Atração exponencial uniforme e convergência com taxa dos atratores

Prova do Teorema 2.3. Usando o Teorema3.21, o item(i) segue do Teorema3.28. O item(ii) segue da

caracterização dos atratores obtida no item(i) do Teorema1.67, Teorema1.68e do Teorema3.35, pois dist(T_ε(t)B, A_ε) ≤ ce−ρ1t _{para todo t≥ 1;}

onde c> 0 eρ1> 0 independem deε.

Por fim, o item(iii) segue dos itens (i), (ii) e usando o Teorema1.76do Capítulo 1, onde obtemos dist(A_ε, A0) + dist(A0, Aε) ≤ Ckaε− a0k

2θρ₁

ρ_{1 +L}

∞ , 0 <ε≤ε,

4

Um problema de reação-difusão

com perturbação no domínio do tipo

dumbbell

4.1

Introdução

Neste capítulo, estudamos a dinâmica não linear de problemas de reação-difusão da forma

   u_tε(x,t) −∆uε(x,t) + uε(x,t) = f (uε(x,t)), x ∈Ωε, t > 0, ∂uε ∂n(x,t) = 0, x ∈∂Ωε (4.1)

em domínios singularmente perturbados dumbbell-typeΩ_ε⊂ RN_{, N≥ 2,ε∈ (0,ε}

0].

Consideremos o domínio dumbbell-type, isto é, Ωε consiste de dois domínios, que denotaremos por

Ω, ligados por um canal fino R_ε que degenera-se para um segmento de reta quando ε tende a zero, denotamos por P0e P1os pontos onde o segmento de reta toca os domíniosΩ, conforme as figuras 05 e

06 abaixo. Mostraremos a atração exponencial uniforme emεdos atratores, além da taxa de convergência dos mesmos em função da medida de Lebesgue da secção transversal do canal R_ε. A variação nos espaços de funções com os quais trabalharemos será usada para definir o nosso parâmetro.

A continuidade dos atratores de (4.1) foi estudada na série Dynamics in dumbbell domains, veja [19,

20,21]. Neste trabalho refinamos os resultados obtidos nos trabalhos citados, extraíndo a taxa com que ocorre a continuidade dos atratores exponenciais provenientes das equações (4.1). Para isto, assumiremos que a não linearidade f : R→ R verifica uma condição de dissipatividade do tipo

lim sup

|s|→+∞

f(s)

s < 0. (4.2)

Sob a condição (4.2) a equação (4.1) possui um atrator A_ε ⊂ H1_(Ω

ε).

Por outro lado, passando o limite quandoε → 0, o “domínio” limite consiste dos domíniosΩe um segmento de reta R0, o que constitui o “domínio”Ω0. A equação limite é

             wt(x,t) −∆w(x,t) + w(x,t) = f (w(x,t)), x ∈Ω, t > 0, ∂w ∂n(x,t) = 0, x ∈∂Ω, ˙ v(s) − Lv(s) + v(s) = f (v(s)), s ∈ R0, v(0) = w(P0), v(1) = w(P1), (4.3)

onde w é uma função que definida emΩe v função definida no segmento de reta R0. Além disso, L é um

operador diferencial que depende da geometria do canal Rε, mais precisamente, sobre como o canal Rε

colapsa para o segmento de reta R0.

Ω Rε

Ω Ωε

Figura 02: “Domínio” Limite Ω R0

P0• • P1

Ω Ω0

Figura 01: Domínio Dumbbell

Por exemplo, em R2, se o canal R_ε= {(s, y); 0 < s < 1, 0 < y <εg(s)}, então Lv =1

g(gvs)s. Ainda,

este sistema possui um atrator A0em H1(Ω) × H1(R0). Estamos interessados na relação que há entre os

atratores Aε,ε ∈ (0, 1] e A0, e a medida do canal Rε.

Definição 4.1 (Definição do domínio). Um domínio do tipo dumbbell é constitudo de domínios fixos, ambos denotados porΩ, ligados por um canal Rε que colapsa a um segmento de reta quandoε tende a zero, o canal não necessariamente é cilíndrico, mas o consideraremos contido em um. A fim de descrever tais domínios, introduziremos alguma terminologia.

