Analise Combinatoria

(1)

Análise Combinatória

e

Probabilidad

es

Adaptada por Antonio Fernando Silveira Alves

(2)

(3)

A

PRESENTAÇÃO

É com satisação que a Unisa Di

É com satisação que a Unisa Digital oerece a você, aluno(a), esta apostila degital oerece a você, aluno(a), esta apostila de Análise Análise CombinCombinatória atória ee Probabilidades

Probabilidades, parte integrante de um conjunto de materiais de pesquisa voltado ao aprendizado dinâ-, parte integrante de um conjunto de materiais de pesquisa voltado ao aprendizado

dinâ-mico e autônomo que a educação a distância exige. O principal objetivo desta apostila é propiciar aos(às) mico e autônomo que a educação a distância exige. O principal objetivo desta apostila é propiciar aos(às) alunos(as) uma apresentação do conteúdo básico da disciplina.

alunos(as) uma apresentação do conteúdo básico da disciplina.

A Unisa Digital oerece outras ormas de solidicar seu aprendizado, por meio de recursos A Unisa Digital oerece outras ormas de solidicar seu aprendizado, por meio de recursos multidis-ciplinares, como

ciplinares, comochatschats, óruns, aulas, óruns, aulasweb,web,material de apoio ematerial de apoio ee-mail e-mail ..

Para enriquecer o seu aprendizado, você ainda pode contar com a Biblioteca Virtual: www.unisa.br, Para enriquecer o seu aprendizado, você ainda pode contar com a Biblioteca Virtual: www.unisa.br, a Biblioteca Central da Unisa, juntamente às bibliotecas setoriais, que ornecem acervo digital e impresso, a Biblioteca Central da Unisa, juntamente às bibliotecas setoriais, que ornecem acervo digital e impresso, bem como acesso a redes de inormação e documentação.

bem como acesso a redes de inormação e documentação.

Nesse contexto, os recursos disponíveis e necessários para apoiá-lo(a) no seu estudo são o Nesse contexto, os recursos disponíveis e necessários para apoiá-lo(a) no seu estudo são o suple-mento que a Unisa Digital oerece, tornando seu aprendizado eciente e prazeroso, concorrendo para mento que a Unisa Digital oerece, tornando seu aprendizado eciente e prazeroso, concorrendo para uma ormação completa, na qual o conteúdo aprendido infuencia sua vida prossional e pessoal.

uma ormação completa, na qual o conteúdo aprendido infuencia sua vida prossional e pessoal. A Unisa Digital é assim para você: Universidade a qualquer hora e em qualquer lugar!

A Unisa Digital é assim para você: Universidade a qualquer hora e em qualquer lugar!

Unisa Digital Unisa Digital

(4)

S

UMÁRIO

INTRODUÇÃO

...55

1

1 ANÁLISE COMBINATÓRIA

ANÁLISE COMBINATÓRIA

...77

1.1 Combinações Simples ...7 1.1 Combinações Simples ...7 1.2 Arranjos Simples ...7 1.2 Arranjos Simples ...7 1.3 Permutações Simples ...8 1.3 Permutações Simples ...8 1.4 Fatorial ...8 1.4 Fatorial ...8

1.5 Princípio Fundamental da Contagem...9

1.6 Cálculo do Número de Arranjos, Permutações e Combinações ...9

1.7 Combinações Complementares ...11

1.8 Arranjos com Elementos Repetidos 1.8 Arranjos com Elementos Repetidos ( ( AR AR))n n p,,p...12...12

1.9 Permutações com Elementos Repetidos ...12

1.10 Resumo do Capítulo ...13 1.10 Resumo do Capítulo ...13 1.11 Atividades Propostas ...14 1.11 Atividades Propostas ...14

2

2 PROBABILIDADES

PROBABILIDADES

...1919 2.1 A Teoria das Probabilidades ...19

2.1 A Teoria das Probabilidades ...19

2.2 Probabilidade Condicional ...22

2.3 Regra da Multiplicação e Probabilidade Total ...23

2.4 Independência de Eventos ...24 2.4 Independência de Eventos ...24 2.5 Resumo do Capítulo ...26 2.5 Resumo do Capítulo ...26 2.6 Atividades Propostas ...27 2.6 Atividades Propostas ...27

3 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES

...3737 3.1 Distribuição de Bernoulli ...37 3.1 Distribuição de Bernoulli ...37 3.2 Distribuição Geométrica ...38 3.2 Distribuição Geométrica ...38 3.3 Distribuição Binomial ...39 3.3 Distribuição Binomial ...39 3.4 Distribuição de Poisson ...40 3.4 Distribuição de Poisson ...40 3.5 Distribuição Normal 3.5 Distribuição Normal...41...41

3.6 Aproximação da Binomial pela Normal ...42

3.7 Resumo do Capítulo ...43

3.8 Atividades Propostas ...43

4

4 CONSIDERAÇ

CONSIDERAÇ

ÕES

FINAIS

...4747

RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS

...4949

REFERÊNCIAS

...5555

ANEXO

(5)

I

NTRODUÇÃO

Este material busca apresentar a você, aluno(a) da área de Ciências Exatas, na modalidade a Este material busca apresentar a você, aluno(a) da área de Ciências Exatas, na modalidade a dis-tância, um estudo a respeito da Análise Combinatória e Probabilidades como parte undamental da área tância, um estudo a respeito da Análise Combinatória e Probabilidades como parte undamental da área de Matemática, relacionada com a ormação para a disciplina de Estatística, que será apresentada nos de Matemática, relacionada com a ormação para a disciplina de Estatística, que será apresentada nos próximos módulos.

próximos módulos.

Os Problemas de Contagem que dão origem à Análise Combinatória são conceitos que antecedem, Os Problemas de Contagem que dão origem à Análise Combinatória são conceitos que antecedem, na maioria dos livros, os estudos relacionados com a Teoria das Probabilidades. Os conhecimentos de na maioria dos livros, os estudos relacionados com a Teoria das Probabilidades. Os conhecimentos de probabilidade são undamentais para estudos estatísticos, visto que as pesquisas trabalham com probabilidade são undamentais para estudos estatísticos, visto que as pesquisas trabalham com possi-bilidades.

bilidades.

Em Combinatória veremos, inicialmente, os conteúdos reerentes a Fatorial, Combinações, Arranjos Em Combinatória veremos, inicialmente, os conteúdos reerentes a Fatorial, Combinações, Arranjos e Permutações. Em continuidade, estudaremos as Combinações Complementares, os Arranjos com e Permutações. Em continuidade, estudaremos as Combinações Complementares, os Arranjos com Re- Re-petição e as Permutações com Elementos Repetidos. Numa segunda etapa, aremos o estudo da Teoria petição e as Permutações com Elementos Repetidos. Numa segunda etapa, aremos o estudo da Teoria das Probabilidades, incluindo a Probabilidade Condicional, a Independência de Eventos e os Teoremas das Probabilidades, incluindo a Probabilidade Condicional, a Independência de Eventos e os Teoremas da Multiplicação e da Probabilidade Total. Completando o estudo das Probabilidades, iremos trabalhar da Multiplicação e da Probabilidade Total. Completando o estudo das Probabilidades, iremos trabalhar com as Distribuições de Probabilidades, destacando as Distribuições de Poisson, Binomial e Normal. com as Distribuições de Probabilidades, destacando as Distribuições de Poisson, Binomial e Normal.

Espera-se que, com o término deste módulo, você tenha atingido os objetivos propostos para esta Espera-se que, com o término deste módulo, você tenha atingido os objetivos propostos para esta disciplina, e que ela contribua de orma signicativa para a sua ormação.

disciplina, e que ela contribua de orma signicativa para a sua ormação.

Hercules Sarti Hercules Sarti

(6)

ANÁLISE

ANÁLISE COMBINA

COMBINATÓRIA

TÓRIA

1

Caro(a) aluno(a), neste capitulo iremos Caro(a) aluno(a), neste capitulo iremos tra-tar dos problemas de contagem, que são a base tar dos problemas de contagem, que são a base da Análise Combinatória.

da Análise Combinatória.

A Análise Combinatória visa a A Análise Combinatória visa a desenvol-ver métodos que permitam contar o número de ver métodos que permitam contar o número de elementos de um conjunto, sendo que esses elementos de um conjunto, sendo que esses ele-mentos são agrupaele-mentos ormados sob certas mentos são agrupamentos ormados sob certas condições.

condições.

Os agrupamentos a serem estudados Os agrupamentos a serem estudados divi-dem-se em Permutações, Arranjos e dem-se em Permutações, Arranjos e Combina-ções.

ções.

Neste momento, queremos destacar que Neste momento, queremos destacar que a realização de uma leitura atenta, detalhada e a realização de uma leitura atenta, detalhada e minuciosa é um item undamental para um bom minuciosa é um item undamental para um bom encaminhamento da estratégia de resolução a ser encaminhamento da estratégia de resolução a ser empregada em cada problema.

empregada em cada problema.

