Em nossas aplicações veremos que os operadores Bε serão inversos de certos operadores diferenciais
Aε. Assumiremos que dados os operadores Aε: D(Aε) ⊂ Zε → Zε,ε∈ [0, 1] vale
Aε é fechado, possui resolvente compacto, 0∈ρ(Aε), ε∈ [0, 1] e A−1ε −→ ACC −10 . (2.1)
Lema 2.6. Para qualquerµ∈ρ(−A0), existeεµ> 0 tal queµ ∈ρ(−Aε) para todoε∈ (0,εµ] e
sup
ε∈(0,εµ]
k(µ+ Aε)−1kL(Zε)< +∞
Além disso,(µ+ Aε)−1converge compactamente para(µ+ A
0)−1quandoε → 0.
Demonstração. Seja µ ∈ρ(−A0). Então, a igualdade (µ+ A0) = A0(I +µA−10 ) implica a existência
de (I +µA−10 )−1. Em particular, N(I +µA−10 ) = {0} e como µA−1ε converge compactamente para a
µA−10 , do Lema2.5, existeεµ∈ (0,ε0] tais que (I +µA−1ε )−1 está bem definida para todoε∈ (0,εµ], e é
uniformemente limitado emε. Assim,(µ+ Aε)−1= (I +µA−1ε )−1A−1ε existe e além disso, sup
ε∈(0,εµ]
k(µ+ Aε)−1kL(Zε)≤ sup
ε∈(0,εµ]
k(I +µA−1ε )−1kL(Zε) sup
ε∈(0,εµ]
A seguir, mostraremos que(µ+ Aε)−1converge compactamente para(µ+ A0)−1. SejakuεkZε = 1,
então(µ+ Aε)−1uε= A−1
ε wε com wε = (I +µA−1ε )−1uε que é uniformemente limitada emε. Portanto,
(µ+ Aε)−1uε possui uma subseqüência convergente. Além disso, dado uε −→ u, então AE −1
ε uε −→ AE −10 u.
Agora, para qualquer subseqüência de{(µ+ Aε)−1uε} existem uma subseqüência (que ainda denotare-
mos por{(µ+ Aε)−1uε}) e y tais que
zε= (I +µA−1ε )−1Aε−1uε = (µ+ Aε)−1uε→ y.
Com isso,
A−1ε uε = (I +µAε−1)zε → (I +µA−10 )y,
o que implica y = (µ+ A0)−1u. Em particular, y independe da subseqüência escolhida. Logo,
(µ+ Aε)−1uε converge para(µ+ A0)−1u. Assim,(µ+ Aε)−1uε
E
−→ (µ+ A0)−1u.
Lema 2.7. Seµ0eδ forem escolhidos tais que Sδ := {µ ∈ C; |µ−µ0| =δ} satisfazendoσ(−A0) ∩ Sδ =
/0, então existeεSδ > 0 tal queσ(−Aε) ∩ Sδ = /0 para todoε ≤εδ.
Demonstração. Suponha que não. Então, existem seqüênciasεn→ 0,µn∈ Sδ (que podemos supor con- vergente aµ0) e uεn ∈ Zεn,kukZεn = 1 tais que uεn− Aεnλnuεn = 0 ou seja,λn(Aεn)
−1u
εn = uεn. Segue da convergência compacta que uεn possui subseqüência convergente a u∈ Z0,kukZ0 = 1 e A0u=λu.
Considerando uma curva γ suave simples e fechada emρ(−A0) ∩ {λ ∈ C; Reλ > 0} em torno de
µ0∈σ(−A0) orientada no sentido anti-horário, existeεγ > 0 tal queγ está emρ(−Aε) paraε∈ [0,εγ].
Defina a projeção espectral
Qε(µ0) : Zε → Zε u 7→ Qε(µ0)u = 1 2πi Z γ(λ+ Aε) −1udλ (2.2)
e o auto-espaço generalizado associado aµ, W(µ, −Aε) = Qε(µ0)Zε,ε∈ [0,εγ].
Vale notar que, uma vez que, a projeção espectral Qε(µ0) é um operador compacto, temos
dimW(µ, −Aε) = rank(Qε(µ0)) <∞.
