo nas equações da questão 8, simplicando e eliminando os atoriais.
9. 72 10. 24 11. 720 12. 4
No exercício 9, usar arranjo com n = 9 e p = 2. Na questão 10, usar permutação para n = 4. Na 11, usar permutação para n = 6.
No 12, usar os conceitos de permutação, simplicando os atoriais.
13. a) 24 b) 48 c) 120 14. 35 15. 14
No 13, usar permutações: a) P4= 24, b) 2.P4= 48, c) P5= 120.
No 14, usar combinação: C7,3= 35. No 15 azer C7,2= 21 segmentos e subtrair o número de lados, ou seja, 21 – 7 = 14 diagonais.
16. a) 11 b) 8 17. 24 18. 504
No 16, usar a órmula de combinações, simplicar os atoriais e calcular o valor de n. No 17, azer 1.P4= 24. No 18, usar arranjo: 1 . 9 . 8 .7 = 504.
19. 120 20. 11 21. m = 7; n = 8
No 19 azer C10,3= 120. No 20 usar as órmulas de arranjo e combinação, simplicar os atoriais e obter n = 11.
No 21, resolver o sistema de equações.
22. 35 23. a) 630 b) 252 c) 378 24. 1.000 25. 6.720 a) No 22 azer C7,4= 35. No 23, usar combinação: a) C3,1. C10,4;
b) b) C3,1. C9,3; c) C3,1. C9,4. No 24, usar arranjos: 1 . 10 . 10 . 10 = 1000. c) No 25, permutação com elementos repetidos: 8! : 3! = 6720.
26. 30.240 27. 48 28. 15 29. 13 30. 21
No 26, permutação com elementos repetidos: 9! : (3!2!) = 30240.
No 27, P . P4= 48. No 28, usar combinação: C6,2= 15. No 29, usar combinação: C6,2– C3,2+ 1= 13. No 30, usar combinação: C7,2= 21.
No E25, permutação com elementos repetidos: 8! : 3! = 6720.
31. 120 32. 101 33. 720 34. a) 250 b) 48 No 31, usar combinação: C10,3= 120. No 32: C10,3– C6,3+ 1= 101. No 33, usar arranjo: A10,3= 720. No 34, usar arranjos: a) 5 . 5 . 5 . 2 = 250; b) 4 . 3 . 2 . 2 = 48. 35. a) 5.040 b) 144 36. 2260 37. 120 No 35, usar permutação: a) 7! = 5040; b) 4! 3! = 24 . 6 = 144.
No 36, calcular a quantidade de números ímpares e subtrair a quantidade que tem algarismos re- petidos. 37. Usar: P5= 5! = 120.
No E25, permutação com elementos repetidos: 8! : 3! = 6720.
38. a) 14.400 b) 10.800 c) 720 d) 4320 39. 34.560 40. 35 No 38, usar permutação: a) 5 . 6! . 4 = 14400; b) 3 . 6! . 5 = 10800;
c) 6! = 720; d) 6! . 3! = 4320. No 39, P2. P4. P6= 34560.
No 40, permutação com elementos repetidos: 7! : (4! . 3!) = 35. 41. a) 20 b) 120 42. a) 924 b) 3043. 70
No 41: a) C6,3= 20; b) A6,3= 120. No 42: a) C12,6= 924; b) A6,2= 30.
No 43, usar combinações: C9,3– C5,3– C4,3= 84 – 10 – 4 = 70.
44. 1.680 45. a) 120 b) 246 c) 66
No 44, usar combinações: C9,3 . C6,3. C3,3= 1680. No 45, usar combinações: a) C6,3. C4,2= 120; b) C4,1. C6,4+ C4,2. C6,3+ C4,3. C6,2+ C4,4. C6,1= 246; c) C4,0. C6,5+ C4,1. C6,4= 66.
46. a) 28560 b) 32485 c) 24948 d) 31608 e) 84735 47. 182
No 46, usar combinações: a) C4,1. C36,3= 28560; b) C4,1. C36,3+ C4,2. C36,2+ C4,3. C36,1+ C4,4. C36,0= 32485; os itens c, d e e são análogos.
No 47, usar combinações: C2,1. C8,3+ C2,0. C8,4= 120 + 70 = 182.
48. 24 49. 5.040
Na questão 48, cada menino deve receber 5 bolinhas de cada cor, subtrair 10 bolinhas de cada uma das cores e usar o princípio multiplicativo com as bolinhas restantes. 49. P7= 5040.