SejaΩ⊂ RN_{, com N≥ 2 um domínio fixo limitado e suave tal que existe um l > 0 satisfazendo}

Ω∩ {(s, x′); s2+ |x′|2< l2} = {(s, x′); s2+ |x′|2< l2, s < 0}, Ω∩ {(s, x′); (s − 1)2+ |x′|2< l2} = {(s, x′); (s − 1)2+ |x′|2< l2, s > 1},

Ω∩ {(s, x′); 0 < s < 1, |x′| < l} = /0,

com{(0, x′); |x′| < l} ∪ {(1, x′); |x′| < l} ⊂∂Ω. Aqui, estamos usando a notação RN_{∋ x = (s, x}′_{), com}

s∈ R, x′= (x2, . . . , xN) ∈ RN−1.

O canal que consideraremos definido por R_ε= {(s,εx′); (s, x′_{) ∈ R}

1}, onde R1definido por

e para todo 0≤ s ≤ 1, Γs

1 difeomorfo a bola unitária em RN−1. Isto é, assumiremos que para cada

s∈ [0, 1], existe um difeomorfismo de classe C1 _L

s: B(0, 1) →Γs1. Além disso, consideraremos o difeo-

morfismo de classe C1 L :(0, 1) × B(0, 1) → R1 (s, z) 7→ L(s, z) := (s, Ls(z)). Ω _R ε Ω Ωε

Figura 08: Domínio dumbbell com um conexoΩ. Note que a função

g :[0, 1] → R

s 7→ g(s) := |Γs

1|

onde |Γs

1| denota a medida de Lebesgue (N − 1)−dimensional do conjunto Γs1. Da suavidade de R1,

podemos assumir que g é uma função suave. Em particular, existem d0, d1> 0 tais que d0≤ g(s) ≤ d1

para todo s∈ [0, 1]. Mais ainda, fixadoε> 0, g(s) =ε1−N_|Γs

ε| para todo 0 ≤ s ≤ 1 e o canal Rε colapsa para o segmento de reta R0= {(s, 0); 0 ≤ s ≤ 1}.

Observação 4.2. Muitas classes importantes de canais são tais que as seções transversaisΓs₁são discos centrados na origem de raio r(s), isto é,

R1:= {(s, x′); |x′| < r(s), 0 ≤ s ≤ 1}.

Para estes canais g(s) =ωN−1r(s)N−1, ondeωN−1é a medida de Lebesgue da bola unitária em RN−1.

O domínio dumbbell será o domínio Ωε =Ω∪ Rε paraε ∈ (0, 1]. Observe que não especificamos

qualquer propriedade de conexidade deΩ, poderemos ter a situação descrita na Fig’s. 06 ou 08.

Com estas considerações, definimos os espaços de funções nos quais trabalharemos. Para 1≤ p <∞, o espaço U_εpcomε > 0 é o espaço Lp₍Ω

ε) munido da norma k · k_Up ε := k · kLp_(Ω)+ε 1−N p k · k Lp_(Rε)

e denotaremos por U₀p= Lp_{(Ω) ⊕ L}p

g(0, 1), onde Lgp(0, 1) o espaço Lp(0, 1) com a norma

kuk_Lp g(0,1):= _{Z 1} 0 g (s)|u(s)|p_ds 1 p . Além disso,k(w, v)k_Up 0 := kwkLp(Ω)+ kvkL p g(0,1).

Também, consideraremos o espaço H_ε1= H1₍Ω_{) ⊕ H}1_(R

ε) com a norma k · k_H1 ε := k · kH1_(Ω)+ε 1−N 2 k · k H1_(R ε).

Como as soluções do problema (4.1) estão definidas em espaços diferentes, recorreremos ao meca- nismo dado em [6] para comparar funções definidas nos “domínios”Ω0eΩε. O operador extensão que

consideraremos é dado por

Eε : U₀p → U_εp

(w, v) 7→ E_ε(w, v)(x) := 

w(x), x∈Ω v(s), x= (s, y) ∈ R_ε.

Com isso, escreveremos o problema (4.1) como uma equação semilinear abstrata da forma

(

uε_t + A_εuε= f (uε),

uε(0) = uε₀∈ U_εp (4.4)

onde Aε: D(Aε) ⊂ U_εp→ U_εp, 1≤ p <∞é um operador linear ilimitado. Também, escrevemos o problema (4.3) de maneira abstrata da forma ₍

ut+ A0u= f (u),

u(0) = u0∈ U0p

(4.5) onde A0: D(A0) ⊂ U₀p→ U₀pé um operador linear ilimitado.

Nosso objetivo é investigar a taxa com que ocorre a continuidade de toda a estrutura de (4.4) em função da medida de Lebesgue do canal R_ε. Para isto seguiremos o seguinte programa:

(1) Mostraremos que fixados p > N e 2 ≤ q <∞, existe uma constante C> 0 independe deε, tal que

kA−1_ε − E_εA−1₀ M_εkL_(Lp_(Ωε),Uq ε)≤ Cε N q _e kA−1 ε − EεA−1₀ M_εkL_(Uεp_,Uεq₎≤ Cε 1 q

onde Mε é o operador projeção, conforme a Definição4.67. Com(1), se p > N, então concluímos A−1

ε −→ ACC −10 . Isto será realizado na seção4.2.