1.1 Combinações Simples

Seja A um conjunto com n elementos. Os Seja A um conjunto com n elementos. Os subconjuntos de A com p elementos constituem subconjuntos de A com p elementos constituem agrupamentos que são chamados combinações agrupamentos que são chamados combinações dos n elementos de A, p a p. Nas combinações, os dos n elementos de A, p a p. Nas combinações, os agrupamentos dierem entre si apenas pela

agrupamentos dierem entre si apenas pela natu- natu-reza

reza de seus elementos.de seus elementos.

Exemplo 1

Exemplo 1: Se A = {1, 3, 5, 7}, são combina-: Se A = {1, 3, 5, 7}, são combina-ções dos 4 elementos de A, 3 a 3, os ções dos 4 elementos de A, 3 a 3, os agrupamen-tos: tos: {1, 3, 5}, {1, 3, 7}, {3, 5, 7} e {1, 5, 7}. {1, 3, 5}, {1, 3, 7}, {3, 5, 7} e {1, 5, 7}.

1.2 Arranjos Simples

Se A é um conjunto com n elementos, as Se A é um conjunto com n elementos, as sucessões com p elementos distintos, escolhidos sucessões com p elementos distintos, escolhidos em A, constituem agrupamentos que são em A, constituem agrupamentos que são chama-dos arranjos chama-dos n elementos de A, p a p. Nos dos arranjos dos n elementos de A, p a p. Nos ar- ar-ranjos

ranjos, os agrupamentos dierem entre si apenas, os agrupamentos dierem entre si apenas pela

pela ordemordem de seus elementos.de seus elementos.

Dicionário

Dicionário Dicionário

Arranjo: s.m. Boa disposição, ordem. Arranjo: s.m. Boa disposição, ordem.

Em matemática: as várias maneiras que se pode Em matemática: as várias maneiras que se pode ormar um certo número de quantidades, ormar um certo número de quantidades, reunin-do-as em qualquer ordem, duas a duas, três a três do-as em qualquer ordem, duas a duas, três a três etc.

etc.

Observe que no arranjo e na combinação iremos Observe que no arranjo e na combinação iremos utilizar apenas parte dos elementos do conjunto utilizar apenas parte dos elementos do conjunto dado.

(7)

Exemplo 2: Se A = {1, 3, 5, 7}, os arranjos dos 4 elementos de A, 3 a 3, são as seguintes suces-sões com 3 elementos:

(1, 3, 5), (1, 5, 3), (3, 1, 5), (3, 5, 1), (5, 1, 3), (5, 3, 1) (1, 3, 7), (1, 7, 3), (3, 1, 7), (3, 7, 1), (7, 1, 3), (7, 3, 1) (1, 5, 7), (1, 7, 5), (5, 1, 7), (5, 7, 1), (7, 1, 5), (7, 5, 1) (3, 5, 7), (3, 7, 5), (5, 3, 7), (5, 7, 3), (7, 3, 5), (7, 5, 3).

Se A tem n elementos, as sucessões orma-das com os n elementos de A, usando cada um deles uma só vez em cada agrupamento, são chamadas permutações dos n elementos de A. Pode-se dizer que as permutações são arranjos onde p = n.

Exemplo 3: Se A = {1, 3, 5, 7}, as permuta-ções dos 4 elementos de A, são as sucessões com 4 elementos: (1, 3, 5, 7), (1, 3, 7, 5), (1, 7, 3, 5), (1, 7, 5, 3), (1, 5, 3, 7), (1, 5, 7, 3), (3, 1, 5, 7), (3, 1, 7, 5), (3, 7, 1, 5), (3, 7, 5, 1), (3, 5, 7, 1), (3, 5, 7, 1), (5, 1, 3, 7), (5, 1, 7, 3), (5, 3, 1, 7), (5, 3, 7, 1), (5, 7, 1, 3), (5, 7, 3, 1), (7, 1, 3, 5), (7, 1, 5, 3), (7, 3, 1, 5), (7, 3, 5, 1), (7, 5, 1, 3), (7, 5, 3, 1).

1.3 Permutações Simples

Olá pessoal, vocês já ouviram alar de ato-rial?

Ao produton (n 1) (n 2) ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 3 2 1

vamos representá-lo simplesmente por n! (lê-se: n atorial) com n∈N.

Exemplo 4: Observe os atoriais a seguir:

Permuta: s.. Troca, intercâmbio, permutação. Sinônimos de permuta: comuta, mudança e troca. Observe que, como o próprio signifcado demons-tra, permuta signifca uma troca, uma alteração na posição, na ordem dos elementos e que nesta si-tuação iremos utilizar todos os elementos do conjunto dado.

1.4 Fatorial

8!

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

8 7 6 5 4 3 2 1 40320 5! 5 4 3! 5 4 3 2 1 120

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

n!

= ⋅

n (n

−

1)! (n

+ = + ⋅

1)! (n 1) n! (n 1)! − = − ⋅ −(n 1) (n 2)!

Observação: Vamos adotar como verdade que 0! = 1.

(8)

Os problemas de Análise Combinatória são, basicamente, problemas de contagem. A aborda-gem desses problemas é baseada num ato, de ácil comprovação, denominado Princípio Fun-damental da Contagemou Regra do Produto.

Um acontecimento é composto de dois es-tágios sucessivos e independentes. O primeiro estágio pode ocorrer de m modos distintos; em seguida, o segundo estágio pode ocorrer de n modos distintos. Nessas condições, dizemos que o número de maneiras distintas de ocorrer esse acontecimento é igual ao produto m n

⋅

.

Exemplo 5: Um estudante, ao se inscrever no Concurso para Vestibular, deve escolher o Cur-so e a Faculdade que deseja cursar. Sabe-se que

1.5 Princípio Fundamental da Contagem

existem cinco cursos possíveis: Engenharia, Medi-cina, Odontologia, Administração e Direito. Cada curso pode ser eito em três aculdades possíveis: Estadual, Federal e Particular. Nessas condições, qual o número total de opções que o estudante pode azer?

Resolução: Pelo Princípio Fundamental da Contagem, usamos a regra do produto.

5 cursos x 3 aculdades = 15 opções de es-colha.

Resposta: O estudante pode azer 15 op-ções.

1.6 Cálculo do Número de Arranjos, Permutações e Combinações

Atenção Atenção

Os arranjos são agrupamentos em que um grupo é dierente de outro pela ordem ou pela natureza dos elementos componentes. , ! ( )! n p n A n p

=

−

( , n p ∈ N, n p)≥

As permutações são agrupamentos ordenados em que em cada grupo entram todos os elementos.

!

n

P

=

n ₍n ∈ _N)

As combinações são agrupamentos em que um grupo é dierente de outro apenas pela natureza dos elementos componentes. , ! !( )! n p n C p n p

=

−

_{( ,}_{n p} _∈_{N, n p)}_≥

(9)

Uma das principais diculdades encontra-das pelos estudantes ao se derontarem com a resolução de exercícios de análise combinatória consiste exatamente em identicar qual o tipo de agrupamento que devemos aplicar na resolução do problema proposto.

Para que se tenha sucesso na resolução dos problemas propostos e conseguir identicar qual o tipo de agrupamento que será necessário para sua resolução, é imprescindível uma leitura atenta, detalhada e minuciosa do enunciado do problema proposto, e que o aluno domine ple-namente as características undamentais de cada tipo de agrupamento.

Para isso, sugerimos a você, prezado(a) aluno(a), que diante de cada problema proposto, eetue sempre estes questionamentos a seguir, para que consiga identicar qual o tipo de agru-pamento envolvido na resolução de cada proble-ma:

1. Estamos utilizando todos os elementos do conjunto ou parte deles?

Todos os elementos = PERMUTAÇÃO (SIMPLES OU COM REPETIÇÃO)

No caso de utilizarmos todos os elementos, do conjunto dado, analise de acordo com o enunciado se o problema proposto permi-te ou não repetição dos elementos.

Não = PERMUTAÇÃO SIMPLES

Sim = PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO

2. Estamos utilizando todos os elementos do conjunto ou parte deles?

Parte dos elementos = ARRANJO (SIMPLES OU COM REPETIÇÃO) ou COMBINAÇÃO

3. O Agrupamento com parte dos ele-mentos é ORDENADO ou NÃO ORDE-NADO?

Ordenado = ARRANJO

(SIMPLES OU COM REPETIÇÃO)

O Agrupamento Ordenado com parte dos elementos permite ou não REPETIÇÃO? Não = ARRANJO SIMPLES

Sim = ARRANJO COM REPETIÇÃO

4. O Agrupamento com parte dos ele-mentos é ORDENADO ou NÃO ORDE-NADO?

Não Ordenado = COMBINAÇÃO

Exemplo 6: Com 12 pessoas, de quantos modos podemos ormar um grupo de 4 pessoas? Vamos treinar os procedimentos indicados? De acordo com o enunciado, o agrupamen-to a ser ormado irá utilizar agrupamen-todos os elemenagrupamen-tos ou parte deles?

Perceba que iremos ormar um grupo de 4 pessoas entre um total de 12 pessoas disponíveis. Logo, estamos utilizando parte dos elementos.