Teorema 2.8. As seguintes afirmações são válidas:
(i) Para qualquer µ0∈σ(−A0), existem seqüências εn→ 0 e {µn}, com µn∈σ(−Aεn), n ∈ N tal que µn→µ0quando n→∞;
(ii) Se para alguma seqüência εn → 0 e µn → µ0 quando n→ ∞, com µn ∈σ(−Aεn), n ∈ N, então µ0∈σ(−A0);
(iii) Existeε0> 0 tal que dimW (µ, −Aε) = dimW (µ, −A0) para todoε ∈ (0,ε0];
ε→ 0;
(v) Para qualquer seqüênciaεn→ 0, a seqüência {un}, un∈ W (µ, −Aεn), n ∈ N com kunkZεn = 1 possui uma subseqüência convergente e qualquer ponto de acumulação desta seqüência pertence a W(µ0, −A0).
Demonstração. (i) Seja µ0 ∈σ(−A0) e considere U = U (µ0,δ) = {µ ∈ C; |µ−µ0| ≤δ}, onde δ
escolhido tal que U∩σ(−A0) = {µ0}. Mostraremos que existeε∈ (0,ε0] tal que U ∩σ(−Aε) 6= /0 para
todoε ∈ (0,ε]. Por um argumento análogo ao que foi usado no Lema 3.12, temos ∂U⊂ρ(−Aε) para
todo 0≤ε≤ε0, para algumε0> 0 e os operadores (µ+ Aε)−1são uniformente limitado emε.
Suponha por absurdo que U ⊂ρ(−Aε),ε ∈ (0,ε]. A aplicação U ∋µ7→ (I +µA−1ε )−1 é analítica e limitada em∂U . Assim, segue do Teorema do módulo máximo,2que
k(I +µ0A−1ε )−1k ≤ max |µ−µ0|=δ k(I +µA−1ε )−1k ≤ sup |µ−µ0|=δ ε∈(0,ε0 ] k(I +µA−1ε )−1k = C <∞,
para alguma constante C> 0. Portanto, para u ∈ Zε eεn→ 0, obtemos
kuk = k(I +µ0A−1εn )−1(I +µ0A−1εn )uk ≤ Ck(I +µ0A−1εn )uk,
e entãok(I +µ0A−10 )uk ≥C1kuk e µ0∈ρ(−A0), o que é absurdo. Portanto, U (µ0,δ) contém pontos de
σ(−Aε) paraε suficientemente pequeno;
(ii) Considere uma seqüênciaεn→ 0 e {µn},µn∈σ(−Aε) tal queµn→µ0quando n→∞. Seja{un} ⊂
Zεn comkunk = 1 e (I +µnA −1 εn )un= 0. Então k(I +µ0A−1εn )unk ≤ k(µ0−µn)A −1 εn unk + k(I +µnA −1 εn )unk −−−→n→∞ 0.
Uma vez que,{µ0A−1εn ; n∈ N} é coletivamente compacta e kunk = 1, tomando subseqüência se ne- cessário, temosµ0(Aεn)
−1u
n→ v, o que implica un→ −v e kvk = 1. Portanto, (I +µ0A−10 )v = 0, kvk = 1,
isto é,µ0∈σ(−A0).
(iii) Veremos que existe ε tal que rank(Qε(µ0)) ≥ rank(Q0(µ0)), ε ∈ (0,ε]. Seja
{v1, . . . , vk} uma base para W (µ0, −A0) = Q0(µ0)Z0, então é fácil ver que, paraε suficientemente pe-
queno
{Qε(µ0)v1, . . . , Qε(µ0)vk} é linearmente dependente em W(µ0, Aε) = Qε(µ0)Zε.