50. 240 51. 5
No 50, usar permutação com elementos repetidos: 7! : (3! . 2!) = 420. Dos 420 números, são ímpares 4/7, ou seja 240. 51. Usar permutação com elementos repetidos: (n + 3)! : (n! . 3!) = 8n + 16 e resol- ver a equação.
CAPÍTULO 2
1. ¼ 2. a) 1/6 b) 1/36 c) 1 d) 5/36 e) 31/36 ) 1/36 g) 0 h) 5/18 i) 1/9
1. Há duas bolas vermelhas num total de 8 bolas, resultando em 2/8.
2. No lançamento de dois dados, temos 36 possibilidades, determine a quantidade de elementos de cada evento e estabeleça a sua probabilidade.
3. 1 4. a) 2/3 b) 1/3
3. Na cidade há 1.000 eleitores e 510 já se decidiram denitivamente pelo candidato A. Logo, o candidato A tem a maioria dos votos e será eleito (evento certo). 4. Considere o espaço amostral ormado por 2 caras e 1 coroa, resultando em 2/8.
E53: No lançamento de dois dados, temos 36 possibilidades, determine a quantidade de elemen- tos de cada evento e estabeleça a sua probabilidade.
5. a) 1/52 b) 1/13 c) ¼ d) 3/13 e) 12/13
5. Considere o espaço amostral ormado por 52 elementos. Estabeleça o número de elementos de cada evento. Monte as probabilidades em orma de rações e simplique-as sempre que possível. E53: No lançamento de dois dados, temos 36 possibilidades, determine a quantidade de elemen- tos de cada evento e estabeleça a sua probabilidade.
6. a) 3/10 b) 2/10 c) ½ 7. 1/54
6. Considere o espaço amostral ormado por 10 bolas. Estabeleça o número de elementos de cada evento. Monte as probabilidades em orma de rações e simplique-as sempre que possível. 7. n(S) = 6³ = 216.
E53: No lançamento de dois dados, temos 36 possibilidades, determine a quantidade de elemen- tos de cada evento e estabeleça a sua probabilidade.
8. P(B) = 1/3; P(D) = 1/6 9.½
8. Use A = 2x , B = 2x, C = x e D = x. A soma das probabilidades é 1. Logo 6x = 1 e x = 1/6. 9. Use a soma das probabilidades é igual a 1.
10. P(A) =1/2; P(B) = 3/4; P(Ac) = 1/2; P(Bc) = 1/4; P(A∩B) = 1/4; P(A∪B) = 1.
10. Probabilidade de A, é dada por 1/8 + 1/8 + 1/4 = 1/2. Use o evento complementar P(Ac) = 1 – P(A). Determine a união e a intersecção dos conjuntos A e B, e suas probabilidades.
11. a) 5/7 b) 2/7 12. a) 2/5 b) 3/10 c) 1/10 d) 3/5
11. Somar 5 com 2, obtendo o denominador 7 da ração.
12. Montar os conjuntos em orma de diagramas, começando pela intersecção de 10 alunos. De- terminar as probabilidades.
13. a)1/6 b) 5/6 14. a) 1/3 b) 1/11 c) 19/33
13. Dois dados ormam um espaço amostral de 36 pares de números. Use também o evento com- plementar.
14. a) 4/12 = 1/3; b) 4/12 . 3/11 = 1/11; c) use combinações C12,2e outros diagramas, começando pela intersecção de 10 alunos. Determinar as probabilidades.
15. a) 2/11 b) 9/11 16. A = R$ 4.900,00 e B = R$ 700,00
15. usar permutações: a) (2. P10: P11); b) usar o evento complementar.
16. as chances de A são 7/8 (AAA), (AAB), (ABA), (BAA), (ABB), (BAB), (BBA) e as de B 1/8 (BBB). Fazer 7/8 x 5600 = 4900.
17. a) 1/50 b) 7/50 c) 7/25 d) 14/25 e) 11/25
17. Montar o diagrama representando os conjuntos e iniciar seu preenchimento pela intersecção. a)10/500 = 1/50, b) 70/500 = 7/50, c) 140/500 = 7/25, d) 280/500 = 14/25, e) União 220/500 = 11/25.