Consequentemente, sabemos que teremos uma situação de Arranjo ou de Combinação.

O que diere uma situação de Arranjo de uma de Combinação? É a ordem dos elementos do agrupamento a ser ormado.

Vamos supor que no exemplo acima as 4 pessoas escolhidas sejam as pessoas denomina-das por A, B, C e D.

Para identicar se o agrupamento é ordena-do ou não podemos eetuar o seguinte questio-namento:

De acordo com o enunciado, o agrupamen-to {A,B,C,D} é dierente do agrupamenagrupamen-to {D,A,C,B}? Ou seja, esses dois agrupamentos e todos os de-mais agrupamentos possíveis de serem ormados

(10)

com esses 4 elementos devem ser contados indi-vidualmente, ou serem considerados todos idên-ticos e, consequentemente, serem contabilizados apenas uma única vez?

Perceba que de acordo com o enunciado, a ordem dos elementos não é importante. Logo, to-dos os agrupamentos possíveis de serem orma-dos com os elementos A,B,C,D, alterando apenas a ordem destes, devem ser considerados idênti-cos e contados apenas uma única vez.

Estamos, portanto, diante de um agrupa-mento, que utiliza parte dos elementos e não or-denado. Isso nos leva a identicar que o problema reere-se a um caso de Combinação.

Numa situação de Arranjo, temos um agru-pamento ordenado, ou seja, a ordem dos elemen-tos é importante, e isso az com que cada agrupa-mento seja contado individualmente. No caso de uma situação semelhante ao exercício proposto acima, teríamos um caso de Arranjo, se, por exem-plo, a primeira pessoa A osse ocupar um cargo de presidente, a segunda pessoa C osse ocupar o cargo de vice-presidente, a terceira pessoa D os-se ocupar o cargo de os-secretário e a quarta pessoa B osse ocupar o cargo de tesoureiro.

Perceba que, se alteramos a ordem dos elementos nessa situação, os agrupamentos {A,B,C,D} e {A,C,D,B} seriam considerados dieren-tes e contabilizados individualmente, assim como com todos os outros agrupamentos de 4 elemen-tos possíveis de serem ormados com A,B,C,D.

Vamos agora à resolução do problema pro-posto. Resolução: 12,4 12! 12.11.10.9.8! 495 4!(12 4)! 4.3.2.1.8! C = = = −

Exemplo 7: Com os dígitos 1, 2, 3, 7, 9: a) Quantos números com 3 algarismos

distintos podemos ormar?

b) Quantos números com 5 algarismos distintos podemos ormar?

Antes de vericar a resolução, tente identi-car qual o tipo de agrupamento envolvido. Repita os questionamentos indicados! Pense a respeito! Conseguiu? Identicou? Veja se acertou! Resolução: a) , ! 5! 120 60 ( )! (5 3)! 2! n p n A n p

=

−

b) P_n = n!=5!=120

1.7 Combinações Complementares

Considere a seguinte relação:

, , n p n n p

C

=

C

₋ Demonstração: ,

!

!(

)!

n p n C p n p

=

−

(Trocam-se os atores do denominador)

,

!

(

)! !

n p

n

C

n p p

=

−

(Acrescenta-se e subtrai-se n no 2º ator do denominador)

(11)

, ,

!

(

)![ (

)]!

n p n n p

n

C

n p n n p

−

=

−

− −

Portanto, a relação é válida.

, ,

n p n n p

C

=

C

₋

Exemplo 8: Observe as igualdades:

a)

C

_10,7

=

C

_10,3 b)

C

a _,7

=

C

a a_{, 7}−

Observação: Se zermos p = n, temos:

0 ,

,n n

n

C

=

. Porém,

C

n,n

=

1

, pois o único

subconjunto com n elementos que podemos obter de um conjunto A, que por sua vez tem n elementos, é o próprio conjunto A. Também sa-bemos que A tem apenas um subconjunto com “zero elemento”, que é o conjunto vazio.

Então:

C

_n_,_n

=

C

_n_,₀

=

1

,0

!

1 0!(

0)!

0! !

n

C

n

=

−

, por coe-rência

0 !

=

1

.

1.8 Arranjos com Elementos Repetidos

( AR)n p,

Exemplo 9: Quantos números de 3 algaris-mos podealgaris-mos ormar com os dígitos de 1 a 9?

Resolução: Nesse caso, temos nove algaris-mos que podem ocupar a “casa” da centena, nove para ocupar a “casa” da dezena e nove para ocu-par a “casa” da unidade:

3

9 729 9 9 9 = =

Através do exemplo, pode-se concluir a se-guinte relação:

,

(

AR

)

_{n p}

=

n

p

1.9 Permutações com Elementos Repetidos

Exemplo 10: Quantos anagramas têm a pa-lavra ARCADA?

Resolução: A palavra possui seis letras, te-mos: P₆ =6!= 720

Porém, há três letras A, o que nos leva ao cálculo: P₃

=

3!

=

6

Portanto, temos: 120 6

720 ₌

anagramas. Valem as seguintes relações:

1 elemento repetido: ! ! a n P_na

=

2 elementos repetidos:

!

,

b

a

n

P

_nab

⋅

=

3 elementos repetidos:

!

, ,

c

b

a

n

P

_nabc

⋅

=

(12)

Saiba mais Saiba mais

“O médico, matemático, astrólogo e flósoo italiano Gerolamo Cardano (1501-1576) era flho de pais solteiros. Por isso oi enjeitado, antes mesmo de nascer: o seu pai pensou em provocar aborto, mas não o ez porque era crime que levava o con-denando à pena morte. O pai de Gerolamo era um intelectual que se dedicava à medicina, a advocacia, a matemática e às ciências ocultas. Instigado pelo pai, o flho também se ormou em medicina após estudar em Pavia e Padua. Ganhou ama e dinheiro como médico, o que abriu novos caminhos e o levou, depois, a aceitar o convite para lecionar nas Universidades de Pavia, Milão e Bolonha. Por sobreviver a tanta rejeição tinha de ser predestinado, isso o levou a ser igualado aos gênios da épo-ca. Cardano era multiacetado, flósoo que proessava o naturalismo, sempre ao lado dos cientistas mais ousados, na dianteira do pensamento. Como flósoo e mestre, considerava o mundo e tudo que nele habita seres viventes e animados, donos de vida própria. Em razão disso sempre direcionou os estudos e ensinamentos no rumo do experimentalismo, da ousadia. Des-cobriu que a ciência sempre mostrava duas aces, dualidade que sempre explorou: astronomia-astrologia, química-alquimia, religião-flosofa, espiritualidade-natureza, matemática-jogo de azar. A obra matemática pela qual Cardano fcou conhecido é a Arte Maior, onde ele publica as soluções das equações cúbicas e quátricas, que até então estavam inéditas. À margem dessa publicação, um livreiro com o olhar de comerciante viu possibilidades de ganho num pequeno manual do jogador intitulado O livro dos jogos de azar. Alguns críticos afrmam que esta oi sua contribuição maior para a ciência matemática. Simplesmente porque, neste livro, Cardano inventa, por vias indiretas, a eqüiprobabilidade, que tem como principal objetivo o de transormar a esperança – que até então era uma coisa utópica, não real – numa possibilidade matemática. Cardano transormou a teoria da probabilidade nos jogos de azar em algo que se pode chamar de pré-história da relatividade. Segun-do ele explica, a eqüiprobabilidade é uma constante na qual o montante exato da aposta a ser eita por um jogaSegun-dor, tem a probabilidade [ p ] de ganhar a importância [ s ].

Estabeleceu, assim, a lei pn = pn, que dá a possibilidade que o evento de probabilidade p ocorra independente n sucessivas vezes. Cardano montou a tábua de probabilidades para danos e a lei dos grandes números, questões que oi pioneiro. Gero-lamo também ensina no livro como trapacear nos jogos de azar. Mas o quê importa esse detalhe diante do vanguardismo da obra científca que resultou da eqüiprobabilidade? Convém lembrar que no Século XVI o jogo, não era considerado apenas um passatempo. Em pouco tempo cresceu em popularidade, oi levado para os salões ofciais e começou a ser realizado tam-bém nas residências. Mas a reqüência oi tão grande que obrigou os viciados a undarem casas reservadas para essa única fnalidade, nas quais os jogadores se reuniam para apostar a dinheiro. Gerolamo, que não tinha aporte fnanceiro por parte do pai, se iniciou na jogatina ainda estudante para suprir os gastos com as diversões naturais da idade. E oi assim que nasceram os cassinos, os bingos, as casas de jogos: nela os cientistas – à margem dos perigos da inquisição que logo incendiariam as mentes e os livros – procuravam se divertir e, ao mesmo tempo, discutiam, entre baoradas e taças de vinho, as suas teorias antásticas. Deste Gerolamo Cardano se sabia que era um jogador viciado, mas era também um gênio. Em sua autobiografa De própria vita, Cardano conessa que jogou xadrez cotidianamente por mais de 40 anos! Também jogou carteado, dados, gamão e tantos outros jogos de azar por mais de 25 anos. Sendo cientista e matemático é pouco provável que Gerolamo Cardano não tivesse o cuidado de azer análises, estudos e teorias sobre o jogo de xadrez.”