(2) Consideraremos potenciais V_ε ∈ L∞(Ω_ε) e V0= (VΩ,VR0) ∈ U0∞ com|Vε|, |VR0| ≤ a, a > 0 e tal que para N< q <∞, temos

kV_ε− E_εV0kLq_(Ωε)≤ε N q

e considerando Wε = Vε+ a, W0= V0+ a,Λε = Aε+Wε eΛ0= A0+W0, para p, q > N, teremos

kΛ−1_ε − E_εΛ−1₀ M_εkL_(Uεp_,Lq_(Ωε))≤ Cε N q _e kΛ−1 ε − EεΛ−10 MεkL_(Uεp_,Uεq₎≤ Cε 1 q

onde C> 0 é independente deε. Com isso, encontraremos estimativas para os operadores(λ+Λε)−1e

(λ+Λ0)−1comλ num setor conveniente. Isto será realizado na seção4.2.

(3) A seguir, na seção 4.2, mostraremos a taxa de convergência dos pontos de equilíbrios dos proble- mas (4.4) e (4.5). Se u∗₀é um equilíbrio hiperbólico de (4.5) e u∗_ε de (4.4), então sob certas condições, mostraremos que ku∗_ε− Eεu∗₀kLq₍Ω_ε)≤ Cε N q _{e ku}∗ ε− Eεu∗₀k_Uq ε ≤ Cε 1 q_.

(4) Mostraremos que a taxa de convergência dos semigrupos lineares é dada pela medida de Lebesgue do

canal. Para 0≤γ< 1,β ∈ R, p, q > N, 0 <θ< 1 e t > 0, teremos ke−(Aε+Vε)t_{− E} εe−(A0+V0)t_M εkL_(Uεp_,Lq_(Ω ε)) ≤ Ceβtt−γε N q_, ke−(Aε+Vε)t_{− E} εe−(A0+V0)t_M εkL_(Uεp_,Uεq₎ ≤ Ceβtt−γεθ 1 q.

Continuando, o resultado principal deste capítulo mostra que o semigrupo não linear associado ao problema (4.4) com ε ∈ [0,ε0] possui atrator gradient-like, além de provar a atração exponencial dos

mesmos uniforme emε e a taxa de convergência.

Teorema 4.3. Seja{Tε(t); t ≥ 0} o semigrupo gradiente não linear associado ao problema (4.4) com

atrator global A_ε. Suponhamos que existam 0<θ< 1/2,ε0> 0, L > 0,β > 0, 0 <γ < 1 e C > 0 tais

que kT_ε(t)u_ε− E_εT0(t)MεvεkL_(Uεp_,Lp_(Ωε)) ≤ Ceβtt−γ(kuε− vεk_Up ε +ε θN q), t > 0 kT_ε(t)u_ε− E_εT0(t)MεvεkL_(Uεp₎ ≤ Ceβtt−γ(kuε− vεkU_εp+εθ 1 q) t > 0.

onde p> N, e além disso, que os pontos de equilíbrio do problema (4.5) existam em número finito

E_{0= {u}1_∗,0_{, . . . , u}n,0_{∗ } e que todos sejam hiperbólicos. Então, para todo}ε_{∈ (0,}ε_0],

(i) O semigrupo{T_ε(t); t ≥ 0} possui um número finito de pontos de equilíbrios E_ε= {u1∗,ε, . . . , un,∗ε} e

A_ε= n [ i=1 Wu(ui,ε ∗ );

(ii) Existeρ> 0 tal que dado B ⊂ U_εplimitado, existe c= c(B) > 0 tal que (ii1) distL p_(Ω ε)_(T ε(t)B, Aε) ≤ ce−ρt para todo t≥ 1, (ii2) distU p ε_{(Tε(t)B, Aε) ≤ ce}−ρt _{para todo t≥ 1;}

(iii) Existe C> 0 tal que

(iii1) distL p_(Ω ε)_(A ε, EεA_{0) + dist}Lp(Ωε)_(E εA_{0, Aε) ≤ C}εθp(ρρ+L)N _, (iii2) distU p ε_{(Aε, Eε}A_{0) + dist}Uεp_(EεA_{0, Aε) ≤ C}εθp(ρρ+L)_,