Agora, suponhamos que para alguma seqüênciaεm→ 0, temos rank(Qε(µ0)) > rank(Q0(µ0)). Então,
pelo Lema IV.2.3 em [30] para cada n∈ N, existe un∈ W (µ0, −Aε), kunkZεn = 1 tal que dist(un,W (µ0, A0)) =
kunkZεn = 1. Da convergência compacta podemos assumir que Qεn(µ0)un= un→ Q0(µ0)u = u, e então, 1≤ kun− Q0(µ0)unkZεn = kQεn(µ0)un− Q0(µ0)unkZεn → 0
2Teorema do módulo máximo: Seja X um espação de Banach complexo eΩum subconjunto aberto e conexo de C. Seja
f :Ω→ C uma função analítica e suponha que k f (λ)k não é constante emΩ. Então,k f (λ)kX não pode atingir um máximo
(iv) Seja u ∈ W (µ0, −A0) e uε= Qε(µ0)u. Já que Qε(µ0)u → Q0(µ0)u e u = Q0(µ0)u, temos uε→ u.
(v) Suponha queεn→ 0 e considere {un} ⊂ Zεn, un∈ W (µ0, −Aε), n ∈ N, kunkZεn = 1. Já que Qε(µ0) con- verge compactamente para Q0(µ0) quandoε→ 0, un= Qεn(µ0)unpossui uma subseqüência convergente
{unk}, ainda denotada por unk, então em Zεnk, temos
u← unk = Qεnk(µ0)unk → Q0(µ0)u quando k →∞ e u∈ W (µ0, −A0).
Proposição 2.9. Seja K um subconjunto compacto deρ(−A0). Então, existeεK> 0 tal que K ⊂ρ(−Aε)
para todoε∈ [0,εK] e
sup
µ∈K ε∈[0,εK ]
k(µ+ Aε)−1kL(Z0)< +∞. (2.3)
Além disso, para qualquer u∈ Z0, temos
sup
µ∈K
k(µ+ Aε)−1Eεu− Eε(µ+ A0)−1ukL(Zε)−−→ε
→0 0. (2.4)
Demonstração. Suponhamos por absurdo que existam seqüênciasεn→ 0 eµn∈ K tal que N(µn+ Aεn) 6=
{0}. Podemos assumir, tomando subseqüências se necessário, que µn→ µ ∈ K. Como µnA−1εn con- verge compactamente paraµA−10 , temos uma contradição com o Lema2.5. Assim, existeεK> 0 tal que
K⊂ρ(Aε) para todoε ∈ (0,εK].
A prova de (2.3) segue por um argumento de contradição, usando a compacidade de K e convergência compacta de A−1ε a A−10 . Para provar (2.4), suponhamos que existam εn→ 0, K ∋µn→µ e η> 0 tais que k(µn− Aεn) −1E εnu− Eεn(µn− A0) −1uk Zεn ≥η. (2.5)
Usando o fato de que
(µn− Aεn) −1E εnu− (µ− Aεn) −1E εnu= (λ−λ)(λn− Aεn) −1(µ− A εn) −1E εnu, temos k(µn− Aεn) −1E εnu− (µ− Aεn) −1E εnukZεn n→∞ −−−→ 0. (2.6)
Pelo Lema2.6, temos
k(µn− Aεn) −1E εnu− Eεn(µ− A0) −1uk Zεn n→∞ −−−→ 0 (2.7)
e das propriedades de continuidade do operador resolvente,
k(µn− A0)−1u− (µ− A0)−1ukZ0 n→∞
−−−→ 0, (2.8)
Em nossas aplicações estaremos interessados em analisar o comportamento, em termos de conver- gência comptacta, do espectro e etc., de operadores provenientes da linearização em torno de uma certa solução de equilíbrio de problemas não lineares. Para isto estudaremos o comportamento de operadores da forma Aε+Vε, onde Vε : Zε → Zε é um operador limitado (uma multiplicação por um potencial).
Lema 2.10. Considerando os operadores A−1ε , A−10 , Vε e V0com VE E
−→ V0, temos
A−1ε Vε−→ ACC −10 V0.
Demonstração. Note que A−1ε Vε(uε) = A−1ε (Vεuε). Para provar isto, note que a limitação do operador
garante que se uε uma seqüência limitada em Zε, então Vεuε também limitada em Zε, e portanto, pela compacidade de A−1ε , temos A−1ε (Vεuε) relativamente compacta. Além disso, se uε −→ u em ZE ε, então
Vεuε −→ VE 0u, e por conseguinte, A−1ε Vεuε
E
−→ A−10 V0u, já que A−1ε
EE
−−→ A−10 . A seguir, suponhamos que
06∈σ(A0+V0). (2.9)
Não difícil ver que A0+V0possui resolvente compacto.