Fonte: http://pt.shvoong.com/exact-sciences/1695140-cardano-jogador-xadrez/

Neste capítulo, trabalhamos com os problemas de contagem. Eles se dividem em dois tipos:

Os Arranjos, que incluem também as Permutações, são agrupamentos em que um grupo é dieren-te de outro pela ordem ou pela natureza dos elementos componendieren-tes. Nesse caso, a ordem dos elemen-tos gera novo agrupamento.

O outro tipo são os problemas de Combinações, em que um grupo é dierente de outro apenas pela natureza dos elementos componentes.

Os Arranjos, Permutações e Combinações utilizam-se da notação atorial para acilitar os cálculos dessas contagens.

(13)

1. São dados 5 pontos A, B, C, D, E, representados abaixo. Quantas retas distintas eles determi-nam?

2. Certo aluno descobre, numa livraria, 4 livros de seu interesse. Se ele só pode comprar dois de-les, de quantos modos poderá azê-lo?

3. Quatro times de utebol disputam um torneio, no qual são atribuídos prêmios ao campeão e ao vice-campeão. De quantos modos os prêmios podem ser atribuídos?

4. Quatro cidades A, B, C, D são interligadas por vias érreas, conorme a gura a seguir. Os trens movimentam-se apenas em linha reta, ligando duas cidades. Para atender a todos os passa-geiros, quantos tipos de passagem devem ser impressos? (As passagens de “ida” e “volta” são bilhetes distintos).

5. Três cavalos disputam um páreo. Qual o número de resultados possíveis? (Não são admitidos empates).

6. A diretoria de um clube é ormada por três membros: presidente, secretário e tesoureiro. Três candidatos disputam os cargos, tendo cado decidido que o mais votado será o presidente, o 2º lugar, secretário e o 3º lugar será o tesoureiro. De quantos modos a diretoria pode ser com-posta? (Não se admitem empates nas votações).

7. Simplique: 12! a) 9!

=

15! b) 5!.10!=

1.11 Atividades Propostas

B A D C . . . . . A B C D E

(14)

8. Resolva as equações: a) n!

=

12 (n

⋅

−

1)!

b)

(n

− = ⋅ −

2)!

20 (n

4)!

c)

( )

n! 2

=

[

(n

−

1)!

]

2

⋅

25

9. Quantos números com dois algarismos dierentes podemos ormar com os dígitos de 1 a 9? 10. Quantos anagramas tem a palavra HOJE?

11. De quantos modos 6 pessoas podem sentar em 6 cadeiras alinhadas? 12. Sendo n um número inteiro positivo tal que

P

_n

= ⋅

12 P

₍_n−₂₎ , calcule n.

13. Uma amília com 5 pessoas possui um automóvel de 5 lugares. De quantos modos poderão se acomodar para uma viagem quando:

a) só uma pessoa sabe dirigir? b) duas pessoas sabem dirigir? c) todos sabem dirigir?

14. Com 7 proessores, de quantos modos podemos ormar uma comissão de 3 proessores? 15. Quantas diagonais tem um heptágono?

16. Resolva as equações: a) 2 , 3 ,

3 .

n n

C

=

b)

2 .

C

_n_,₄

=

5 .

C

_n_,₂

17. Quantos anagramas da palavra LIVRO começam pela L?

18. Quantos números com 4 algarismos dierentes tem o algarismo da unidade de milhar igual a 7?

19. Quantos triângulos podem ser obtidos tendo vértices em três quaisquer dos vértices de um decágono?

(15)

21. Encontre os valores de n e m, sabendo que: 7 , 8 7 ,

.

m n

P

C

A

=

e

A

m_,₇

=

C

n_,₈

.P

₇

22. Qual o número de modos distintos de se repartir um grupo de 7 pessoas em dois grupos, tendo um deles quatro pessoas?

23. Com 3 goleiros e 10 jogadores que jogam em qualquer outra posição: a) De quantos modos um time de utebol de salão pode ser ormado?

b) Em quantos deles sempre gura um determinado jogador J, não goleiro? c) Em quantos deles nunca gura o jogador J?

24. Quantos números de 4 algarismos podem ser ormados com os dígitos de 0 a 9, sendo que o 7 sempre é o algarismo da unidade de milhar?

25. Quantos anagramas tem a palavra LICOROSO?

26. Quantos anagramas da palavra MATEMÁTICA começam por M?

27. Qual o número de anagramas da palavra CARMO, onde as letras C e A aparecem juntas?

28. Dados 6 pontos coplanares, dos quais não há 3 colineares, qual é o número de retas que podem ser obtidas passando por dois quaisquer desses pontos?

29. Dados 6 pontos coplanares, 3 dos quais são colineares, qual é o número de retas que podem ser obtidas passando por dois quaisquer desses pontos?

30. Com 8 proessores, de quantos modos podemos ormar uma banca com 3 membros em que gure sempre um determinado proessor?

31. Dados 10 pontos do espaço, 4 dos quais não são coplanares, qual é o número de planos que podem ser obtidos passando por 3 quaisquer desses pontos?

32. Dados 10 pontos do espaço, dos quais exatamente 6 são coplanares, qual é o número de pla-nos que podem ser obtidos passando por 3 quaisquer desses pontos?

33. Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer. De quantos modos dierentes pode ocorrer a chegada dos 3 primeiros colocados?

(16)

34. Utilizando os algarismos 1, 2, 5, 7 e 8, quantos números naturais pares podemos escrever com: a) 4 algarismos?

b) 4 algarismos distintos?

35. Uma pessoa pretende colocar 7 livros numa estante, um ao lado do outro. Entre esses livros, há 4 romances e 3 cções cientícas.

a) De quantos modos esses livros podem ser dispostos na estante?

b) De quantos modos eles podem ser dispostos, de maneira que dois romances não quem juntos?

36. Em nosso sistema de numeração, quantos números naturais ímpares de 4 algarismos apresen-tam algarismos repetidos?

37. Quantos anagramas são possíveis ormar com as letras da palavra LUCRO? 38. Quantos anagramas ormados com as letras da palavra PESCADOR:

a) começam e terminam com uma consoante?

b) começam com uma vogal e terminam com uma consoante? c) apresentam as vogais juntas e em ordem alabética?

d) apresentam as vogais juntas e em qualquer ordem?

39. Daniele possui uma pequena coleção de latinhas de cerveja, sendo 4 de marcas nacionais e 6 de marcas estrangeiras. De quantos modos Daniele pode colocar as latinhas numa prateleira, uma ao lado da outra, de modo que as nacionais quem juntas e as estrangeiras quem juntas, em qualquer ordem?

40. Sobre uma mesa, há 15 bolas de bilhar: 8 vermelhas, 4 amarelas e 3 pretas. De quantos modos podem-se enleirar essas bolas de modo que duas da mesma cor nunca quem juntas?

41. Seja E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

a) Quantos subconjuntos de 3 elementos E possui?

b) Quantos números com 3 algarismos distintos de E é possível escrever?

42. Uma empresa pretende sortear 2 automóveis dierentes entre as 12 top modelsque oram

ca-pas de uma revista ao longo de 1 ano. O sorteio será realizado em duas etaca-pas. Primeiro serão sorteadas 6 nalistas. Em seguida, os 2 automóveis serão sorteados entre as nalistas.

a) De quantas maneiras dierentes pode resultar o grupo de 6 nalistas?

(17)

43. Com vértices nos pontos dados sobre as retas, quantos triângulos são possíveis construir no caso abaixo?

A B C D E

K L M N

44. Para 3 alunos que caram em recuperação, um proessor preparou 9 questões, sendo 3 para cada aluno. De quantas maneiras o proessor poderá distribuir as questões entre os recuperan-dos?

45. Uma junta médica de 5 integrantes será escolhida entre 6 cardiologistas e 4 pediatras. Quantas juntas dierentes são possíveis ormar, de modo que entre os integrantes haja:

a) 3 cardiologistas e 2 pediatras? b) No mínimo um pediatra? c) No máximo um pediatra?

46. De um baralho de 52 cartas, são eliminadas todas as cartas com os números 8, 9 e 10. Com o restante do baralho, quantos jogos de 4 cartas é possível ormar, de modo que entre elas haja: a) exatamente um ás?

b) pelo menos um ás?

c) exatamente duas guras? d) pelo menos duas guras? e) no máximo duas guras?

47. Uma pessoa quer convidar 4 entre 10 amigos para um jantar. No entanto, dois desses amigos têm ortes dierenças pessoais. De quantas maneiras pode ser ormado o grupo dos 4 convida-dos, de modo que não compareçam simultaneamente as duas pessoas citadas?

48. Pretende-se distribuir 12 bolinhas vermelhas, 11 azuis e 13 pretas entre dois meninos. Cada menino deve receber no mínimo 5 bolinhas de cada cor. De quantas maneiras pode ser eita a distribuição?

49. Quantos números naturais de 7 algarismos distintos são possíveis ormar utilizando todos os algarismos do número 1 234 567?