18. a) 21/50 b) 1/5
18. montar o diagrama representando os três conjuntos e iniciar seu preenchimento pela intersec- ção dos três. Depois, pelas interseções dois a dois: a) 21000/50000 = 21/50, b) 10000/50000 = 1/5. 19. a) 3/28 b) 25/28 20. 1/12
21. Usar permutações na probabilidade: a) (P3. P6): P8; b) Usar o evento complementar. 22. Permutações na probabilidade: (P3. P7): P9 23. 2/7 24. a) 0,3879 b) 0,000046 c) 0,0269 23. Usar combinações (C4, 2. C2, 1. C3, 2): C9, 5. 24. Usar combinações: a) C50, 5: C60, 5= 0,3879; b) C10, 5: C60, 5= 0,000046; c) (C50, 5. C10, 3): C60, 5= 0,0269. 25. a) 7/22 b) 5/33 26. 63/256 25. Usar combinações: a) C7, 2: C12, 2; b)C5, 2: C12, 2.
26. Determinar o espaço amostral n(S) = 210= 1024. Usar combinações para determinar o evento 5 caras, C10,5 = 252. A probabilidade é 252/1024 e simplique.
27. a) 2/3 b) 1/2 c) 4/5 d) 1
27. Usar probabilidade condicionada: a) 1/6 : 1/4; b) 1/6 : 1/3; c) lembre-se que A Ç (A È B) = A e calcular a união, resultando em1/3 : 5/12; d) P(A) : P(A) = 1.
28. a) 1/2 b) 3/5 29. a) 1/2 b) 1/3
28. a) 12 oram reprovados em Matemática, e, desses, 6 oram reprovados em Física, logo temos 6/12 = 1/2; b) 6/10 = 3/5.
29. a) (MF), (MM): P = 1/2; b) (MF), (MM), (FM): P = 1/3.
30. a) 1/3 b) 1/2 c) 1/3 d) 1/2 31. a) 1/2 b) 24/49 c) 1/5
30. a) {2, 4, 6} P = 1/3; b) {5, 6} P = 1/2; c) {1, 3, 5} P = 1/3; d) {1, 2 } P = 1/2. 31. a) 50/100 = 1/2; b) há 49 números menores que 50. Destes, 24 são pares; P = 24/49; c) 10/50 = 1/5.
32. a) 1/6 b) 1/5 c) 7/11 d) 1 e) 4/15 33. a) 1/2 b) 1/3
32. a) (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), P = 1/6; b) (1, 5), (5, 1), (2, 4), (4, 2), (3, 3), P = 1/5; os outros itens são análogos.
34. a) 13/25 b) 2/25 c) 19/25 d) 7/13 35. 1/5
34. Analisando a tabela dada, obtemos as probabilidades indicadas.
35. Montar uma tabela a partir do enunciado e determinar a probabilidade condicionada.
36. 3/5 37. 2/5 38. 1/6 39. a) 3/14 b) 2/7 c) 3/8 d) 1/8
36. Fazer C5,3e obter a probabilidade condicionada 6/10 =3/5. 37. Interpretar e obter a probabilidade P = 2/5.
38. Interpretar e obter a probabilidade P = 1/6. 39. a) 1/2 . 3/7 = 3/14; b) 1/2 . 4/7 = 2/7.
40. a) 4/35 b) 4/35 c) 4/15 41. 65/93 42. a) 11/28 b) 71/140 c) 1/10 43. a) 53/60 b) 7/60 44. 1/4 45. a) 11/30 b) 7/15 c) 1/6 46. a) 3/14 b) 33/56 c) 4/11 47. a) 1/6 b) 13/18 c) 3/13 48. 8/11 49. 24,6% 50. 1/21 51. a) 1/5 b) 11/15 c) 4/15 d) 2/15 e) 2/5 52. a) 0,2 b) 0,7 53. a) 1/24 b) 3/4 54. a) 1/20 b) 31/40 c) 9/40 CAPÍTULO 3 1. 0,2344 2. 0,03215 3. 0,0459 4. 0,2592 5. 0,9844 6. 0,98976 10. s² = 36 11. 0,0062 12. 0,9236 13. 0,262 14. 0,003 15. 0,9772 16. 0,733 17. 0,8944
CRESPO, A. A. Estatística ácil. São Paulo: Saraiva, 1994.
HAZZAN, S. Fundamentos da matemática elementar. São Paulo: Atual, 1993. LEVIN, J. Estatística aplicada a ciências humanas. São Paulo: Harbra, 1987. MORETTIN, L. G. Estatística básica: probabilidade. São Paulo: Makron, 1999.