Proposição 2.11. Nas condições do Lema2.10e assumindo a condição (2.9), existe umε0> 0 tal que
06∈σ(Aε+Vε), k(Aε+Vε)−1k
L(Zε)≤ M independente deε,ε∈ [0,ε0]. Além disso,
(Aε+Vε)−1 CC−→ (A0+V0)−1.
Demonstração. Para provar o resultado, note que
(Aε+Vε)−1= (I + Aε−1Vε)−1A−1ε ,
como−AεVε converge compactamente para−A−10 V0 e−A−1ε converge compactamente para(−A0)−1, e
a limitação uniforme segue do Lema2.5.
Para provar que (Aε+ Vε)−1 CC−→ (A0+ V0)−1, notemos que, para cada seqüência uε ∈ Zε com
kuεkZε = 1, temos
vε = (Aε+Vε)−1uε = (I + A−1ε Vε)−1A−1ε uε
é uma seqüência limitada e que
vε = −A−1ε Vεvε+ A−1ε uε.
Tomando subseqüências, podemos assumir que{A−1ε Vεvε} e {A−1ε uε} são convergentese e segue que {vε} possui uma subseqüência convergente. Adicionalmente, se {uε} é convergente para u, temos {vε},
a menos de subseqüência, convergente para v que deve satisfazer
v= −A−10 V0v+ A−10 u
A seguir estabeleceremos algumas identidades do resolvente, que usaremos para tranferir informa- ção da convergência do resolvente de Aε para a convergência do resolvente de Aε+ V0. Uma vez que,
nosso objetivo é explorar as taxas de convergência das estruturas provenientes de problemas de evolução, resultados como estes serão cruciais.
Lema 2.12. Seja Mε : Zε → Z0, ε∈ [0, 1], um operador linear limitado tal que MεEε = I, o operador
identidade em Z0. Se Aε: D(Aε) ⊂ Zε→ Zε é um operador linear invertível tal que(A0+V0) e (Aε+V0)
são ambos invertíveis, então vale a seguinte identidade (Aε+V0)−1 − Eε(A0+V0)−1Mε=
= [I − (Aε+V0)−1V0](A−1ε − EεA−10 Mε)[I − EεV0(A0+V0)−1Mε]. (2.10)
Demonstração. Primeiro, note que(I − (Aε+V0)−1V0)(I + A−1ε V0) = I, pois
I= ((Aε+V0)−1Aε)((Aε+V0)−1Aε)−1 = (I − (Aε+V0)−1V0)(A−1ε (Aε+V0))
= (I − (Aε+V0)−1V0)(I + A−1ε V0).
Com isso, concluímos que a identidade (2.10) é equivalente a identidade
(A−1ε − EεA−10 Mε)(I − EεV0(A0+V0)−1Mε) =
= (I + A−1ε V0)((Aε+V0)−1− Eε(A0+V0)−1Mε). (2.11)
Como V0(A0+V0)−1= I − A0(A0+V0)−1, expandindo o lado esquerdo de (2.11), temos
(A−1ε − EεA−10 Mε)(I − EεV0(A0+V0)−1Mε) =
= A−1ε − A−1ε EεV0(A0+V0)−1Mε− EεA−10 Mε+ EεA−10 (I − A0(A0+V0)−1)Mε
= A−1ε − A−1ε EεV0(A0+V0)−1Mε− Eε(A0+V0)−1Mε.
Por outro lado, sendo A−1ε = (I + A−1ε V0)(Aε+V0)−1e expandindo o lado direito de (2.11), temos
(I + A−1ε V0)((Aε+V0)−1− Eε(A0+V0)−1Mε) = A−1ε − Eε(A0+V0)−1Mε− A−1ε EεV0(A0+V0)−1Mε.