50. Quantos números naturais ímpares são possíveis escrever permutando os algarismos do nú-mero 6 725 727?

51. Com n letras iguais a A e 3 letras iguais a B ormam-se um total de 8n + 16 permutações. Calcule n.

(18)

Durante o século XVII, com os chamados jogos de azar, surgiram os primeiros estudos de

probabilidade. Apesar de ter origem através dos jogos de azar, a probabilidade tornou-se unda-mental para conhecermos as chances que dispo-mos para tomardispo-mos decisões.

Quando se pensa numa probabilidade, dispõe-se de algo incerto, mas que oerece cer-to grau de conança ou possibilidade de ocorrer. Para medir o grau de conança que se deposita em certas armações ou experimentos, dene-se:

PROBABILIDADES

2

2.1 A Teoria das Probabilidades

Probabilidade é o número que resulta da divisão do número de casos avoráveis a um evento pelo número total de casos possíveis.

Exemplo 11: Qual a probabilidade de se obter ace ímpar numa única jogada de dado?

Resolução: Um dado tem o total de seis a-ces: F1, F2, F3, F4, F5 e F6.

As aces ímpares são três: F1, F3 e F5.

Probabilidade de F1 F3 F5 3 Faces 3 1 0,5 F1 ou F3 ou F5 F1 F2 F3 F4 F5 F6 6 Faces 6 2   + + = = = = =   + + + + +  

Pode-se, então, utilizar a órmula: p

f X P( )=

Onde:

P(X) é a probabilidade de ocorrer o evento X;

f é o número de casos avoráveis à

ocor-rência de X;

p é o número de casos possíveis.

Sejam A e B dois eventos, então A ∪ B será

também um evento que ocorrerá se, e somente

se, A ou B (ou ambos) ocorrerem. Diz-se que A ∪

B é a união entre o evento A e o evento B.

Sejam A e B dois eventos, então A ∩ B será

também um evento que ocorrerá se, e somente se, A e B ocorrerem simultaneamente. Dene--se que A Ç B é a interseção entre o evento A e o evento B. Em particular, se A∩B =∅, A e B são

chamados mutuamente exclusivos.

Seja A um evento, então o evento comple-mentar de A (indicado por: Ac_{) será também um} evento que ocorrerá se, e somente se, A não ocor-rer.

(19)

A seguir, seguem alguns teoremas impor-tantes a respeito de probabilidades:

T1: a probabilidade do evento certo é igual a 1.

T2: se A Ì B (lê-se: A está contido em B), en-tão P(A) £ P(B).

T3: se A é um evento, então 0

≤

P(A)

≤

1. T4: se A e B são eventos, então

) ( ) ( ) ( )

( A B P A P B P A B

P

∪

=

+

−

∩

.

Observação: Se A e B são mutuamente exclusivos (A∩B =∅), então:

P(A∪B) = P(A) + P(B)

T5: se A é um evento, então o evento complementar de A terá probabilidade

)

(

1 )

(

A

P

A

P

c

=

−

.

Exemplo 12: Uma urna contém 50 bolas idênticas; se as bolas orem numeradas de 1 a 50, qual a probabilidade de, em uma extração ao aca-so, obter:

a) a bola de número 27? b) uma bola de número par? c) uma bola de nº maior que 20?

d) uma bola de número menor ou igual a 20?

Resolução: Há um total de 50 bolas: B1, B2, B3,..., B50.

Atenção Atenção

Probabilidade é o número que resulta da divi-são do número de casos favoráveis a um evento pelo número total de casos possíveis.

a) Será chamado de A o evento ormado pela bola de número 27: A = {B27}.

  %RODV  %ROD  % % % % % 3$  

b) Será chamado de B o evento ormado pelas bolas pares:

B = {B2, B4,..., B50}. Este evento B possui 25 elementos.     %RODV  %RODV  % % % % %  % % 3%       

c) Será chamado de C o evento ormado pelas bolas de número maior que 20:

C = {B21, B22,..., B50}. Este evento C possui 30 elementos.     %RODV  %RODV  % % % % %  % % 3&       

d) Será chamado de D o evento ormado pelas bolas de número menor ou igual que 20: D = {B1, B2,..., B20}. Este evento D possui 20 elementos.     %RODV  %RODV  % % % % %  % % 3'      

Exemplo 13: Três cavalos C₁, C₂ e C₃ dispu-tam um páreo, do qual só se premiará o vencedor. O espaço amostral é: S = {C₁, C₂, C₃}. Um conhece-dor dos 3 cavalos arma que as “chances” de C₁ vencer são o dobro das de C₂, e que C₂ tem o tri-plo das “chances” de C₃. Qual a probabilidade que cada cavalo tem de vencer?

Resolução: Atribui-se uma probabilidade p ao cavalo C₃. Þ C₃= p

O cavalo C₂tem o triplo das “chances” de C_3. Þ C₂= 3C₃= 3p

Já o cavalo C₁tem o dobro das “chances” de C_2. Þ C₁= 2C₂= 2×3p = 6p

(20)

Somente esses três cavalos disputam, logo:     

&



&



&

  S S S   

S

     S

Então, a probabilidade dos cavalos será:

     S  &      S &     S  & Saiba mais Saiba mais

“Pascal nasceu a 19 de Julho de 1623, em Clermont-Ferrand, na França, flho de Étienne Pascal e Antoniette Bejon. Quando tinha apenas três anos, perdeu a mãe e, como era o único flho do sexo masculino, o pai encarregou-se diretamente da sua educação. Étienne desenvolveu um método singular de educação do flho, com exercícios de diversos tipos para despertar a razão e o juízo correto. Disciplinas como Geografa, História e Filosofa oram ensinadas, sobretudo, por meio de jogos.

Étienne acreditava que a Matemática só deveria ser ensinada ao flho quando este osse mais velho. Nesse sentido, mantinha longe do flho os livros de matemática. Pascal tinha, porém grande curiosidade sobre aqueles ‘estranhos’ assuntos. Por inter-médio de conversas que ouvia ou da leitura de obras que passavam pela censura do pai, descobriu as maravilhas da ciência dos números. Mesmo sem proessor, começou a desenvolver os seus estudos. Aos 12 anos, o pai descobriu-o desenhando no chão, fguras geométricas com carvão. Nessa mesma altura, Pascal descobre que a soma dos ângulos de um triângulo é igual a dois ângulos retos.

Estavam ali, por intuição, várias das proposições da matemática de Euclides. Pascal havia chegado sozinho à 32ª proposição do Livro 1 dos Elementos do velho sábio.

Reconhecida a sua genialidade, oi dada permissão ao jovem Pascal para que estudasse matemática livremente.

Étienne Pascal mesmo não sendo uma pessoa totalmente ortodoxa, requentava a casa do padre ranciscano Marin Mersene, que também era requentada por muitas personalidades importantes. Foi quando, com aproximadamente 14 anos, Blaise Pascal decidiu acompanhar o seu pai nessas reuniões e aos 16 anos apresentou vários teoremas de Geometria Projetiva, onde constava o conhecido ‘Hexágono Místico’. Ainda com os seus 16 anos, escreveu ‘Éssai sur les coniques’ (Ensaio sobre as Cônicas), baseado no estudo de Girad Desargues.

Mais tarde, para ajudar o pai, sempre ocupado com os números, dedicou-se à criação de uma máquina de calcular. Pascal de-senvolveu importantes estudos que tiveram como inspiração as descobertas do italiano Torricelli sobre a pressão atmosérica. A partir de 1647, Pascal passou a dedicar-se ao estudo da aritmética. Desenvolveu cálculos de probabilidade, a órmula de geometria do acaso, o conhecido Triângulo de Pascal e o tratado sobre as potências numéricas.

Mas o trabalho excessivo minou a sua saúde, débil por natureza, caindo gravemente doente. Em 1648 requentou, com sua irmã Jacqueline, os seguidores de Saint-Cyran, que o levaram ao misticismo de Port-Royal. Depois da morte do pai, o seu ervor religioso arreeceu um pouco, iniciando-se o chamado período mundano de Pascal, devido à proibição médica de dedicar-se a trabalhos intelectuais, prejudiciais à sua saúde, e a pratica de exercícios de penitência.

Pascal aleceu à primeira hora da madrugada de 29 de Agosto de 1662, aos 39 anos, vítima de um tumor maligno no estoma-go. As suas últimas palavras oram: ‘Que Deus jamais me abandone!’.”

(21)

Caro(a) aluno(a), observe que, como na pró-pria denominação deste tópico, em casos de pro-babilidade condicional, teremos uma condição, ou ainda, uma “inormação a mais” no problema. Essa inormação do que ocorreu em determina-da etapa do enômeno aleatório em estudo pode infuenciar nas probabilidades de ocorrências de etapas sucessivas. Nesse caso, podemos dizer que “ganhamos inormações” e podemos recalcular as probabilidades de interesse.

Uma leitura atenta e detalhada do enuncia-do é de extrema importância para identicarmos as situações onde o conceito de probabilidade condicional estará envolvido.

Observe o exemplo a seguir e identique no enunciado “a inormação a mais”.