Lema 2.13. Nas condições do Lema2.12a seguinte identidade é válida
(Aε+V0)−1 − Eε(A0+V0)−1Mε=
Demonstração. Como(I −V0(Aε+V0)−1)(I +V0A−1ε ) = I, a identidade (2.12) é equivalente a identidade
((Aε+V0)−1 − Eε(A0+V0)−1Mε)(I +V0A−1ε ) =
= [I − Eε(A0+V0)−1V0Mε](A−1ε − EεA−10 Mε). (2.13)
Usando o fato de que A−1ε = (Aε+V0)−1(I +V0A−1ε ) e expandindo o lado esquerdo de (2.13), temos
((Aε+V0)−1− Eε(A0+V0)−1Mε)(I +V0A−1ε ) = A−1ε − Eε(A0+V0)−1Mε− Eε(A0+V0)−1MεV0A−1ε .
Por outro lado, expandindo o lado direito de (2.13), temos
3
Um problema de reação-difusão
com variação no coeficiente de
difusão
3.1
Introdução
Este capítulo inicia ao que chamamos de segunda parte do trabalho, o dedicamos às ilustrações dos resultados obtidos no primeiro capítulo referentes a taxa de convergência de atratores exponenciais. Analisaremos o comportamento assintótico de equações parabólicos semilineares que geram sistemas dinâmicos dissipativos. Provaremos que sob certas condições os atratores globais se comportam conti- nuamente com taxa de convergência dependente de termos que aparecem explícitos nas equações e que definem o tipo perturbação que consideraremos.
Mais precisamente, sejamΩ⊂ RN, N≥ 3, um domínio limitado e suave eε∈ [0, 1] um parâmetro. Considere a seguinte família de equações parabólicas
uεt(x,t) − div(aε(x)∇uε(x,t)) = f (uε(x,t)), x ∈Ω, t > 0, uε(x,t) = 0, x ∈∂Ω, uε(x, 0) = uε0(x) (3.1)
onde os coeficientes de difusão aε:Ω→ R são funções regulares satisfazendo
0< m0≤ aε(x) ≤ Mε para todos x∈Ωeε∈ (0,ε0] (3.2)
onde m0, Mε> 0 e a não linearidade f : R → R é uma função de classe C2que verifica certas condições de
crescimento e sinal que mencionaremos abaixo. O parâmetroεé usado para indicar o fato de que aε→ a0
uniformemente em Ω quando ε → 0. Adiantamos que a condição N ≥ 3 não nos salva de nenhuma
restrição aos nossos propósitos, a consideramos porque nos casos N = 1, 2 as imersões contínuas de
Sobolev, em geral, são generosas e não apresentam grandes restrições. 61
Das propriedades de convergência da função aε comε∈ (0, 1] é razoável termos no limite
ut(x,t) − div(a0(x)∇u(x,t)) = f (u(x,t)), x ∈Ω, t > 0,
u(x,t) = 0 x ∈∂Ω, u(x, 0) = u0(x)
(3.3)
Além disso, paraε∈ [0, 1], em L2(Ω) definimos A
ε : D(Aε) ⊂ L2(Ω) → L2(Ω) dado por
D(Aε) := {u ∈ H1(Ω); −div(aε(x)∇u) ∈ L2(Ω), u = 0 em∂Ω} Aεu := −div(aε(x)∇u), u ∈ D(Aε).
O operador Aε é positivo, auto-adjunto e possui resolvente compacto, com 0∈ρ(Aε), ε ∈ [0,ε0].
Em particular, Aε é um operador setorial em L2(Ω). Portanto, podemos definir os espaços de potências
fracionárias Xεα associados ao operador Aε, ε ∈ [0,ε0] e α ∈ [0, 1], e X
1 2 ε = H01(Ω) munido do produto interno hφ,ψi X 1 2 ε := Z Ωaε(x)∇φ∇ψdx
o qual fornece uma norma em H01(Ω) equivalente a norma usual. Observe que X12
0 é um subespaço fechado de X 1 2 ε , e se u∈ X12 0, entãokuk X 1 2 ε ε→0 −−→ kuk X 1 2 0 .
Além disso,−Aε,ε ∈ [0, 1], gera um semigrupo analítico, que verifica a estimativa ke−Aεtk
L(Xεα,Xεβ)≤ Ct
α−βe−ωt (3.4)
com constante C independente deε. Mais ainda, denotaremos Xε1:= D(Aε) = H2(Ω) ∩ H1
0(Ω) para todo
ε∈ [0,ε0] e X = L2(Ω) com o produto interno usual.