Exemplo 14: Considere o problema seguin-te:

Uma bola é retirada de uma urna que con-tém 20 bolas numeradas de 1 a 20. A pessoa que a retirou diz o seguinte para os que acompanham o sorteio:

Saiu um número ímpar! Pergunta-se:

Qual é a probabilidade de ter saído um nú-mero primo?

Há 20 resultados possíveis para o experi-mento “retirar uma bola da urna”. Isto é, S = {1, 2, 3, 4, ..., 19, 20}

Dentre esses resultados, destacam-se os eventos:

A: sair número ímpar. A = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19}

B: sair número primo. B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}

O problema pede a probabilidade de ocor-rer B (número primo), mas inorma que já ocorreu A (número ímpar). Então, entre os elementos de

2.2 Probabilidade Condicional

A, vamos contar quantos são os casos avoráveis à ocorrência de B. Note que isso equivale a deter-minar A∩_B.

A∩B = {3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} n(A∩B) = 7

Assim, entre os 10 números ímpares pos-síveis de terem ocorrido, há 7 casos avoráveis à ocorrência de um número primo. Logo, a proba-bilidade de ocorrer primo, sabendo que ocorreu ímpar é: ( ) 7 ( / ) ( ) 10 n A B P B A n A ∩ = =

Defnição: Seja S um espaço amostral e onde há dois eventos, A e B. O símbolo P(A/B) indica a probabilidade do evento A, dado que o evento B ocorreu, isto é, P(A/B) é a probabilidade condicional do evento A, uma vez que B tenha ocorrido. Quando se calcula P(A/B), tudo se passa como se B osse o novo espaço amostral “reduzi-do” dentro do qual queremos calcular a probabi-lidade de A.

Observação: Note que_P₍_B_/_A₎≠ _P₍_A_/_B₎, vejam usando o exemplo anterior:

Espaço amostral: é o conjunto ormado por todos os resultados possíveis de um experimento aleató-rio. É indicado pelo símbolo Ω.

( ) 7 ( / ) ( ) 10 n A B P B A n A ∩ = = ( ) 7 ( / ) ( ) 8 n A B P A B n B ∩ = = e

(22)

Atenção Atenção

P(A/B) é a probabilidade condicional do even-to A, uma vez que B tenha ocorrido. Tudo se passa como se B osse o novo espaço amostral “reduzido” dentro do qual queremos calcular a probabilidade de A.

Uma consequência importante da deni-ção de probabilidade condicional é a seguinte:

) / ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / ( P A B P B P A B B P B A P B A P = ∩ ⇒ ∩ = × ) / ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / ( P A B P A P B A A P B A P A B P = ∩ ⇒ ∩ = ×

Isto é, a probabilidade da ocorrência simul-tânea de dois eventos [P(A ∩ _{B)] é o produto da}

probabilidade de um deles pela probabilidade do outro, dado o primeiro.

Exemplo 15: Uma urna I contém 2 bolas vermelhas e 3 bolas brancas, a urna II contém 4 bolas vermelhas e 5 bolas brancas. Uma urna é escolhida ao acaso e dela uma bola é extraída ao acaso. Qual a probabilidade de observarmos urna I e bola vermelha?

Resolução: Como existem duas urnas (U₁e U₂), a probabilidade de cada urna é 0,5.

Já, a probabilidade de ocorrer bola verme-lha (V) condicionada à urna I será dada por:

5 2 ) / (V U ₁ =

P _{, pois há duas boas}

verme-lhas numa urna que possui 5 bolas.

2.3 Regra da Multiplicação e Probabilidade Total

O problema pede a probabilidade de obser-varmos urna I e bola vermelha, ou seja, a interse-ção entre os eventos:

1 1 1

1 2 2 1 ( ) ( ) ( / )

2 5 10 5 P U V ∩ = P U × P V U = × = =

Outra situação importante é o chamado teorema da probabilidade total. Ele é utilizado quando a probabilidade de um evento A é diícil de ser calculada diretamente, porém se torna sim-ples o seu cálculo usando os conceitos a seguir.

Inicialmente, considere n eventos B₁, B₂,..., B_n. Considere que eles ormam uma partição do espaço amostral S, quando:

I) P (B_k)>0 ∀k; II) B_i∩B j =∅ para i≠j; III) B S n i i

=



1 .

Os eventos B₁, B₂,..., B_n são dois a dois mu-tuamente exclusivos exaustivos (sua união é S). Seja A um evento qualquer do espaço amostral S e B₁, B₂, ..., B_n, uma partição de S, é válida a seguin-te relação:

(23)

A = (B₁∩A)∪(B₂∩A)∪(B₃∩A)∪...∪ (B_n ∩A).

Note que (B₁ ∩ A); (B

2 ∩ A) ...; (Bn ∩ A) são dois a dois mutuamente exclusivos, portanto:

)

(

)

(

)

(

)

(

A

P

B

₁

A

P

B

₂

A

P

B

A

P

= ∩ + ∩ +



+ _n ∩

Exemplo 16: Uma urna I tem 2 bolas ver-melhas (V) e 3 brancas (B); outra urna II tem 3 bolas vermelhas e uma branca e a urna III tem 4 bolas vermelhas e 2 brancas. Uma urna é selecio-nada ao acaso e dela é extraída uma bola. Qual a probabilidade de a bola ser vermelha?

Resolução: Utilizando o teorema da proba-bilidade total, temos:

P(V) = P(U1 V) + P(U2 V) + P(U3 V)

P(V) = P(U1)uP(V / U1) + P(U2)uP(V / U2) + P(U3)uP(V / U3)

               9  u  u  u  3

Exemplo 17 (problema da moeda de Ber-trand):

Existem três caixas idênticas. A 1a _contém duas moedas de ouro, a 2a_{contém uma moeda de} ouro e outra de prata, e a 3a_{, duas moedas de} pra-ta. Uma caixa é selecionada ao acaso e da mesma é escolhida uma moeda ao acaso. Se a moeda es-colhida or de ouro, qual a probabilidade de que a outra moeda da caixa escolhida também seja de ouro?

Resolução: temos três caixas, contendo: C₁= 2 moedas de ouro;

C₂= 1 moeda de ouro e 1 moeda de prata; C₃= 2 moedas de prata.

Queremos calcular a probabilidade de a se-gunda moeda ser de ouro, sabendo que a primei-ra oi de ouro. Em outprimei-ras palavprimei-ras, a probabilida-de probabilida-de caixa C₁, sabendo que ocorreu ouro (O). Em símbolos: P(C₁/O) = ?

Utilizando o teorema da probabilidade to-tal, temos:

P(O) = P(C1O) + P(C2O) + P(C3O)

P(O) = P(C1)uP(O / C1) + P(C2)uP(O / C2) + P(C3)uP(O / C3)

                 2  u  u  u   3

Utilizando a probabilidade condicional, vem: 3 2 6 4 1 2 6 2 2 1 2 2 3 1 ) / ( ₁

=

×

=

×

=

O C P

2.4 Independência de Eventos

Dados dois eventos A e B de um espaço amostral W, diremos que A independe de B se P(A/B) = P(A). Isto é, A independe de B se a ocor-rência de B não aeta a probabilidade de A.

Observemos que, se Ai ndepende de B,

en-tão B independe de A, pois:

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / ( ) ( ) ( ) ( ) / ( P B A P A P B P A P B A P B P A P B A P A B P = ∩ = ⋅ = ⋅ =

Dois eventos A e B são chamados indepen-dentes, se ) ( ) ( ) ( A B P A P B P

∩

=

⋅

(24)

Observações:

a) Se A e B não são independentes, eles são chamados dependentes.

b) Se A e B são independentes, então: A e BC_{são independentes;}

AC_{e B são independentes;} AC_{e B}C_{são independentes.}

Exemplo 18: uma moeda é lançada 3 vezes. Sejam os eventos:

A: ocorrem pelo menos duas caras.

B: ocorrem resultados iguais nos três lança-mentos.

Mostrar que os eventos A e B são indepen-dentes. Resolução: := {(K, K, K); (K, K, C); (K, C, K); (K, C, C); (C, K, K); (C, K, C); (C, C, K); (C, C, C)}. A = {(K, K, K); (K, K, C); (K, C, K); (C, K, K)}; P(A) =   B = {(K, K, K); (C, C, C)}; P(B) =      AB = {(K, K, K)}; P(AB) =  

Logo, P(AB) = P(A) x P(B)        

Portanto, A e B são independentes.

Exemplo 19: Duas pessoas praticam tiro ao alvo. A probabilidade de a 1ª atingir o alvo é P(A) =

3 1

e a probabilidade de a 2ª atingir o alvo é P(B) =

3

2 _{. Admitindo A e B independentes, se os} dois atiram, qual a probabilidade de:

a) ambos atingirem o alvo? b) ao menos um atingir o alvo? Resolução: 9 2 3 2 3 1 ) ( ). ( )P A P B

=

⋅

=

a 9 7 3 2 3 2 3 1 3 1 3 2 3 1 ) ( ). ( ) ( ). ( ) ( ). ( )

=

⋅

+

⋅

+

⋅

=

+

_P _A _P _B _P _A _P _B B P A P b c c Atenção Atenção

Dados dois eventos A e B de um espaço amostral

Ω_{, diremos que A independe de B se P(A/B) =}

P(A).

Considere 3 eventos A, B e C do mesmo es-paço amostralΩ. Dizemos que A, B e C são

inde-pendentes, se P(A∩B∩ C) = P(A) . P(B) . P(C)

Generalizando: P(A₁∩A

2∩...∩An) = P(A1) . P(A2) . . . . . P(An) Exemplo 20: Um dado é lançado 5 vezes. Qual a probabilidade de que a ace “2” apareça pelo menos uma vez nos 5 lançamentos?

Resolução: Vamos calcular a probabilidade da ace 2 aparecer nenhuma vez.

7776 3125 6 5 6 5 6 5 6 5 6 5_⋅ _⋅ _⋅ _⋅ ₌

(25)

Agora, calcula-se a probabilidade de a ace 2 aparecer pelo menos uma vez, usando o evento complementar: 7776 4651 7776 3125 1− =

2.5 Resumo do Capítulo

A probabilidade de um evento consiste na razão entre os casos avoráveis a ocorrência do evento e o total de casos possíveis do experimento aleatório. A utilização de probabilidades ocorre em jogos do cotidiano, no cálculo de seguros em geral e, em outras situações onde é undamental conhecer suas pos-sibilidades de chances. Neste capítulo, vimos a Probabilidade de um Evento condicionado à ocorrência de outro evento e também Eventos Independentes em termos de probabilidades.

A utilização da Análise Combinatória está diretamente associada aos problemas de probabilidades, onde se torna undamental determinarmos a quantidade de elementos dos conjuntos Espaço Amostral e Eventos.

Muitos alunos não conhecem a composição de um baralho e, como este comumente é tema de diversos problemas de análise combinatória e probabilidades, apresentaremos a seguir como um baralho é ormado.

O baralho comum tem 52 cartas (espaço amostral), sendo 26 vermelhas e 26 pretas. São divididas em 4 naipes: copas, ouro, paus e espadas, sendo que cada naipe possui 13 cartas numeradas de 2 a 10 e mais as cartas chamadas de fguras: o Rei (símbolo K), a Rainha ou Dama (símbolo Q), o Valete (símbolo J) e o Ás (símbolo A).

(13 cartas por naipe x 4 naipes = 52 cartas).

Observe a tabela com as inormações detalhadas de um baralho:

Curiosidade Curiosidade

(26)

1. Numa urna existem duas bolas vermelhas e seis brancas. Sorteando-se uma bola, qual a proba-bilidade de ela ser vermelha?

2. No lançamento simultâneo de dois dados, encontra-se o seguinte espaço amostral: S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}

Determine a probabilidade dos seguintes eventos: A: ocorrência de números iguais nos dois dados. B: ocorrência de números cuja soma seja 12.

C: ocorrência de números cuja soma seja menor ou igual a 12. D: ocorrência de números cuja soma seja 8.

E: ocorrência de números cuja soma seja dierente de 8. F: ocorrência de números iguais, com soma igual a 8. G: ocorrência de números iguais, com soma igual a 7.

H: ocorrência de números iguais nos dois dados, ou de números com soma igual a 8. I: ocorrência de números múltiplos de 3 nos dois dados.

3. Numa cidade com 1.000 eleitores, vai haver uma eleição com 2 candidatos, A e B. É eita uma prévia em que os 1.000 eleitores são consultados, sendo que 510 já se decidiram, denitiva-mente, por A. Qual é a probabilidade de que A ganhe a eleição?

4. Uma moeda é viciada de tal modo que sair cara é duas vezes mais provável do que sair coroa. Calcule a probabilidade de:

a) ocorrer cara no lançamento dessa moeda; b) ocorrer coroa no lançamento dessa moeda.

5. De um baralho de 52 cartas, uma é extraída ao acaso. Qual a probabilidade de cada um dos eventos abaixo?

a) Ocorrer dama de copas. b) Ocorrer dama.

c) Ocorrer carta de naipe de paus. d) Ocorrer uma gura.

e) Ocorrer uma carta que não é um rei.

(27)

6. Uma urna contém 3 bolas brancas, 2 vermelhas e 5 azuis. Uma bola é escolhida ao acaso na urna. Qual a probabilidade de a bola escolhida ser:

a) branca? b) vermelha? c) azul?

7. Jogando 3 dados, qual a probabilidade de se obter soma menor ou igual a 4?

8. Os jogadores A, B, C e D disputam um torneio onde A e B têm “chances” iguais, C e D também têm “chances” iguais, mas A tem o dobro das “chances” de C. Qual a probabilidade de B vencer? Qual a probabilidade de D vencer?

9. Considere o espaço amostral S = {a, b, c, d} de um experimento aleatório. Consideremos a se-guinte distribuição de probabilidades: P(a) = 1/8, P(b) = 1/8, P(c) = ¼, P(d) = x. Determine o valor de x.

10. Com os dados do exercício anterior e sejam os eventos A = {a, b, c} e B = {c, d}, determine P(A), P(B), P(Ac_{), P(B}c_{), P(A Ç B) e P(A È B).}

11. As “chances” de um time de utebol T ganhar o campeonato que está disputando são de 5 para 2. Determine:

a) a probabilidade de T ganhar; b) a probabilidade de T perder.

12. Dos 100 alunos de uma turma, 40 gostam de Álgebra, 30 gostam de Geometria, 10 gostam de Álgebra e Geometria, e há os que não gostam de Álgebra nem de Geometria. Um aluno é esco-lhido ao acaso. Qual a probabilidade de ele gostar de:

a) Álgebra? b) Geometria?

c) Álgebra e Geometria? d) Álgebra ou Geometria?

13. Dois dados equilibrados são lançados.

a) Qual a probabilidade de ocorrerem números iguais nas aces superiores? b) Qual a probabilidade de ocorrerem números dierentes?

14. Uma loja dispõe de 12 geladeiras do mesmo tipo, dos quais 4 apresentam deeitos.

a) Se um reguês vai comprar uma geladeira, qual a probabilidade de levar uma deeituosa? b) Se um reguês vai comprar duas geladeiras, qual a probabilidade de levar duas

deeituo-sas?

c) Se um reguês vai comprar duas geladeiras, qual a probabilidade de levar pelo menos uma com deeito?

(28)

15. Onze jovens são dispostos em uma la. Qual a probabilidade de dois determinados jovens: a) carem juntos?

b) carem separados?

16. Dois indivíduos A e B vão jogar cara ou coroa com uma moeda “honesta”. Eles combinam lançar a moeda cinco vezes e ganha o jogo aquele que ganhar em três ou mais lançamentos. Cada um aposta R$ 2.800,00. Feitos os dois primeiros lançamentos, em ambos os quais A vence, eles resolvem encerrar o jogo. Do ponto de vista probabilístico, de que orma devem ser repartidos os R$ 5.600,00?

17. Em um grupo de 500 estudantes, 80 estudam Engenharia, 150 estudam Economia e 10 estu-dam Engenharia e Economia. Se um aluno é escolhido ao acaso, qual a probabilidade de que:

a) ele estude Economia e Engenharia? b) ele estude somente Engenharia? c) ele estude somente Economia?

d) ele não estude Engenharia nem Economia? e) ele estude Engenharia ou Economia?

18. Uma cidade tem 50.000 habitantes e 3 jornais A, B, C. Sabe-se que:

 15.000 leem o jornal A;  10.000 leem o jornal B;  8.000 leem o jornal C;  6.000 leem os jornais A e B;  4.000 leem os jornais A e C;  3.000 leem os jornais B e C;  1.000 leem os três jornais.

Uma pessoa é selecionada ao acaso. Qual a probabilidade de que: a) ela leia pelo menos um jornal?

b) leia só um jornal?

19. Oito pessoas (dentre elas Pedro, Silvia e João) são dispostas ao acaso em uma la. Qual a pro-babilidade de:

a) os três carem juntos? b) os três carem separados?

20. Nove livros são colocados ao acaso numa estante. Qual a probabilidade de que 3 livros deter-minados quem juntos?

21. Uma urna contém 4 bolas brancas, 2 bolas vermelhas e 3 azuis. Cinco bolas são selecionadas ao acaso, sem reposição. Qual a probabilidade de que 2 sejam brancas, uma vermelha e 2 azuis?

(29)

22. Um lote contém 60 lâmpadas, sendo 50 boas e 10 deeituosas. Cinco lâmpadas são escolhidas ao acaso, sem reposição. Qual a probabilidade de:

a) todas serem boas?

b) todas serem deeituosas? c) 2 serem boas e 3 deeituosas?

23. Uma urna contém 5 bolas vermelhas e 7 brancas. Duas bolas são extraídas sucessivamente ao acaso e sem reposição. Qual a probabilidade de:

a) ambas serem brancas? b) ambas serem vermelhas?