Lema 3.1 (Desigualdade do momento). Sejam quais forem β <α <γ, se x∈ D(Aγε), então vale a seguinte desigualdade kAαεxkX ≤ CkAγεxk α−β γ−βkAβεxk γ−α γ−β X
para alguma constante C= C(β,α,γ,ε) > 0. Demonstração. Veja [9] Teorema 1.4.3.
Com isso, podemos reescrevemos os problemas (3.1) e (3.3) da seguinte forma abstrata
(
uεt + Aεuε= f (uε), uε(0) = uε0∈ X12
ε .
(3.5)
Consideremos também uma condição de crescimento sobre a não linearidade: Assumimos que para cadaη> 0 existe uma constante Cη> 0 tal que
Sob estas condições, o problema em questão, com u0∈ X
1 2
ε está localmente bem posto em X 1 2
ε . Para obtermos que as soluções do problema em questão estão globalmente definidas e existência de atratores globais, assumiremos a seguinte condição de dissipatividade sobre a não linearidade:
lim sup |s|→+∞ f(s) s < 0. (3.6) Para qualquer uε0 ∈ X 1 2
ε, com ε ∈ [0,ε0], a solução uε(t, uε0) de (3.5) começando em uε0 existe para
todo t≥ 0. Portanto, podemos definir em X12
ε o semigrupo{Tε(t);t ≥ 0} associado a (3.5) por Tε(t)uε0= uε(t, uε0), t ≥ 0. Para simplificar a notação, denotaremos a solução u0(t, u0
0) por u(t, u0).
Teorema 3.2. O semigrupo{Tε(t);t ≥ 0} associado a (3.5), comε∈ [0,ε0] possui um atrator global Aε,
em X 1 2 ε , seε ∈ [0,ε0]. Além disso, sup ε∈[0,ε0] sup w∈Aε kwk X 1 2 ε <∞ e sup ε∈[0,ε0] sup w∈Aε kwkL∞(Ω)<∞.
A existência local segue de [17]. A existência de atratores globais, bem como a limitação uniforme em L∞(Ω) segue de [18]. A outra limitação uniforme segue usando a fórmula de variação das constantes. Com isso, podemos assumir, sem perda de generalidade, que f é globalmente Lipschitz e globalmente limitada, bem como, suas derivada até segunda ordem. Diremos que uε∈ X12
ε, X 1 2 ε −converge para u ∈ X 1 2 0 sekuε− uk X 1 2 ε → 0 quandoε→ 0.
O resultado principal deste capítulo mostra que os semigrupos não lineares associados aos problemas (3.1) com ε ∈ [0,ε0] possuem atratores gradient-like, além de provar a atração exponencial dos mes-
mos uniforme emε e a taxa de convergência destes atratores, cujo parâmetro aparece explicitamente na equação.
Teorema 3.3. Seja{Tε(t); t ≥ 0} o semigrupo gradiente não linear associado ao problema (3.1) com
atrator global Aε. Suponhamos que existam 0<θ< 1/2,ε0> 0, L > 0 e C > 0 tais que
kTε(t)u − T0(t)vk X 1 2 ε ≤ CeLt(ku − vk X 1 2 ε + kaε− a0k2∞θ), t ≥ 1.
e além disso, que os pontos de equilíbrio do problema (3.3) existam em número finito E0= {u1∗,0, . . . , un,0∗ }
e que todos sejam hiperbólicos. Então, para todoε∈ (0,ε0],
(i) O semigrupo{Tε(t); t ≥ 0} possui um número finito de pontos de equilíbrios Eε= {u1∗,ε, . . . , un,∗ε} e
Aε= n [ i=1 Wu(ui,ε ∗ );
(ii) Existeρ> 0 tal que dado B ⊂ X
1 2
ε limitado, existe c= c(B) > 0 tal que dist(Tε(t)B, Aε) ≤ ce−ρt para todo t≥ 1;
(iii) Existe C> 0 tal que
distH(Aε, A0) ≤ Ckaε− a0k
2θρ
ρ+L
∞ , onde distH(·, ·) denota a distância simétrica de Hausdorff.