24. Uma moeda é lançada 10 vezes, qual a probabilidade de observarmos 5 caras e 5 coroas? 25. Sejam A e B eventos tais que: P(A) =

3 1 , P(B) = 4 1 e P(A∩B) = 6 1 . Determine: a) P(A/B) b) P(B/A) c) P(A/A∪B) d) P(A∪B/A)

26. Dos 50 alunos de uma classe, 10 oram reprovados em Física, 12 em Matemática, sendo que 6 oram reprovados em Física e Matemática. Um aluno é escolhido ao acaso.

a) Sabendo que ele oi reprovado em Matemática, qual a probabilidade de também ter s ido reprovado em Física?

b) Sabendo que ele oi reprovado em Física, qual a probabilidade de também ter sido re-provado em Matemática?

27. Um casal tem dois lhos. Determine a probabilidade de ambos serem rapazes, dado que: a) o primeiro lho é rapaz.

b) pelo menos um dos lhos é rapaz.

28. Um dado é lançado e o número da ace de cima é observado.

a) Se o resultado obtido or par, qual a probabilidade de ele ser maior ou igual a 5? b) Se o resultado obtido or maior ou igual a 5, qual a probabilidade de ele ser par? c) Se o resultado obtido or ímpar, qual a probabilidade de ele ser menor que 3? d) Se o resultado obtido or menor que 3, qual a probabilidade de ele ser ímpar?

29. Um número é sorteado ao acaso entre os 100 inteiros de 1 a 100. a) Qual a probabilidade de o número ser par?

b) Qual a probabilidade de o número ser par, dado que ele é menor que 50? c) Qual a probabilidade de o número ser divisível por 5, dado que é par?

(30)

30. Dois dados d₁e d₂são lançados.

a) Qual a probabilidade de a soma dos pontos ser 6, se a ace observada em d₁oi 2? b) Qual a probabilidade de o dado d₁apresentar ace 2, se a soma dos pontos oi 6?

c) Qual a probabilidade de a soma dos pontos ser menor que 7, sabendo que em ao menos um dado apareceu o resultado 2?

d) Qual a probabilidade de a soma dos pontos ser menor ou igual a 6, se a soma dos pontos nos dois dados oi menor ou igual a 4?

e) Qual a probabilidade de o máximo dos números observados ser 5, se a soma dos pontos oi menor ou igual a 9?

31. Considere um tetraedro, como um dado, com 4 aces numeradas de 1 a 4. Dois tetraedros t₁ e t₂ são lançados sobre um plano e observam-se os números das aces nas quais se apoiam os tetraedros. Se a soma dos pontos obtidos or maior que 5, qual a probabilidade de que o número observado em t₁seja:

a) 4?

b) 3?

32. Um grupo de 50 moças é classicado de acordo com a cor dos cabelos, e dos olhos de cada moça, segundo a tabela:

CABELOS OLHOS

Azuis Castanhos

Loira 17 9

Morena 4 14

Ruiva 3 3

Se você marca um encontro com uma dessas garotas, escolhida ao acaso, qual a probabilidade de ela ser:

a) loira?

b) morena de olhos azuis? c) morena ou ter olhos azuis?

d) está chovendo quando você encontra a garota. Seus cabelos estão completamente co-bertos, mas você percebe que ela tem olhos castanhos. Qual a probabilidade de que ela seja morena?

33. De um total de 100 alunos que se destinam ao curso de Matemática, Física e Química sabe-se que:

I - 30 destinam-se à Matemática e, desses, 20 são do sexo masculino.

II - O total de alunos do sexo masculino é 50, dos quais 10 destinam-se à Química. III - Existem 10 moças que se destinam ao curso de Química.

34. Nessas condições, sorteando um aluno ao acaso do grupo total e sabendo que é do sexo emi-nino, qual é a probabilidade de que ele se destine ao curso de Matemática?

(31)

35. Uma comissão de 3 pessoas é ormada escolhendo-se ao acaso entre Antônio, Benedito, César, Denise, Elisabeth e Fábio. Se Denise não pertence à comissão, qual a probabilidade de César pertencer?

36. Um prédio de três andares, com dois apartamentos por andar, tem apenas três apartamentos ocupados. Qual é a probabilidade de que cada um dos três andares tenha exatamente um apartamento ocupado?

37. Um juiz de utebol possui três cartões no bolso. Um é todo amarelo, outro é todo vermelho e o terceiro é vermelho de um lado e amarelo do outro. Num determinado lance, o juiz retira, ao acaso, um cartão do bolso e o mostra a um jogador. Determine a probabilidade de a ace que o juiz vê ser vermelho e de a outra ace, mostrada ao jogador, ser amarela.

38. Uma urna I tem 3 bolas vermelhas e 4 pretas. Outra urna II tem 6 bolas vermelhas e 2 pretas. Uma urna é escolhida ao acaso e dela é escolhida uma bola também ao acaso. Qual a probabi-lidade de observarmos:

a) urna I e bola vermelha? b) urna I e bola preta? c) urna II e bola vermelha? d) urna II e bola preta?

39. Uma urna tem 8 bolas vermelhas, 3 brancas e 4 pretas. Uma bola é escolhida ao acaso e, sem reposição desta, outra é escolhida, também ao acaso. Qual a probabilidade de:

a) a 1ªbola ser vermelha e a 2ªbranca? b) a 1ªbola ser branca e a 2ªvermelha? c) a 1ªe a 2ªserem vermelhas?

40. O mês de outubro tem 31 dias. Numa certa localidade, chove 5 dias no mês de outubro. Qual a probabilidade de não chover nos dias 1º e 2 de outubro?

41. A urna I tem 3 bolas vermelhas e 4 brancas, a urna II tem 2 bolas vermelhas e 6 brancas e a urna III tem 5 bolas vermelhas, 2 brancas e 3 amarelas. Uma urna é selecionada ao acaso e dela é extraída uma bola, também ao acaso. Qual a probabilidade de a bola ser:

a) vermelha? b) branca? c) amarela?

42. Em um lote da ábrica A existem 18 peças boas e 2 deeituosas. Em outro lote da ábrica B existem 24 peças boas e 6 deeituosas, e em outro lote da ábrica C existem 38 peças boas e 2 deeituosas. Um dos 3 lotes é sorteado ao acaso e dele é extraída uma peça ao acaso. Qual a probabilidade de a peça ser:

a) boa?

(32)

43. Em um jogo de cara ou coroa, em cada tentativa a moeda é lançada 3 vezes consecutivas. Uma tentativa é considerada um sucesso se o número de vezes que se obtém cara superar estri-tamente o número de vezes que se obtém coroa. Qual é a probabilidade de serem obtidos 2 sucessos nas 2 primeiras tentativas?

44. A urna I tem 2 bolas vermelhas e 3 amarelas e a urna II tem 4 bolas vermelhas, 5 amarelas e 2 brancas. Uma bola é escolhida ao acaso na urna I e colocada na urna II, em seguida uma bola é escolhida na urna II ao acaso. Qual a probabilidade de essa segunda bola ser:

a) vermelha? b) amarela? c) branca?

45. Uma urna I tem 3 bolas vermelhas e 4 brancas, a urna II tem 6 bolas vermelhas e 2 brancas. Uma urna é escolhida ao acaso e nela é escolhida uma bola, também ao acaso.

a) Qual a probabilidade de observarmos urna I e bola vermelha? b) Qual a probabilidade de observarmos bola vermelha?

c) Se a bola observada oi vermelha, qual a probabilidade que tenha vindo da urna I?

46. Uma caixa contém 3 moedas M_I, M_IIe M_III. A M_Ié “honesta”, a M_IItem duas caras e a M_IIIé viciada de tal modo que caras são duas vezes mais prováveis que coroas. Uma moeda é escolhida ao acaso e lançada.

a) Qual a probabilidade de observarmos moeda M_Ie cara? b) Qual a probabilidade de observarmos cara?

c) Se o resultado nal oi cara, qual a probabilidade de que a moeda lançada tenha sido M_I.

47. Duas máquinas A e B produzem peças idênticas, sendo que a produção da máquina A é o triplo da produção da máquina B. A máquina A produz 80% de peças boas e a máquina B produz 90%. Uma peça é selecionada ao acaso no estoque e verica-se que é boa. Qual a probabilida-de probabilida-de que tenha sido abricada pela máquina A?

48. Certa moléstia A é detectada através de um exame de sangue. Entre as pessoas que eetiva-mente possuem a moléstia A, 80% delas têm a moléstia detectada pelo exame de sangue. Entre as pessoas que não possuem a moléstia A, 5% delas têm a moléstia detectada (erronea-mente) pelo exame de sangue. Numa cidade, 2% das pessoas têm a moléstia A. Uma pessoa da cidade oi submetida ao citado exame de sangue, que a acusou como portadora da moléstia A. Qual a probabilidade de essa pessoa estar eetivamente atacada pela moléstia?

49. Em uma população, o número de homens é igual ao de mulheres. 5% dos homens são daltôni-cos e 0,25% das mulheres são daltônicas. Uma pessoa é selecionada ao acaso e verica-se que é daltônica. Qual a probabilidade de que ela seja mulher?